Subiect Bac matematică tehnologic, model 2024 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2024 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{8}+3\cdot \left(1-\frac{3}{8}\right)=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2x}=5^{2+x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să verifice inegalitatea $n+9\le 15$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,5)$, $B(4,-5)$ și $C(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{2}\cdot \left(\sin 45^{\circ }+\cos 45^{\circ }\right)\cdot \sin 30^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -3\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $B+3I_2=2A$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot (xA+B)=2x{I}_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2xy-3(x+y)+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 0=-2$.

b) (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\circ$" este comutativă.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x\circ (-2x)\ge 0$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x-4}{x-4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{8}{(x-4{)}^2}$, $x\in (4,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $g:(4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=f^{\prime }(x)$ este crescătoare.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+(x+3{)}^2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-(x+3{)}^2\right)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-2}^0\frac{1}{f(x)-x}dx=\frac{2}{3}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^6\frac{f(x)}{x+3}dx=3(a-\ln 3)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, un subpunct are 5 p, repartizate pe două rânduri. Valorile de pe fiecare rând sunt cele ale baremului oficial pentru modelul din 2024; textul soluțiilor, al explicațiilor și al probelor este scris de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Paranteza se aduce la numitorul $8$: $1-\frac{3}{8}=\frac{8}{8}-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$. Expresia devine $$\frac{1}{8}+3\left(1-\frac{3}{8}\right)=\frac{1}{8}+3\cdot \frac{5}{8}\text{(3 p)}.$$ Cum $3\cdot \frac{5}{8}=\frac{15}{8}$, $$\frac{1}{8}+\frac{15}{8}=\frac{16}{8}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă în zecimale: $\frac{1}{8}=0,125$ și $\frac{5}{8}=0,625$, deci $0,125+3\cdot 0,625=0,125+1,875=2$. Capcană: se scad numărătorii fără să se aducă $1$ la numitorul $8$, $\frac{1-3}{8}=-\frac{1}{4}$, iar suma devine $\frac{1}{8}-\frac{3}{4}=-\frac{5}{8}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — zeroul unei funcții de gradul întâi.

Pentru orice număr real $a$, valoarea funcției în $a$ se obține înlocuind $x$ cu $a$: $$f(a)=2a-2\text{(3 p)}.$$ Condiția $f(a)=0$ devine $2a-2=0$, deci $2a=2$ și $\mathbf{a}=1$ (2 p).

(Probă: $f(1)=2\cdot 1-2=0$. Capcană: se scrie $2a+2=0$ și iese $a=-1$; sau se egalează cu $f(0)=-2$ în loc de $0$, $2a-2=-2$, adică $a=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambele părți sunt puteri ale lui $5$. Funcția $t\mapsto 5^t$ ia fiecare valoare o singură dată, deci egalitatea puterilor cere egalitatea exponenților: $$2x=2+x\text{(3 p)}.$$ Scăzând $x$ din ambii membri se obține $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $x=2$, membrul stâng este $5^4$, iar cel drept $5^{2+2}=5^4$, ambele egale cu $625$. Capcană: exponentul din dreapta se citește cu minus în față, $2x=-(2+x)$, și iese $x=-\frac{2}{3}$; atunci exponenții ar fi $-\frac{4}{3}$ și $\frac{4}{3}$, deci diferiți.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numărul $n$ se alege dintre $1,2,\dots ,9$, adică dintre cele nouă elemente ale lui $A$: avem $9$ cazuri posibile (2 p).

Inegalitatea $n+9\le 15$ înseamnă $n\le 6$. O verifică $1,2,3,4,5,6$: sunt $6$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$

(Probă pe frontieră: pentru $n=6$ avem $6+9=15\le 15$, deci $6$ intră; pentru $n=7$ avem $16>15$. Capcană: la numitor se pune $10$, numărul cifrelor de la $0$ la $9$, deși $0\notin A$, iar probabilitatea ar ieși $\frac{6}{10}$; sau $n=6$ se exclude, ca la o inegalitate strictă, și iese $\frac{5}{9}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Punctul $C$ este mijlocul lui $[AB]$, deci coordonatele lui sunt semisumele coordonatelor capetelor. Abscisa este $$a=\frac{0+4}{2}=2\text{(3 p)}.$$ Ordonata este $$b=\frac{5+(-5)}{2}=0,\text{ deci }C(2,0)\text{(2 p)}.$$

(Probă: $AC=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$, $CB=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$, iar $AB=\sqrt{4^2+10^2}=\sqrt{116}=2\sqrt{29}=AC+CB$, deci $C$ este pe segment și la distanțe egale de capete. Capcană: la ordonată se scad coordonatele, $\frac{5-(-5)}{2}=5$; atunci $C(2,5)$, care nu se află pe segmentul $AB$: pe el, în $x=2$, ordonata este $0$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute sunt $$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Atunci $$\sqrt{2}\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\sin }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Capcană: se scrie $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}$; atunci suma din paranteză este $1$, iar produsul $\sqrt{2}\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\ne 1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul se obține scăzând din produsul elementelor diagonalei principale produsul elementelor celeilalte diagonale: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ -1& 0\end{array}\right|=3\cdot 0-2\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=0+2=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se pierde semnul lui $-1$ și iese $3\cdot 0-2\cdot 1=-2$; sau se amestecă diagonalele, $3\cdot 2-0\cdot (-1)=6$.)

b) (5 p) Se adună matricea $3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ la $B$: $$B+3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -2& -3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $2A=\left(\begin{array}{cc}6& 4\\ -2& 0\end{array}\right)$, deci $$B+3I_2=2A\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $3I_2$ se adună la toate elementele lui $B$ și iese $\left(\begin{array}{cc}6& 7\\ 1& 0\end{array}\right)$; sau $3$ se uită și se calculează $B+I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ -2& -2\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Mai întâi $$xA+B=\left(\begin{array}{cc}3x+3& 2x+4\\ -x-2& -3\end{array}\right).$$ Produsul, rând cu coloană, este $$A\cdot (xA+B)=\left(\begin{array}{cc}7x+5& 6x+6\\ -3x-3& -2x-4\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $2x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2x& 0\\ 0& 2x\end{array}\right)$ cere $7x+5=2x$, $6x+6=0$, $-3x-3=0$ și $-2x-4=2x$. Primele trei dau $x=-1$ și a patra la fel, deci $$\mathbf{x}=-1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: din b), $B=2A-3I_2$, iar $A^2=3A-2I_2$; atunci $A\cdot (xA+B)=(x+2)A^2-3A=(3x+3)A-(2x+4)I_2$. Egalitatea cu $2x{I}_2$ devine $(3x+3)A=(4x+4)I_2$; cum $A$ nu este o matrice scalară, trebuie ca $3x+3=0$, adică $x=-1$ (iar atunci și $4x+4=0$). Probă: pentru $x=-1$ produsul este $\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)=2\cdot (-1)\cdot I_2$. Capcană: matricele se înmulțesc pe poziții, $\left(\begin{array}{cc}9x+9& 4x+8\\ x+2& 0\end{array}\right)$; atunci egalitatea cu $2x{I}_2$ cere $9x+9=2x$ și $4x+8=0$, adică $x=-\frac{9}{7}$ și $x=-2$, deci nu are soluție.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=0$ în definiție: $$1\circ 0=2\cdot 1\cdot 0-3(1+0)+1\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 0=0-3+1=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se scrie $+3(1+0)$ și iese $4$; sau în paranteză se pune produsul, $-3\cdot 1\cdot 0$, și iese $1$.)

b) (5 p) Se scrie $y\circ x$ prin definiție, cu rolurile lui $x$ și $y$ schimbate: $$y\circ x=2yx-3(y+x)+1\text{(2 p)}.$$ Înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, deci $yx=xy$ și $y+x=x+y$: $$y\circ x=2xy-3(x+y)+1=x\circ y,\text{ adica˘ }\mathbf{y}\circ \mathbf{x}=\mathbf{x}\circ \mathbf{y}\text{ pentru orice }x,y\in \mathbb{R},\text{ deci legea este comutativa˘}\text{(3 p)}.$$

(Un singur exemplu, ca $1\circ 0=0\circ 1=-2$, nu e o demonstrație: comutativitatea se cere pentru toate perechile. Capcană: în $y\circ x$ se schimbă și semnul din față, $2yx-3(y-x)+1$, și atunci se pare că legea nu e comutativă.)

c) (5 p) Se înlocuiește $y=-2x$: $$x\circ (-2x)=2x\cdot (-2x)-3(x+(-2x))+1=-4x^2+3x+1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $-4x^2+3x+1\ge 0$ este echivalentă cu $4x^2-3x-1\le 0$, adică cu $(4x+1)(x-1)\le 0$. Rădăcinile sunt $-\frac{1}{4}$ și $1$, iar trinomul este negativ între ele, deci $$\mathbf{x}\in \left[-\frac{1}{4},1\right]\text{(3 p)}.$$

(Probă: $x=0$ dă $1\ge 0$; $x=1$ dă $-4+3+1=0$; $x=-\frac{1}{4}$ dă $-\frac{1}{4}-\frac{3}{4}+1=0$; $x=2$ dă $-9<0$. Capcană: se pierde semnul lui $-2x$ și se calculează $x\circ (2x)=4x^2-9x+1$; sau capetele intervalului se lasă deschise, deși inegalitatea este nestrictă.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție rațională.

a) (5 p) Se aplică regula câtului, cu $u=3x-4$ și $v=x-4$, $u^{\prime }=3$, $v^{\prime }=1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3(x-4)-(3x-4)}{(x-4{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $3x-12-3x+4=-8$, deci $$f^{\prime }(x)=-\frac{8}{(\mathbf{x}-4{)}^2},x\in (4,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=3+\frac{8}{x-4}$, fiindcă $3(x-4)+8=3x-4$, iar derivata lui $\frac{8}{x-4}$ este $-\frac{8}{(x-4{)}^2}$. Capcană: în numărător se adună, $3(x-4)+(3x-4)=6x-16$; sau termenii se scad în ordine inversă și iese $+8$.)

b) (5 p) Se împarte numărătorul și numitorul la $x$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-4}{x-4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{4}{x}}{1-\frac{4}{x}}=3\text{(3 p)}.$$ Cum limita este un număr real, graficul lui $f$ se apropie spre $+\infty$ de dreapta $\mathbf{y}=3$, care îi este asimptotă orizontală (2 p).

(Probă: pentru $x=1004$ avem $f(1004)=\frac{3008}{1000}=3,008$, aproape de $3$, iar pentru $x=104$, $f(104)=\frac{308}{100}=3,08$. Capcană: se spune că fracția tinde la $0$, fiindcă numitorul crește; dar crește și numărătorul, iar raportul lor se apropie de $3$. Altă greșeală: $x=4$ este o asimptotă verticală, nu orizontală.)

c) (5 p) Funcția este $g(x)=f^{\prime }(x)=-8(x-4{)}^{-2}$. Derivata ei este $$g^{\prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)=-8\cdot (-2)(x-4{)}^{-3}=\frac{16}{(x-4{)}^3},x\in (4,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Pentru $x>4$ avem $x-4>0$, deci $(x-4{)}^3>0$ și $$g^{\prime }(x)=\frac{16}{(\mathbf{x}-4{)}^3}>0\text{ pe }(4,+\infty ),\text{ deci }g\text{ este cresca˘toare}\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: pe $(4,+\infty )$, $(x-4{)}^2$ crește, deci fracția pozitivă $\frac{8}{(x-4{)}^2}$ scade, iar opusul ei, $g$, crește. Capcană: factorul $2$ din derivata puterii se uită și iese $\frac{8}{(x-4{)}^3}$; sau semnul se pierde și iese $g^{\prime }<0$, de unde concluzia greșită „descrescătoare".)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Din $f(x)=x+(x+3{)}^2$ rezultă $f(x)-(x+3{)}^2=x$. Atunci $${\int }_0^2\left(f(x)-(x+3{)}^2\right)dx={\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{4}{2}-0=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: din $f(x)-(x+3{)}^2$ se păstrează $x+3$ în loc de $x$, iar integrala ${\int }_0^2(x+3)dx$ este $8$; sau se scade $x$ în loc de $(x+3{)}^2$ și se integrează restul, $(x+3{)}^2$, cu rezultatul $\frac{98}{3}$.)

b) (5 p) Acum $f(x)-x=(x+3{)}^2$, deci integrandul este $\frac{1}{(x+3{)}^2}$, cu primitiva $-\frac{1}{x+3}$: $${\int }_{-2}^0\frac{1}{f(x)-x}dx={\int }_{-2}^0\frac{1}{(x+3{)}^2}dx=-\frac{1}{x+3}{|}_{-2}^0\text{(3 p)}.$$ $$=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left(-\frac{1}{x+3}\right)}^{\prime }=\frac{1}{(x+3{)}^2}$. Capcană: primitiva se scrie cu plus, $\frac{1}{x+3}$, și rezultatul iese $-\frac{2}{3}$, negativ, deși integrandul este pozitiv; sau se alege $\ln (x+3)$, care aparține lui $\frac{1}{x+3}$, și iese $\ln 3$.)

c) (5 p) Integrandul se împarte termen cu termen: $$\frac{f(x)}{x+3}=\frac{x+(x+3{)}^2}{x+3}=\frac{x}{x+3}+(x+3)=x+4-\frac{3}{x+3},$$ fiindcă $\frac{x}{x+3}=1-\frac{3}{x+3}$. Atunci $${\int }_0^6\frac{f(x)}{x+3}dx=\frac{x^2}{2}{|}_0^6+4x{|}_0^6-3\ln (x+3){|}_0^6=18+24-3(\ln 9-\ln 3)=42-3\ln 3\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $42-3\ln 3=3(a-\ln 3)=3a-3\ln 3$ dă $3a=42$, deci $\mathbf{a}=14$ (2 p).

(Probă numerică: integrala ${\int }_0^6\frac{x+(x+3{)}^2}{x+3}dx$ și numărul $42-3\ln 3$ coincid, $\approx 38,704$. Capcană: semnul lui $\frac{3}{x+3}$ se schimbă și iese $42+3\ln 3$, deci $a=14+2\ln 3$, un număr care nu mai e „frumos"; sau se uită termenul logaritmic și rămâne $42$, adică $a=14+\ln 3$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina prezintă modelul lucrării de matematică pentru Bacalaureatul 2024 al filierei tehnologice. Pe foaia oficială, în locul numărului unei variante, stă cuvântul „Model"; titlul este Matematică M_tehnologic (în școli: „M3"), iar antetul numește Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Lucrarea este pentru profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, la toate calificările profesionale. Cerințele sunt transcrise literă cu literă. Soluțiile, verificările, observațiile și ghidajul sunt ale noastre; punctele pe rânduri vin din baremul oficial.

Pe ce se sprijină un model. Foaia are exact aceeași construcție ca orice altă probă din arhivă, deci poate fi folosită ca test de verificare pentru o recapitulare: șase exerciții scurte, apoi patru probleme, fiecare cu trei subpuncte.

Harta cerințelor — ce se cere și la ce clasă stă în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. La examen, calculele cu fracții se așază în clasa a IX-a (operații cu numere reale). Programa școlară nouă, în vigoare din anul școlar 2026–2027 pentru clasa a IX-a, nu le acordă un capitol propriu. Dacă susții Bacalaureatul în 2027, 2028 sau 2029, ciclul IX–X l-ai parcurs cu programa veche, iar materia o găsești în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Tot în clasa a X-a stă, în programa de examen, ecuația exponențială cu aceeași bază în ambii membri. Programa școlară nouă prevede pentru ecuații doar rezolvări grafice sau digitale; partea algebrică se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Inegalitatea $n+9\le 15$ este o inecuație de gradul întâi, cerută la examen în clasa a IX-a și rezolvată algebric; în programa școlară nouă apare la capitolul de grafice. Metoda algebrică o găsești în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul I — inecuații și sisteme".
• Nota 4. Cerința 5 cere mijlocul unui segment, element pe care programa de examen nu îl numește: ea pomenește, la clasa a X-a, doar coordonatele punctelor și distanța dintre ele. Programa școlară nouă îl cuprinde la clasa a IX-a, în geometria analitică.
• Nota 5. Pentru inecuația $-4x^2+3x+1\ge 0$ de la 8.c) trebuie semnul unui trinom de gradul al doilea, subiect de clasa a IX-a la examen. În programa școlară nouă inecuațiile se tratează pe grafic; calea algebrică stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce observi la acest model. Subiectul I e construit cu numere mici: $\frac{1}{8}$ și $\frac{3}{8}$ la cerința 1, mulțimea $\{1,2,\dots ,9\}$ la cerința 4 (fără $0$, deci nouă cazuri posibile, nu zece), punctele $A(0,5)$ și $B(4,-5)$ la cerința 5. La Subiectul al II-lea, matricele $A$ și $B$ sunt legate: $B+3I_2=2A$, așa că $B=2A-3I_2$, iar legea de compoziție $x\circ y=2xy-3(x+y)+1$ e simetrică în $x$ și $y$, de unde comutativitatea. La Subiectul al III-lea, funcția $f(x)=\frac{3x-4}{x-4}$ se poate scrie $3+\frac{8}{x-4}$, ceea ce explică și asimptota $y=3$, și faptul că derivata e negativă; la a doua problemă, $f(x)-(x+3{)}^2=x$ și $f(x)-x=(x+3{)}^2$ sunt cele două simplificări care deschid subpunctele a) și b).

Cum te organizezi:

• Timpul: trei ore, fără calculator. Cu 20 de minute rezervate recitirii, ai 160 de minute pentru cele 90 de puncte: puțin sub două minute pentru fiecare punct.
• Redactarea: scrie fiecare soluție până la capăt. Un subpunct are 5 puncte, împărțite pe două rânduri ($3+2$ sau $2+3$), iar o soluție incompletă poate primi puncte parțiale în limita rândului.
• Regulile de notare din antetul baremului, rezumate: sunt acceptate și soluțiile corecte care diferă de a baremului; punctele nu se fracționează; nota rezultă din totalul împărțit la zece. Împreună cu cele 10 puncte din oficiu, nota 5 înseamnă 50 de puncte, adică 40 câștigate la cerințe.
• Puncte de atenție în redactare: la cerința 4, numărarea lui $0$ între cazurile posibile; la 5, scăderea în loc de adunare în formula mijlocului; la 7.c), distribuirea greșită a produsului matriceal; la 8.c), închiderea intervalului la capătul nepotrivit; la 10.b), semnul primitivei lui $\frac{1}{(x+3{)}^2}$.
• După corectare: leagă fiecare subpunct ratat de o linie din harta cerințelor și notează ce ți-a lipsit: o formulă, un calcul sau ideea.

Cum privești scorul. Un scor sub 40 de puncte din 90 lasă nota 5 încă departe; pentru el se refac Subiectul I și subpunctele a), b) ale problemelor, lucrate direct din definiții. La 40–65 de puncte baza e pusă, iar ce lipsește poate fi căutat mai întâi la subpunctele c). Dincolo de 65 de puncte, ceea ce mai contează este viteza și îngrijirea scrisului.

Formulele folosite în model, pe subiecte:

• Subiectul I. $a^u=a^v⟺u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$; probabilitatea este câtul numărului cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile; mijlocul lui $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.
• Subiectul al II-lea. Pentru matricea $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, determinantul este $ps-qr$; elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ a produsului $M\cdot N$ este suma produselor dintre linia $i$ a lui $M$ și coloana $j$ a lui $N$; o lege de compoziție este comutativă dacă $x\circ y=y\circ x$ pentru orice $x,y$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ și ${\left((x-c{)}^{-2}\right)}^{\prime }=-2(x-c{)}^{-3}$; dacă $g^{\prime }>0$ pe un interval, $g$ crește pe el; $\int \frac{dx}{(x+c{)}^2}=-\frac{1}{x+c}$ și $\int \frac{dx}{x+c}=\ln (x+c)$ pentru $x+c>0$.

Cum se citesc literele. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=2x-2$ la cerința 2, funcția rațională de la 9 și funcția $x+(x+3{)}^2$ de la 10. Litera $a$ este necunoscută la cerințele 2 și 10.c) și coordonata unui punct la cerința 5. În problema 8, simbolul $\circ$ denumește legea de compoziție, nu o compunere de funcții. $A$ este mulțime la cerința 4, punct la cerința 5 și matrice la cerința 7; $B$ este punct la cerința 5 și matrice la cerința 7. Fiecare problemă se citește de la capăt, independent de celelalte.

Titlurile de mai jos spun „itemul", după cum scrie în barem; pe parcursul explicațiilor, același lucru e numit și „cerința".