Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2024 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2024 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(0,2+\frac{3}{10}\right)\cdot 10=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=7$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+2x+4}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $50\%$, prețul unui obiect este de $225$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(5,0)$ și $C(5,5)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=3$ și $BC=5$. Arătați că $\mathrm{tg}B=\frac{4}{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=4$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(3)+2A(1)=3A(2)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $A(x)\cdot A\left(x^2\right)=I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-x-y+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ 3=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 4=x+6$.

c) (5 puncte) Arătați că $(x-2)\circ (x+2)\ge -3$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{e^x}{x^2-3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2-2x-3\right)}{{\left(x^2-3\right)}^2}$, $x\in (2,+\infty )$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{xf(x)}{e^x}=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{e^{x-3}}{x^2-3}\ge \frac{1}{6}$, pentru orice $x\in (2,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_2^4\left(f(x)-\ln x\right)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^e\frac{f(x)-x}{x}dx=\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care ${\int }_1^{n}f(x)dx=2+3\ln n$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, un subpunct are 5 p, împărțite pe două rânduri. Punctajul de pe fiecare rând este cel din baremul oficial al simulării din 2024; formularea soluțiilor, a observațiilor și a probelor ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale și fracții.

Fracția $\frac{3}{10}$ este chiar $0,3$, deci paranteza este $0,2+0,3=0,5$: $$\left(0,2+\frac{3}{10}\right)\cdot 10=(0,2+0,3)\cdot 10\text{(3 p)}.$$ $$=0,5\cdot 10=5\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: înmulțirea cu $10$ se distribuie, $0,2\cdot 10+\frac{3}{10}\cdot 10=2+3=5$. Capcană: paranteza se ignoră și se înmulțește cu $10$ doar fracția, $0,2+\frac{3}{10}\cdot 10=0,2+3=3,2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valoare dintr-o funcție de gradul întâi.

Valoarea lui $f$ în $a$ se obține înlocuind $x$ cu $a$: $$f(a)=2a+3\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $f(a)=7$ dă $2a+3=7$, deci $2a=4$ și $$\mathbf{a}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(2)=2\cdot 2+3=7$. Capcană: $3$ se adună în loc să se scadă și iese $2a=10$, adică $a=5$; sau argumentul se confundă cu valoarea și se scrie $a=7$, dar $f(7)=17\ne 7$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicandul $x^2+2x+4=(x+1{)}^2+3$ este pozitiv pentru orice $x$, deci radicalul există mereu. Membrul drept, $2$, este pozitiv, deci se poate ridica la pătrat: $$x^2+2x+4=4,\text{ adica˘ }{x}^2+2x=0,\text{ deci }x(x+2)=0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=0$ sau $x=-2$. Ambele convin: pentru $x=0$ radicandul este $4$, iar pentru $x=-2$ este $4-4+4=4$, deci în ambele cazuri $\sqrt{4}=2$. Soluțiile sunt $$\mathbf{x}=0\text{ și }\mathbf{x}=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se împarte ecuația $x^2+2x=0$ la $x$ și se pierde soluția $x=0$, rămânând doar $x=-2$; sau membrul drept nu se ridică la pătrat și se scrie $x^2+2x+4=2$, adică $x^2+2x+2=0$, care nu are soluții reale, pentru că $\Delta =4-8<0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — prețul de dinaintea unei scumpiri.

Fie $x$ prețul inițial. Scumpirea cu $50\%$ adaugă jumătate din $x$: $$x+\frac{50}{100}x=225\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{150}{100}x$, deci $x=225\cdot \frac{100}{150}$ și $$x=150\text{ de lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: jumătate din $150$ este $75$, iar $150+75=225$. Capcană: procentul se scade din prețul final, $225-\frac{50}{100}\cdot 225=225-112,5=112,5$; sau se scad $50$ de lei, $225-50=175$.)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în reper.

