Evaluarea Națională 2017, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $20-20:2$ este egal cu: a) $10$ b) $30$ c) $0$ d) $5$

Exercițiul 2 · 5 puncte Șase caiete de același fel costă $30$ de lei. Trei dintre acestea costă: a) $10$ lei b) $6$ lei c) $15$ lei d) $20$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\{1,2,3,4\}$ și $B=\{4,6,8\}$, atunci mulțimea $A\cap B$ este egală cu: a) $\{1,2,3,4,6,8\}$ b) $\{4\}$ c) $\varnothing$ d) $\{6,8\}$

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria unui pătrat cu latura de $6$ cm este egală cu: a) $18{\text{cm}}^2$ b) $12{\text{cm}}^2$ c) $24{\text{cm}}^2$ d) $36{\text{cm}}^2$

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$. Dacă suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului este egală cu $12$ cm, atunci lungimea muchiei $AB$ este egală cu:

a) $4$ cm b) $3$ cm c) $2$ cm d) $6$ cm

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos este prezentat numărul de elevi al fiecăreia dintre clasele unei școli.

Conform tabelului, numărul total al elevilor din clasele a VIII-a ale acestei școli este egal cu: a) $56$ b) $60$ c) $54$ d) $58$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$.

Numărul muchiilor cubului $ABCDEFGH$ este egal cu: a) $6$ b) $24$ c) $8$ d) $12$

Exercițiul 2 · 5 puncte Valoarea expresiei $(1+0,5)(1-0,5)+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2$ este egală cu: a) $\frac{3}{4}$ b) $1$ c) $\frac{5}{4}$ d) $\frac{9}{4}$

Exercițiul 3 · 5 puncte Determinați două numere, știind că media lor aritmetică este egală cu $150$, iar raportul celor două numere este egal cu $\frac{1}{2}$. Cele două numere sunt: a) $120$ și $180$ b) $100$ și $200$ c) $150$ și $150$ d) $50$ și $250$

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Oy$ în punctul de coordonate: a) $(3,0)$ b) $\left(-\frac{3}{2},0\right)$ c) $(0,-3)$ d) $(0,3)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. În sistemul de coordonate $xOy$, abscisa punctului care aparține graficului funcției $f$ și care are abscisa egală cu ordonata este egală cu: a) $-3$ b) $3$ c) $-\frac{3}{2}$ d) $0$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\frac{(x+2{)}^2-9}{x^2-25}:\frac{x-1}{x-5}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -5$, $x\ne 1$ și $x\ne 5$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $-1$ b) depinde de $x$ c) $1$ d) $x-1$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $ABCD$ cu $AB=8\sqrt{3}$ cm și $AD=8$ cm. Pe segmentul $BD$ se consideră punctele $E$ și $F$ astfel încât $m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle EAF)=m(\sphericalangle FAB)$.

Arătați că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $16(\sqrt{3}+1)$ cm.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8\sqrt{3}$ cm și $AD=8$ cm, ca în figura alăturată. Pe segmentul $BD$ se consideră punctele $E$ și $F$ astfel încât $m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle EAF)=m(\sphericalangle FAB)$.

Demonstrați că punctele $A$, $F$ și $C$ sunt coliniare.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=8\sqrt{3}$ cm și $AD=8$ cm, ca în figura alăturată. Pe segmentul $BD$ se consideră punctele $E$ și $F$ astfel încât $m(\sphericalangle DAE)=m(\sphericalangle EAF)=m(\sphericalangle FAB)$.

Știind că $FM\parallel AB$, unde $M\in (AD)$ și $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $FM$ și $AE$, demonstrați că dreptele $DN$ și $AC$ sunt perpendiculare.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cilindru circular drept cu generatoarea $A{A}^{\prime }=12$ cm. Segmentul $AB$ este diametru al bazei cilindrului, $AB=10$ cm, iar punctul $O^{\prime }$ este mijlocul diametrului $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

Arătați că aria laterală a cilindrului circular drept este egală cu $120\pi {\text{cm}}^2$.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou cilindrul circular drept cu generatoarea $A{A}^{\prime }=12$ cm, unde $AB$ este diametru al bazei cilindrului, $AB=10$ cm, iar punctul $O^{\prime }$ este mijlocul diametrului $A^{\prime }{B}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Demonstrați că segmentul $A^{\prime }B$ are lungimea mai mică de $16$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou cilindrul circular drept cu generatoarea $A{A}^{\prime }=12$ cm, unde $AB$ este diametru al bazei cilindrului, $AB=10$ cm, iar punctul $O^{\prime }$ este mijlocul diametrului $A^{\prime }{B}^{\prime }$, ca în figura alăturată.

Calculați valoarea sinusului unghiului dintre dreapta $A{O}^{\prime }$ și planul uneia dintre bazele cilindrului circular drept.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. a) $20-20:2=20-10=10$ (întâi împărțirea, apoi scăderea).
2. c) Un caiet costă $30:6=5$ lei; trei caiete costă $3\cdot 5=15$ lei.
3. b) $A\cap B$ conține elementele comune celor două mulțimi; singurul element comun este $4$, deci $A\cap B=\{4\}$.
4. d) Aria pătratului $={\text{latura}}^2=6^2=36{\text{cm}}^2$.
5. c) Tetraedrul regulat $ABCD$ are $6$ muchii congruente; din $6\cdot AB=12$ rezultă $AB=2$ cm.
6. d) Din tabel, clasa a VIII-a A are $30$ de elevi, iar clasa a VIII-a B are $28$ de elevi; total $30+28=58$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Cubul $ABCDEFGH$ are $8$ vârfuri, $6$ fețe și $12$ muchii.
2. c) $(1+0,5)(1-0,5)=1,5\cdot 0,5=0,75=\frac{3}{4}$; ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$. Suma este $\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$.
3. b) Fie $x$ și $y$ cele două numere, cu $\frac{x+y}{2}=150$, deci $x+y=300$; cum $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$, obținem $y=2x$, deci $3x=300\Rightarrow x=100$ și $y=200$.
4. d) $f(0)=2\cdot 0+3=3$, deci graficul intersectează axa $Oy$ în punctul $(0,3)$.
5. a) Fie $A(a,a)$ punctul căutat; din $f(a)=a$ rezultă $2a+3=a$, deci $a=-3$.
6. c) $(x+2{)}^2-9=(x+2-3)(x+2+3)=(x-1)(x+5)$, deci $\frac{(x+2{)}^2-9}{x^2-25}=\frac{(x-1)(x+5)}{(x-5)(x+5)}=\frac{x-1}{x-5}$. Atunci $E(x)=\frac{x-1}{x-5}:\frac{x-1}{x-5}=1$, pentru orice $x$ real, $x\ne -5$, $x\ne 1$ și $x\ne 5$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Perimetrul dreptunghiului este $P_{ABCD}=2(AB+AD)$ (2 p). Înlocuind, $P_{ABCD}=2(8\sqrt{3}+8)=16\sqrt{3}+16=16(\sqrt{3}+1)$ cm (3 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte Triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $A$, deci $BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{(8\sqrt{3}{)}^2+8^2}=\sqrt{192+64}=\sqrt{256}=16$ cm; cum $\frac{AD}{BD}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$, obținem $m(\sphericalangle ABD)=30°$, deci $m(\sphericalangle ADB)=60°$ (2 p). Unghiul $\sphericalangle DAB=90°$ este împărțit de $AE$ și $AF$ în trei unghiuri de $30°$ fiecare, deci $m(\sphericalangle DAF)=m(\sphericalangle DAE)+m(\sphericalangle EAF)=60°$; cum și $m(\sphericalangle ADF)=m(\sphericalangle ADB)=60°$ ($F\in BD$), triunghiul $ADF$ este echilateral, deci $AF=FD=AD=8$ cm (2 p). Cum $BD=16$ cm, rezultă $FB=BD-FD=16-8=8=FD$, deci $F$ este mijlocul lui $BD$; cum $ABCD$ este dreptunghi, diagonalele se înjumătățesc reciproc, deci mijlocul lui $BD$ coincide cu mijlocul lui $AC$, adică $F\in AC$, deci punctele $A$, $F$ și $C$ sunt coliniare (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $FM\parallel AB$ și $AB\perp AD$ (unghi drept al dreptunghiului), deci $FM\perp AD$, adică $FM$ este înălțime în triunghiul echilateral $AFD$ (arătat la cerința anterioară) (2 p). $AE$ împarte unghiul $\sphericalangle DAF=60°$ în două unghiuri de $30°$ fiecare, deci $AE$ este bisectoarea unghiului din $A$; într-un triunghi echilateral, bisectoarea dintr-un vârf este și înălțime, deci $AE$ este înălțime în triunghiul $AFD$ (2 p). Punctul $N$, intersecția înălțimilor $FM$ și $AE$, este ortocentrul triunghiului $AFD$, deci a treia înălțime, dusă din $D$, trece prin $N$: $DN\perp AF$. Cum $A$, $F$, $C$ sunt coliniare (arătat mai sus), dreapta $AF$ este dreapta $AC$, deci $DN\perp AC$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Aria laterală a cilindrului circular drept este ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=2\pi R\cdot G$, unde $R$ este raza bazei și $G$ generatoarea (2 p). Raza bazei este $R=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5$ cm, iar generatoarea este $G=A{A}^{\prime }=12$ cm, deci ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=2\pi \cdot 5\cdot 12=120\pi {\text{cm}}^2$ (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte Triunghiul $AB{A}^{\prime }$ este dreptunghic în $A$ (generatoarea $A{A}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei, deci pe $AB$), deci $A^{\prime }{B}^2=A{A}^{\prime 2}+A{B}^2=12^2+10^2=144+100=244$ (3 p). Cum $16^2=256$ și $244<256$, rezultă $A^{\prime }B<16$ cm (2 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte Fie $O$ centrul bazei inferioare; segmentul $O{O}^{\prime }$ este axa cilindrului, perpendiculară pe planul bazei, cu $O{O}^{\prime }=A{A}^{\prime }=12$ cm, iar $AO=R=5$ cm (rază). Cum $O{O}^{\prime }\perp$ planul bazei, unghiul dintre dreapta $A{O}^{\prime }$ și planul bazei este egal cu $m(\sphericalangle OA{O}^{\prime })$ (2 p). Triunghiul $OA{O}^{\prime }$ este dreptunghic în $O$, deci $A{O}^{\prime }=\sqrt{A{O}^2+O{O}^{\prime 2}}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ cm, deci $\sin (\sphericalangle OA{O}^{\prime })=\frac{O{O}^{\prime }}{A{O}^{\prime }}=\frac{12}{13}$ (3 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 6, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2017, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 4 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o probă scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2016–2017, sesiunea din iunie 2017, Varianta 6 — publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Este proba dată la finalul clasei 8, de absolvenții din toată țara. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile, notațiile literelor și datele din tabel sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. La convenția site-ului sunt aduse instrucțiunile de subiect, formulate la persoana a doua singular („Scrie"), ca în restul probelor de aici; ce s-a mai schimbat față de document e scris în nota de mai jos. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul urmează, rând cu rând, baremul oficial.

Notă de transparență privind formatul. În 2017 documentul oficial nu era grilă: la Subiectul I se cerea „pe foaia de examen scrieți numai rezultatele" (răspuns scurt, fără variante), iar la Subiectul al II-lea se cerea „pe foaia de examen scrieți rezolvările complete", cu barem pe pași. Pentru ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea enunțul și răspunsul corect sunt din documentul oficial, iar cele trei variante greșite sunt adăugate de noi — ele nu apar în niciun document al examenului. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, imposibil de dat pe ecran, și au fost înlocuite cu o întrebare cu răspuns unic despre același obiect: cerința 1, unde documentul cerea „Desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCDEFGH$" (baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării), este pusă aici ca număr al muchiilor aceluiași cub; cerința 4 a) din document, adică cerința 4 a Subiectului al II-lea de pe pagină, unde documentul cerea „Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$" (baremul dădea 2 puncte pentru un punct al graficului, 2 puncte pentru al doilea și 1 punct pentru trasare), este pusă aici ca punct de intersecție a graficului aceleiași funcții $f(x)=2x+3$ cu axa $Oy$. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem, fiecare cerință purtând figura și datele complete, ca să poată fi rezolvată independent.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe ale probei de clasa 8:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea scăderii, fără paranteze; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Prețul unitar — șase caiete costă $30$ de lei, cât costă trei; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 2)
• Intersecția a două mulțimi — elementele comune, scrise între acolade; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Aria pătratului — latura ridicată la pătrat, cu unitatea de măsură; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Tetraedrul regulat — șase muchii congruente și suma lor; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Citirea unui tabel de date — selectarea celor două clase cerute și adunarea lor; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Cubul: elementele lui — câte muchii are cubul $ABCDEFGH$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Calcul cu zecimale și radicali — produsul sumă–diferență și pătratul unei fracții cu radical; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Media aritmetică și raportul — două numere cu media $150$ și raportul $\frac{1}{2}$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția liniară: tăietura cu $Oy$ — valoarea funcției în $0$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Funcția liniară: abscisa egală cu ordonata — ecuația $f(a)=a$; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Expresie algebrică cu fracții — diferență de pătrate, simplificare și împărțirea a două fracții; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Perimetrul dreptunghiului — calcul cu radicali și factor comun; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Unghiul drept trisectat într-un dreptunghi — triunghi echilateral și coliniaritate prin diagonale; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Ortocentrul unui triunghi echilateral — două înălțimi care se taie și a treia perpendiculară; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Cilindrul circular drept: aria laterală — raza dedusă din diametru și generatoarea; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Teorema lui Pitagora în spațiu — compararea unei lungimi cu $16$ cm, prin pătrate; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Unghiul dintre o dreaptă și un plan — proiecția pe planul bazei și sinusul unghiului; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2017. Subiectul I se pierde din neatenție, nu din necunoaștere: la cerința 1, $20-20:2=20-10=10$, iar $0$ apare exact dacă scazi înainte de a împărți, adică dacă citești $(20-20):2$; la cerința 5, tetraedrul regulat are șase muchii, nu patru, deci $12:6=2$ cm, în timp ce $3$ cm iese din împărțirea la numărul fețelor; la cerința 6 se cer numai cele două clase a VIII-a, $30+28=58$, iar $56$ și $60$ apar dacă dublezi una dintre valori. La Subiectul al II-lea, care în 2017 se scria integral, capcanele sunt de calcul și de citire: la cerința 2, $(1+0,5)(1-0,5)=1-0,25=\frac{3}{4}$, iar ${\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{1}{2}$, deci suma este $\frac{5}{4}$ — oprirea la $\frac{3}{4}$ este greșeala tipică; la cerința 3, raportul $\frac{x}{y}=\frac{1}{2}$ înseamnă $y=2x$, deci $100$ și $200$, nu două numere egale cu media; la cerințele 4 și 5, aceeași funcție dă două puncte diferite — graficul taie axa $Oy$ în $(0,3)$, iar punctul cu abscisa egală cu ordonata are abscisa $-3$; la cerința 6, $(x+2{)}^2-9$ este o diferență de pătrate, $(x-1)(x+5)$, iar după simplificare expresia este constantă, egală cu $1$. La Subiectul al III-lea, tot ce se cere este justificarea: din $AD=\frac{BD}{2}$ rezultă $m(\sphericalangle ABD)=30^{\circ }$, trisectarea unghiului drept face triunghiul $AFD$ echilateral, iar de aici $F$ este mijlocul lui $BD$ și, prin proprietatea diagonalelor dreptunghiului, se află pe $AC$; la cilindru, comparația se face între $244$ și $256$, fără extragerea rădăcinii, iar unghiul dintre dreapta $A{O}^{\prime }$ și planul bazei se măsoară față de proiecția $AO$.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de a 8-a care se antrenează acasă: cronometrul pornit de la prima cerință. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate": numere întregi, fracții simple sau expresii de forma $16(\sqrt{3}+1)$.
• Redactare: pe pagina aceasta, la Subiectele I și al II-lea se alege o singură literă; pe foaia din 2017, Subiectul al II-lea se scria integral, cu toți pașii, iar cine vrea proba adevărată rezolvă în scris și abia apoi alege varianta. La Subiectul al III-lea se scriu toți pașii și justificările, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și la Subiectul al III-lea pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: perimetrul scris direct ca $16(\sqrt{3}+1)$, fără linia $P=2(AB+AD)$, pentru care baremul dă 2 puncte (cerința 1); afirmația „$F$ este mijlocul lui $BD$" fără triunghiul echilateral $AFD$ și fără proprietatea că diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, singura care aduce $F$ pe $AC$ (cerința 2); concluzia „$N$ este ortocentru" fără a arăta că amândouă dreptele $FM$ și $AE$ sunt înălțimi în triunghiul $AFD$ (cerința 3); aria laterală calculată cu diametrul în locul razei sau scrisă fără formula ${\mathcal{A}}_{lateral\breve{a}}=2\pi RG$ (cerința 4); trecerea de la $A^{\prime }{B}^2=244$ la concluzie fără comparația $244<256$ (cerința 5); unghiul numit $\sphericalangle OA{O}^{\prime }$ fără a spune că $AO$ este proiecția lui $A{O}^{\prime }$ pe planul bazei (cerința 6).

Interpretarea punctajului: