Derivate — clasa a XI-a

Derivata într-un punct este limita raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, iar geometric este panta tangentei la grafic în acel punct. Capitolul de clasa a XI-a are 16 lecții și 5 teste cu barem: definiția, tabelul derivatelor, regulile de calcul și trei teoreme pe care se sprijină tot restul analizei.

Actualizat: 6 septembrie 2026.

Este capitolul în care analiza devine unealtă de lucru: până aici limitele răspundeau la întrebări despre limite, de aici înainte răspund la întrebări despre funcție — unde crește, unde are extreme, câte soluții are o ecuație. Se învață după limitele de funcții, fiindcă definiția derivatei este o limită, și se continuă imediat în studiul variației. Pagina de derivate strânge cele 16 lecții, tabelul de formule, exercițiile rezolvate și cele cinci teste ale capitolului.

Ce se cere la Bacalaureatul M1 din derivate

La proba M1 derivatele cad aproape toate la Subiectul al III-lea, într-o problemă cu trei subpuncte legate între ele: primul cere derivata, iar cele care urmează se sprijină pe ea. Sunt 159 de cerințe în 86 dintre cele 91 de probe oficiale din 2010–2026. Șapte tipare de cerință epuizează ce se dă din derivate:

Ce s-a cerut efectiv la derivate, an de an, este strâns la derivate și reguli de derivare la Bac M1.

Teorie: cele 16 lecții ale capitolului

Lecțiile merg în patru etape: definiția cu interpretarea ei geometrică, tabelul derivatelor cu regulile de calcul, teoremele și, la final, regula lui L'Hôpital.

Definiția și ce se vede din ea. Problema tangentei și definiția derivatei pornește de la panta unei secante și o duce la limită, iar derivatele laterale dau criteriul de derivabilitate: cele două derivate laterale trebuie să existe, să fie finite și să fie egale. Legătura dintre derivabilitate și continuitate lămurește o implicație care merge într-un singur sens: orice funcție derivabilă este continuă, dar nu invers. Interpretarea geometrică a derivatei și ecuația tangentei sunt aplicația imediată a definiției, iar punctele unghiulare și punctele de întoarcere arată cum se citesc, pe grafic, cele două feluri de nederivabilitate.

Tabelul derivatelor și regulile. Derivatele funcțiilor uzuale strâng rezultatele care se rețin pe de rost, regulile de derivare pentru sumă, produs și cât dau aparatul de calcul, iar derivarea funcțiilor compuse adaugă pasul care se uită de obicei: factorul care vine din funcția dinăuntru. Derivata de ordinul al doilea închide etapa și pregătește convexitatea din capitolul următor.

Cele trei teoreme. Punctele de extrem și teorema lui Fermat leagă extremele de anularea derivatei, cu ipotezele ei stricte — punct interior și funcție derivabilă acolo. Teorema lui Rolle este primul rezultat de existență al capitolului: dă un punct fără să-l calculeze. Din ea iese direct șirul lui Rolle, metoda prin care se află câte soluții reale are o ecuație. Teorema lui Lagrange o generalizează, tot ca rezultat de existență, iar consecințele teoremei lui Lagrange dau legătura dintre semnul derivatei și monotonie, pe care se sprijină tot capitolul următor.

Regula lui L'Hôpital. Regulile lui L'Hopital pentru zero supra zero și infinit supra infinit rezolvă rapid nedeterminările la care, în capitolul de limite, era nevoie de transformări lungi, iar nedeterminările reduse la L'Hopital arată cum se aduc la una dintre cele două forme și celelalte cazuri.

Formule

Tema de formule are 11 intrări. De definiție și de geometrie sunt definiția derivatei într-un punct, derivatele laterale, punctele unghiulare și punctele de întoarcere și ecuația tangentei la graficul unei funcții, pagina la care ajungi la fiecare cerință cu tangentă.

Tabelul propriu-zis este împărțit în două: derivatele funcțiilor putere și radical și derivatele funcțiilor logaritmice, exponențiale și trigonometrice. Peste ele lucrează regulile de derivare, derivarea funcțiilor compuse și derivata de ordinul al doilea.

Ultimele trei sunt de teoreme: teorema lui Fermat, teoremele lui Rolle și Lagrange și regulile lui L'Hôpital — pe fiecare, ipotezele sunt scrise separat de concluzie, fiindcă la examen ele se verifică una câte una, înainte de a fi folosite. Tema întreagă este la formulele de derivate.

Termenii se recitesc scurt în glosar: derivata unei funcții într-un punct, funcție derivabilă, derivate laterale, derivata de ordinul al doilea, tangenta la graficul unei funcții, teorema lui Fermat, teorema lui Rolle, teorema lui Lagrange, șirul lui Rolle și regulile lui L'Hôpital.

Exerciții rezolvate

Cele 12 exerciții rezolvate de derivate sunt grile; deschizând „Vezi rezolvarea" găsești răspunsul, calculul întreg și lecția din care vine cerința. Acoperă derivata calculată cu definiția, derivatele funcțiilor uzuale, produsele, funcțiile compuse, derivata de ordinul al doilea, studiul derivabilității într-un punct de racord, citirea nederivabilității de pe grafic, monotonia citită din semnul derivatei și nedeterminările rezolvate cu L'Hôpital, inclusiv reducerea produsului zero ori infinit la o fracție și numărarea soluțiilor unei ecuații cu șirul lui Rolle. Ecuația tangentei și cerințele în care ipotezele lui Rolle și ale lui Lagrange se verifică în scris se lucrează pe testele capitolului.

Exerciții cu verificare

Aici se derivează, nu se citește. Testul ghidat de reguli de derivare reia firul din locul în care ai rămas. La derivate ghidajul intervine în cele două locuri în care un rezultat greșit arată corect: la regula câtului, unde ordinea termenilor de la numărător schimbă semnul, și la funcțiile compuse, unde lipsește factorul venit din funcția dinăuntru.

Teste cu barem

Cele cinci teste de derivate au același format: 13 cerințe, 100 de puncte cu tot cu cele 10 din oficiu și 50 de minute de lucru, adică o oră de curs. Baremul și rezolvările stau deschise în josul fiecărei pagini.

• Test: definiția derivatei și derivatele laterale — raportul de creștere, limita lui și criteriul de derivabilitate. Se dă primul.
• Test: tangenta la grafic, puncte unghiulare și de întoarcere — partea geometrică a capitolului, cu citirea nederivabilității de pe grafic.
• Test: reguli de derivare și derivatele funcțiilor uzuale — testul de calcul al capitolului; cel de care depinde viteza la Subiectul al III-lea.
• Test: teoremele lui Fermat, Rolle și Lagrange — cerințe de demonstrație, în care ipotezele se verifică scris, una câte una.
• Test: regulile lui L'Hopital — nedeterminările rezolvate cu derivate, inclusiv cazurile care se aduc la cele două forme de bază.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului este citirea inversă a derivatei, termen cu termen: după ce ai derivat, treci prin fiecare termen al rezultatului și spune din ce termen al funcției a venit. Puterile lui $x$ trebuie să fi coborât cu o unitate, exponențialele trebuie să fi rămas pe loc, cu un factor în plus, iar fiecare compunere trebuie să fi lăsat în urmă un factor. Dacă un termen al rezultatului nu are proveniență, ai adăugat ceva; dacă un termen al funcției nu are urmaș și nu este o constantă, l-ai pierdut.

Citirea inversă prinde primele două greșeli de mai jos, cele de calcul. Ultimele două nu se văd la nicio probă numerică — derivata poate fi calculată corect și cerința tot nepunctată —, așa că pentru ele se face a doua probă: recitește enunțul și bifează, una câte una, datele pe care le cere concluzia. La o teoremă, ipotezele; la o tangentă, panta și punctul.

1. Termenul rezultat își găsește proveniența, dar iese prea scurt — la compuneri lipsește factorul venit din funcția dinăuntru, iar derivata arată ca a unei funcții simple. Se repară la derivarea funcțiilor compuse.
2. Citirea inversă a numărătorului dă funcția cu semn schimbat — la cât, scăderea nu este comutativă, deci fiecare termen își are proveniența, dar întregul rezultat este opusul celui bun. Se repară la regulile de derivare.
3. Concluzia teoremei este scrisă, dar bifele de deasupra ei lipsesc — la Rolle sunt trei: continuitate pe intervalul închis, derivabilitate pe cel deschis, valori egale la capete. Fără ele, concluzia nu se punctează. Se repară la teorema lui Rolle.
4. Bifezi panta și te oprești — ecuația tangentei cere două date, nu una; o dreaptă cu panta bună care nu trece prin punctul de tangență nu este tangenta. Se repară la ecuația tangentei.

Recapitulare și pregătire pentru Bacalaureatul M1

Recapitularea capitolului este recapitulare: continuitate și funcții derivabile, iar cerințele de derivate în formă de examen, cu enunț și rezolvare, sunt adunate în sinteza finală de clasa a XI-a. Pentru repetat rapid sunt cartonașele definiția derivatei și regulile de derivare.

Cât cântăresc derivatele în subiectele publicate se vede la ce intră la Bacalaureatul M1; enunțurile întregi, cu baremul lor, stau pe cele 91 de subiecte oficiale, iar sesiunea care urmează are pagina ei la subiectele de Bacalaureat 2027.

De aici încolo

Capitolul se sprijină pe limitele de funcții, fiindcă derivata este o limită, și pe limitele de șiruri, de unde vine vocabularul. Se continuă direct în studiul funcțiilor, unde derivata întâi dă monotonia, iar derivata a doua, convexitatea. Panta tangentei, noțiunea geometrică a capitolului, vine de la dreapta în plan. Celelalte șapte capitole ale anului sunt strânse pe hub-ul clasei a XI-a; de acolo se ajunge și la varianta tipăribilă a exercițiilor, fișele de lucru. Primitivele, operația inversă a derivării, intră în programa de clasa a XII-a.

Întrebări frecvente

De unde încep capitolul de derivate?

De la definiție, chiar dacă la examen se cere rareori: fără ea, derivatele laterale, punctele unghiulare și cerințele de tip „calculați limita, folosind definiția derivatei" rămân neînțelese. După prima lecție poți trece direct la tabelul derivatelor și la reguli, care acoperă majoritatea calculelor cerute.

În ce ordine se învață cele 16 lecții de derivate și ce nu se poate sări?

În patru etape: definiția și derivabilitatea, tabelul cu regulile, teoremele, apoi L'Hôpital. Nu se sar regulile de derivare — sunt aparatul cu care se lucrează tot restul anului — și nu se sar consecințele teoremei lui Lagrange, fiindcă din ele iese legătura dintre semnul derivatei și monotonie, adică începutul capitolului următor.

Ce îmi trebuie din capitolul de limite ca să încep derivatele?

Calculul limitelor cu nedeterminare zero supra zero, limitele fundamentale și noțiunea de limită laterală. Raportul din definiția derivatei este chiar o nedeterminare de acest fel, iar derivatele laterale se calculează ca limite laterale. Continuitatea îți trebuie ca să înțelegi de ce derivabilitatea o implică, dar nu invers.

De ce vine regula lui L'Hôpital abia la sfârșitul capitolului de derivate?

Fiindcă are nevoie de tot aparatul dinaintea ei: se derivează numărătorul și numitorul separat, deci trebuie știute tabelul derivatelor, regulile de calcul și derivarea funcțiilor compuse. Pusă la începutul capitolului, regula ar fi devenit o rețetă aplicată fără verificarea nedeterminării — greșeala pe care baremele o sancționează sistematic. Ordinea are și un al doilea motiv: nedeterminările pe care le rezolvă au fost întâlnite deja, în capitolul de limite, prin transformări algebrice lungi, iar contrastul dintre cele două drumuri se vede abia acum.

Ce se depunctează la cerințele de derivate, indiferent de lecție?

Trei lucruri. Ipotezele nescrise: la Rolle și la Lagrange fiecare ipoteză lipsă se scade separat, chiar dacă rezultatul final este corect. Tipul nedeterminării, neprecizat înainte de a aplica o regulă — la L'Hôpital, verificarea că raportul chiar este $\frac{0}{0}$ sau $\frac{\infty }{\infty }$ face parte din rezolvare. Și confuzia dintre punct și valoare: ecuația tangentei cere și panta, și punctul de tangență. Niciuna dintre cele trei nu ține de calcul, ci de redactare — de aceea se pierd puncte și când rezultatul numeric este bun.

La ce folosesc teoremele lui Rolle și Lagrange, dacă nu calculează nimic?

La demonstrarea existenței unui punct cu o proprietate cerută, fără să-l afli. Din ele ies cerințele de tipul „arătați că există $c$ în interval pentru care…", metoda de a număra soluțiile unei ecuații cu șirul lui Rolle și, prin consecințele lui Lagrange, regula după care semnul derivatei dă monotonia. Sunt teoreme de existență, nu de calcul.

Ce se dă la teza de la finalul capitolului de derivate?

De obicei două-trei derivate de calculat, dintre care una compusă, o ecuație de tangentă, un studiu de derivabilitate într-un punct de racord și o cerință cu Rolle sau Lagrange. Testul de reguli de derivare este cel care schimbă rezultatul: cine derivează fără ezitare câștigă timp la toate celelalte cerințe.