Evaluare finală clasa 12 matematică M2 (a XII-a), cu barem: științe ale naturii, 2026–2027

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a (clasa a 12-a), științe ale naturii (M2) · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M2

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alegeți litera corespunzătoare răspunsului corect.

a) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y+4$. Elementul neutru al legii este: (2 p) A. $4$; B. $0$; C. $-4$; D. $1$.

b) O primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3+1$ este: (2 p) A. $F(x)=x^4+x+3$; B. $F(x)=12x^2$; C. $F(x)=4x^4+x$; D. $F(x)=x^4+1$.

c) Valoarea integralei ${\int }_0^{2}3x^{2}dx$ este: (2 p) A. $12$; B. $6$; C. $4$; D. $8$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+2x+2y+2$.

a) Arătați că $x\circ y=(x+2)(y+2)-2$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. (2 p)

b) Determinați elementul neutru al legii $\circ$. (2 p)

c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x\circ x=7$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

În inelul $({\mathbb{Z}}_5,+,\cdot )$:

a) Calculați $\hat{3}+\hat{4}$ și $\hat{3}\cdot \hat{4}$. (2 p)

b) Determinați inversul elementului $\hat{3}$ în raport cu înmulțirea. (2 p)

c) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_5$ ecuația $\hat{2}x+\hat{3}=\hat{1}$. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x{e}^x-e^x$ este o primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$. (2 p)

b) Calculați $\int \left(3x^2-\frac{2}{x}\right)dx$, pentru $x\in (0,+\infty )$. (2 p)

c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+\sin x$, care verifică $F(0)=2$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Exercițiul 5 (7 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2-X+3\in \mathbb{R}[X]$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$.

a) Arătați că polinomul $f$ este divizibil cu $X-1$. (2 p)

b) Descompuneți $f$ în factori de gradul întâi și determinați rădăcinile lui. (3 p)

c) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$, folosind relațiile lui Viète. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

a) Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^4-2X+3$ la polinomul $X^2-X$. (3 p)

b) Folosind schema lui Horner, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $g=X^3+2X^2-5X+1$ la $X-1$. (2 p)

c) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $h=X^3+mX+2$ este divizibil cu $X+2$. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^4-5x^2+4=0$. (3 p)

b) Determinați rădăcinile din ${\mathbb{Z}}_7$ ale polinomului $p=X^2-\hat{2}\in {\mathbb{Z}}_7[X]$. (3 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

a) Calculați ${\int }_1^e\frac{2}{x}dx$. (2 p)

b) Calculați ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$. (3 p)

c) Calculați ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx$. (2 p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

a) Calculați ${\int }_1^2\frac{1}{x(x+2)}dx$. (3 p)

b) Arătați că $0\le {\int }_0^1\frac{x^2}{x+1}dx\le \frac{1}{3}$. (2 p)

c) Calculați ${\int }_{-1}^2|x|dx$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme (32 de puncte)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$ și $g(x)=x$.

a) Determinați punctele de intersecție ale graficelor funcțiilor $f$ și $g$. (2 p)

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=2$. (3 p)

c) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficele funcțiilor $f$ și $g$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f:[0,3]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x+1}$. (3 p)

b) Calculați, cu integrala, volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,3]\to \mathbb{R}$, $g(x)=x$, și comparați rezultatul cu volumul conului circular drept cu raza bazei $3$ și înălțimea $3$. (3 p)

c) Viteza unui mobil este $v(t)=3t^2+2$ metri pe secundă, unde $t$ este timpul în secunde. Calculați distanța parcursă în primele $2$ secunde, $d={\int }_0^{2}v(t)dt$. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$.

a) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ care verifică $F(1)=\frac{1}{2}$. (2 p)

b) Arătați că orice primitivă a funcției $f$ este strict crescătoare pe $(0,+\infty )$. (3 p)

c) Calculați ${\int }_1^{e}f(x)dx$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Pe mulțimea $G=(-2,+\infty )$ se consideră legea $x\circ y=(x+2)(y+2)-2$ (aceeași ca în exercițiul 2).

a) Arătați că $G$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\circ$. (2 p)

b) Arătați că funcția $f:(0,+\infty )\to G$, $f(x)=x-2$ este izomorfism de la grupul $\left((0,+\infty ),\cdot \right)$ la $(G,\circ )$. (3 p)

c) Știind că $(G,\circ )$ este grup cu elementul neutru $e=-1$, determinați simetricul elementului $2$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din exerciții + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (exercițiile 1–4) · Partea a II-a – 34 p (exercițiile 5–9) · Partea a III-a – 32 p (exercițiile 10–13).

Exercițiul 1. (6 p)

a) (2 p) C. Din $x\ast e=x$ pentru orice $x$: $x+e+4=x$, deci $e=-4$ (legea e comutativă, deci și $e\ast x=x$).

b) (2 p) A. $F^{\prime }(x)=4x^3+1=f(x)$. Varianta B este derivata lui $f$, nu o primitivă.

c) (2 p) D. ${\int }_0^{2}3x^{2}dx=x^3{|}_0^2=8$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $(x+2)(y+2)-2=xy+2x+2y+4-2=xy+2x+2y+2=x\circ y$.

b) (2 p) Căutăm $e$ cu $x\circ e=x$ pentru orice $x$: $(x+2)(e+2)-2=x$, adică $(x+2)(e+2)=x+2$, deci $e+2=1$ și $e=-1$. Legea fiind comutativă, și $e\circ x=x$.

c) (2 p) $x\circ x=(x+2{)}^2-2=7$, deci $(x+2{)}^2=9$, $x+2=\pm 3$: $x\in \{-5,1\}$.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) $\hat{3}+\hat{4}=\hat{7}=\hat{2}$; $\hat{3}\cdot \hat{4}=\widehat{12}=\hat{2}$.

b) (2 p) $\hat{3}\cdot \hat{2}=\hat{6}=\hat{1}$, deci inversul lui $\hat{3}$ este $\hat{2}$.

c) (2 p) $\hat{2}x=\hat{1}-\hat{3}=\hat{3}$ (în ${\mathbb{Z}}_5$, $-\hat{2}=\hat{3}$). Înmulțind cu inversul lui $\hat{2}$, care este $\hat{3}$: $x=\hat{3}\cdot \hat{3}=\hat{9}=\hat{4}$. Verificare: $\hat{2}\cdot \hat{4}+\hat{3}=\widehat{11}=\hat{1}$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) $F$ este derivabilă și $F^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x-e^x=x{e}^x=f(x)$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$.

b) (2 p) $\int \left(3x^2-\frac{2}{x}\right)dx=x^3-2\ln x+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$.

c) (2 p) Primitivele lui $f$ sunt $F(x)=2x^3-\cos x+c$. Din $F(0)=-1+c=2$ rezultă $c=3$, deci $F(x)=2x^3-\cos x+3$.

Exercițiul 5. (7 p)

a) (2 p) $f(1)=1-3-1+3=0$; din teorema lui Bézout, $(X-1)\mid f$.

b) (3 p) $f=X^2(X-3)-(X-3)=(X-3)(X^2-1)=(X-1)(X+1)(X-3)$. Rădăcinile: $1$, $-1$ și $3$.

c) (2 p) Viète: $x_1+x_2+x_3=3$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-1$. Atunci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot (-1)=11$ (verificare: $1+1+9=11$).

Exercițiul 6. (7 p)

a) (3 p) Restul are grad cel mult $1$: $f=(X^2-X)\cdot q+aX+b$. Rădăcinile lui $X^2-X$ sunt $0$ și $1$: $f(0)=3=b$, $f(1)=1-2+3=2=a+b$. Rezultă $a=-1$, $b=3$, deci restul este $-X+3$.

b) (2 p) Coeficienții lui $g$: $1,2,-5,1$; cu $a=1$, schema dă $1$; $1\cdot 1+2=3$; $1\cdot 3-5=-2$; $1\cdot (-2)+1=-1$. Câtul: $X^2+3X-2$, restul: $-1$ (egal cu $g(1)=1+2-5+1$).

c) (2 p) Din teorema lui Bézout, $(X+2)\mid h⟺h(-2)=0$: $-8-2m+2=0$, deci $m=-3$.

Exercițiul 7. (6 p)

a) (3 p) Cu $t=x^2\ge 0$: $t^2-5t+4=0$, cu soluțiile $t=1$ și $t=4$. Din $x^2=1$ și $x^2=4$: $x\in \{-2,-1,1,2\}$.

b) (3 p) Pătratele din ${\mathbb{Z}}_7$: ${\hat{0}}^2=\hat{0}$, ${\hat{1}}^2=\hat{1}$, ${\hat{2}}^2=\hat{4}$, ${\hat{3}}^2=\hat{2}$, ${\hat{4}}^2=\hat{2}$, ${\hat{5}}^2=\hat{4}$, ${\hat{6}}^2=\hat{1}$. Deci $x^2=\hat{2}$ pentru $x\in \{\hat{3},\hat{4}\}$.

Exercițiul 8. (7 p)

a) (2 p) ${\int }_1^e\frac{2}{x}dx=2\ln x{|}_1^e=2$.

b) (3 p) Prin părți, cu $u=x$, $v^{\prime }=e^x$: ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=e-(e-1)=1$.

c) (2 p) Cu $t=x^2+1$, $dt=2xdx$: ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx=\ln \left(x^2+1\right){|}_0^1=\ln 2$.

Exercițiul 9. (7 p)

a) (3 p) $\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)$, deci integrala este $\frac{1}{2}\left(\ln x-\ln (x+2)\right){|}_1^2=\frac{1}{2}\left[(\ln 2-\ln 4)-(0-\ln 3)\right]=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}$.

b) (2 p) Pentru $x\in [0,1]$: $x+1\ge 1$, deci $0\le \frac{x^2}{x+1}\le x^2$. Din monotonia integralei: $0\le {\int }_0^1\frac{x^2}{x+1}dx\le {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

c) (2 p) Din aditivitatea integralei față de interval: ${\int }_{-1}^2|x|dx={\int }_{-1}^0(-x)dx+{\int }_0^{2}xdx=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (2 p) $x^2-2x=x$, adică $x^2-3x=0$, cu $x=0$ și $x=3$. Punctele de intersecție: $(0,0)$ și $(3,3)$.

b) (3 p) Pe $[0,2]$, $f(x)=x(x-2)\le 0$, deci aria este ${\int }_0^2\left(2x-x^2\right)dx=\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.

c) (3 p) Pe $[0,3]$, $g(x)-f(x)=3x-x^2=x(3-x)\ge 0$. Aria este ${\int }_0^3\left(3x-x^2\right)dx=\left(\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right){|}_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}$.

Exercițiul 11. (8 p)

a) (3 p) $V=\pi {\int }_0^3{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^3(x+1)dx=\pi \left(\frac{x^2}{2}+x\right){|}_0^3=\frac{15\pi }{2}$.

b) (3 p) $V=\pi {\int }_0^3{x}^{2}dx=\pi \cdot \frac{x^3}{3}{|}_0^3=9\pi$. Corpul este chiar conul cu raza bazei $3$ și înălțimea $3$, iar formula din geometrie dă $\frac{\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi \cdot 9\cdot 3}{3}=9\pi$: același rezultat.

c) (2 p) $d={\int }_0^2\left(3t^2+2\right)dt=\left(t^3+2t\right){|}_0^2=8+4=12$ metri.

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) $f(x)=x+\frac{1}{x}$, deci primitivele sunt $F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln x+c$. Din $F(1)=\frac{1}{2}+c=\frac{1}{2}$: $c=0$ și $F(x)=\frac{x^2}{2}+\ln x$.

b) (3 p) Orice primitivă $F$ are $F^{\prime }(x)=f(x)=\frac{x^2+1}{x}>0$ pe $(0,+\infty )$ (numărătorul și numitorul sunt strict pozitive), deci $F$ este strict crescătoare.

c) (3 p) ${\int }_1^{e}f(x)dx=\left(\frac{x^2}{2}+\ln x\right){|}_1^e=\frac{e^2}{2}+1-\frac{1}{2}=\frac{e^2+1}{2}$.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) Dacă $x,y>-2$, atunci $x+2>0$ și $y+2>0$, deci $(x+2)(y+2)>0$ și $x\circ y>-2$, adică $x\circ y\in G$.

b) (3 p) Morfism: $f(xy)=xy-2$ și $f(x)\circ f(y)=(x-2+2)(y-2+2)-2=xy-2$, pentru orice $x,y>0$. Bijectivitate: pentru orice $y\in G$, ecuația $x-2=y$ are soluția unică $x=y+2>0$. Deci $f$ este izomorfism de grupuri.

c) (3 p) Căutăm $x^{\prime }\in G$ cu $2\circ x^{\prime }=-1$: $4(x^{\prime }+2)-2=-1$, deci $x^{\prime }+2=\frac{1}{4}$ și $x^{\prime }=-\frac{7}{4}$. Cum $-\frac{7}{4}>-2$, $x^{\prime }\in G$.

Pentru părinți și profesori

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu). Nota = punctajul total împărțit la 10, rotunjită la întreg pentru catalog.
• Timp recomandat: două ore de curs (2 × 50 de minute): orientativ Partea I și o parte din Partea a II-a în prima oră, restul în a doua; oficiul se acordă o singură dată. Fără întrerupere, proba durează în jur de 90 de minute. Anul școlar al clasei a XII-a se încheie pe 4 iunie 2027, așa că proba se planifică la sfârșitul lui mai.
• Materiale: riglă, creion, foaie de matematică. Fără calculator.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvarea completă, cu justificări.

Interpretarea rezultatului: