Evaluare finală clasa 12 matematică M1 (a XII-a), cu barem: algebră și analiză, 2026–2027

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a (clasa a 12-a), matematică-informatică (M1) · Unitatea: Pregătire pentru Bacalaureat M1

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alegeți litera corespunzătoare răspunsului corect.

a) Pe $\mathbb{R}$ se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-3$. Elementul neutru al legii este: (2 p) A. $0$; B. $3$; C. $-3$; D. $1$.

b) O primitivă a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x$ este: (2 p) A. $F(x)=6x+2$; B. $F(x)=x^3+x^2+5$; C. $F(x)=x^3+2x^2$; D. $F(x)=3x^3+x^2$.

c) Valoarea integralei ${\int }_0^1(2x+1)dx$ este: (2 p) A. $1$; B. $3$; C. $2$; D. $\frac{3}{2}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Pe mulțimea $G=(2,+\infty )$ se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-2x-2y+6$.

a) Arătați că $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$. (2 p)

b) Arătați că $G$ este parte stabilă a lui $\mathbb{R}$ în raport cu legea $\circ$. (2 p)

c) Determinați elementul neutru al legii $\circ$ pe $G$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

În inelul $({\mathbb{Z}}_6,+,\cdot )$:

a) Calculați $\hat{4}+\hat{5}$ și $\hat{4}\cdot \hat{5}$. (2 p)

b) Determinați elementele inversabile ale lui ${\mathbb{Z}}_6$ în raport cu înmulțirea. (2 p)

c) Rezolvați în ${\mathbb{Z}}_6$ ecuația $\hat{2}x+\hat{1}=\hat{5}$. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

a) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=x\ln x-x$ este o primitivă a funcției $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\ln x$. (2 p)

b) Calculați $\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx$, pentru $x\in (0,+\infty )$. (2 p)

c) Determinați primitiva $F$ a funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\cos x$, care verifică $F(0)=1$. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Exercițiul 5 (7 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-5X+6\in \mathbb{R}[X]$, cu rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$.

a) Arătați că polinomul $f$ este divizibil cu $X-1$. (2 p)

b) Descompuneți $f$ în factori de gradul întâi și determinați rădăcinile lui. (3 p)

c) Calculați $x_1^2+x_2^2+x_3^2$, folosind relațiile lui Viète. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

a) Determinați restul împărțirii polinomului $f=X^4+X+1$ la polinomul $X^2-1$. (3 p)

b) Folosind schema lui Horner, determinați câtul și restul împărțirii polinomului $g=2X^3-3X^2+4$ la $X-2$. (2 p)

c) Determinați rădăcinile din ${\mathbb{Z}}_5$ ale polinomului $h=X^2+\hat{4}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

Pe mulțimea $G=(2,+\infty )$, legea $x\circ y=(x-2)(y-2)+2$ (aceeași ca în exercițiul 2) determină un grup comutativ $(G,\circ )$, cu elementul neutru $e=3$.

a) Determinați simetricul elementului $x\in G$ în raport cu legea $\circ$. (2 p)

b) Arătați că funcția $f:(0,+\infty )\to G$, $f(x)=x+2$ este izomorfism de la grupul $\left((0,+\infty ),\cdot \right)$ la grupul $(G,\circ )$. (4 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

a) Calculați ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx$. (2 p)

b) Calculați ${\int }_0^{\pi /2}x\cos xdx$. (3 p)

c) Calculați ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx$. (2 p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

a) Calculați ${\int }_1^2\frac{1}{x(x+1)}dx$. (3 p)

b) Arătați că $1\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e$. (2 p)

c) Calculați ${\int }_{-1}^1{x}^3\cos xdx$. (2 p)

Partea a III-a – Probleme de tip Bacalaureat M1 (32 de puncte)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4x+3$ și $g(x)=x-1$.

