Subiect Bac matematică tehnologic, model 2022 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2022 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\sqrt{8}+1\right)\cdot \left(2\sqrt{2}-1\right)-\sqrt{36}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=5+2x$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+6x}=x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, numărul $4\cdot n$ să fie element al mulțimii $A$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$, $B(3,4)$ și $C$, astfel încât punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$. Arătați că triunghiul $AOC$ este dreptunghic isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul ascuțitunghic $ABC$ în care $\sin 30^{\circ }\cdot \sin A=\cos 60^{\circ }\cdot \cos A$. Calculați $\mathrm{tg}A$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 2& -3\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B(a)=\left(\begin{array}{cc}0& a-2\\ 1& 3a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=3$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot A+A=2B(x)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det (B(a)\cdot A+B(3a))=4$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(xy+1)(x+y)$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=9$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=0$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care numărul $N=n\ast \frac{1}{n}$ este întreg.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x-\frac{x^2}{2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=x\left(e^x-1\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=0$.

c) (5 puncte) Arătați că $f(x)\le f\left(x^2\right)$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{x+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2(x+4)f(x)dx=6$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^4\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx=4\ln 2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este convexă.

Barem și răspunsuri

Punctajul din dreptul fiecărui rând reia baremul oficial al modelului 2022, în aceeași ordine: rânduri de 3, 2 sau 1 punct. Sub fiecare rezolvare, între paranteze, stau o probă de verificare și capcanele care duc la rezultate greșite.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Radicalii se aduc la forma simplă: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$ și $\sqrt{36}=6$. Prima paranteză devine $2\sqrt{2}+1$, deci produsul are forma $(u+1)(u-1)=u^2-1$, cu $u=2\sqrt{2}$: $$\left(2\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)-6={\left(2\sqrt{2}\right)}^2-1-6\text{(3 p)}.$$ Pătratul este ${\left(2\sqrt{2}\right)}^2=4\cdot 2=8$, iar $8-1-6=1$ (2 p).

(Probă: dezvoltat, produsul este $\left(2\sqrt{2}+1\right)\left(2\sqrt{2}-1\right)=8-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-1=7$. Capcană: produsul se ia ca $u^2+1$, adică $8+1=9$, și iese $9-6=3$; sau $\sqrt{36}$ se ia egal cu $18$, și iese $7-18=-11$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția graficelor.

Un punct comun are aceeași ordonată pe ambele grafice, deci abscisa lui verifică $f(x)=g(x)$: $$5x-1=5+2x\text{(2 p)}.$$ Din $3x=6$ rezultă $x=2$. Ordonata este $f(2)=5\cdot 2-1=9$, iar $g(2)=5+2\cdot 2=9$. Punctul de intersecție este $(2,9)$ (3 p).

(Probă: ambele funcții dau $9$ în $x=2$. Capcană: se caută zerourile funcțiilor, $5x-1=0$ și $5+2x=0$; ele dau $x=\frac{1}{5}$ și $x=-\frac{5}{2}$, abscise diferite, deci niciun punct comun. Altă greșeală: $5x-2x$ se scrie $7x$; atunci $7x-1=5$ dă $x=\frac{6}{7}$, unde $f\left(\frac{6}{7}\right)=\frac{23}{7}$, dar $g\left(\frac{6}{7}\right)=\frac{47}{7}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul este pozitiv sau nul, deci ecuația cere $x\ge 0$. Prin ridicare la pătrat se obține $$x^2+6x=x^2\text{(3 p)}.$$ Se reduce $x^2$: $6x=0$, adică $x=0$. Verificare: $\sqrt{0^2+6\cdot 0}=\sqrt{0}=0$, deci $\mathbf{x}=0$ convine (2 p).

(Capcană: se ridică la pătrat numai radicalul, iar $x$ rămâne neridicat; atunci iese $x^2+6x=x$, adică $x(x+5)=0$, cu $x=0$ sau $x=-5$. Pentru $x=-5$ expresia de sub radical, $25-30$, este negativă, deci valoarea $-5$ nu poate fi soluție.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $0,1,\dots ,9$: sunt $10$ numere, deci $10$ cazuri posibile (2 p).

