Subiect Bac matematică tehnologic, august 2020 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2020 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=\frac{399}{4}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=10-x$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_7\left(x^2+13\right)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $20\%$, prețul unei tablete este $800$ de lei. Determinați prețul tabletei înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$ și $B(2,7)$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$. Calculați lungimea segmentului $AM$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2{\sin }^{2}30^{\circ }-{\sin }^{2}45^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 1\\ 1& a-1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=-2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a)\cdot A(-a)=\left(2-a^2\right)I_2$, pentru orice număr real $a$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, știind că $A(1)\cdot X=A(2)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x^2+xy-x-y+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $3\ast 2=11$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast (-x)=1$, pentru orice număr real $x$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2^x\ast 4=1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+2x+3}{x^2+2x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^2+4}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+4}dx=\frac{5}{2}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f^2(x)-1\right)dx=2\ln \frac{5}{4}$.

c) (5 puncte) Determinați $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, primitiva lui $f$ pentru care $F(0)=0$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I: 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p). Subiectul al II-lea: 30 p (cerințele 7 și 8). Subiectul al III-lea: 30 p (cerințele 9 și 10). La cerințele 7–10, fiecare subpunct are 5 p, în două rânduri. Împărțirea pe rânduri a punctelor vine din documentul oficial din august 2020 (Varianta 3); tot restul, adică rezolvările, explicațiile și probele, e scris de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — produs cu fracții.

Cele două paranteze au forma $(a+b)(a-b)$, cu $a=10$ și $b=\frac{1}{2}$, deci produsul este o diferență de pătrate: $$\left(10+\frac{1}{2}\right)\left(10-\frac{1}{2}\right)=10^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=100-\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ Se aduce la numitorul $4$: $\frac{400}{4}-\frac{1}{4}=\frac{399}{4}$ (2 p).

(Altă cale: $10+\frac{1}{2}=\frac{21}{2}$ și $10-\frac{1}{2}=\frac{19}{2}$, iar $\frac{21}{2}\cdot \frac{19}{2}=\frac{399}{4}$. Capcană: pătratul lui $\frac{1}{2}$ se scrie $\frac{1}{2}$ în loc de $\frac{1}{4}$; atunci rezultatul ar fi $100-\frac{1}{2}=\frac{199}{2}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punctul comun a două grafice.

Punctul de intersecție are aceeași ordonată pe ambele grafice, deci abscisa lui verifică $f(x)=g(x)$. Egalitatea devine $2x+1=10-x$; termenii cu $x$ trec într-un membru, iar numerele în celălalt: $2x+x=10-1$ (3 p). Rezultă $3x=9$, deci abscisa este $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Probă: $f(3)=7$ și $g(3)=7$, deci punctul comun este $(3,7)$. Capcană: semnul lui $10-x$ se pierde și se rezolvă $2x+1=x-10$, de unde $x=-11$; dar $f(-11)=-21$, iar $g(-11)=21$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Egalitatea ${\log }_{7}u=2$ spune că $u=7^2$, cu $u=x^2+13$: $$x^2+13=7^2=49,\text{adica˘}{x}^2-36=0\text{(3 p)}.$$ Soluțiile sunt $x=-6$ și $x=6$; pentru ambele, $x^2+13=49>0$, deci argumentul logaritmului este pozitiv și convin amândouă: $\mathbf{x}\in \{-6,6\}$ (2 p).

(Probă: ${\log }_{7}49=2$, deoarece $7^2=49$. Capcană: $7^2$ se calculează ca $2\cdot 7=14$, iar ecuația $x^2+13=14$ ar da $x=\pm 1$; dar ${\log }_{7}14\approx 1,36$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire în procente.

Fie $p$ prețul inițial al tabletei, în lei. Prețul de acum este $p$ minus ieftinirea, adică minus $20\%$ din $p$: $$p-\frac{20}{100}\cdot p=800\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{4}{5}p$, așa că $p=800\cdot \frac{5}{4}=1000$ de lei (2 p).

(Probă: $20\%$ din $1000$ este $200$, iar $1000-200=800$. Capcană: procentul se aplică prețului de acum; $20\%$ din $800$ este $160$ și $800+160=960$, dar $960$ ieftinit cu $20\%$ dă $768$, nu $800$.)

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment.

Punctele $A$ și $B$ au aceeași abscisă, $2$, deci segmentul $AB$ este vertical, iar lungimea lui este diferența ordonatelor: $$AB=7-1=6\text{(2 p)}.$$ Punctul $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $AM$ este jumătate din $AB$: $AM=\frac{6}{2}=3$ (3 p).

(Altă cale: mijlocul este $M(2,4)$, iar distanța de la $A(2,1)$ la $M$ este $4-1=3$. Capcană: se ia $AM$ egal cu $AB$, adică $6$; dar $M$ nu este capătul $B$, ci punctul aflat la jumătatea drumului.)

