Ecuația f(x) = g(x) și șirul lui Rolle

Formulă din tema Asimptote și reprezentarea grafică, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Numărul soluțiilor se poate afla pe două drumuri: grafic (se intersectează cele două grafice) sau riguros, cu șirul lui Rolle aplicat funcției auxiliare $h$ — se calculează rădăcinile lui $h^{\prime }$, se scriu valorile lui $h$ în ele și la capetele domeniului, iar fiecare schimbare de semn din șir dă exact o rădăcină. Cele două drumuri dau aceleași concluzii; la Bacalaureat M1 se cere de obicei al doilea, fiindcă graficul singur nu este demonstrație.

Exemplu: $e^x=x+2$: cu $h(x)=e^x-x-2$ avem $h^{\prime }(x)=e^x-1$, deci $h$ are minimul $h(0)=-1<0$, iar la ambele capete $h\to +\infty$ — două soluții reale.