a) Arătați că $f(x)\le 0$ pentru orice $x\in [1,3]$. (2 p)

b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=3$. (3 p)

c) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficele funcțiilor $f$ și $g$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.)

a) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $f:[0,4]\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{x}$. (3 p)

b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^x$. (3 p)

c) Calculați $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\left[{\left(\frac{1}{n}\right)}^2+{\left(\frac{2}{n}\right)}^2+\dots +{\left(\frac{n}{n}\right)}^2\right]$, folosind integrala definită. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)={\int }_1^x\ln tdt$.

a) Calculați $F(e)$. (2 p)

b) Determinați $F^{\prime }(x)$ și intervalele de monotonie ale funcției $F$. (3 p)

c) Arătați că $F(x)\ge 0$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$. (3 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră mulțimea $K=\left\{M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& 2b\\ b& a\end{array}\right)|a,b\in \mathbb{Q}\right\}$.

a) Arătați că produsul a două matrice din $K$ este tot o matrice din $K$. (2 p)

b) Arătați că orice matrice nenulă din $K$ este inversabilă și că inversa ei aparține lui $K$. (3 p)

c) Determinați inversa matricei $M(1,1)$. (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din exerciții + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (exercițiile 1–4) · Partea a II-a – 34 p (exercițiile 5–9) · Partea a III-a – 32 p (exercițiile 10–13).

Exercițiul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Din $x\ast e=x$ pentru orice $x$: $x+e-3=x$, deci $e=3$ (și $e\ast x=x$, legea fiind comutativă).

b) (2 p) B. $F^{\prime }(x)=3x^2+2x=f(x)$. Varianta A este derivata lui $f$, nu o primitivă.

c) (2 p) C. ${\int }_0^1(2x+1)dx=\left(x^2+x\right){|}_0^1=2$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $(x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2x-2y+6=x\circ y$.

b) (2 p) Dacă $x,y>2$, atunci $x-2>0$ și $y-2>0$, deci $(x-2)(y-2)>0$ și $x\circ y>2$, adică $x\circ y\in G$.

c) (2 p) Căutăm $e\in G$ cu $x\circ e=x$ pentru orice $x\in G$: $(x-2)(e-2)+2=x$, adică $(x-2)(e-2)=x-2$, deci $e-2=1$, $e=3\in G$. Legea fiind comutativă, și $e\circ x=x$.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) $\hat{4}+\hat{5}=\hat{9}=\hat{3}$; $\hat{4}\cdot \hat{5}=\widehat{20}=\hat{2}$.

b) (2 p) În ${\mathbb{Z}}_6$ sunt inversabile clasele numerelor prime cu $6$: $\hat{1}$ și $\hat{5}$ ($\hat{5}\cdot \hat{5}=\widehat{25}=\hat{1}$).

c) (2 p) $\hat{2}x=\hat{4}$. Încercând toate clasele: $\hat{2}\cdot \hat{2}=\hat{4}$ și $\hat{2}\cdot \hat{5}=\widehat{10}=\hat{4}$, iar celelalte produse dau $\hat{0},\hat{2}$. Soluțiile: $x\in \{\hat{2},\hat{5}\}$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) $F$ este derivabilă și $F^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\ln x=f(x)$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$.

b) (2 p) $\int \left(e^x+\frac{1}{x}\right)dx=e^x+\ln x+\mathcal{C}$, pe $(0,+\infty )$.

c) (2 p) Primitivele lui $f$ sunt $F(x)=x^2+\sin x+c$. Din $F(0)=c=1$: $F(x)=x^2+\sin x+1$.

Exercițiul 5. (7 p)

a) (2 p) $f(1)=1-2-5+6=0$; din teorema lui Bézout, $(X-1)\mid f$.

b) (3 p) Împărțind la $X-1$: $f=(X-1)(X^2-X-6)=(X-1)(X-3)(X+2)$. Rădăcinile: $1$, $3$ și $-2$.

c) (2 p) Viète: $x_1+x_2+x_3=2$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-5$. Atunci $x_1^2+x_2^2+x_3^2=2^2-2\cdot (-5)=14$ (verificare: $1+9+4=14$).