Exercițiul 6. (5 p) — pătratele unor sinusuri.

Valorile folosite sunt $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (2 p). Se ridică la pătrat și se calculează: $$2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=2\cdot \frac{1}{4}-\frac{2}{4}=\frac{2}{4}-\frac{2}{4}=0\text{(3 p)}.$$

(Capcană: la ${\sin }^{2}45^{\circ }$ se ridică la pătrat numai numărătorul și se obține $\frac{2}{2}=1$, nu $\frac{2}{4}$; atunci expresia ar fi $\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$, nu $0$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=0$, elementele sunt $0+1=1$, $1$, $1$ și $0-1=-1$, deci $A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $$\det A(0)=1\cdot (-1)-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A(0)=-1-1=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: al doilea produs se adună în loc să se scadă, $1\cdot (-1)+1\cdot 1=0$, ceea ce ar face matricea singulară.)

b) (5 p) Se scrie $A(-a)=\left(\begin{array}{cc}-a+1& 1\\ 1& -a-1\end{array}\right)$ și se înmulțesc matricele, linie cu coloană: $$A(a)\cdot A(-a)=\left(\begin{array}{cc}(a+1)(1-a)+1& (a+1)-(a+1)\\ (1-a)+(a-1)& 1-(a-1)(a+1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2-a^2& 0\\ 0& 2-a^2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementele nenule sunt egale, deci matricea este $\left(2-a^2\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(2-a^2\right)I_2$, pentru orice $a\in \mathbb{R}$ (2 p).

(Altă cale: $A(a)=a{I}_2+A(0)$, iar $A(0)\cdot A(0)=2I_2$; atunci $\left(a{I}_2+A(0)\right)\left(-a{I}_2+A(0)\right)=-a^2{I}_2+2I_2$. Capcană: $A(-a)$ se obține schimbând semnul tuturor elementelor lui $A(a)$; dar $A(-a)$ are în stânga sus $-a+1$, iar $-A(a)$ are $-a-1$.)

c) (5 p) Matricea $A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ are determinantul $2\cdot 0-1\cdot 1=-1$, nenul, deci este inversabilă, iar inversa ei este $$A(1{)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește egalitatea $A(1)\cdot X=A(2)$ cu inversa, la stânga, și se folosește $A(2)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$: $$X=A(1{)}^{-1}\cdot A(2)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right),\text{deci}\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: subpunctul b) cu $a=1$ dă $A(1)\cdot A(-1)=I_2$, deci inversa lui $A(1)$ este chiar $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$. Probă: $A(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+1\cdot 1& 2\cdot 1+1\cdot (-1)\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=A(2)$. Capcană: se uită factorul $\frac{1}{-1}$ din formula inversei; atunci se obține $-X$, iar $A(1)\cdot (-X)=-A(2)$, nu $A(2)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție cu $\ast$.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=3$ și $y=2$ în definiție: $$3\ast 2=3^2+3\cdot 2-3-2+1\text{(3 p)}.$$ $$3\ast 2=9+6-3-2+1=11\text{(2 p)}.$$

(Capcană: argumentele se pun invers, $x=2$ și $y=3$; legea nu este comutativă, iar $2\ast 3=4+6-2-3+1=6$, nu $11$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $y=-x$ în definiție: $$x\ast (-x)=x^2+x\cdot (-x)-x-(-x)+1\text{(3 p)}.$$ $$x\ast (-x)=x^2-x^2-x+x+1=1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$

(Capcană: semnul din $-(-x)$ nu se schimbă, ci se scrie $-x$; atunci s-ar obține $x^2-x^2-x-x+1=1-2x$, care depinde de $x$.)

c) (5 p) Se notează $t=2^x$, număr pozitiv, iar $2^x\ast 4$ devine $t\ast 4=t^2+4t-t-4+1$. Ecuația $t\ast 4=1$ se aduce la $t^2+3t=4$. Discriminantul este $\Delta =9+16=25$, iar rădăcinile sunt $t=\frac{-3\pm 5}{2}$, adică $t=-4$ sau $t=1$ (3 p). Cum $t=2^x>0$, rămâne $t=1$, adică $2^x=1$, de unde $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Probă: $2^0\ast 4=1\ast 4=1+4-1-4+1=1$. Capcană: se reține și $t=-4$, ca și cum o putere a lui $2$ ar putea fi negativă; dar $2^x>0$ pentru orice $x$, deci valoarea $-4$ nu corespunde niciunui exponent real.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție rațională.

a) (5 p) Se derivează câtul după formula ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, unde $u$ este numărătorul lui $f$ și $v$ numitorul; ambele derivate sunt egale cu $2x+2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x+2)\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2+2x+3\right)(2x+2)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se scoate $2x+2$ factor comun; în paranteză, $x^2+2x+2-x^2-2x-3=-1$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{-2(x+1)}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=1+\frac{1}{x^2+2x+2}$, iar derivata lui $\frac{1}{x^2+2x+2}$ este $-\frac{2x+2}{{\left(x^2+2x+2\right)}^2}$. Capcană: numărătorul se scrie $u{v}^{\prime }-u^{\prime }v$, cu ordinea inversată, și derivata iese cu semn opus.)

b) (5 p) Se împarte numărătorul și numitorul la $x^2$, cea mai mare putere: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}}=1\text{(3 p)}.$$ Limita la $+\infty$ este finită, iar graficul are asimptota orizontală $\mathbf{y}=1$ când $x\to +\infty$ (2 p).

(Capcană: se compară doar termenii liberi, $3$ și $2$, și se afirmă limita $\frac{3}{2}$; dar la $+\infty$ domină termenii cu $x^2$, iar termenii liberi nu mai contează.)

c) (5 p) Din a), $f^{\prime }(x)=0$ numai pentru $x=-1$. Pe $(-\infty ,-1]$ avem $-2(x+1)\ge 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește; pe $[-1,+\infty )$ avem $f^{\prime }\le 0$, deci $f$ scade (3 p). Valoarea maximă este $f(-1)=\frac{1-2+3}{1-2+2}=2$. Limitele la $-\infty$ și la $+\infty$ sunt egale cu $1$, iar $f(x)=1+\frac{1}{(x+1{)}^2+1}>1$ pentru orice $x$, deci valoarea $1$ nu se atinge. Funcția fiind continuă, ea ia toate valorile între $1$ (neatinsă) și $2$: $\mathrm{Im}\mathbf{f}=(1,2]$ (2 p).

(Altă cale: $(x+1{)}^2+1$ ia toate valorile din $[1,+\infty )$, deci $\frac{1}{(x+1{)}^2+1}$ ia toate valorile din $(0,1]$, iar $f$ ia valorile din $(1,2]$. Capcană: se scrie $\mathrm{Im}f=[1,2]$; egalitatea $f(x)=1$ ar cere $\frac{1}{x^2+2x+2}=0$, imposibilă.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical.

a) (5 p) Radicalul se simplifică: $f(x)\sqrt{x^2+4}=x+2$, pentru orice $x$, deci integrala devine $${\int }_0^{1}f(x)\sqrt{x^2+4}dx={\int }_0^1(x+2)dx\text{(2 p)}.$$ $${\int }_0^1(x+2)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_0^1=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$, fără $\frac{1}{2}$; atunci rezultatul ar fi $1+2=3$, nu $\frac{5}{2}$.)

b) (5 p) Pătratul funcției are numărătorul $(x+2{)}^2=x^2+4x+4$ și numitorul $x^2+4$, deci $$f^2(x)-1=\frac{4x}{x^2+4},{\int }_0^1\left(f^2(x)-1\right)dx={\int }_0^1\frac{4x}{x^2+4}dx\text{(2 p)}.$$ Numărătorul $4x$ este de două ori derivata numitorului, deci o primitivă este $2\ln \left(x^2+4\right)$. Valorile ei la capete dau $2\ln 5-2\ln 4$, iar diferența logaritmilor este logaritmul câtului: rezultatul este $2\ln \frac{5}{4}$ (3 p).

(Capcană: $(x+2{)}^2$ se scrie $x^2+4$, fără termenul dublu; atunci $f^2(x)-1=0$ și integrala ar fi $0$, în loc de $2\ln \frac{5}{4}\approx 0,45$.)

c) (5 p) Primitiva cu $F(0)=0$ este $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$. Funcția se desparte în doi termeni, $f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}+\frac{2}{\sqrt{t^2+4}}$, cu primitivele $\sqrt{t^2+4}$ și $2\ln \left(t+\sqrt{t^2+4}\right)$: $$F(x)=\left(\sqrt{t^2+4}+2\ln \left(t+\sqrt{t^2+4}\right)\right){|}_0^x\text{(3 p)}.$$ La limita $0$, valoarea este $\sqrt{4}+2\ln 2=2+2\ln 2$, deci $$F(x)=\sqrt{{\mathbf{x}}^2+4}+2\ln \left(\mathbf{x}+\sqrt{{\mathbf{x}}^2+4}\right)-2-2\ln 2,x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $F(0)=2+2\ln 2-2-2\ln 2=0$, iar derivata este $f(x)$, fiindcă ${\left(\ln \left(x+\sqrt{x^2+4}\right)\right)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$. Capcană: se uită scăderea valorii din $0$; atunci $F(0)$ ar fi $2+2\ln 2\approx 3,39$, nu $0$.)