Distanța $AB$ se calculează din diferențele coordonatelor, $5-1=4$ și $0-3=-3$: $$AB=\sqrt{(5-1{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5\text{(2 p)}.$$ Punctele $B(5,0)$ și $C(5,5)$ au aceeași abscisă, deci $$BC=\sqrt{0^2+(5-0{)}^2}=5.\text{ Cum }AB=BC=5,\text{ triunghiul }ABC\text{ este }\mathbf{isoscel}\text{(3 p)}.$$

(Probă: a treia latură este $AC=\sqrt{(5-1{)}^2+(5-3{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\approx 4,47$, diferită de $5$, deci triunghiul nu este echilateral; vârful isoscelului este $B$. Capcană: în formula distanței se scade, $\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$; sau se scriu coordonatele fără diferențe, $\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — tangenta într-un triunghi dreptunghic.

Triunghiul are unghiul drept la vârful $A$; ipotenuza este așadar $BC=5$, iar catetele sunt $AB=3$ și $AC$. Teorema lui Pitagora dă $$AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=\sqrt{25-9}=4\text{(3 p)}.$$ Tangenta unghiului $B$ este cateta opusă supra cateta alăturată: $$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3^2+4^2=25=5^2$. Capcană: raportul se scrie invers, $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$; sau se împarte la ipotenuză, $\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$, care este $\sin B$; sau $AC$ se află prin diferența laturilor, $5-3=2$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A(x)$ cu $2^x$.

a) (5 p) Pentru $x=2$, $2^2=4$, deci $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right),\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right|=1\cdot 4-0\cdot 0\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=4-0=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: în loc de $2^x$ se pune $x$ și iese $A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $2$; sau diagonalele se amestecă, $0\cdot 0-1\cdot 4=-4$.)

b) (5 p) Se calculează $A(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 8\end{array}\right)$ și $2A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$, deci $$A(3)+2A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 12\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $3A(2)=3\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 12\end{array}\right)$, adică $$A(3)+2A(1)=3A(2)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: pe diagonala a doua trebuie $2^3+2\cdot 2^1=3\cdot 2^2$, adică $8+4=12$. Capcană: factorul $2$ se aplică doar elementului $2^x$ și iese $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 12\end{array}\right)$; sau $2^3$ se calculează ca $6$ și suma devine $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 10\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Produsul a două matrice diagonale se face element cu element pe diagonală: $$A(x)\cdot A\left(x^2\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^x\cdot 2^{x^2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2^{x+x^2}\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $I_2$ cere $2^{x+x^2}=1=2^0$, adică $x+x^2=0$, deci $x(x+1)=0$ și $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=-1\text{(3 p)}.$$

(Observație: $A(x)\cdot A(y)=A(x+y)$, de aceea $A(x)\cdot A\left(x^2\right)=A\left(x+x^2\right)$, iar $I_2=A(0)$. Probă: pentru $x=-1$, $A(-1)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& \frac{1}{2}\cdot 2\end{array}\right)=I_2$. Capcană: exponenții se înmulțesc, $2^{x\cdot x^2}=2^{x^3}$, și iese doar $x=0$; sau se scrie $x+x^2=1$, ca și cum $2^{\dots }=1$ ar cere exponentul $1$, dar $2^1=2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=3$ în definiție: $$2\circ 3=2\cdot 3-2-3+2\text{(3 p)}.$$ $$2\circ 3=6-2-3+2=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: toate semnele devin plus, $6+2+3+2=13$; sau ultimul $+2$ se scrie $-2$ și iese $-1$.)

b) (5 p) Pentru orice număr real $x$, $$x\circ 4=x\cdot 4-x-4+2=3x-2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $3x-2=x+6$ dă $2x=8$, deci $$\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$

(Probă: $4\circ 4=16-4-4+2=10=4+6$. Capcană: semnul lui $-4$ se schimbă, $4x-x+4+2=3x+6$, iar ecuația $3x+6=x+6$ ar da $x=0$, valoare pentru care $0\circ 4=-2\ne 6$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $x-2$ și $y$ cu $x+2$: $$(x-2)\circ (x+2)=(x-2)(x+2)-(x-2)-(x+2)+2=x^2-2x-2\text{(2 p)}.$$ Se completează pătratul: $x^2-2x-2=(x-1{)}^2-3$. Cum $(x-1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$, $$(x-2)\circ (x+2)=(x-1{)}^2-3\ge -3,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $x\circ y=(x-1)(y-1)+1$, deci $(x-2)\circ (x+2)=(x-3)(x+1)+1=x^2-2x-2$. Valoarea $-3$ se atinge, în $x=1$: $(-1)\circ 3=-3$. Capcană: pătratul se completează cu $-1$, $(x-1{)}^2-1$, ceea ce ar da $\ge -1$; dar în $x=1$ expresia are valoarea $-3<-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu exponențială.

a) (5 p) Se aplică regula câtului, cu $u=e^x$ și $v=x^2-3$, $v^{\prime }=2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\left(x^2-3\right)-e^x\cdot 2x}{{\left(x^2-3\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se scoate $e^x$ factor comun: $$f^{\prime }(x)=\frac{{\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}\left({\mathbf{x}}^2-2x-3\right)}{{\left({\mathbf{x}}^2-3\right)}^2},x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Capcană: în numărător se adună, $e^x\left(x^2-3\right)+e^x\cdot 2x$, și iese $x^2+2x-3$; sau $-3$ își schimbă semnul, $x^2-2x+3$.)

b) (5 p) Pe $(2,+\infty )$, $x^2-3>0$, iar $e^x$ se simplifică: $$\frac{xf(x)}{e^x}=\frac{x\cdot \frac{e^x}{x^2-3}}{e^x}=\frac{x}{x^2-3}\text{(3 p)}.$$ Se dă $x$ factor comun la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{x^2-3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x\left(1-\frac{3}{x^2}\right)}=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $x=1000$, fracția este $\frac{1000}{999997}\approx 0,001$. Capcană: se spune că fracția tinde la $\infty$, fiindcă numărătorul crește, dar numitorul, de gradul al doilea, crește mai repede; sau $e^x$ se înmulțește în loc să se simplifice, $x{e}^{2x}/\left(x^2-3\right)$.)

c) (5 p) Derivata se anulează când $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0$, adică $x=3$ sau $x=-1$; doar $x=3$ aparține intervalului $(2,+\infty )$. Cum $e^x>0$ și ${\left(x^2-3\right)}^2>0$, semnul lui $f^{\prime }$ este semnul lui $(x-3)(x+1)$, adică al lui $x-3$ pe acest interval: $f^{\prime }\le 0$ pe $(2,3]$, deci $f$ scade, și $f^{\prime }\ge 0$ pe $[3,+\infty )$, deci $f$ crește (3 p).

Minimul lui $f$ este deci $f(3)=\frac{e^3}{9-3}=\frac{e^3}{6}$, iar $f(x)\ge \frac{e^3}{6}$ pe tot intervalul. Se împarte cu $e^3>0$: $$\frac{e^x}{x^2-3}\ge \frac{e^3}{6}⟹\frac{{\mathbf{e}}^{\mathbf{x}-3}}{{\mathbf{x}}^2-3}\ge \frac{1}{6},\text{ pentru orice }x\in (2,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: în $x=3$ avem egalitate, $\frac{e^0}{6}=\frac{1}{6}$. Capcană: minimul se caută la capătul stâng, $f(2)=e^2\approx 7,39$, dar $\frac{e^3}{6}\approx 3,35$ este mai mic, fiindcă $6>e$; la capătul $x=2$ funcția încă scade.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu logaritm.

a) (5 p) Din $f(x)=x+\ln x$ rezultă $f(x)-\ln x=x$. Atunci $${\int }_2^4\left(f(x)-\ln x\right)dx={\int }_2^{4}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_2^4\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{16}{2}-\frac{4}{2}=8-2=6\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $\ln x$ se adună în loc să se scadă, $x+2\ln x$; sau se scade $x$ în loc de $\ln x$ și se integrează $\ln x$, ceea ce dă $6\ln 2-2$.)

