Primitiva raportului dintre derivată și funcție

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Cazul particular cel mai des întâlnit al schimbării de variabilă: la numărător stă exact derivata numitorului. Condiția este $u\ne 0$ pe intervalul de lucru. Când numărătorul e derivata numitorului înmulțită cu o constantă, se scoate constanta în față. Semnalul de recunoaștere: gradul numărătorului e cu exact unu mai mic decât al numitorului, iar o simplă amplificare potrivește coeficienții — dacă nu se potrivesc, integrala nu e de acest tip și se trece la fracții simple.

Exemplu: $\int \frac{x}{x^2+9}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+9}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+9\right)+\mathcal{C}$ (modulul lipsește: numitorul e mereu pozitiv).