Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2025 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2025 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{10}+3\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x-3$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(2)=a+f(0)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2x}=5^{3-x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să verifice inegalitatea $6n>25$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(2,1)$ și $C(6,4)$. Determinați numărul real $a$ pentru care $BC=a\cdot AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $MNP$, dreptunghic în $M$, cu $MN=4\cdot MP$ și $MN=8$. Arătați că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& -1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=1$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $3A-5I_2=xB$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $\det (A\cdot (B-A)+x{I}_2)\le 2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $2x_1+2x_2+2x_3=1+x_1{x}_2{x}_3$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Știind că restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X-2$ este $-5$, arătați că $f$ este divizibil cu polinomul $X^2+1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x-2}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3-x}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3}$, pentru orice $x\in [1,4]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+4x+8$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x^2-8\right)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^8\frac{x}{f(x)-4x}dx=\ln 3$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care ${\int }_0^a\frac{1}{f(x)-4}dx=\frac{1}{4}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, un subpunct de 5 p se desparte în două rânduri. Fiecare rând de mai jos poartă punctajul din baremul oficial al sesiunii iunie-iulie 2025, Varianta 1; textul soluțiilor, al explicațiilor și al probelor ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

Paranteza se aduce la numitorul comun $10$: $\frac{1}{2}-\frac{1}{5}=\frac{5}{10}-\frac{2}{10}=\frac{3}{10}$. Înlocuind, $$\frac{1}{10}+3\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{10}+3\cdot \frac{3}{10}\text{(3 p)}.$$ Produsul este $\frac{9}{10}$, iar suma $$\frac{1}{10}+\frac{9}{10}=\frac{10}{10}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\frac{1}{2}=0,5$ și $\frac{1}{5}=0,2$, deci paranteza e $0,3$, iar $0,1+3\cdot 0,3=0,1+0,9=1$. Capcană: fracția $\frac{1}{5}$ se amplifică doar la numitor, ca $\frac{1}{10}$; atunci paranteza ar fi $\frac{5}{10}-\frac{1}{10}=\frac{4}{10}$, iar suma ar ieși $\frac{1}{10}+\frac{12}{10}=\frac{13}{10}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții de gradul întâi.

Se înlocuiește argumentul în $f(x)=6x-3$: $$f(2)=6\cdot 2-3=9,f(0)=6\cdot 0-3=-3\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $f(2)=a+f(0)$ devine $9=a+(-3)$, de unde $$a=9+3=12\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: pe o funcție de gradul întâi, $f(2)-f(0)=6\cdot (2-0)=12$, adică panta ori diferența argumentelor; ceea ce se cere este chiar această diferență. Capcană: se scrie produs în loc de sumă, $f(2)=a\cdot f(0)$, și iese $9=-3a$, adică $a=-3$; sau se scade $-3$ ca și cum ar fi $+3$ și rezultă $a=9-3=6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

În ambii membri apare baza $5$, ridicată la câte un exponent. Cum $t\mapsto 5^t$ crește strict, egalitatea celor două puteri se petrece doar atunci când exponenții coincid: $$2x=3-x\text{(3 p)}.$$ Se adună $x$ în ambii membri: $3x=3$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$ ambii membri sunt $5^2=25$. Capcană: exponentul din dreapta se citește cu $+x$, ecuația devine $2x=3+x$ și iese $x=3$; dar atunci membrul stâng este $5^6=15625$, iar cel drept $5^0=1$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numărul $n$ poate fi oricare dintre cifrele $0,1,\dots ,9$, adică oricare dintre cele zece elemente ale lui $A$: avem $10$ cazuri posibile (2 p).

Inegalitatea $6n>25$ înseamnă $n>\frac{25}{6}\approx 4,17$. Dintre elementele lui $A$ o verifică $5,6,7,8,9$: sunt $5$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă pe frontieră: pentru $n=4$ avem $6\cdot 4=24$, care nu depășește $25$; pentru $n=5$ avem $6\cdot 5=30>25$. Capcană: $\frac{25}{6}$ se rotunjește la $4$ și se lasă $n=4$ să intre; atunci sunt $6$ cazuri favorabile și iese $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanțe în reperul cartezian.

Distanța dintre $B(2,1)$ și $C(6,4)$ se obține din diferențele coordonatelor, $6-2=4$ și $4-1=3$: $$BC=\sqrt{(6-2{)}^2+(4-1{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ Punctele $A(2,0)$ și $B(2,1)$ au aceeași abscisă, deci $AB=\sqrt{0^2+(1-0{)}^2}=1$. Egalitatea $BC=a\cdot AB$ devine $5=a\cdot 1$, adică $\mathbf{a}=5$ (3 p).

(Probă: $\frac{BC}{AB}=\frac{5}{1}=5$. Capcană: în formula distanței se scade în loc să se adune, $\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$, iar $\sqrt{7}$ nu e număr întreg; sau raportul se scrie invers, $a=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{5}$, ceea ce ar însemna $AB=5\cdot BC$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $M$, deci $MN$ și $MP$ sunt catetele. Din $MN=4\cdot MP$ și $MN=8$ rezultă $8=4\cdot MP$, adică $MP=2$ (2 p).

Aria este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{A}}_{MNP}=\frac{MN\cdot MP}{2}=\frac{8\cdot 2}{2}=8\text{(3 p)}.$$

(Probă: ipotenuza $NP$ nu intră în calcul, dar există: $NP=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$. Capcană: relația se citește invers și se scrie $MP=4\cdot 8=32$, de unde aria ar fi $\frac{8\cdot 32}{2}=128$; sau se uită împărțirea la $2$ și iese $8\cdot 2=16$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Se înmulțesc elementele de pe diagonala principală, apoi cele de pe cealaltă diagonală, și al doilea produs se scade din primul: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 1\end{array}\right|=5\cdot 1-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=5-4=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună, $5+4=9$; sau se amestecă diagonalele, $5\cdot 2-2\cdot 1=8$.)

b) (5 p) Scalarul înmulțește toate elementele matricei: $$3A-5I_2=\left(\begin{array}{cc}15& 6\\ 6& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& 6\\ 6& -2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& -1\end{array}\right)=2B\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $2B=xB$ pe poziția $(1,1)$ dă $10=5x$, deci $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Probă: $xB$ pentru $x=2$ are elementele $10,6,6,-2$, exact ca $3A-5I_2$. Capcană: $5I_2$ se citește ca matricea cu $5$ peste tot și se scade $5$ din fiecare element al lui $3A$, ceea ce dă $\left(\begin{array}{cc}10& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Mai întâi $B-A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$. Produsul, rând cu coloană, este $$A\cdot (B-A)=\left(\begin{array}{cc}5\cdot 0+2\cdot 1& 5\cdot 1+2\cdot (-2)\\ 2\cdot 0+1\cdot 1& 2\cdot 1+1\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$ Adăugând $x{I}_2$, determinantul devine $$\det (A\cdot (B-A)+x{I}_2)=\left|\begin{array}{cc}2+x& 1\\ 1& x\end{array}\right|=(2+x)\cdot x-1=x^2+2x-1,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $x^2+2x-1\le 2$ înseamnă $x^2+2x-3\le 0$, adică $(x+3)(x-1)\le 0$. Trinomul are rădăcinile $-3$ și $1$ și ia valori negative între ele, deci $$\mathbf{x}\in [-3,1]\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $x=0$ determinantul este $-1\le 2$; pentru $x=2$ este $7>2$; la capetele $x=-3$ și $x=1$ el este exact $2$. Capcană: se înmulțesc matricele pe poziții, $\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& -2\end{array}\right)$, și determinantul iese $x^2-2x-4$; sau se citește greșit semnul trinomului și se scrie $(-\infty ,-3]\cup [1,+\infty )$, mulțimea unde el este pozitiv.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Pentru $m=1$, polinomul este $f=X^3-3X^2+X+1$. Se înlocuiește $X=1$: $$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+1+1\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-3+1+1=0\text{(2 p)}.$$

(Consecință: $f$ se împarte exact la $X-1$, iar câtul este $X^2-2X-1$. Capcană: $m$ se înlocuiește cu $-1$ în loc de $1$ și iese $-2$; sau $3\cdot 1^2$ se scrie $(3\cdot 1{)}^2=9$, ceea ce dă $-6$.)

b) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $f=X^3-3X^2+X+m$ dau suma rădăcinilor $x_1+x_2+x_3=-\frac{-3}{1}=3$ și produsul lor $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{m}{1}=-m$. Condiția din enunț, $2(x_1+x_2+x_3)=1+x_1{x}_2{x}_3$, devine $$2\cdot 3=1-m\text{(3 p)}.$$ Rezultă $m=1-6$, adică $\mathbf{m}=-5$ (2 p).

(Probă: pentru $m=-5$, suma este $3$ și produsul $5$, iar $2\cdot 3=6=1+5$. Relațiile lui Viète merg și când rădăcinile nu sunt toate reale: pentru $m=-5$, polinomul are o singură rădăcină reală, între $3$ și $4$, și două rădăcini complexe. Capcană: semnele din Viète se încurcă. Cu suma $-3$ iese $2\cdot (-3)=1-m$, adică $m=7$; cu produsul $+m$ iese $6=1+m$, adică $m=5$.)

c) (5 p) Restul împărțirii lui $f$ la $X-2$ este $f(2)$: $$f(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+m=m-2,\text{ iar }m-2=-5,\text{ deci }\mathbf{m}=-3\text{(3 p)}.$$ Atunci $f=X^3-3X^2+X-3$. Se grupează termenii: $X^2(X-3)+(X-3)=(X-3)(X^2+1)$, deci $f$ este divizibil cu $X^2+1$ (2 p).

(Probă: împărțirea $\left(X^3-3X^2+X-3\right):\left(X^2+1\right)$ dă câtul $X-3$ și restul $0$. Capcană: restul la $X-2$ se confundă cu $f(-2)=m-22$, ceea ce dă $m=17$; sau restul se egalează cu termenul liber, $m=-5$, și atunci $f$ nu mai este divizibil cu $X^2+1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție cu exponențială.

a) (5 p) Derivata unui cât este ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$, cu $u=x-2$ și $v=e^x$, iar $(e^x{)}^{\prime }=e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-(x-2)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se scoate $e^x$ factor comun și se simplifică: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1-x+2)}{{\left(e^x\right)}^2}=\frac{3-\mathbf{x}}{{\mathbf{e}}^{\mathbf{x}}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=(x-2)e^{-x}$ și, prin regula produsului, $f^{\prime }(x)=e^{-x}-(x-2)e^{-x}=(3-x)e^{-x}$. Capcană: în numărător se pune plus, $e^x+(x-2)e^x$, și iese $\frac{x-1}{e^x}$; sau se uită derivata numitorului, $\frac{e^x-(x-2)}{e^{2x}}$.)

b) (5 p) Tangenta se duce în punctul de abscisă $0$ al graficului. Pentru ea trebuie $f(0)$ și panta $f^{\prime }(0)$: $$f(0)=\frac{0-2}{e^0}=-2,f^{\prime }(0)=\frac{3-0}{e^0}=3\text{(2 p)}.$$ Dreapta care trece prin punctul $(0,f(0))$ și are panta $f^{\prime }(0)$ are ecuația $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y+2=3x$, deci $$\mathbf{y}=3x-2\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se scrie $y-2=3x$ și iese $y=3x+2$, care nu trece prin $(0,-2)$; sau panta și ordonata se schimbă între ele, $y=-2x+3$; sau se uită ordonata și se scrie $y=3x$, dreaptă care trece prin origine.)

c) (5 p) Numitorul $e^x$ este pozitiv, deci $f^{\prime }$ are semnul numărătorului $3-x$, care se anulează în $x=3$. Pentru $x\in [1,3]$ avem $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci $f$ crește pe $[1,3]$; pentru $x\in [3,4]$ avem $f^{\prime }(x)\le 0$, deci $f$ scade pe $[3,4]$ (2 p).

Maximul lui $f$ pe $[1,4]$ este $f(3)=\frac{1}{e^3}$. Pentru minim: pe $[1,3]$, $f\ge f(1)=-\frac{1}{e}$, iar pe $[3,4]$, $f\ge f(4)=\frac{2}{e^4}>0>-\frac{1}{e}$. Deci $$-\frac{1}{\mathbf{e}}\le \mathbf{f}(\mathbf{x})\le {\mathbf{e}}^{-3},\text{ pentru orice }x\in [1,4]\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește cu $e^x>0$: $-e^{x-1}\le x-2\le e^{x-3}$, ceea ce era de arătat.

(Probă: în $x=1$ prima inegalitate devine egalitate, $-e^0=-1=1-2$, iar în $x=3$ a doua, $e^0=1=3-2$. Capcană: se crede că $f(4)$ este maximul, fiindcă $4$ e capătul din dreapta; dar $\frac{2}{e^4}<\frac{1}{e^3}$, pentru că $2<e$. Altă greșeală: inegalitățile se verifică numai în capetele $1$ și $4$, fără să se studieze monotonia.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale definite.

a) (5 p) Din $f(x)=x^2+4x+8$ rezultă $f(x)-x^2-8=4x$. Atunci $${\int }_0^1\left(f(x)-x^2-8\right)dx={\int }_0^{1}4xdx=2x^2{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=2-0=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită să se scadă $8$ și integrala devine ${\int }_0^1(4x+8)dx=10$; sau se uită $x^2$ și iese ${\int }_0^1\left(x^2+4x\right)dx=\frac{7}{3}$.)

b) (5 p) Numitorul este $f(x)-4x=x^2+8$. Numărătorul $x$ este jumătate din derivata numitorului, ${\left(x^2+8\right)}^{\prime }=2x$, deci integrala are forma $\frac{1}{2}\int \frac{u^{\prime }}{u}dx$: $${\int }_0^8\frac{x}{x^2+8}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^8\frac{{\left(x^2+8\right)}^{\prime }}{x^2+8}dx=\frac{1}{2}\ln \left(x^2+8\right){|}_0^8\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{\ln 72}{2}-\frac{\ln 8}{2}=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Probă numerică: integrala, calculată cu o regulă de cuadratură, este $\approx 1,0986$, ca $\ln 3$. Capcană: se uită factorul $\frac{1}{2}$ și iese $\ln 9$; sau se înlocuiește primitiva cu $\frac{1}{\sqrt{8}}\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{8}}$, care aparține lui $\frac{1}{x^2+8}$, nu lui $\frac{x}{x^2+8}$.)

c) (5 p) Acum $f(x)-4=x^2+4x+4=(x+2{)}^2$. O primitivă a lui $\frac{1}{(x+2{)}^2}$ este $-\frac{1}{x+2}$: $${\int }_0^a\frac{1}{(x+2{)}^2}dx=-\frac{1}{x+2}{|}_0^a=\frac{1}{2}-\frac{1}{a+2},\text{ pentru orice }a\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\frac{1}{2}-\frac{1}{a+2}=\frac{1}{4}$ dă $\frac{1}{a+2}=\frac{1}{4}$, adică $a+2=4$ și $\mathbf{a}=2$, valoare care se află în $(0,+\infty )$ (2 p).

(Probă: ${\int }_0^2\frac{dx}{(x+2{)}^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. Capcană: primitiva se scrie $\ln (x+2)$, care aparține lui $\frac{1}{x+2}$, nu lui $\frac{1}{(x+2{)}^2}$; atunci $\ln \frac{a+2}{2}=\frac{1}{4}$ și răspunsul nu mai este un număr întreg.)

Pentru părinți și profesori

Pagina reunește subiectul de matematică al Bacalaureatului tehnologic din sesiunea iunie-iulie 2025, Varianta 1, cu rezolvarea lui. Titlul oficial este Matematică M_tehnologic (în vorbirea curentă, „M3"), iar antetul foii poartă numele Ministerului Educației și Cercetării și al Centrului Național pentru Curriculum și Evaluare. Candidații sunt elevii filierei tehnologice: profilurile servicii, resurse și tehnic, cu orice calificare profesională. Enunțurile apar fără modificări. Tot ce urmează după ele — soluții, verificări, observații, ghidaj — am redactat noi, iar punctele de pe fiecare rând sunt cele din baremul oficial.

De ce ajută o probă din 2025. Formatul este același în toate probele din arhiva noastră, deci cine a lucrat varianta de mai jos a văzut structura oricărei alte probe: șase exerciții scurte, apoi patru probleme, fiecare cu trei subpuncte.

Harta cerințelor, cu clasa la care le încadrează programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Calculul cu fracții într-o expresie numerică aparține, la examen, clasei a IX-a (operații cu numere reale). Programa școlară care intră în vigoare în 2026–2027, începând cu clasa a IX-a, nu are pentru el o unitate distinctă. Elevii care dau Bacalaureatul în 2027, 2028 sau 2029 au învățat în clasele a IX-a și a X-a după programa veche, de aceea materia este acoperită în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Egalarea exponenților la o ecuație exponențială se cere, la examen, în clasa a X-a. Programa școlară nouă rezolvă ecuațiile prin reprezentări grafice sau cu mijloace digitale, nu algebric. Tehnica de la cerința 3 o ai în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Inegalitatea $6n>25$ este o inecuație de gradul întâi, rezolvată algebric la examen (clasa a IX-a). Programa școlară nouă o discută cu ajutorul graficelor. Pentru varianta algebrică vezi „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul I — inecuații și sisteme".
• Nota 4. Distanța dintre două puncte din reperul cartezian se cere la examen în clasa a X-a (geometrie), dar în programa școlară nouă o învață elevii din clasa a IX-a. E o diferență între cele două programe, nu o greșeală.
• Nota 5. La cerința 7.c) se ajunge la $x^2+2x-3\le 0$, o inecuație a cărei rezolvare depinde de semnul trinomului $x^2+2x-3$ (clasa a IX-a, la examen). În programa școlară nouă inecuațiile sunt abordate pe grafic; algebra semnului stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce a avut special varianta 1. La Subiectul I, cerința 4 cere atenție la frontieră: raportul $25:6$ nu iese întreg, iar elevul trebuie să hotărască dacă $n=4$ intră sau nu (nu intră, fiindcă $6\cdot 4=24$). La Subiectul al II-lea, matricea $B$ din enunț lucrează la două subpuncte: la b) se arată că $3A-5I_2$ este dublul lui $B$, iar la c) determinantul cu parametru conduce la o inecuație de gradul al doilea. Polinomul de la problema a doua își schimbă parametrul de la un subpunct la altul: $m=1$ la a), $m=-5$ la b), $m=-3$ la c); valorile nu se duc dintr-un subpunct în altul. La Subiectul al III-lea, funcția $f(x)=\frac{x-2}{e^x}$ cere la subpunctul c) o dublă inegalitate cu exponențiale, care se transformă într-o încadrare a lui $f$ pe $[1,4]$; ambele margini se ating, în $x=1$ și în $x=3$. Ultima problemă e construită pe două trinoame: $f(x)-4x$ devine $x^2+8$, iar $f(x)-4$ devine $(x+2{)}^2$.

Organizarea lucrului pe această probă:

• Ceasul: trei ore, fără calculator. Cu 20 de minute păstrate pentru recitire, ai 160 de minute pentru cele 90 de puncte, adică puțin sub două minute pe punct. Subiectul I poate fi încheiat mai devreme decât îi revine după punctaj, iar timpul rămas se mută pe problemele mari.
• Scrisul: fiecare soluție se redactează complet, cu justificări. Un subpunct are 5 puncte, repartizate de barem pe două rânduri, câte $3+2$ sau $2+3$; o rezolvare neterminată poate fi apreciată parțial, în limita rândului.
• Regulile de notare tipărite pe barem, pe scurt: se primește și o soluție corectă care urmează altă cale decât baremul; punctele nu se împart în fracțiuni; nota este totalul împărțit la zece. Cele 10 puncte din oficiu fac ca nota 5 să însemne 50 de puncte, adică 40 dintre cele 90 de la cerințe.
• Greșeli de redactare de evitat: la cerința 4, numărul $4$ trecut între cazurile favorabile fără a verifica $6\cdot 4>25$; la 8.b), relațiile lui Viète scrise cu semn greșit; la 8.c), restul împărțirii la $X-2$ calculat ca $f(-2)$; la 9.c), maximul căutat la capătul $x=4$; la 10.c), primitiva lui $\frac{1}{(x+2{)}^2}$ scrisă ca logaritm.
• Cu nota în mână: fiecare subpunct ratat se leagă de o linie din harta de mai sus; acolo îți scrii ce a lipsit: un calcul, o formulă sau ideea de pornire.

Totalul, citit pe trepte. Un total sub 40 de puncte din 90 înseamnă că nota 5 nu e atinsă; în acest caz merită refăcute Subiectul I și subpunctele a) și b) ale problemelor, care se lucrează direct din formule. Între 40 și 65 de puncte există o bază, iar punctele lipsă pot fi căutate întâi la subpunctele c). Peste 65 de puncte, rămân de exersat viteza și curățenia scrisului.

Formulele întrebuințate în varianta 1, pe subiecte:

• Subiectul I. $a^u=a^v⟺u=v$ pentru $a>0$, $a\ne 1$; probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile; distanța dintre $P(x_1,y_1)$ și $Q(x_2,y_2)$ se obține din diferențele coordonatelor, ridicate la pătrat, adunate și puse sub radical; aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor.
• Subiectul al II-lea. Pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, $\det M=ps-qr$; pentru produsul $M\cdot N$, elementul de pe poziția $(i,j)$ se formează prin înmulțirea lui $M_{i\cdot }$ cu $N_{\cdot j}$, element cu element, și adunarea produselor; pentru un polinom de gradul $3$ cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$, suma lor este $-\frac{a_2}{a_3}$ și produsul lor este $-\frac{a_0}{a_3}$; restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$.
• Subiectul al III-lea. Derivata unui cât: numărătorul $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$ peste $v^2$; tangenta în punctul de abscisă $a$ este $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln u$ pentru $u>0$; o primitivă a lui $(x+c{)}^{-2}$ este $-(x+c{)}^{-1}$.

Despre scrierea literelor. Litera $a$ înseamnă lucruri diferite pe parcurs: necunoscută la cerința 2, raport de lungimi la cerința 5, limita de sus a unei integrale la cerința 10.c). La fel, $f$ denumește patru funcții (cerința 2, polinomul de la cerința 8 și funcțiile de la cerințele 9 și 10), iar $m$ nu are aceeași valoare la subpunctele problemei 8. Litera $A$ denumește mulțimea de la cerința 4, un punct la cerința 5 și o matrice la cerința 7; $B$ este punct la cerința 5 și matrice la cerința 7.

Titlurile de mai jos folosesc cuvântul „itemul", așa cum numește baremul fiecare cerință; în restul paginii folosim și „cerința".