Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2018 (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2018 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+0,5\right)=\frac{3}{4}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=1-3x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x+5)={\log }_{3}9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $30\%$, prețul unui obiect este $700$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,6)$ și $B(8,0)$. Determinați lungimea medianei din vârful $O$ în triunghiul $AOB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{2}\cdot \sin 45^{\circ }-\left(\sin 30^{\circ }+\cos 60^{\circ }\right)=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ 1& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=5$.

b) (5 puncte) Arătați că, dacă $A+B(x)=3I_2$, atunci $A\cdot B(x)=5I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det \left(B(x)\cdot B(x)-I_2\right)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-9(x+y)+90$.

a) (5 puncte) Arătați că $10\circ 8=8$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=(x-9)(y-9)+9$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\circ n\le 10$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-1}{x^2+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(3-x)(x+1)}{{\left(x^2+3\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-1\le f(x)+f(y)\le \frac{1}{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{e^x}+x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)-\frac{1}{e^x}\right)dx=0$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este concavă pe intervalul $(-\infty ,0]$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Cerințele valorează în total 90 p, la care se adaugă 10 p din oficiu: 100 p. În Subiectul I fiecare dintre cerințele 1–6 are 5 p, în două rânduri punctate. Itemii 7–8 alcătuiesc Subiectul al II-lea, iar itemii 9–10 pe al III-lea; un item are 15 p, adică trei subpuncte de câte 5 p, fiecare cu două rânduri. Rândurile punctate sunt cele din varianta 5 a setului de rezervă; calculele, probele și comentariile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — o fracție și o zecimală.

Prima paranteză se calculează direct, $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. În a doua, zecimala se scrie ca fracție, $0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$, deci expresia devine $$\frac{1}{2}\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)\text{(3 p)}.$$ Acum $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, iar produsul este $\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$ (2 p).

(Probă: $\frac{3}{4}=0,75$. Capcană: scăderea $1-\frac{1}{2}$ făcută pe numărători, $\frac{1-1}{2}=0$, ar anula tot produsul; în realitate $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\ne 0$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția a două drepte.

În punctul de intersecție cele două funcții au aceeași valoare, deci abscisa lui verifică $f(x)=g(x)$: $$3x-5=1-3x\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $x$ trec în stânga, numerele în dreapta: $6x=6$, de unde $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: $f(1)=3-5=-2$ și $g(1)=1-3=-2$, deci punctul comun este $(1,-2)$. Capcană: se pune $f(x)=0$ în loc de $f(x)=g(x)$; atunci $x=\frac{5}{3}$, abscisa intersecției cu axa $Ox$, nu a intersecției cu graficul lui $g$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_3$ este injectivă pe $(0,+\infty )$: din ${\log }_{3}u={\log }_{3}v$ rezultă $u=v$. Prin urmare $$x+5=9\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{x}=4$, iar argumentul $x+5=9$ este pozitiv, deci valoarea convine (2 p).

(Probă: ${\log }_3(4+5)={\log }_{3}9$. Capcană: se scrie ${\log }_{3}9=2$ și apoi $x+5=2$; dar din ${\log }_3(x+5)=2$ rezultă $x+5=3^2=9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — prețul de dinainte de ieftinire.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. Ieftinirea scade $30\%$ din $x$, iar ceea ce rămâne este $700$: $$x-\frac{30}{100}x=700\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{70}{100}x$, deci $x=700\cdot \frac{100}{70}=1000$ de lei (2 p).

(Probă: $30\%$ din $1000$ înseamnă $300$, iar $1000-300=700$. Capcană: procentul se aplică prețului final, $700+\frac{30}{100}\cdot 700=910$; el se calculează însă din prețul de dinainte de ieftinire.)

Exercițiul 5. (5 p) — mediana dintr-un vârf.

Punctul $A(0,6)$ stă pe axa $Oy$, iar $B(8,0)$ pe axa $Ox$. Axele sunt perpendiculare, așa că unghiul din vârful $O$ este drept; laturile lui sunt catetele $OA=6$ și $OB=8$, iar ipotenuza este $$AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{(2 p)}.$$ Mediana dusă din vârful unghiului drept merge la mijlocul ipotenuzei și are jumătate din lungimea ei: $$\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{(3 p)}.$$

(Probă: mijlocul ipotenuzei este $M(4,3)$, iar $OM=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Capcană: mediana se confundă cu ipotenuza, iar răspunsul ar fi $10$; ea unește vârful $O$ cu mijlocul laturii opuse, nu cu un capăt al ei.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Din tabelul unghiurilor uzuale: $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p).

Înlocuind în expresie: $$\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{2}-1=0\text{(2 p)}.$$

(Observație: $\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }$, fiindcă $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ se completează până la $90^{\circ }$. Capcană: $\sin 45^{\circ }$ se ia $\frac{1}{2}$; atunci $\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}-1\ne 0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) La o matrice $2\times 2$ determinantul scade din produsul diagonalei principale produsul diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 2\end{array}\right|=1\cdot 2-(-1)\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=2+3=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: elementul $-1$ se ia fără semn, $1\cdot 2-1\cdot 3=-1$, adică alt număr decât $5$.)

b) (5 p) Suma se face element cu element: $$A+B(x)=\left(\begin{array}{cc}3& 3+x\\ 0& 3\end{array}\right).$$ Matricea $3I_2$ are zero în afara diagonalei, deci egalitatea cere $3+x=0$, adică $x=-3$ (3 p).

Pentru $x=-3$ avem $B(-3)=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $$A\cdot B(-3)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+3\cdot 1& 1\cdot (-3)+3\cdot 1\\ (-1)\cdot 2+2\cdot 1& (-1)\cdot (-3)+2\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=5I_2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\det B(-3)=2\cdot 1-(-3)\cdot 1=5$, iar determinantul produsului este produsul determinanților, $5\cdot 5=25=\det \left(5I_2\right)$. Capcană: $x=3$ în loc de $-3$; atunci $A+B(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 0& 3\end{array}\right)$, care nu este $3I_2$.)

c) (5 p) Pătratul lui $B(x)$ este $$B(x)\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+x\cdot 1& 2\cdot x+x\cdot 1\\ 1\cdot 2+1\cdot 1& 1\cdot x+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4+x& 3x\\ 3& x+1\end{array}\right).$$ Scăderea lui $I_2$ micșorează cu $1$ doar elementele diagonalei: $$B(x)\cdot B(x)-I_2=\left(\begin{array}{cc}3+x& 3x\\ 3& x\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Determinantul este $(3+x)\cdot x-3x\cdot 3=x^2+3x-9x=x^2-6x=x(x-6)$, care se anulează pentru $$x\in \{0,6\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $x=6$ matricea $\left(\begin{array}{cc}9& 18\\ 3& 6\end{array}\right)$ are determinantul $54-54=0$, iar pentru $x=0$ matricea $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 0\end{array}\right)$ are determinantul $0$. Capcană: din $x^2-6x=0$ se împarte la $x$ și se păstrează doar $x=6$; soluția $x=0$ se pierde.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=10$ și $y=8$ în definiție: $$10\circ 8=10\cdot 8-9(10+8)+90\text{(3 p)}.$$ $$10\circ 8=80-162+90=8\text{(2 p)}.$$

(Capcană: paranteza se pierde, $10\cdot 8-9\cdot 10+8+90=88$; factorul $9$ înmulțește suma $10+8$, nu numai primul ei termen.)

b) (5 p) Se desface paranteza, iar $90$ se scrie ca $81+9$: $$x\circ y=xy-9x-9y+81+9\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni au factorul comun $x$, ultimii doi factorul comun $-9$, iar în ambele grupe rămâne $y-9$: $$x\circ y=x(y-9)-9(y-9)+9=(\mathbf{x}-9)(\mathbf{y}-9)+9\text{(3 p)}.$$

(Probă: $(10-9)(8-9)+9=8$, ca la a). Capcană: la grupare se scrie $x(y-9)+9(y-9)$, adică factorii $(x+9)(y-9)$; atunci $10\circ 8$ ar ieși $19\cdot (-1)+9=-10$.)

c) (5 p) Din forma de la b), $n\circ n=(n-9{)}^2+9$. Inegalitatea $(n-9{)}^2+9\le 10$ înseamnă $(n-9{)}^2\le 1$, adică $$(n-10)(n-8)\le 0\text{(2 p)}.$$ Produsul este negativ sau nul între rădăcinile $8$ și $10$, capetele incluse, iar numerele naturale din intervalul $[8,10]$ sunt $$n\in \{8,9,10\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $8\circ 8=10$, $9\circ 9=9$ și $10\circ 10=10$, în timp ce $7\circ 7=13>10$ și $11\circ 11=13>10$. Capcană: se reține doar $n=9$, punctul de minim; dar $8\circ 8=10\le 10$ verifică și el inegalitatea.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, margini.

a) (5 p) Derivata unui cât este ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; aici $u=x-1$ și $v=x^2+3$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+3\right)-(x-1)\cdot 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $x^2+3-2x^2+2x=-x^2+2x+3=(3-x)(x+1)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{(3-x)(x+1)}{{\left(x^2+3\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(3-x)(x+1)=3x+3-x^2-x=-x^2+2x+3$. Capcană: în numărător se adună $u{v}^{\prime }$ în loc să se scadă; numărătorul ar fi $x^2+3+2x^2-2x=3x^2-2x+3$, un trinom fără rădăcini reale.)

b) (5 p) Se împarte numărătorul și numitorul la $x^2$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x-1}{x^2+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{3}{x^2}}=\frac{0-0}{1+0}=0\text{(3 p)}.$$ Limita fiind finită, graficul are spre $+\infty$ asimptota orizontală $\mathbf{y}=0$, adică axa $Ox$ (2 p).

(Probă: $f(100)=\frac{99}{10003}$, iar $f(1000)=\frac{999}{1000003}$; valorile se apropie de $0$. Capcană: se ia raportul coeficienților dominanți, ca la grade egale; aici gradele sunt $1$ și $2$, deci limita nu este $1$, ci $0$.)

c) (5 p) Numitorul ${\left(x^2+3\right)}^2$ este pozitiv, deci $f^{\prime }$ are semnul produsului $(3-x)(x+1)$: negativ pe $(-\infty ,-1)$, pozitiv pe $(-1,3)$, negativ pe $(3,+\infty )$. Prin urmare $f$ este $$\text{descresca˘toare pe }(-\infty ,-1],\text{cresca˘toare pe }[-1,3],\text{descresca˘toare pe }[3,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Valorile din punctele de schimbare sunt $f(-1)=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$ și $f(3)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$, iar la ambele capete ale axei limita este $0$ (ca la b)). Pe $(-\infty ,-1]$ funcția coboară de la $0$ la $-\frac{1}{2}$, apoi urcă până la $\frac{1}{6}$, apoi coboară spre $0$. Așadar $-\frac{1}{2}\le f(x)\le \frac{1}{6}$ pentru orice $x$, la fel pentru $y$, iar prin adunare $$-1\le f(x)+f(y)\le \frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Observație: marginile se ating, pentru $x=y=-1$ și, respectiv, $x=y=3$. Capcană: inegalitatea se verifică pe câteva perechi alese și se declară demonstrată; o demonstrație cere marginile valabile pentru toți $x$ și $y$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și concavitate.

a) (5 p) Diferența $f(x)-\frac{1}{e^x}$ lasă numai termenul $x$: $${\int }_{-1}^1\left(f(x)-\frac{1}{e^x}\right)dx={\int }_{-1}^{1}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Observație: $x$ este funcție impară, iar $[-1,1]$ e simetric față de origine, deci contribuțiile celor două jumătăți se anulează. Capcană: primitiva lui $x$ se scrie $x$; atunci $x{|}_{-1}^1=1-(-1)=2$.)

b) (5 p) Fie $F$ o primitivă a lui $f$. Atunci $F^{\prime }=f$, deci $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$. Cum $\frac{1}{e^x}=e^{-x}$ are derivata $-e^{-x}$, $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=-\frac{1}{e^x}+1\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\le 0$ avem $-x\ge 0$, deci $e^{-x}\ge 1$, adică $\frac{1}{e^x}\ge 1$ și $F^{\prime \prime }(x)=1-\frac{1}{e^x}\le 0$ pe tot intervalul $(-\infty ,0]$. O funcție cu a doua derivată negativă sau nulă pe un interval este concavă pe el, deci $F$ este concavă pe $(-\infty ,0]$ (3 p).

(Probă: $F^{\prime \prime }(0)=1-1=0$ și $F^{\prime \prime }(-1)=1-e<0$. Capcană: concavitatea se confundă cu convexitatea; $F^{\prime \prime }\ge 0$ ar da o funcție convexă, dar aici $F^{\prime \prime }\le 0$.)

c) (5 p) Produsul se desface: $e^{x}f(x)=e^x\cdot \frac{1}{e^x}+x{e}^x=1+x{e}^x$. O primitivă a lui $x{e}^x$ se află prin părți, iar integrala devine $${\int }_0^1{e}^{x}f(x)dx={\int }_0^1\left(1+x{e}^x\right)dx=(x+(x-1)e^x){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ În $1$ valoarea este $1+0\cdot e=1$, iar în $0$ este $0+(-1)\cdot 1=-1$; diferența lor este $1-(-1)=2$ (2 p).

(Probă: ${\left(x+(x-1)e^x\right)}^{\prime }=1+e^x+(x-1)e^x=1+x{e}^x$. Capcană: primitiva lui $x{e}^x$ se ia $\frac{x^2}{2}{e}^x$; derivata acesteia are un termen în plus, $\frac{x^2}{2}{e}^x$, deci nu este $x{e}^x$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina adună lucrarea de matematică a Bacalaureatului tehnologic din setul de rezervă al sesiunii iunie 2018, Varianta 5. În documentele oficiale proba se numește Matematică M_tehnologic, iar în vorbirea din școli „M3". Arhiva oficială a sesiunii, cu data de 27 iunie 2018 în denumire, are două seturi de variante, unul obișnuit și unul „de rezervă"; lucrarea de aici face parte din al doilea. Capul foii oficiale poartă numele Ministerului Educației Naționale și pe cel al Centrului Național de Evaluare și Examinare; filiera e cea tehnologică, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Enunțurile din „Itemi" sunt transcrise întocmai. Rezolvările, probele și ghidajul sunt scrise de noi, iar documentul oficial de notare ne-a servit doar la împărțirea punctelor pe rânduri.

Din ce se compune lucrarea:

• Primul subiect strânge șase cerințe scurte, fiecare de $5$ puncte, deci $30$ de puncte.
• Al doilea subiect pune o problemă despre matrice și una despre o lege de compoziție; fiecare are trei subpuncte a câte $5$ puncte, adică $2\times 15=30$ de puncte.
• Al treilea subiect are tot două probleme în trei subpuncte, una despre o funcție rațională și una despre o funcție cu exponențială, încă $30$ de puncte.
• Cele $10$ puncte din oficiu aduc totalul la $100$, iar nota este totalul împărțit la $10$.

Harta cerințelor. Fiecare cerință e trecută la clasa de care ține după programa pe care se dă examenul; iar notele de sub tabel spun ce lipsește celui care a parcurs programa școlară nouă, introdusă din 2026–2027 la clasa a IX-a.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Operațiile cu numere reale, fracții și zecimale incluse, țin în programa de examen de clasa a IX-a. Unitățile noi ale clasei a IX-a nu cuprind numerele reale; materia stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile cu logaritmi sunt cerute la clasa a X-a. Programa școlară nouă rezolvă ecuațiile doar pe grafic, așa că egalarea argumentelor de la cerința 3 se învață în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Procentele sunt materie de clasa a X-a, la matematici financiare. În programa școlară nouă procentul apare numai ca exemplu în alte teme; calculul de la cerința 4 e tratat în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Mediana unui triunghi intră în programa de examen sub „linii importante în triunghi", la clasa a X-a, geometrie. În programa școlară nouă cuvântul „mediană" apare doar la statistică, iar medianele, înălțimile și bisectoarele ca linii ale triunghiului lipsesc; materia e în „Supliment Bac M3 2027–2029: geometrie în coordonate".
• Nota 5. Concavitatea cu ajutorul derivatei a doua e în programa de examen la clasa a XI-a, iar primitivele la clasa a XII-a. Cerința 10.b leagă cele două: o primitivă $F$ are $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$.

Ce merită observat în varianta 5.

• La cerința 5 vârfurile $A$ și $B$ stau pe axe, deci triunghiul $AOB$ are unghi drept în $O$, iar mediana cerută pornește chiar din vârful unghiului drept.
• La 7.b) matricea $B(-3)$ este chiar $3I_2-A$, iar produsul $A\cdot B(-3)=5I_2$ are pe diagonală tocmai $5=\det A$.
• Legea de la 8 are forma $(x-9)(y-9)+9$, iar $n\circ n$ capătă cea mai mică valoare, $9$, pentru $n=9$.
• La 9.c), marginile $-\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{6}$ sunt chiar valorile funcției în punctele $-1$ și $3$, deci inegalitatea se atinge.
• La 10.a) funcția $x$ este impară, iar intervalul $[-1,1]$ e simetric față de origine.

O lucrare de probă, în ritmul oficial. Antetul fixează trei ore de lucru efectiv, adică $180$ de minute. Împărțirea propusă: $30$ de minute la Subiectul I, $50$ la al II-lea, $60$ la al III-lea, iar ultimele $40$ rămân pentru recitire. Cerințele din primul subiect vin cu $5$ minute fiecare, iar un subpunct din problemele lungi cu cel mult $10$ minute, cel puțin $8$. Rezolvările se scriu complet, cu calculele la vedere; pe documentul oficial rândurile punctate sunt de $2$ și $3$ puncte, iar o soluție corectă diferită de cea din document este tratată ca valabilă.

Despre litere. În această variantă $f$ are trei sensuri: $f(x)=3x-5$ la cerința 2, apoi funcția $\frac{x-1}{x^2+3}$ de la cerința 9 și funcția $\frac{1}{e^x}+x$ de la cerința 10. Litera $A$ e un punct la cerința 5 și o matrice la cerința 7, iar $B$ la fel: punctul $B(8,0)$ și matricea $B(x)$, al cărei parametru se numește tot $x$. Litera $F$ de la 10.b) este o primitivă oarecare a lui $f$. Etichetele „Itemul n" de mai jos vin din documentul oficial; la clasă, același lucru se numește „cerința n".