Numărul $4\cdot n$ aparține lui $A$ când $4n\le 9$. Pentru $n=0$ se obține $0$, pentru $n=1$ se obține $4$, pentru $n=2$ se obține $8$, iar $n=3$ dă $12$, care depășește $9$. Cazurile favorabile sunt $n\in \{0,1,2\}$, adică $3$ cazuri (2 p).

Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: $\mathbf{p}=\frac{3}{10}$ (1 p).

(Probă: numerele $0$, $4$ și $8$ sunt multiplii lui $4$ din $A$. Capcană: se uită $n=0$, deși $4\cdot 0=0$ aparține lui $A$; atunci se numără doar $2$ cazuri și iese $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. Altă greșeală: numărul elementelor lui $A$ se ia $9-0=9$, ca la o diferență, deși de la $0$ la $9$ sunt $10$ numere; cu cele $3$ cazuri favorabile iese atunci $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment, triunghi dreptunghic isoscel.

Punctul $A$ este mijlocul lui $[BC]$, deci coordonatele lui sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$2=\frac{3+x_C}{2},1=\frac{4+y_C}{2},\text{de unde}{x}_C=1,y_C=-2\text{(2 p)}.$$ Astfel $C(1,-2)$, iar $O$ este originea reperului. Distanțele sunt $$OA=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5},OC=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5},AC=\sqrt{(1-2{)}^2+(-2-1{)}^2}=\sqrt{10}.$$ Din $OA=OC$ triunghiul este isoscel, cu vârful în $O$. Din $O{A}^2+O{C}^2=5+5=10=A{C}^2$ și din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că unghiul din $O$ este drept. Triunghiul $AOC$ este dreptunghic isoscel (3 p).

(Probă: segmentul $[BC]$, cu $B(3,4)$ și $C(1,-2)$, are mijlocul $\left(\frac{3+1}{2},\frac{4+(-2)}{2}\right)=(2,1)$, adică $A$. Capcană: $C$ se ia drept mijlocul lui $[AB]$, adică $\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2}\right)$; atunci $O{C}^2=\frac{25}{2}$, iar $O{A}^2=5$, deci triunghiul nu mai este isoscel.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Din tabelul valorilor $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (2 p).

Relația din enunț devine $\frac{1}{2}\sin A=\frac{1}{2}\cos A$, deci $\sin A=\cos A$. Triunghiul este ascuțitunghic, așa că $\cos A>0$, iar împărțirea la $\cos A$ este permisă: $$\mathrm{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: unghiul $A=45^{\circ }$ are $\sin A=\cos A$ și $\mathrm{tg}A=1$. Capcană: $\cos 60^{\circ }$ se ia egal cu $\frac{\sqrt{3}}{2}$; atunci relația dă $\frac{1}{2}\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos A$, iar $\mathrm{tg}A=\sqrt{3}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe cea secundară: $$\det A=3\cdot (-3)-(-6)\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-9+12=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul de pe diagonala secundară se adună în loc să se scadă; atunci iese $-9-12=-21$.)

b) (5 p) Se calculează $A\cdot A$, element cu element, ca linie înmulțită cu coloană: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}3\cdot 3+(-6)\cdot 2& 3\cdot (-6)+(-6)\cdot (-3)\\ 2\cdot 3+(-3)\cdot 2& 2\cdot (-6)+(-3)\cdot (-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& -3\end{array}\right),A\cdot A+A=\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ 2& -6\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Dublul lui $B(x)$ este $2B(x)=\left(\begin{array}{cc}0& 2x-4\\ 2& 6x\end{array}\right)$. Egalitatea celor două matrice cere $2x-4=-6$ și $6x=-6$, iar ambele dau $\mathbf{x}=-1$ (3 p).

(Probă: $2B(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ 2& -6\end{array}\right)$. Matricea $A\cdot A=-3I_2$ are doar pe diagonală elemente nenule. Capcană: pătratul se calculează ridicând fiecare element la pătrat și iese $\left(\begin{array}{cc}9& 36\\ 4& 9\end{array}\right)$, matrice cu care ecuația nu mai are nicio soluție.)

c) (5 p) Se calculează $B(a)\cdot A$ și $B(3a)$, în care $a$ se înlocuiește cu $3a$ în toate pozițiile: $$B(a)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2a-4& -3a+6\\ 6a+3& -9a-6\end{array}\right),B(3a)=\left(\begin{array}{cc}0& 3a-2\\ 1& 9a\end{array}\right),B(a)\cdot A+B(3a)=\left(\begin{array}{cc}2a-4& 4\\ 6a+4& -6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Determinantul sumei este $(2a-4)(-6)-4(6a+4)=-36a+8$. Din $-36a+8=4$ rezultă $36a=4$, deci $\mathbf{a}=\frac{1}{9}$ (2 p).

(Probă: pentru $a=\frac{1}{9}$, determinantul este $-4+8=4$. Capcană: $B(3a)$ se ia drept $3B(a)$; atunci suma are determinantul $-12a+24$ și ecuația dă $a=\frac{5}{3}$, valoare pentru care determinantul corect, $-36a+8$, este $-52$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=2$ în formula legii: $$1\ast 2=(1\cdot 2+1)(1+2)\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 2=3\cdot 3=9\text{(2 p)}.$$

(Capcană: paranteza $(xy+1)$ se ia fără $1$ și iese $2\cdot 3=6$.)

b) (5 p) Elementul neutru trebuie să nu schimbe niciun număr, de ambele părți. Cu $e=0$, în partea dreaptă: $$x\ast 0=(x\cdot 0+1)(x+0)=1\cdot x=x,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ În partea stângă: $$0\ast x=(0\cdot x+1)(0+x)=1\cdot x=x,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}.$$ Deci $x\ast 0=0\ast x=x$ și $e=0$ este elementul neutru (3 p).

(Capcană: se verifică un singur număr, $1\ast 0=1$, ceea ce nu dovedește egalitatea pentru orice $x$. Altă greșeală: se ia $e=1$; atunci $x\ast 1=(x+1{)}^2$, care nu este $x$.)

c) (5 p) Produsul $n\cdot \frac{1}{n}$ este $1$, deci $$N=\left(n\cdot \frac{1}{n}+1\right)\left(n+\frac{1}{n}\right)=2\left(n+\frac{1}{n}\right)=2n+\frac{2}{n}\text{(2 p)}.$$ Numărul $2n$ este întreg, așa că $N$ este întreg exact când $\frac{2}{n}$ este întreg, adică $n$ este divizor natural al lui $2$. Rămân $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

(Probă: $N=4$ pentru $n=1$ și $N=5$ pentru $n=2$. Capcană: pentru $n=4$ se are $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, iar $N=8+\frac{1}{2}=\frac{17}{2}$, număr neîntreg. Valoarea $n=0$ nu intră: enunțul cere $n$ nenul.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, monotonie.

a) (5 p) Se derivează produsul $(x-1)e^x$ după regula $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ și termenul $\frac{x^2}{2}$: $$f^{\prime }(x)=e^x+(x-1)e^x-x\text{(3 p)}.$$ Cei doi termeni cu $e^x$ dau $x{e}^x$, deci $$f^{\prime }(x)=x{e}^x-x=x\left(e^x-1\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=0\cdot \left(e^0-1\right)=0$, iar $e^0+(0-1)e^0-0=0$. Capcană: derivata produsului se ia ${\left((x-1)e^x\right)}^{\prime }=e^x$, fără al doilea termen; atunci iese $e^x-x$, care în $x=0$ valorează $1$.)

b) (5 p) Se are $f(0)=(0-1)e^0-0=-1$. La $x\to 0$ numărătorul $f(x)-f(0)$ tinde la $0$, ca și numitorul $x^2$: limita este de forma $\frac{0}{0}$, deci se aplică regula lui l'Hospital, cu derivatele numărătorului și numitorului: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{2x}\text{(2 p)}.$$ Pentru $x\ne 0$ raportul este $\frac{x\left(e^x-1\right)}{2x}=\frac{e^x-1}{2}$, iar funcția $e^x$ este continuă în $0$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2}=\frac{1-1}{2}=0\text{(3 p)}.$$

(Probă numerică: pentru $x=0,1$ raportul inițial valorează $0,0346$, iar pentru $x=-0,1$ valorează $-0,0321$; ambele sunt mici și se apropie de $0$. Capcană: se înlocuiește direct $x=0$ în raport și rămâne $\frac{0}{0}$, o expresie fără valoare; abia după l'Hospital, urmat de simplificarea cu $x$, apare un număr.)

c) (5 p) Semnul derivatei $f^{\prime }(x)=x\left(e^x-1\right)$: pentru $x>0$ se are $e^x>1$, deci ambii factori sunt pozitivi; pentru $x<0$ se are $e^x<1$, deci ambii factori sunt negativi; în $x=0$ derivata este $0$. În concluzie $f^{\prime }\ge 0$ pe $\mathbb{R}$, deci $f$ crește pe tot $\mathbb{R}$ (2 p).

Fie $x\le 0$. Atunci $x\le 0\le x^2$, iar $f$ păstrează ordinea numerelor, fiindcă este crescătoare: $f(x)\le f\left(x^2\right)$ pe tot intervalul $(-\infty ,0]$ (3 p).

(Probă: pentru $x=-1$ se are $f(-1)=-\frac{2}{e}-\frac{1}{2}$ și $f\left(x^2\right)=f(1)=-\frac{1}{2}$, iar $-\frac{2}{e}-\frac{1}{2}<-\frac{1}{2}$. Capcană: inegalitatea $x\le x^2$ se presupune pe tot $\mathbb{R}$, deși pentru $x=\frac{1}{2}$ se are $x^2=\frac{1}{4}<\frac{1}{2}$; pe $(-\infty ,0]$ ea ține fiindcă $x\le 0\le x^2$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $f(x)=\frac{4x}{x+4}$.

a) (5 p) Factorul $x+4$ se simplifică cu numitorul lui $f$, deci $(x+4)f(x)=4x$. O primitivă a lui $4x$ este $2x^2$: $${\int }_1^2(x+4)f(x)dx={\int }_1^{2}4xdx=2x^2{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=2\cdot 4-2\cdot 1=6\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se integrează $f$ în loc de produsul $(x+4)f(x)$; o primitivă a lui $f$ nu e un polinom. Altă greșeală: primitiva lui $4x$ se ia $4x^2$, iar rezultatul devine $16-4=12$.)

b) (5 p) În $f\left(x^2\right)$ se înlocuiește $x$ cu $x^2$, care aparține domeniului lui $f$, deoarece $x^2\ge 0>-4$: $$\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)=\frac{1}{x}\cdot \frac{4x^2}{x^2+4}=\frac{4x}{x^2+4}=2\cdot \frac{{\left(x^2+4\right)}^{\prime }}{x^2+4}.$$ O primitivă este $2\ln \left(x^2+4\right)$: $${\int }_1^4\frac{1}{x}\cdot f\left(x^2\right)dx=2\ln \left(x^2+4\right){|}_1^4\text{(3 p)}.$$ $$=2\ln 20-2\ln 5=2\ln 4=4\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\ln 20-\ln 5=\ln 4=2\ln 2$. Capcană: se ia $f\left(x^2\right)={\left(f(x)\right)}^2$; compunerea și puterea sunt lucruri diferite, iar ${\left(f(x)\right)}^2=\frac{16x^2}{(x+4{)}^2}$ nu are forma cerută. Altă greșeală: se uită factorul $2$ din fața logaritmului și iese $\ln 20-\ln 5=2\ln 2$.)

c) (5 p) Fie $F:(-4,+\infty )\to \mathbb{R}$ o primitivă a lui $f$. Prin definiție $F^{\prime }(x)=f(x)$, pentru orice $x\in (-4,+\infty )$ (2 p).

Derivata a doua este derivata lui $f$: $$F^{\prime \prime }(x)=f^{\prime }(x)=\frac{4(x+4)-4x}{(x+4{)}^2}=\frac{16}{(x+4{)}^2}>0,\text{pentru orice }x\in (-4,+\infty ).$$ Deoarece $F^{\prime \prime }>0$, orice primitivă a lui $f$ este convexă (3 p).

(Probă: $f^{\prime }(0)=\frac{16}{16}=1>0$. Capcană: se studiază semnul lui $f$ în loc de al lui $f^{\prime }$; $f$ este negativă pe $(-4,0)$, dar convexitatea lui $F$ depinde de $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, nu de $F^{\prime }=f$.)

Pentru părinți și profesori

Despre această pagină. Aici stă modelul oficial al probei de matematică M_tehnologic pentru Bacalaureatul 2022: zece cerințe rezolvate rând cu rând și un ghidaj interactiv. Proba E.c) se dă candidaților filierei tehnologice, iar subiectul este comun pentru profilurile servicii, resurse și tehnic, la orice calificare profesională. Pe antetul documentelor oficiale figurează două instituții: Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație și, deasupra lui, Ministerul Educației. Cerințele sunt reproduse întocmai, cu punctuația originală; restul (rezolvări, verificări, ghidaj) este scris de noi, iar din baremul oficial păstrăm numai punctele fiecărui rând.

Distribuția punctelor. Cele 90 de puncte ale cerințelor se împart în trei subiecte egale: Subiectul I (șase cerințe a câte 5 puncte), Subiectul al II-lea (două probleme a câte 15) și Subiectul al III-lea (două probleme a câte 15), fiecare de 30 de puncte. Din oficiu se adaugă 10. În documentul oficial, o cerință de 5 puncte are două rânduri, 3 + 2 sau 2 + 3; o singură cerință face excepție: cerința 4 are trei rânduri, 2 + 2 + 1 (cazurile posibile, cazurile favorabile, probabilitatea). Pagina și ghidajul păstrează cele trei rânduri.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Simplificarea lui $\sqrt{8}$ și $\sqrt{36}$ și produsul sumă–diferență țin, în programa de examen, de radicalii de ordin 2 din clasa a X-a. Programa școlară nouă are radicalul doar ca funcție de ordin 2, fără regulile de calcul cu radicali printre conținuturi; ele sunt tratate în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".
• Nota 2. La examen, ecuațiile cu radicali stau în clasa a X-a. Programa școlară nouă nu mai cere rezolvarea algebrică a ecuațiilor, ci graficul sau instrumentele digitale; ridicarea la pătrat și proba soluției se învață în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Reperul cartezian și distanța dintre două puncte sunt materie de clasa a X-a la examen, dar se predau în clasa a IX-a după programa școlară nouă, în unitatea despre reperul cartezian, unde intră și coordonatele mijlocului unui segment. E vorba de o decalare între programe, nu de o greșeală.
• Nota 4. Limita de la 9.b) are forma $\frac{0}{0}$. Regulile lui l'Hospital pentru acest caz sunt în programa de examen a clasei a XI-a, iar rezolvarea din baremul oficial le aplică.

Ce are deosebit modelul din 2022. Matricea $A$ are urma $0$ și determinantul $3$, de aceea $A\cdot A=-3I_2$, iar subpunctul 7.b) se reduce la compararea a două matrice cu elemente simple. La legea de compoziție, produsul $n\cdot \frac{1}{n}$ din 8.c) este $1$, astfel că $N=2n+\frac{2}{n}$ și rămâne o singură condiție de întreg. În Subiectul al III-lea, prima funcție are derivata $x\left(e^x-1\right)$, nenegativă pe tot $\mathbb{R}$. A doua problemă ține toate cele trei subpuncte pe aceeași funcție, $f(x)=\frac{4x}{x+4}$: la a) numitorul dispare prin simplificare, la b) apare compunerea $f\left(x^2\right)$, iar la c) contează derivata lui $f$.

Timpul de lucru. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. Dacă din cele 180 de minute rezervi 20 recitirii, rămâne un buget de 160 de minute pentru 90 de puncte, adică sub două minute pe punct; Subiectul I se poate termina mai repede, iar surplusul se mută pe problemele de 15 puncte. Antetul baremului spune trei lucruri: orice soluție corectă este valabilă, punctele nu se fracționează, iar nota este totalul împărțit la zece. Pentru nota 5 sunt necesare 50 de puncte, adică 40 din cele 90 ale cerințelor, plus cele 10 din oficiu.

De evitat la redactare (greșelile tratate în capcanele de mai jos): la 3, ridicarea la pătrat numai a radicalului, care aduce valoarea $-5$, fără sens sub radical; la 4, $n=0$ uitat printre cazurile favorabile; la 7.c), $B(3a)$ înlocuit cu $3B(a)$; la 8.b), un singur exemplu numeric, $1\ast 0=1$, în locul verificării pentru orice $x$; la 9.c), inegalitatea $x\le x^2$ folosită pe tot $\mathbb{R}$, deși pentru $x\in (0,1)$ ea este falsă.

Sugestie de lucru. Rezolvă o problemă pe ciornă și abia apoi citește rândurile de mai jos, notând locul primei diferențe. Pentru pasul la care ai greșit, deschide ghidajul: el pune întrebări scurte, în ordinea rândurilor oficiale, fără a arăta rezultatul de la început. Totalul tău indică ce urmează: sub 40, Subiectul I și începuturile problemelor mai cer exercițiu; între 40 și 65, rămân finalurile subpunctelor; de la 65 în sus, ritmul face diferența.

Formule folosite în modelul 2022

• Subiectul I. $(u+1)(u-1)=u^2-1$; mijlocul unui segment are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor; lungimea unui segment cu capetele date prin coordonate rezultă din teorema lui Pitagora, cu pătratele diferențelor de abscise și de ordonate; dacă $a^2+b^2=c^2$ în triunghi, unghiul opus lui $c$ este drept; $\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, iar $\mathrm{tg}A=\frac{\sin A}{\cos A}$; probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile.
• Subiectul al II-lea. Determinantul unei matrice cu două linii este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare; la un produs de matrice, elementul de pe poziția $(i,j)$ se obține adunând produsele dintre elementele liniei $i$ din primul factor și cele ale coloanei $j$ din al doilea; $e$ este element neutru când $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$.
• Subiectul al III-lea. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; regula lui l'Hospital pentru $\frac{0}{0}$; $f^{\prime }\ge 0$ pe $\mathbb{R}$ face $f$ crescătoare; dacă $F^{\prime }=f$, atunci $F^{\prime \prime }=f^{\prime }$, iar $F^{\prime \prime }\ge 0$ face $F$ convexă; $(\ln u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$.

Pe pagină, cerințele sunt numărate de la 1 la 10, pe când în documentul oficial problemele de la 7 la 10 poartă numerele 1 și 2 în interiorul Subiectelor al II-lea și al III-lea. Câteva litere se schimbă de la o cerință la alta: $A$ este mulțime la 4, punct la 5, vârf al triunghiului (și unghiul din acel vârf) la 6 și matrice la 7; $B$ este punct la 5, vârf al triunghiului la 6 și matrice la 7; $C$ este punct la 5 și vârf al triunghiului la 6; $e$ este elementul neutru la 8.b) și numărul lui Euler la 9; $f$ numește trei funcții diferite, la 2, 9 și 10; $n$ este element al lui $A$ la 4 și număr natural nenul la 8.c). Fiecare cerință se citește separat.