Schema lui Poisson

Formulă din tema Probabilități, clasa a X-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Modelul: $n$ probe independente, dar fiecare cu probabilitatea ei de succes $p_i$ — trăgători cu precizii diferite, aparate cu fiabilități diferite, urne cu compoziții diferite. Formezi polinomul $(p_{1}x+q_1)(p_{2}x+q_2)\cdots (p_{n}x+q_n)$, îl desfaci, iar coeficientul lui $x^k$ este chiar probabilitatea de a obține exact $k$ succese. Citiri instantanee: termenul liber $q_1{q}_2\cdots q_n$ este probabilitatea niciunui succes, iar coeficientul dominant $p_1{p}_2\cdots p_n$ este probabilitatea tuturor succeselor. Control obligatoriu: suma coeficienților este $1$. Când toate probabilitățile sunt egale, produsul devine $(px+q{)}^n$ și regăsești schema lui Bernoulli.

Exemplu: Trei trăgători nimeresc ținta cu probabilitățile $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ și $\frac{1}{4}$. Produsul este $\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{2}{3}\right)\left(\frac{x}{4}+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{24}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+\frac{11}{24}x+\frac{1}{4}$. Deci $P(\text{exact }2)=\frac{1}{4}$, $P(\text{niciunul})=\frac{1}{4}$, $P(\text{toți trei})=\frac{1}{24}$, iar suma coeficienților este $1$. ✓