b) (5 p) Numărătorul este $f(x)-x=\ln x$, deci integrandul este $\frac{\ln x}{x}=\ln x\cdot (\ln x{)}^{\prime }$, adică derivata lui $\frac{{\ln }^{2}x}{2}$: $${\int }_1^e\frac{f(x)-x}{x}dx={\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{{\ln }^{2}e}{2}-\frac{{\ln }^{2}1}{2}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left(\frac{{\ln }^{2}x}{2}\right)}^{\prime }=\frac{\ln x}{x}$. Capcană: primitiva se alege $\ln x$, a cărei derivată este $\frac{1}{x}$; sau ${\ln }^{2}x$ fără factorul $\frac{1}{2}$, a cărei derivată este $\frac{2\ln x}{x}$.)

c) (5 p) Integrala lui $\ln x$ se află prin părți: $\int \ln xdx=x\ln x-x$. Atunci, pentru orice număr natural nenul $n$, $${\int }_1^n(x+\ln x)dx=\left(\frac{x^2}{2}+x\ln x-x\right){|}_1^n=\frac{n^2}{2}+n\ln n-n+\frac{1}{2}=\frac{(n-1{)}^2}{2}+n\ln n\text{(3 p)}.$$ Ecuația $\frac{(n-1{)}^2}{2}+n\ln n=2+3\ln n$ se rescrie $\frac{(n-1{)}^2-4}{2}+(n-3)\ln n=0$, adică $\frac{(n-3)(n+1)}{2}+(n-3)\ln n=0$, deci $$(n-3)\left(n+1+2\ln n\right)=0.$$ Pentru $n\ge 1$ avem $\ln n\ge 0$, deci $n+1+2\ln n\ge 2>0$; rămâne $n-3=0$, adică $$\mathbf{n}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $n=3$, $\frac{(3-1{)}^2}{2}+3\ln 3=2+3\ln 3$. Capcană: primitiva lui $\ln x$ se scrie $x\ln x$, fără $-x$; atunci ecuația devine $\frac{n^2-5}{2}+(n-3)\ln n=0$, care nu are nicio soluție naturală.)

Pentru părinți și profesori

Ai în față simularea Bacalaureatului 2024 la matematică, pentru filiera tehnologică. Pe foaia oficială, locul numărului de variantă îl ține cuvântul „Simulare"; titlul din antet este Matematică M_tehnologic („M3", pe scurt, în clasă), iar emitentul este Ministerul Educației, prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Candidații vizați sunt cei din profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale. Fiecare enunț e reprodus fără nicio modificare. Soluțiile, probele, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi, iar fiecare rând de barem își păstrează punctajul oficial.

De ce o simulare merită tratată ca o probă adevărată. Foaia respectă construcția lucrării de examen: o primă parte cu șase exerciții scurte, apoi două subiecte cu câte două probleme de trei subpuncte. Se potrivește deci pentru un test de verificare, făcut în condițiile reale, cu ceasul pornit.

Cerințele pe scurt, cu clasa la care le așază programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Zecimalele și fracțiile combinate într-o paranteză țin, în programa de examen, de clasa a IX-a. În programa școlară nouă (la clasa a IX-a din anul școlar 2026–2027) nu au o unitate proprie. Candidații din 2027–2029 au parcurs clasele a IX-a și a X-a pe programa veche, iar materia lor stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuația cu radical de la cerința 3 și ecuația $2^{x+x^2}=1$ de la 7.c) sunt materie de clasa a X-a (ecuații cu radicali, ecuații exponențiale). Programa școlară nouă lasă ecuațiile la rezolvarea grafică sau digitală, așa că ridicarea la pătrat însoțită de verificare și egalarea exponenților nu sunt tratate acolo; ambele metode se găsesc în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Scumpirea cu $50\%$ ține de calculul procentual din clasa a X-a (matematici financiare); programa școlară nouă pomenește procentul numai ca exemplu, fără unitate proprie. Vezi „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Cerința 5 (distanța dintre două puncte în reper) e pusă de programa de examen la clasa a X-a, dar elevii o învață la a IX-a, după programa nouă. Cerința 6 (triunghiul dreptunghic) merge invers: la examen aparține clasei a IX-a, iar programa nouă o așază în clasa a X-a. Nicio greșeală aici, ci un decalaj între cele două programe.

Ce a avut caracteristic simularea. La Subiectul I ecuația cu radical are două soluții, $0$ și $-2$, și ambele trebuie verificate; la cerința 5 triunghiul este isoscel cu vârful în $B$, nu în $A$, deci contează cu ce laturi se compară. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are pe diagonală $1$ și $2^x$, iar produsul $A(x)\cdot A(y)$ este tot de același tip, cu $2^{x+y}$; în rest, legea de compoziție se poate scrie $x\circ y=(x-1)(y-1)+1$, ceea ce explică și valoarea minimă $-3$ de la c). La Subiectul al III-lea, funcția $f(x)=\frac{e^x}{x^2-3}$ are minimul în $x=3$, valoare folosită la c), iar la a doua problemă numărul natural $n$ apare simultan în limita de sus și în logaritm.

Cum lucrezi simularea, pas cu pas:

• Ceasul: trei ore, fără calculator. Cu 20 de minute puse deoparte pentru recitire, ți se cuvin 160 pentru 90 de puncte, adică puțin sub două minute pe punct.
• Scrisul: soluțiile se redactează integral. Fiecare subpunct are în barem două rânduri ($3+2$ sau $2+3$ puncte); partea făcută dintr-o rezolvare neterminată poate fi apreciată în limita unui rând.
• Antetul baremului, rezumat: se admite orice rezolvare corectă, și cea diferită de a baremului; nu există fracțiuni de punct; nota este totalul supra zece. Cele 10 puncte din oficiu fac din 50 de puncte nota 5, iar 40 din ele vin de la cerințe.
• Puncte de atenție în redactare: la cerința 3, verificarea ambelor soluții în ecuația cu radical; la 5, calculul ambelor laturi între care se cere egalitatea; la 7.c), adunarea exponenților la produsul puterilor lui $2$; la 9.c), precizarea că $x=-1$ nu aparține intervalului $(2,+\infty )$; la 10.c), justificarea că factorul $n+1+2\ln n$ este pozitiv.
• Cu nota în mână: fiecare subpunct pierdut se leagă de un rând din tabelul de mai sus, cu o însemnare despre ce a lipsit: formula, calculul sau ideea de pornire.

Ce arată un scor. Un total sub 40 de puncte din 90 nu atinge nota 5; atunci se reiau Subiectul I și subpunctele a) și b), lucrate direct din definiții. Între 40 și 65 de puncte, baza există, iar ce lipsește se poate căuta mai întâi la subpunctele c). Ce depășește 65 de puncte pune în prim-plan viteza și curățenia scrisului.

Formulele întâlnite în simulare:

• Subiectul I. $\sqrt{u}=v$ cu $v\ge 0$ duce la $u=v^2$, iar soluțiile se verifică; după o scumpire cu $p\%$, prețul este prețul inițial înmulțit cu $1+\frac{p}{100}$; într-un triunghi dreptunghic, $\mathrm{tg}$ unui unghi ascuțit este cateta opusă supra cateta alăturată; teorema lui Pitagora leagă laturile triunghiului dreptunghic.
• Subiectul al II-lea. $2^u\cdot 2^v=2^{u+v}$ și $2^u=1⟺u=0$; o lege $x\circ y=xy-x-y+2$ se calculează prin înlocuire directă, iar $x\circ y=(x-1)(y-1)+1$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe un interval și $f^{\prime }\ge 0$ pe următorul, minimul e în punctul comun; $\int \frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}$; $\int \ln xdx=x\ln x-x$.

Despre litere. Trei funcții poartă numele $f$: $f(x)=2x+3$ la cerința 2, $f(x)=\frac{e^x}{x^2-3}$ la 9 și $f(x)=x+\ln x$ la 10. Litera $a$ este necunoscută la cerința 2. $A$ denumește trei lucruri diferite: un punct la cerința 5, un vârf la cerința 6 și o matrice la cerința 7. La 10.c), $n$ este număr natural nenul.

Baremul numește „item" fiecare cerință, iar titlurile de mai jos preiau acest cuvânt; în comentarii apare și „cerința".