Subiect Bac matematică tehnologic, august 2014 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Pentru $a=3$ arătați că $\frac{a}{2}-\frac{2}{a}=\frac{5}{6}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+5}=3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unei imprimante este $120$ de lei. Determinați prețul imprimantei după o scumpire cu $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În sistemul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,2)$, $B(2,5)$ și $C(6,5)$. Determinați perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos A$ știind că $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și unghiul $A$ este ascuțit.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}b& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, unde $b$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $b$ pentru care $A+B=AB+C$.

c) (5 puncte) Arătați că $\det (B+2C)=\det B-\det A$ pentru orice număr real $b$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-4X^2+X+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ prin $X-1$.

c) (5 puncte) Arătați că $\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=-2$ știind că $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe intervalul $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$.

c) (5 puncte) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este funcție crescătoare pe intervalul $(-1,+\infty )$.

Barem și răspunsuri

Lucrarea are 90 p la cerințe și 10 p din oficiu, în total 100 p. Subiectul I însumează 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p), Subiectul al II-lea 30 p (cerințele 7–8) și Subiectul al III-lea 30 p (cerințele 9–10). În documentul oficial fiecare cerință sau subpunct de 5 p are două rânduri, de 2 p și 3 p; marcajele „(2 p)" și „(3 p)" de mai jos le copiază în ordinea lor, iar rezolvările sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — diferență de fracții.

Valoarea $a=3$ intră în ambii termeni, inclusiv în numitorul celui de-al doilea: $$\frac{a}{2}-\frac{2}{a}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$ Numitorul comun este $6$, fiindcă $\frac{3}{2}=\frac{9}{6}$ și $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$: $$\frac{9}{6}-\frac{4}{6}=\frac{5}{6}\text{(3 p)}.$$

(Probă: înmulțite cu $6$, cele două fracții dau $6\cdot \frac{3}{2}-6\cdot \frac{2}{3}=9-4=5$, iar $6\cdot \frac{5}{6}=5$. Capcană: scăderea făcută separat pe numărători și pe numitori, $\frac{3-2}{2-3}=-1$, nu este scăderea fracțiilor.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Într-un punct comun cele două grafice au aceeași ordonată, deci abscisa lui îndeplinește $f(x)=g(x)$: $$2x-3=x+1\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $x$ trec în stânga, numerele în dreapta: $2x-x=1+3$, adică $$\mathbf{x}=4\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(4)=2\cdot 4-3=5$ și $g(4)=4+1=5$; punctul comun este $(4,5)$. Capcană: ecuația $f(x)=0$ dă intersecția cu axa $Ox$, adică $x=\frac{3}{2}$, iar $g(x)=0$ dă $x=-1$; niciuna nu este intersecția dintre cele două grafice.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul este nenegativ și $3>0$, deci egalitatea se poate ridica la pătrat; ${\left(\sqrt{x^2+5}\right)}^2=x^2+5$, iar $3^2=9$: $$x^2+5=9\text{(2 p)}.$$ Rămâne $x^2=4$, adică $x=-2$ sau $x=2$. Pentru fiecare valoare, $\sqrt{(\pm 2{)}^2+5}=\sqrt{9}=3$, deci ambele convin: $$\mathbf{x}\in \{-2,2\}\text{(3 p)}.$$

(Condiția de existență este îndeplinită pentru orice $x$, fiindcă $x^2+5>0$. Capcană: dacă se ridică la pătrat doar membrul stâng, ar rămâne $x^2+5=3$, adică $x^2=-2$, ecuație fără soluții reale, deși ecuația dată are două.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire procentuală.

Scumpirea este $10\%$ din prețul de $120$ de lei: $$\frac{10}{100}\cdot 120=12\text{lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul nou este prețul vechi plus scumpirea: $$120+12=132\text{de lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{132}{120}=\frac{11}{10}$, adică $110\%$ din prețul inițial. Capcană: se scade scumpirea, $120-12=108$, iar rezultatul este prețul după o ieftinire cu $10\%$.)

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi în coordonate.

Punctele $A(2,2)$ și $B(2,5)$ au aceeași abscisă, deci $AB$ este vertical și lungimea lui este diferența ordonatelor, $5-2=3$. Punctele $B(2,5)$ și $C(6,5)$ au aceeași ordonată, deci $BC=6-2=4$. Latura rămasă are nevoie de formula distanței: $$AC=\sqrt{(6-2{)}^2+(5-2{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25},\text{deci}AB=3,BC=4,AC=5\text{(3 p)}.$$ Perimetrul este suma laturilor: $$P_{ABC}=3+4+5=12\text{(2 p)}.$$

(Probă: $A{B}^2+B{C}^2=9+16=25=A{C}^2$, deci triunghiul este dreptunghic în $B$. Capcană: se adună coordonatele, când trebuia să se scadă, $\sqrt{(6+2{)}^2+(5+2{)}^2}=\sqrt{113}$, număr care nu este $5$.)

Exercițiul 6. (5 p) — cosinus din sinus.

Din ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ rezultă $\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}$, cu semnul plus, fiindcă unghiul $A$ este ascuțit: $$\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\text{(3 p)}.$$ Sub radical rămâne $\frac{1}{4}$, iar radicalul lui este $\frac{1}{2}$: $$\cos A=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, deci unghiul $A$ are $60^{\circ }$. Capcană: radicalul din $\frac{1}{4}$ se scrie $\frac{1}{8}$, dar ${\left(\frac{1}{8}\right)}^2=\frac{1}{64}$, nu $\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — trei matrice $2\times 2$.

a) (5 p) La o matrice $2\times 2$, determinantul este diferența dintre produsul elementelor diagonalei principale și produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det A=1\cdot 0-2\cdot 1=-2\text{(3 p)}.$$

(Probă: liniile $(1,2)$ și $(1,0)$ nu sunt proporționale, deci determinantul nu poate fi $0$. Capcană: diagonalele luate în ordine inversă dau $2\cdot 1-1\cdot 0=2$, adică opusul rezultatului.)

b) (5 p) Se scriu cele trei matrice, cu produsul făcut rând cu coloană: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1+b& 2+b\\ 1& 1\end{array}\right),AB=\left(\begin{array}{cc}b& b+2\\ b& b\end{array}\right),AB+C=\left(\begin{array}{cc}b+1& b+2\\ b& b\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea a două matrice cere elemente egale pe aceeași poziție. Primele două poziții coincid pentru orice $b$; pe poziția a treia și a patra rămâne $1=b$: $$\mathbf{b}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $b=1$, $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar $AB+C=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 1\end{array}\right)$. Capcană: dacă produsul se face element cu element, $AB$ devine $\left(\begin{array}{cc}b& 2b\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar pe poziția din dreapta jos diferența dintre cele două părți ar rămâne $1$, nenulă pentru orice $b$.)

c) (5 p) Matricea $B+2C$ are $b+2$ în stânga sus, iar determinantul ei se calculează cu formula de la a): $$B+2C=\left(\begin{array}{cc}b+2& b\\ 0& 1\end{array}\right),\det (B+2C)=(b+2)\cdot 1-b\cdot 0=b+2\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $\det B=b\cdot 1-b\cdot 0=b$, iar $\det A=-2$ din a), deci $$\det B-\det A=b-(-2)=b+2=\det (B+2C)\text{(2 p)},$$ pentru orice număr real $b$, adică $\det (\mathbf{B}+2C)=\det \mathbf{B}-\det \mathbf{A}$.

(Probă: pentru $b=0$, $B+2C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ are determinantul $2$, iar $\det B-\det A=0+2=2$. Capcană: determinantul nu este liniar; $\det B+2\det C$ ar da $b+2\cdot 0=b$, valoare diferită de $b+2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$ în fiecare termen: $$f(1)=1^3-4\cdot 1^2+1+2\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-4+1+2=0\text{(2 p)}.$$

(Rezultatul arată că $1$ este rădăcină și că $f$ se împarte exact la $X-1$, lucru folosit la b). Capcană: $-4\cdot 1^2$ se citește ca $(-4\cdot 1{)}^2=16$, iar suma $1+16+1+2=20$ nu este $0$.)

b) (5 p) Schema lui Horner pentru rădăcina $1$ pornește de la coeficienții $1,-4,1,2$: primul coeficient coboară neschimbat, iar fiecare următor se adună cu rezultatul precedent înmulțit cu $1$. Se obține $1$, apoi $-4+1=-3$, apoi $1+(-3)=-2$. Aceștia sunt coeficienții câtului: $$\text{caˆtul este }{\mathbf{X}}^2-3X-2\text{(3 p)}.$$ Ultima adunare dă $2+(-2)=0$: $$\text{restul este }0\text{(2 p)}.$$

(Probă prin înmulțire: $(X-1)\left(X^2-3X-2\right)=X^3-3X^2-2X-X^2+3X+2=X^3-4X^2+X+2$. Capcană: dacă se pornește schema de la $-1$ în loc de $1$, prima adunare dă $-4+(-1)=-5$, adică alt cât, și restul $f(-1)=-4$, nu $0$.)

c) (5 p) Pentru $f=X^3-4X^2+X+2$, relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=4,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=1,x_1{x}_2{x}_3=-2\text{(3 p)}.$$ Cele trei inverse se aduc la numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$: $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{1}{-2}$. Produsul cerut este $$\left(x_1+x_2+x_3\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)=4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-2\text{(2 p)}.$$

(Probă cu rădăcinile exacte $1$, $\frac{3+\sqrt{17}}{2}$ și $\frac{3-\sqrt{17}}{2}$: suma lor este $4$, iar produsul lor este $1\cdot \frac{9-17}{4}=-2$. Capcană: produsul rădăcinilor se ia egal cu termenul liber, $x_1{x}_2{x}_3=2$, și valoarea ar ieși $4\cdot \frac{1}{2}=2$, nu $-2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — limită, derivate, convexitate.

a) (5 p) Funcțiile $x^2$ și $\ln x$ au limită în punctul $1$, care aparține domeniului, deci limita diferenței se scrie ca diferența limitelor: $$\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x^2-\ln x\right)\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiește $x=1$, cu $\ln 1=0$: $$1^2-\ln 1=1-0=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(1)=1$, deci limita coincide cu valoarea funcției. Capcană: $\ln 1$ se confundă cu $1$ și iese $1^2-1=0$.)

b) (5 p) Se derivează funcția dată, în fiecare punct al domeniului: $$f^{\prime }(x)={\left(x^2-\ln x\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata unei diferențe este diferența derivatelor, iar ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)={\left(x^2\right)}^{\prime }-(\ln x{)}^{\prime }=2x-\frac{1}{\mathbf{x}},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=2-1=1$. Capcană: derivata lui $\ln x$ se ia $x$, iar rezultatul ar fi $2x-x=x$, care nu este formula cerută.)

c) (5 p) Convexitatea se citește din derivata a doua, deci se derivează $f^{\prime }(x)=2x-\frac{1}{x}$ termen cu termen: $$f^{\prime \prime }(x)=(2x{)}^{\prime }-{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Derivata lui $2x$ este $2$, iar ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$, deci scăderea lui devine adunare: $f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{1}{x^2}$. Pentru orice $x>0$, $\frac{1}{x^2}>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)>2>0$, iar $f$ este convexă pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(Probă: $f^{\prime \prime }(1)=3$. Capcană: semnul minus din $-\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ se pierde și iese $2-\frac{1}{x^2}$, care se anulează în $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ și nu este pozitivă pe tot intervalul.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, arie, primitivă.

a) (5 p) O primitivă a lui $x^2$ este $\frac{x^3}{3}$, iar integrala se calculează prin formula Leibniz–Newton: $${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $\frac{x^3}{3}$ este $x^2$. Capcană: primitiva lui $x^2$ se scrie $x^3$, fără împărțire la $3$, și integrala iese $1$.)

b) (5 p) Pe $[0,1]$, $x^2\ge 0$ și $x+1>0$, deci $f\ge 0$ și aria este integrala lui $f$. Împărțirea $x^2=(x+1)(x-1)+1$ dă rescrierea integrandului: $$\mathcal{S}={\int }_0^1\frac{x^2}{x+1}dx={\int }_0^1\left(x-1+\frac{1}{x+1}\right)dx\text{(3 p)}.$$ O primitivă a integrandului este $\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)$: $$\mathcal{S}=\left(\frac{x^2}{2}-x+\ln (x+1)\right){|}_0^1=\left(\frac{1}{2}-1+\ln 2\right)-0=\ln 2-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: pe $[0,1]$ funcția $f$ crește de la $f(0)=0$ la $f(1)=\frac{1}{2}$, deci aria este între $0$ și $\frac{1}{2}$; într-adevăr $\ln 2-\frac{1}{2}\approx 0,19$. Capcană: dacă în loc de $\ln (x+1)$ s-ar scrie $\ln x$, valoarea de la limita de jos, $\ln 0$, nu ar exista.)

c) (5 p) O primitivă $F$ a lui $f$ este derivabilă și are $$F^{\prime }(x)=f(x)\text{(2 p)}.$$ Pentru $x>-1$, numărătorul $x^2$ este nenegativ și numitorul $x+1$ este pozitiv, deci $$F^{\prime }(x)=\frac{x^2}{x+1}\ge 0\text{pe}(-1,+\infty ),$$ iar $F$ este crescătoare pe $(-1,+\infty )$ (3 p).

