Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2014 (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficul funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+4$ cu axa $Oy$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{3x-1}=9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie mai mic sau egal cu $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(4,1)$ și $C(4,4)$. Arătați că $AB=BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați aria triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$ știind că $AB=6$ și $BC=10$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot A=5A$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A+\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& -3\end{array}\right)=I_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y+xy$.

a) (5 puncte) Arătați că $(-1)\circ 1=-1$.

b) (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+1)(y+1)-1$ pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x+1)\circ (x-3)=4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(2,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-1}{x-2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x-2{)}^2}$, $x\in (2,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=3$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1(2x+1)dx=2$.

b) (5 puncte) Determinați volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=f(x)-2x-1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este o funcție crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Barem și răspunsuri

Suma cerințelor este 90 p; oficiul adaugă 10 p, rezultând 100 p. Cerințele 1–6 au câte 5 p, iar subpunctele cerințelor 7–10 au tot câte 5 p. Marcajele „(1 p)”, „(2 p)”, „(3 p)” de mai jos urmează rândurile documentului oficial (varianta 5): două pe cerință, cu excepția cerinței 4, care are trei ($2$ p, $1$ p, $2$ p). Calculele, contraprobele și observațiile le-am scris noi.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții și ridicare la pătrat.

Paranteza se calculează prima, cu numitorul comun $2$, apoi se ridică la pătrat: $${\left(1-\frac{1}{2}\right)}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$ Fracțiile $\frac{1}{4}$ și $\frac{3}{4}$ au același numitor, iar numărătorii dau $1+3=4$: $$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: în zecimale, $0,5^2=0,25$ și $0,25+0,75=1$. Greșeală posibilă: pătratul se ia termen cu termen, $1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$; atunci suma ar fi $\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$, nu $1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Oy$.

Orice punct al axei $Oy$ are abscisa $0$, deci ordonata punctului căutat este valoarea funcției în $0$: $$f(0)=0+4=4\text{(3 p)}.$$ Punctul de intersecție are coordonatele $x=0$ și $y=4$, adică $(0,4)$ (2 p).

(Verificare: ordonata la origine a dreptei $y=x+4$ este termenul liber, $4$. Greșeală posibilă: se rezolvă ecuația $x+4=0$, care dă $x=-4$; punctul $(-4,0)$ stă pe axa $Ox$, nu pe $Oy$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrul drept se scrie ca putere a lui $3$: $9=3^2$. Cele două puteri au aceeași bază, deci exponenții coincid: $$3x-1=2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $3x=3$, adică $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Verificare: $3^{3\cdot 1-1}=3^2=9$. Greșeală posibilă: se egalează exponentul cu $9$, adică $3x-1=9$ și $x=\frac{10}{3}$; atunci $3^{3x-1}=3^9=19683$, nu $9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$. Dintre ele, cele care nu depășesc $3$ sunt $0,1,2,3$; acestea dau $4$ cazuri favorabile (2 p). Cazurile posibile sunt toate cele zece cifre, deci $10$ cazuri (1 p). Probabilitatea este raportul lor: $$P=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: probabilitatea evenimentului contrar, cifra mai mare decât $3$, este $\frac{6}{10}$, iar $\frac{2}{5}+\frac{6}{10}=1$. Greșeală posibilă: se omite $0$ din listă; atunci cazurile favorabile ar fi $3$, iar raportul $\frac{3}{10}$, deși $0$ este număr natural de o cifră.)

Exercițiul 5. (5 p) — două lungimi egale.

Punctele $A$ și $B$ au aceeași ordonată, $1$, iar abscisele diferă prin $3$: $$AB=\sqrt{(4-1{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{9}=3\text{(2 p)}.$$ Punctele $B$ și $C$ au aceeași abscisă, $4$, iar ordonatele diferă prin $3$: $$BC=\sqrt{(4-4{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{9}=3.$$ Ambele lungimi sunt $3$, deci $AB=BC$ (3 p).

