Derivarea funcțiilor compuse

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) (u^{n})^{'} = n u^{n - 1} u^{'}, (u)^{'} = \frac{u ^{'}}{2 u}, (ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}, (e^{u})^{'} = e^{u} u^{'}, (a^{u})^{'} = a^{u} u^{'} ln a (sin u)^{'} = u^{'} cos u, (cos u)^{'} = - u^{'} sin u, (tg u)^{'} = \frac{u ^{'}}{cos ^{2} u}, (ctg u)^{'} = - \frac{u ^{'}}{sin ^{2} u}

$u = u (x)$ este o funcție derivabilă, iar $f \circ g$ este compunerea „întâi $g$ , apoi $f$ ”. Regula spune: se derivează funcția din afară, păstrând nemodificat ce este înăuntru, apoi se înmulțește cu derivata funcției dinăuntru. Factorul $u^{'}$ este cel uitat cel mai des — el este singura diferență față de tabelul funcțiilor uzuale. Pentru compuneri pe mai multe niveluri regula se aplică repetat, de la exterior spre interior. Notația este $(f \circ g)^{'}$ ; notația lui Leibniz, cu diferențiale, nu se folosește la clasa a XI-a în acest curs.

Exemplu: $(sin 3 x)^{'} = 3 cos 3 x$ ; $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$ ; $(x^{2} + 4)^{'} = \frac{x}{x ^{2} + 4}$ . • $(e^{s i n x})^{'} = e^{s i n x} cos x$ .

Derivarea funcțiilor compuse

Continuă cu