(Observație: $F^{\prime }(x)=0$ doar pentru $x=0$, deci $F$ este chiar strict crescătoare. Capcană: pe $(-\infty ,-1)$ numitorul $x+1$ ar fi negativ și $F^{\prime }$ ar fi negativă; de aceea intervalul $(-1,+\infty )$ contează.)

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă Varianta 7 din lucrarea de matematică dată la Bacalaureatul tehnologic din august 2014, adică Proba E. c), Matematică M_tehnologic („M3" între elevi). Antetul foii poartă Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare și numește filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, la toate calificările profesionale. Cele zece cerințe sunt copiate întocmai de pe foaie. Rezolvările, probele de verificare și ghidajul sunt scrise aici, iar rândurile de puncte urmează documentul oficial de evaluare.

Cum se împarte lucrarea.

Lucrul efectiv durează 3 ore. Dacă împărți cele 180 de minute la totalul de 100 de puncte al lucrării, o cerință de 5 puncte are 9 minute; cele 90 de puncte lucrate cer deci 162 de minute, iar 18 minute rămân pentru recitire.

Cerințele și clasa în care le așază programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, anexa 2):

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Programa de examen cere ecuațiile cu radicali și calculul procentual la clasa a X-a. Programa școlară nouă, care se aplică din 2026–2027 începând cu clasa a IX-a, nu mai are pentru ele o unitate proprie; pe site, materia lor se găsește în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice" și în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".

Ce are special varianta 7. Toate cele 36 de rânduri punctate au câte 2 p sau 3 p, iar fiecare cerință sau subpunct are exact două rânduri. Ecuația de la cerința 3 are două soluții, $-2$ și $2$, și ambele se verifică. Triunghiul de la cerința 5 are laturile $3$, $4$ și $5$. La Subiectul al II-lea matricea $C$ are un singur element nenul, deci $B+2C$ diferă de $B$ doar în colțul din stânga sus. Polinomul de la cerința 8 se împarte exact la $X-1$, iar câtul lui, $X^2-3X-2$, are discriminantul $17$, deci nu are rădăcini raționale. La cerința 10, aceeași fracție $\frac{x^2}{x+1}$ se scrie ca $x-1+\frac{1}{x+1}$ pentru arie și se citește direct ca derivată a primitivei la subpunctul c).

Cum lucrezi o probă completă. Începe cu Subiectul I, unde sunt șase cerințe scurte, apoi treci la cele patru probleme. Scrie fiecare subpunct în două bucăți: prima pregătește calculul (formula, înlocuirea, rescrierea), a doua îl încheie. Compară apoi rândurile tale cu cele două rânduri punctate ale paginii; locul unde diferă îți arată ce a lipsit.

Formulele de la fiecare subiect.

• Subiectul I. $\frac{p}{q}-\frac{r}{s}$ cere același numitor la ambele fracții; $\sqrt{u}=c$ cu $c\ge 0$ duce la $u=c^2$; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța dintre două puncte este rădăcina sumei pătratelor diferențelor coordonatelor; pătratul sinusului plus pătratul cosinusului aceluiași unghi dă $1$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul a două matrice se face rând cu coloană; câtul și restul împărțirii la $X-a$ se găsesc prin schema lui Horner; pentru un polinom de gradul $3$ cu coeficienții $a,b,c,d$, luați de la $X^3$ spre termenul liber, relațiile lui Viète sunt $s_1=-\frac{b}{a}$, $s_2=\frac{c}{a}$, $s_3=-\frac{d}{a}$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^2\right)}^{\prime }=2x$, $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; $f^{\prime \prime }>0$ pe un interval înseamnă $f$ convexă pe el; o primitivă a lui $x^n$ ridică exponentul cu $1$ și împarte la noul exponent; aria sub un grafic nenegativ este ${\int }_a^{b}f(x)dx$; $F^{\prime }\ge 0$ înseamnă $F$ crescătoare.

Despre litere. Litera $f$ numește patru obiecte: funcția $2x-3$ de la cerința 2, polinomul $X^3-4X^2+X+2$ de la cerința 8, funcția $x^2-\ln x$ de la cerința 9 și funcția $\frac{x^2}{x+1}$ de la cerința 10. Literele $A$, $B$ și $C$ sunt puncte la cerința 5 și matrice la cerința 7; la cerința 6, $A$ este un unghi. Litera $a$ este numărul $3$ la cerința 1. Litera $b$ este parametrul real al matricei $B$ la cerința 7. Litera $F$ este primitiva de la 10.c).

Cuvântul „itemul" apare doar în titlurile de mai jos, așa cum îl numește documentul oficial; în text spunem „cerința".