Exercițiul 6. (7 p)

a) (3 p) Restul are grad cel mult $1$: $f=(X^2-1)\cdot q+aX+b$. Pentru $X=1$: $f(1)=3=a+b$; pentru $X=-1$: $f(-1)=1=-a+b$. Rezultă $b=2$, $a=1$, deci restul este $X+2$. (Verificare: $X^4+X+1=(X^2-1)(X^2+1)+X+2$.)

b) (2 p) Coeficienții lui $g$: $2,-3,0,4$; cu $a=2$, schema dă $2$; $2\cdot 2-3=1$; $2\cdot 1+0=2$; $2\cdot 2+4=8$. Câtul: $2X^2+X+2$, restul: $8$ (egal cu $g(2)=16-12+4$).

c) (2 p) Calculăm $h(x)=x^2+\hat{4}$ pentru toate clasele: $h(\hat{0})=\hat{4}$, $h(\hat{1})=\hat{0}$, $h(\hat{2})=\hat{3}$, $h(\hat{3})=\hat{3}$, $h(\hat{4})=\widehat{20}=\hat{0}$. Rădăcinile: $\hat{1}$ și $\hat{4}$.

Exercițiul 7. (6 p)

a) (2 p) Căutăm $x^{\prime }\in G$ cu $x\circ x^{\prime }=3$: $(x-2)(x^{\prime }-2)+2=3$, deci $x^{\prime }=2+\frac{1}{x-2}$. Cum $x-2>0$, $x^{\prime }>2$, deci $x^{\prime }\in G$.

b) (4 p) Morfism: $f(xy)=xy+2$ și $f(x)\circ f(y)=(x+2-2)(y+2-2)+2=xy+2$, deci $f(xy)=f(x)\circ f(y)$ pentru orice $x,y>0$. Bijectivitate: pentru orice $y\in G$, ecuația $x+2=y$ are soluția unică $x=y-2>0$. Deci $f$ este izomorfism de grupuri.

Exercițiul 8. (7 p)

a) (2 p) ${\int }_1^e\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^e=1-0=1$.

b) (3 p) Prin părți, cu $u=x$, $v^{\prime }=\cos x$: ${\int }_0^{\pi /2}x\cos xdx=x\sin x{|}_0^{\pi /2}-{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=\frac{\pi }{2}+\cos x{|}_0^{\pi /2}=\frac{\pi }{2}-1$.

c) (2 p) Cu $t=x^2+1$, $dt=2xdx$: ${\int }_0^1\frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right){|}_0^1=\frac{\ln 2}{2}$.

Exercițiul 9. (7 p)

a) (3 p) $\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}$, deci integrala este $\left(\ln x-\ln (x+1)\right){|}_1^2=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3=\ln \frac{4}{3}$.

b) (2 p) Pentru $x\in [0,1]$: $0\le x^2\le 1$, deci $1\le e^{x^2}\le e$. Din monotonia integralei: ${\int }_0^{1}1dx\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le {\int }_0^{1}edx$, adică $1\le {\int }_0^1{e}^{x^2}dx\le e$.

c) (2 p) Funcția $h(x)=x^3\cos x$ este continuă și impară ($h(-x)=-h(x)$), iar intervalul $[-1,1]$ este simetric față de $0$, deci integrala este $0$.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (2 p) $f(x)=(x-1)(x-3)$. Pentru $x\in [1,3]$: $x-1\ge 0$ și $x-3\le 0$, deci $f(x)\le 0$.

b) (3 p) Cum $f\le 0$ pe $[1,3]$, aria este ${\int }_1^3|f(x)|dx=-{\int }_1^3\left(x^2-4x+3\right)dx=-\left(\frac{x^3}{3}-2x^2+3x\right){|}_1^3=-\left(0-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}$.

c) (3 p) Graficele se intersectează unde $x^2-4x+3=x-1$, adică $x^2-5x+4=0$, în $x=1$ și $x=4$. Pe $[1,4]$, $g(x)-f(x)=-x^2+5x-4=(x-1)(4-x)\ge 0$. Aria este ${\int }_1^4\left(-x^2+5x-4\right)dx=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right){|}_1^4=\frac{8}{3}-\left(-\frac{11}{6}\right)=\frac{9}{2}$.

Exercițiul 11. (8 p)

a) (3 p) $V=\pi {\int }_0^4{f}^2(x)dx=\pi {\int }_0^{4}xdx=\pi \cdot \frac{x^2}{2}{|}_0^4=8\pi$.

b) (3 p) $V=\pi {\int }_0^1{e}^{2x}dx=\pi \cdot \frac{e^{2x}}{2}{|}_0^1=\frac{\pi \left(e^2-1\right)}{2}$.

c) (2 p) Expresia este suma Riemann a funcției continue $x\mapsto x^2$ pe $[0,1]$, pentru diviziunea în $n$ părți egale cu punctele intermediare $\frac{k}{n}$. Limita este ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$.

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) O primitivă a lui $\ln t$ este $t\ln t-t$ (exercițiul 4a), deci $F(e)=\left(t\ln t-t\right){|}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$.

b) (3 p) $\ln$ este continuă pe $(0,+\infty )$, deci $F$ este derivabilă și $F^{\prime }(x)=\ln x$. $F^{\prime }(x)<0$ pe $(0,1)$ și $F^{\prime }(x)>0$ pe $(1,+\infty )$: $F$ este strict descrescătoare pe $(0,1]$ și strict crescătoare pe $[1,+\infty )$.

c) (3 p) Din monotonie, $F$ are minimul în $x=1$: $F(1)={\int }_1^1\ln tdt=0$. Deci $F(x)\ge F(1)=0$ pentru orice $x>0$.

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $M(a,b)\cdot M(c,d)=\left(\begin{array}{cc}ac+2bd& 2(ad+bc)\\ ad+bc& ac+2bd\end{array}\right)=M(ac+2bd,ad+bc)$, cu $ac+2bd,ad+bc\in \mathbb{Q}$, deci produsul este în $K$.

b) (3 p) $\det M(a,b)=a^2-2b^2$. Dacă $a^2=2b^2$ cu $b\ne 0$, atunci ${\left(\frac{a}{b}\right)}^2=2$, imposibil pentru $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ ($\sqrt{2}$ este irațional); dacă $b=0$, atunci $a=0$. Deci pentru $M(a,b)\ne O_2$, $\det M(a,b)\ne 0$ și matricea este inversabilă, cu $M(a,b{)}^{-1}=\frac{1}{a^2-2b^2}\left(\begin{array}{cc}a& -2b\\ -b& a\end{array}\right)=M\left(\frac{a}{a^2-2b^2},\frac{-b}{a^2-2b^2}\right)\in K$.

c) (3 p) $\det M(1,1)=1-2=-1$, deci $M(1,1{)}^{-1}=M(-1,1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)$. Verificare: $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Pentru părinți și profesori

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu). Nota = punctajul total împărțit la 10, rotunjită la întreg pentru catalog.
• Timp recomandat: două ore de curs (2 × 50 de minute): orientativ Partea I și o parte din Partea a II-a în prima oră, restul în a doua; oficiul se acordă o singură dată. Fără întrerupere, proba durează în jur de 90 de minute (20 pentru Partea I, 35 pentru a II-a, 35 pentru a III-a). Anul școlar al clasei a XII-a se încheie pe 4 iunie 2027, așa că proba se planifică la sfârșitul lui mai.
• Materiale: riglă, creion, foaie de matematică. Fără calculator.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvarea completă, cu justificări, ca la Bacalaureat.

Interpretarea rezultatului: