Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2026 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$ în care $a_1=10$ și $a_2=18$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-2$. Arătați că $f(4)-f(3)-f(2)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3-x}=7^{4x-2}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să verifice inegalitatea $20-2n<15$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $M(2,4)$ și $B(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=15$ și măsura unghiului $B$ egală cu $30^{\circ }$. Arătați că $BC=10\sqrt{3}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 1\\ x-1& 2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(4))=5$.

b) (5 puncte) Arătați că $2A(1)+A(4)=3A(2)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A(-x)\cdot A(x)=A(y)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(4-x)(4-y)+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 3=6$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2\ast x=2$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi pentru care $(2m)\ast (2n+1)=10$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=12x(x+1)(x-2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $3x^4+5\ge 4x^3+12x^2$, pentru orice $x\in (-\infty ,0]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1+x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^4\left(f(x)-x{e}^x\right)dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-x-1\right)dx=1$.

c) (5 puncte) Se consideră funcția $g:[0,1]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{\sqrt{f^{\prime }(x)}}{f(x)}$. Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $\frac{\pi (e+1)}{e+2}$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, împărțite pe două rânduri. Fiecare rând punctat de mai jos are punctele baremului sesiunii iunie-iulie 2026 (Varianta 3); explicațiile, probele și redactarea rezolvărilor ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică fiecare termen se obține din cel dinaintea lui adunând aceeași rație $r$. Primii doi termeni o dau: $$r=a_2-a_1=18-10=8\text{(3 p)}.$$ Al treilea termen este $$a_3=a_2+r=18+8=26\text{(2 p)}.$$

(Probă: într-o progresie aritmetică orice termen este media vecinilor lui, iar $\frac{10+26}{2}=18=a_2$. Capcană: se adună primii doi termeni în loc să se adauge rația, $10+18=28$; sau se confundă cu progresia geometrică, unde se înmulțește: raportul $18:10=1,8$ ar da $18\cdot 1,8=32,4$, un termen care nu se potrivește cu pasul de $8$ al progresiei.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții de gradul întâi.

Se înlocuiește pe rând argumentul în $f(x)=2x-2$: $$f(4)=2\cdot 4-2=6,f(3)=2\cdot 3-2=4,f(2)=2\cdot 2-2=2\text{(3 p)}.$$ Atunci $$f(4)-f(3)-f(2)=6-4-2=0\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=2(x-1)$, deci egalitatea cerută spune $2\cdot 3=2\cdot 2+2\cdot 1$, adică $6=4+2$. Capcană: minusul din fața lui $f(3)$ nu se oprește la $f(3)$; dacă se scrie $f(4)-(f(3)-f(2))=6-(4-2)=4$, rezultatul nu mai e $0$. Altă greșeală: se uită scăderea lui $2$ din formulă și se calculează $8-6-4=-2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambii membri sunt puteri ale lui $7$. Funcția $t\mapsto 7^t$ este strict crescătoare, deci două puteri ale lui $7$ sunt egale numai când exponenții sunt egali: $$3-x=4x-2\text{(3 p)}.$$ Trecem necunoscuta într-o parte: $3+2=4x+x$, adică $5=5x$, de unde $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$ ambii membri sunt $7^2=49$. Capcană: semnul lui $2$ se schimbă pe drum și iese $3-x=4x+2$, adică $x=\frac{1}{5}$, care nu verifică ecuația: $7^{2,8}\ne 7^{-1,2}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numerele naturale de o cifră sunt $0,1,2,\dots ,9$ (zero este număr natural), deci sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Inegalitatea $20-2n<15$ înseamnă $2n>5$, adică $n>2,5$. Dintre cifre o verifică $3,4,5,6,7,8,9$: sunt $7$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{7}{10}\text{(3 p)}.$$

(Probă pe frontieră: pentru $n=2$ avem $20-4=16$, care nu e mai mic decât $15$; pentru $n=3$ avem $20-6=14<15$. Capcană: se uită cifra $0$ și se numără $9$ cazuri posibile, iar rezultatul devine $\frac{7}{9}$; sau se lasă $n=2$ să intre, ca și cum inegalitatea ar fi $n\ge 2$, și iese $\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul segmentului $AB$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor, $\left(\frac{1+a}{2},\frac{1+b}{2}\right)$. Cum acesta este punctul $M(2,4)$: $$\frac{1+a}{2}=2,\frac{1+b}{2}=4\text{(3 p)}.$$ Rezultă $1+a=4$ și $1+b=8$, deci $\mathbf{a}=3$ și $\mathbf{b}=7$, adică $B(3,7)$ (2 p).

(Altă cale: de la $A$ la $M$ se merge cu $+1$ pe orizontală și cu $+3$ pe verticală; același pas, făcut încă o dată de la $M$, duce în $B$: $(2+1,4+3)=(3,7)$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ și se scrie $1+a=2$, $1+b=4$; atunci $B(1,3)$, al cărui mijloc împreună cu $A$ este $(1,2)$, nu $M$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, latura $AB$ este cateta alăturată unghiului $B$, iar $BC$ este ipotenuza. Cosinusul unui unghi ascuțit este cateta alăturată supra ipotenuză, iar $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$: $$\cos B=\frac{AB}{BC},\text{ deci }\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{15}{BC}\text{(3 p)}.$$ De aici $$BC=\frac{2\cdot 15}{\sqrt{3}}=\frac{30}{\sqrt{3}}=\frac{30\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză, $AC=\frac{BC}{2}=5\sqrt{3}$, iar $A{B}^2+A{C}^2=225+75=300=B{C}^2$. Capcană: raportul se scrie invers, $\cos B=\frac{BC}{AB}$, și iese $BC=15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 12,99$ — mai mică decât cateta de $15$, deci imposibilă pentru o ipotenuză; sau se ia sinusul, $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, și iese $BC=30$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=4$ avem $x-1=3$, deci $$A(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{array}\right),\det (A(4))=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{array}\right|=4\cdot 2-1\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(4))=8-3=5\text{(2 p)}.$$

(Determinantul este produsul de pe diagonala principală minus cel de pe diagonala secundară. Capcană: produsele se adună, $8+3=11$; sau se scrie elementul din stânga jos ca $4+1=5$ în loc de $4-1=3$, și iese $8-5=3$.)

b) (5 p) Se calculează $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, apoi, cu $A(4)$ de la subpunctul a), $$2A(1)+A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 3& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, deci $$3A(2)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 3& 6\end{array}\right)=2A(1)+A(4)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: matricea se poate scrie $A(x)=xU+V$, cu $U=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$ și $V=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$, deci $2A(1)+A(4)=(2\cdot 1+4)U+3V=3(2U+V)=3A(2)$. Capcană: scalarul înmulțește toate elementele matricei, nu doar unele; dacă $2A(1)$ se scrie $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, suma iese $\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și egalitatea pică.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $-x$: $x-1$ devine $-x-1$, deci $A(-x)=\left(\begin{array}{cc}-x& 1\\ -x-1& 2\end{array}\right)$. Produsul, rând cu coloană, este $$A(-x)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}-x^2+x-1& -x+2\\ -x^2+x-2& -x+3\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $A(y)=\left(\begin{array}{cc}y& 1\\ y-1& 2\end{array}\right)$ cere egalitatea elementelor de pe fiecare poziție. Din $-x+2=1$ obținem $x=1$; apoi din $y=-x^2+x-1$ obținem $y=-1$, deci $$\mathbf{x}=1\text{ și }\mathbf{y}=-1\text{(2 p)}.$$

(Cele patru egalități se potrivesc între ele: $-x^2+x-2$ este cu $1$ mai mic decât $-x^2+x-1$, exact cum $y-1$ este cu $1$ mai mic decât $y$, iar $-x+3$ este cu $1$ mai mare decât $-x+2$, exact cum $2$ este cu $1$ mai mare decât $1$ — deci a treia și a patra nu aduc condiții noi. Probă: $A(-1)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -2& 2\end{array}\right)=A(-1)$. Capcană: înmulțirea matricelor nu comută; în ordinea inversă, $A(x)\cdot A(-x)=A(y)$ ar da $x=-1$, nu $x=1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește în formula legii: $$0\ast 3=(4-0)(4-3)+2\text{(3 p)}.$$ $$0\ast 3=4\cdot 1+2=6\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită ultimul termen și iese $4$, sau se înlocuiesc greșit semnele, $(4+0)(4+3)+2=30$.)

b) (5 p) Pentru orice număr real $x$, $$2\ast x=(4-2)(4-x)+2=2(4-x)+2=-2x+10\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-2x+10=2$ dă $-2x=-8$, deci $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Probă: $2\ast 4=(4-2)(4-4)+2=0+2=2$. Capcană: se uită termenul $+2$ din definiția legii și ecuația devine $2(4-x)=2$, adică $x=3$; dar $2\ast 3=2\cdot 1+2=4$, nu $2$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x=2m$ și $y=2n+1$; cum $4-(2n+1)=3-2n$, $$(2m)\ast (2n+1)=(4-2m)(3-2n)+2\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $10$ devine $(4-2m)(3-2n)=8$. Factorul $4-2m=2(2-m)$ este par, iar $3-2n$ este impar, pentru orice numere întregi $m$ și $n$. Un număr impar care îl împarte pe $8$ poate fi doar $1$ sau $-1$:

• $3-2n=1$ și $4-2m=8$, adică $n=1$ și $m=-2$;
• $3-2n=-1$ și $4-2m=-8$, adică $n=2$ și $m=6$.

Perechile căutate sunt $(-2,1)$ și $(6,2)$ (3 p).

(Observație: baremul scrie direct perechile; verificarea parității, ca să nu rămână alte soluții, e partea de justificare pe care o adăugăm noi. Probă: $(-4)\ast 3=(4+4)(4-3)+2=10$ și $12\ast 5=(4-12)(4-5)+2=10$. Capcană: se încearcă toate descompunerile lui $8$ fără să se țină seama de paritate; de exemplu $4-2m=2$ și $3-2n=4$ dau $m=1$ și $n=-\frac{1}{2}$, care nu e număr întreg.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; constanta $-1$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x\text{(3 p)}.$$ Se scoate factor comun $12x$, iar $x^2-x-2$ are rădăcinile $-1$ și $2$: $$f^{\prime }(x)=12x\left(x^2-x-2\right)=12x(x+1)(x-2),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(3)=12\cdot 27-12\cdot 9-24\cdot 3=144$ și $12\cdot 3\cdot 4\cdot 1=144$. Capcană: derivata constantei se scrie $-1$ în loc de $0$; sau exponentul se înmulțește, dar nu se scade cu $1$, și iese $12x^4-12x^3-24x^2$.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $0$ și ordonata $f(0)=-1$; panta tangentei este $f^{\prime }(0)=12\cdot 0\cdot 1\cdot (-2)=0$: $$f(0)=-1,f^{\prime }(0)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $$y+1=0,\text{ deci }\mathbf{y}=-1\text{(3 p)}.$$

(Tangenta este orizontală, fiindcă panta ei este nulă. Capcană: se scrie $y=0$, uitând că tangenta trece prin punctul $(0,-1)$, nu prin origine; sau se ia $f^{\prime }(0)=f(0)=-1$ și iese dreapta $y=-x-1$.)

c) (5 p) Dacă trecem totul într-o parte, inegalitatea cerută este $3x^4-4x^3-12x^2+5\ge 0$, adică $f(x)\ge -6$. Pe $(-\infty ,0]$ derivata se anulează în $-1$ și în $0$:

• pentru $x\le -1$: $x<0$, $x+1\le 0$ și $x-2<0$, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ scade pe $(-\infty ,-1]$;
• pentru $x\in [-1,0]$: $x\le 0$, $x+1\ge 0$ și $x-2<0$, deci $f^{\prime }(x)\ge 0$ și $f$ crește pe $[-1,0]$ (3 p).

Minimul lui $f$ pe $(-\infty ,0]$ se atinge deci în $x=-1$, unde $f(-1)=3+4-12-1=-6$. Atunci $f(x)\ge f(-1)=-6$ pentru orice $x\le 0$, adică $3x^4+5\ge 4x^3+12x^2$ (2 p).

(Altă cale, fără derivată: $3x^4-4x^3-12x^2+5=(x+1{)}^2\left(3x^2-10x+5\right)$, iar pentru $x\le 0$ trinomul $3x^2-10x+5$ este pozitiv, fiindcă toți termenii lui sunt $\ge 0$ și ultimul este $5$. Inegalitatea e „strânsă": în $x=-1$ ea devine egalitate, $3+5=8=-4+12$. Capcană: se verifică inegalitatea doar în câteva puncte, $x=0$ sau $x=-1$, în loc să se studieze minimul pe tot intervalul.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, integrare prin părți, volum.

a) (5 p) Termenul cu exponențiala se reduce: $f(x)-x{e}^x=x+1$. Atunci $${\int }_0^4\left(f(x)-x{e}^x\right)dx={\int }_0^4(x+1)dx=\frac{x^2}{2}{|}_0^4+x{|}_0^4\text{(3 p)}.$$ $$=8+4=12\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $f(x)-x{e}^x$ nu este $x+1+2x{e}^x$; minusul scoate termenul cu exponențiala, nu îl dublează.)