(Verificare: $[AB]$ este orizontal și $[BC]$ este vertical, deci triunghiul $ABC$ are unghi drept în $B$ și laturile de lungime $3$, $3$ și $AC=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$. Greșeală posibilă: se compară $AB$ cu $AC$; ele nu sunt egale, fiindcă $3\ne 3\sqrt{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci $BC$ este ipotenuza, iar $AB$ și $AC$ sunt catetele. Relația lui Pitagora pentru ipotenuza $BC$ dă $$A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=100-36=64,\text{deci}AC=8\text{(2 p)}.$$ Aria este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{6\cdot 8}{2}=24\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $6^2+8^2=36+64=100=10^2$. Greșeală posibilă: se tratează $BC$ ca a doua catetă; atunci $\frac{6\cdot 10}{2}=30$, nu $24$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricea $A$.

a) (5 p) Se scrie determinantul cu elementele celor două linii: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ Cele două produse de diagonală sunt egale, $1\cdot 4=4$ și $2\cdot 2=4$: $$\det A=4-4=0\text{(3 p)}.$$

(Observație: linia a doua se obține dublând prima, deci determinantul este $0$. Greșeală posibilă: produsele se adună, $1\cdot 4+2\cdot 2=8$, în loc să se scadă.)

b) (5 p) Fiecare poziție a produsului se completează înmulțind linia corespunzătoare din primul factor cu coloana corespunzătoare din al doilea, element cu element, apoi adunând: $1\cdot 1+2\cdot 2=5$, $1\cdot 2+2\cdot 4=10$, $2\cdot 1+4\cdot 2=10$ și $2\cdot 2+4\cdot 4=20$. Prima linie a produsului este deci $(5,10)$, iar a doua este $(10,20)$ (3 p). Fiecare element obținut este de $5$ ori elementul de pe aceeași poziție din $A$, adică $$A\cdot A=5\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=5A\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $5=5\cdot 1$, $10=5\cdot 2$, $10=5\cdot 2$, $20=5\cdot 4$. Greșeală posibilă: se ridică la pătrat fiecare element al lui $A$, deci $\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 16\end{array}\right)$; acesta nu este $5A$.)

c) (5 p) Suma se formează adunând elementele de pe poziții identice: $$A+\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x& 2+y\\ 2+y& 4-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+x& 2+y\\ 2+y& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pentru a obține $I_2$ trebuie $1+x=1$ și $2+y=0$, deci $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{y}=-2$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=0$ și $y=-2$, matricea adunată este $\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ -2& -3\end{array}\right)$, iar suma cu $A$ este $I_2$. Greșeală posibilă: se egalează cu matricea nulă, $1+x=0$, de unde $x=-1$; însă suma are $1$ pe poziția $(2,2)$, nu $0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea de compoziție.

a) (5 p) Se pun $x=-1$ și $y=1$ în formula care definește legea: $$(-1)\circ 1=(-1)+1+(-1)\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni se anulează, iar produsul este $-1$: $$=0-1=-1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: cu forma de la b), $(-1+1)(1+1)-1=0-1=-1$. Greșeală posibilă: se uită termenul $xy$; atunci rămâne $(-1)+1=0$, nu $-1$.)

b) (5 p) Se pornește de la membrul drept și se dezvoltă produsul: $$(x+1)(y+1)=xy+x+y+1\text{(2 p)}.$$ Scăzând $1$ se obține $$(x+1)(y+1)-1=xy+x+y=x+y+xy=\mathbf{x}\circ \mathbf{y},$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

(Verificare: pentru $x=2$ și $y=3$, $2\circ 3=2+3+6=11$, iar $(2+1)(3+1)-1=11$. Greșeală posibilă: se dezvoltă $(x+1)(y+1)$ ca $xy+1$, fără termenii $x$ și $y$; atunci $xy+1-1=xy$, care nu este $x\circ y$.)

c) (5 p) Cu forma de la b), pentru $(x+1)\circ (x-3)$ factorii devin $(x+1)+1=x+2$ și $(x-3)+1=x-2$: $$(x+2)(x-2)-1=4,\text{adica˘}{x}^2-9=0\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^2=9$ are soluțiile $\mathbf{x}=-3$ și $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Verificare: $(-2)\circ (-6)=-2-6+12=4$ și $4\circ 0=4+0+0=4$. Greșeală posibilă: din $x^2=9$ se reține numai $x=3$; valoarea $x=-3$ verifică și ea ecuația.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $f(x)=\frac{x-1}{x-2}$.

a) (5 p) Punctul $3$ aparține domeniului $(2,+\infty )$, iar numitorul rămâne nenul în el, așa că limita se obține înlocuind direct: $$\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-1}{x-2}\text{(2 p)}.$$ $$=\frac{3-1}{3-2}=\frac{2}{1}=2\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(3)=2$, iar funcția este continuă în $3$. Greșeală posibilă: se confundă $3$ cu $2$, adică punctul în care numitorul s-ar anula; pentru $x\to 2$, $x>2$, valorile lui $f$ cresc nelimitat, adică limita este $+\infty$.)

b) (5 p) Se derivează ca un raport, cu $u=x-1$ și $v=x-2$, deci $u^{\prime }=v^{\prime }=1$: $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}=\frac{(x-2)-(x-1)}{(x-2{)}^2}\text{(2 p)}.$$ La numărător, $x-2-x+1=-1$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x-2{)}^2},x\in (2,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $f(x)=1+\frac{1}{x-2}$, iar derivata lui $\frac{1}{x-2}$ este $-\frac{1}{(x-2{)}^2}$. Greșeală posibilă: se derivează raportul ca raport al derivatelor, $\frac{u^{\prime }}{v^{\prime }}=1$; la $x=3$ derivata corectă este $-1$, nu $1$.)

c) (5 p) Pentru $x_0=3$, tangenta la grafic are ecuația $$y-f(3)=f^{\prime }(3)(x-3)\text{(2 p)}.$$ Calculăm separat $f(3)=2$ și, din b), $f^{\prime }(3)=-\frac{1}{1^2}=-1$. Prin înlocuire și reducere se ajunge la $$\mathbf{y}=-\mathbf{x}+5\text{(3 p)}.$$

(Verificare: punctul $(3,2)$ verifică ecuația, fiindcă $-3+5=2$; panta este negativă, iar $f^{\prime }$ este negativă în tot domeniul. Greșeală posibilă: se ia panta egală cu $f(3)=2$; atunci ecuația ar fi $y=2x-4$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, volum, primitive.

a) (5 p) O primitivă a lui $2x+1$ este $x^2+x$, deci $${\int }_{-1}^1(2x+1)dx=\left(x^2+x\right){|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ Valorile la capete sunt $1+1=2$ și $1-1=0$: $$2-0=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $2x$ este o funcție impară, deci integrala ei pe $[-1,1]$ este $0$, iar ${\int }_{-1}^{1}1dx=2$. Greșeală posibilă: se ia primitiva $x^2+1$; atunci diferența valorilor este $2-2=0$, nu $2$.)

b) (5 p) Se observă că $f(x)=(x+1{)}^2$, deci $g(x)=x^2+2x+1-2x-1=x^2$. Volumul corpului de rotație este $$V=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^1{x}^{4}dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva lui $x^4$ este $\frac{x^5}{5}$, iar volumul căutat este $$V=\pi \cdot \frac{x^5}{5}{|}_0^1=\frac{\pi }{5}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $g(1)=1$ și $g(0)=0$, iar $\frac{1}{5}<1$, ca la orice ${\int }_0^1{x}^{n}dx$ cu $n>0$. Greșeală posibilă: se integrează $g$ în loc de $g^2$; atunci $\pi {\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{\pi }{3}$, nu $\frac{\pi }{5}$.)

c) (5 p) Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci derivata ei este $$F^{\prime }(x)=f(x)\text{(2 p)}.$$ Dar $f(x)=(x+1{)}^2\ge 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $F^{\prime }\ge 0$ și $F$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (3 p).

(Verificare: o treime din cubul lui $x+1$ este o primitivă a lui $f$ și crește. Greșeală posibilă: se crede că o primitivă trebuie să aibă valori pozitive; scăzând $5$ din acea primitivă se obține tot o primitivă a lui $f$, tot crescătoare, dar cu valoarea $\frac{1}{3}-5<0$ în $0$.)

Pentru părinți și profesori

Ce este foaia. Varianta 5 face parte din setul de rezervă al sesiunii iunie-iulie 2014 la matematică M_tehnologic (numele M3 apare pe site). Antetul poartă mențiunea „Proba E. c) – 2 iulie 2014”, sub numele ministerului și al Centrului Național de Evaluare și Examinare. Candidații erau din filiera tehnologică, profilurile servicii, resurse și tehnic. Cerințele din „Itemi” sunt cele din PDF, cu tot cu o formulare nepotrivită de la cerința 2 („intersecție a graficul funcției”), păstrată neschimbată. Soluțiile, verificările și ghidajul sunt lucrate de noi; din documentul de evaluare am preluat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Cum se adună punctele. Cele $90$ de puncte ale cerințelor se împart egal pe trei subiecte, $30+30+30$. Subiectul I reunește șase cerințe scurte, $6\times 5$ puncte. Subiectele II și III reunesc fiecare două probleme, iar o problemă se desparte în trei subpuncte, adică $2\times 3\times 5$ puncte. Rezultă $18$ cerințe a câte $5$ puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu. Cerința 4 are în document trei rânduri, de $2$, $1$ și $2$ puncte, iar celelalte au două; sunt $37$ de rânduri, fiecare încheiat pe pagină cu „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”.

Harta variantei

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ordinul 4430 e datat 29.08.2014, la aproape două luni după foaia din 2 iulie 2014; coloana „Clasa” arată deci unde se află tema în acea programă, fără să spună după ce programă au învățat elevii din 2014.

Ce deosebește varianta. La 4, mulțimea cifrelor este $\{0,1,2,\dots ,9\}$, iar numărul $0$ se numără printre cazurile favorabile. La 5, segmentele $[AB]$ și $[BC]$ sunt unul orizontal, altul vertical. La 6, ipotenuza este $BC$, iar unghiul drept este în $A$, deci lungimea celeilalte catete rezultă din relația lui Pitagora. La 8.b) forma $(x+1)(y+1)-1$ transformă 8.c) într-o ecuație în care dispare termenul de gradul întâi. La 9.a) funcția este definită doar pentru $x>2$, deci numitorul nu se anulează. La 10.b) funcția $g$ se simplifică la o putere a lui $x$, iar la 10.c) nu se calculează nicio primitivă.

Formulele variantei

• Subiectul I. $a^u=a^v$ cu $a>0$ și $a\ne 1$ implică $u=v$; distanța dintre $A$ și $B$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; într-un triunghi dreptunghic, $c_1^2+c_2^2=i^2$, iar aria este semiprodusul catetelor.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; pentru produsul $A\cdot B$, poziția $(i,j)$ se completează înmulțind pe rând elementele liniei $i$ din $A$ cu cele ale coloanei $j$ din $B$ și adunând rezultatele.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; graficul lui $g$ pe $[a,b]$, rotit în jurul axei $Ox$, generează un corp de volum $V=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$; dacă $F^{\prime }=f\ge 0$, atunci $F$ este crescătoare.

Despre litere. Numele $f$ îl poartă trei funcții distincte: $x+4$ la cerința 2, raportul $\frac{x-1}{x-2}$ la 9 și polinomul $x^2+2x+1$ la 10. Litera $g$ de la 10.b) este alta decât $f$. Literele $A$, $B$, $C$ denumesc la 5 trei puncte date prin coordonate, iar la 6 vârfurile altui triunghi, cu alte lungimi ale laturilor; la 7, litera $A$ este o matrice. Literele $x$ și $y$ de la 7.c) sunt numere reale din matricea adunată cu $A$, iar $I_2$ este matricea unitate de ordin $2$.