Pentru părinți și profesori

Aici se află Varianta 3 a probei de matematică M_tehnologic din sesiunea de august 2020, rezolvată integral. Foaia cuprinde filiera tehnologică, cu toate cele trei profiluri enumerate în antet, iar sus numește Ministerul Educației și Cercetării și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile sunt reproduse exact. Rezolvările, probele, observațiile și ghidajul sunt textul nostru; baremul oficial ne-a dat numai felul de a împărți punctele pe rânduri.

Cum se adună cele 90 de puncte. Șase cerințe de câte 5 puncte (Subiectul I) fac 30; patru probleme de câte 15 puncte, două la Subiectul al II-lea și două la Subiectul al III-lea, fac restul de 60. Primele probleme de la II și III (matrice, respectiv funcție rațională) se cer din clasa a XI-a, iar celelalte două (lege de compoziție, respectiv integrale) din clasa a XII-a. Din oficiu se adaugă 10 puncte, deci lucrarea ajunge la 100.

Tabelul cerințelor

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Trei lucruri de verificat în programa de examen. (1) Cerința 2 revine la „interpretarea grafică a unor ecuații de forma $f(x)=g(x)$", care figurează în programa clasei a IX-a. (2) Ecuația exponențială de la 8.c) se rezolvă printr-o substituție care duce la o ecuație algebrică; programa clasei a X-a trece „utilizarea unor substituții care conduc la rezolvarea de ecuații algebrice" printre metodele de rezolvare. (3) La 10.c) apare primitiva inversului radicalului din numitor, un logaritm cu radical în argument; programa de examen spune doar „primitive uzuale", fără listă, iar documentul oficial de evaluare folosește exact această primitivă.

Cum se leagă subpunctele. La problema 7, produsul din b) este diagonal, $\left(2-a^2\right)I_2$, iar de aceea determinantul și inversa de la c) se calculează repede. La problema 8, subpunctul b) arată că $x\ast (-x)$ nu depinde de $x$, apoi c) înlocuiește o putere a lui $2$ în definiție. La 9, derivata din a) dă monotonia de la c), iar aceasta, împreună cu limita de la b), delimitează mulțimea valorilor. La 10, radicalul din enunț se simplifică la a), dispare prin ridicarea la pătrat la b) și rămâne în primitiva de la c).

Timp și notă. Timpul de lucru efectiv este de trei ore. Cu 15 minute lăsate pentru recitire, rămân 165 de minute pe cele 90 de puncte ale cerințelor, adică aproape două minute pe punct. Documentul oficial recunoaște orice soluție corectă și nu fracționează punctele; nota se află împărțind totalul la 10, așa că, împreună cu oficiul, nota 9 cere 80 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

Locuri în care calculul poate aluneca la scris: la cerința 1, pătratul lui $\frac{1}{2}$ scris $\frac{1}{2}$; la cerința 4, procentul luat din prețul de acum; la 7.c), uitarea împărțirii la determinant când se scrie inversa; la 8.b), semnul termenului $-(-x)$; la 8.c), reținerea unei valori negative pentru o putere a lui $2$; la 9.c), valoarea $1$ inclusă în mulțimea valorilor; la 10.c), constanta uitată, deși $F(0)$ trebuie să fie $0$.

Un plan în trei pași. Mai întâi, rezolvă Subiectul I în cel mult o oră și notează cerințele în care ai ezitat. Apoi alege dintre problemele de 15 puncte pe cea la care te simți mai sigur și încheie-o cu probă. La final, lasă ultimele minute pentru verificarea rezultatelor: egalități de matrice, soluții care convin, intervale cu capetele incluse sau nu.

Formule folosite în varianta 3

• Subiectul I. $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$; punctul comun al graficelor lui $f$ și $g$ are abscisa din $f(x)=g(x)$; ${\log }_{a}u=n$ dă $u=a^n$, cu $u>0$; $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; inversa unei matrice $2\times 2$ de determinant $d\ne 0$ este $\frac{1}{d}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; o putere a lui $2$ este pozitivă, oricare ar fi exponentul real.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; la $+\infty$ se împarte la cea mai mare putere; ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$; derivata unui radical de ordinul $2$ este derivata radicandului împărțită la dublul radicalului.

Cuvântul „itemul" din titlurile următoare vine din documentul oficial, unde numește cerința. Litera $f$ are trei sensuri: funcția afină de la cerința 2, fracția de la 9 și fracția cu radical de la 10; litera $A$ este punct la cerința 5 și matrice la 7, iar $a$ este parametrul matricei la 7 (în formula de la cerința 1, $a$ și $b$ țin locul numerelor din paranteze); litera $t$ notează puterea $2^x$ la 8.c) și variabila de integrare la 10.c).