Schimbarea de variabilă

Formulă din tema Primitive și integrala nedefinită, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Se deduce din regula de derivare a funcțiilor compuse, $(F\circ u{)}^{\prime }=(F^{\prime }\circ u)u^{\prime }$. Semnalul care o cere: în integrand apare o funcție compusă și, alături, derivata funcției interioare (măcar până la un factor constant). Notația de lucru „$t=u(x)$, $dt=u^{\prime }(x)dx$” e permisă, cu revenirea obligatorie la $x$ la final — aceasta e deosebirea față de integrala definită, unde se schimbă limitele și nu se mai revine.

Exemplu: $\int 2x{e}^{x^2}dx$: cu $u=x^2$ obținem $e^{x^2}+\mathcal{C}$. • $\int {\sin }^{3}x\cos xdx$: cu $u=\sin x$ obținem $\frac{{\sin }^{4}x}{4}+\mathcal{C}$.