Limite uzuale și nedeterminări: formulă, la tehnologic

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — matematica de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — traseul M2, clasa a XI-a → ·

M3 Formulă pentru liceele tehnologice (programa M_tehnologic, Bacalaureatul M3), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul tehnologic al clasei a XI-a; în tema ei stă la finalul paginii „Limite de funcții și continuitate”.

x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a x < a lim f (x) = x \to a x > a lim f (x) = L, x \to a lim f (x) = f (a), a \in D, f uzual \overset{a}{˘}, \frac{( x - a ) N _{1} ( x )}{( x - a ) D _{1} ( x )} = \frac{N _{1} ( x )}{D _{1} ( x )} pentru x \neq = a, x \to + \infty lim e^{x} = + \infty, x \to - \infty lim e^{x} = 0, x \to 0^{+} lim ln x = - \infty, x \to \pm \infty lim \frac{a _{n} x ^{n} + \dots}{b _{m} x ^{m} + \dots} = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{a _{n}}{b _{m}}, \pm \infty, n < m n = m n > m

$a$ e punctul studiat, $D$ domeniul, $N_{1}$ și $D_{1}$ ce rămâne după simplificare, iar $a_{n}$ , $b_{m}$ sunt coeficienții termenilor de grad maxim. Limita există când cele laterale coincid. În punct din domeniu, la o funcție uzuală, înlocuiești; dacă iese $\frac{0}{0}$ , simplifici factorul $x - a$ și abia apoi înlocuiești. La infinit contează numai gradele. Capcană: la $- \infty$ semnul vine din diferența gradelor: $\frac{x ^{3}}{x} = x^{2} \to + \infty$ , dar $\frac{x ^{4}}{x} = x^{3} \to - \infty$ . Control: pune $x = 1000$ și $x = 10000$ și vezi încotro merg rezultatele.

Exemplu: Temperatura unui reactor, în °C, la $x$ ore de la pornire, este $T (x) = \frac{5 x ^{2} - 19 x - 4}{x - 4}$ pentru $x < 4$ și $T (x) = 3 e^{x - 4} + 18$ pentru $x \geq 4$ . La stânga lui 4, $5 x^{2} - 19 x - 4 = (x - 4) (5 x + 1)$ se simplifică: $lim_{x \to 4^{-}} T (x) = 5 \cdot 4 + 1 = 21$ . La dreapta, 4 e în domeniu: $3 e^{0} + 18 = 21$ . Cele laterale coincid, deci $lim_{x \to 4} T (x) = 21$ . Pentru $x \to + \infty$ , $e^{x} \to + \infty$ , deci ramura nu poate fi prelungită; modelul se oprește la $x = 6$ . Randamentul $R (x) = \frac{60 x + 40}{x + 2}$ are gradele egale, deci $lim_{x \to + \infty} R (x) = \frac{60}{1} = 60$ %.

Limite uzuale și nedeterminări: formulă, la tehnologic

Continuă cu