b) (5 p) Acum $f(x)-x-1=x{e}^x$. Se integrează prin părți, cu $e^x=(e^x{)}^{\prime }$: $${\int }_0^{1}x{\left(e^x\right)}^{\prime }dx=x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^1{e}^{x}dx=x{e}^x{|}_0^1-e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=e-(e-1)=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(x-1)e^x$ este o primitivă a lui $x{e}^x$, fiindcă $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$; atunci $(x-1)e^x{|}_0^1=0-(-1)=1$. Capcană: primitiva unui produs nu e produsul primitivelor; $\frac{x^2}{2}{e}^x{|}_0^1=\frac{e}{2}$, nu $1$.)

c) (5 p) Mai întâi, ca $g$ să existe pe $[0,1]$: $f^{\prime }(x)=1+e^x+x{e}^x=1+(x+1)e^x>0$ și $f(x)=1+x+x{e}^x\ge 1>0$ (pe $[0,1]$, termenii $x$ și $x{e}^x$ sunt nenegativi), deci radicalul și fracția au sens. Volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1{g}^2(x)dx$, iar pătratul face să dispară radicalul: $g^2=\frac{f^{\prime }}{f^2}$. O primitivă a acestei fracții este $-\frac{1}{f}$, fiindcă ${\left(-\frac{1}{f}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f^2}$: $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{(f(x){)}^2}dx=\pi \cdot \left(-\frac{1}{f(x)}\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Cu $f(0)=1$ și $f(1)=2+e$: $$\mathcal{V}=\pi \left(-\frac{1}{e+2}+1\right)=\frac{\pi (\mathbf{e}+1)}{\mathbf{e}+2}\text{(2 p)}.$$

(Baremul notează volumul cu $V$; la noi este $\mathcal{V}$. Probă numerică: integrala $\pi {\int }_0^1\frac{f^{\prime }(x)}{f(x{)}^2}dx$ calculată numeric și valoarea $\frac{\pi (e+1)}{e+2}$ coincid, $\approx 2,4758$. Capcană: se uită pătratul funcției și se încearcă ${\int }_0^{1}g(x)dx$, care cu radicalul nu mai are o primitivă la îndemână; sau se confundă cu $\int \frac{f^{\prime }}{f}=\ln f$ și iese $\pi \ln (e+2)\approx 4,8740$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina de față conține lucrarea de matematică dată la Bacalaureatul tehnologic în sesiunea iunie-iulie 2026, Varianta 3: în documentele oficiale se numește Matematică M_tehnologic (în școală i se spune și „M3"), iar candidații ei sunt cei din filiera tehnologică — profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Subiectul și baremul poartă antetul Ministerului Educației și Cercetării, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Enunțurile sunt copiate întocmai; rezolvările, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi, iar împărțirea punctelor pe pași este cea din baremul oficial.

O probă cu subiect separat. Din 2013, filiera tehnologică primește la matematică un subiect conceput doar pentru ea; varianta de mai jos este cea a sesiunii de vară din 2026.

Cum e construită lucrarea. Lucrarea are, din 2013 încoace, același format: șase cerințe scurte, apoi patru probleme cu câte trei subpuncte.

Ce cere fiecare cerință și unde se află în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Ecuațiile exponențiale se cer la examen, în programa de clasa a X-a. Programa școlară nouă de clasa a IX-a și a X-a (aplicată din anul școlar 2026–2027, întâi la clasa a IX-a) rezolvă ecuațiile pe grafic sau cu mijloace digitale, așa că tehnica de la cerința 3 nu e dezvoltată acolo. Candidații pentru Bacalaureatul din 2027, 2028 sau 2029 au făcut sau fac clasele a IX-a și a X-a după programa veche; la noi, metoda stă în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice", alături de lecțiile scrise pe programa nouă.
• Nota 2. Inegalitatea $20-2n<15$ se poate rezolva algebric ($n>2,5$) sau verificând pe rând cele zece cifre; la noi se arată drumul algebric, cu o probă pe cifrele de la frontieră, $2$ și $3$. Rezolvarea algebrică a inecuațiilor de gradul întâi se află în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul I — inecuații și sisteme".
• Nota 3. Cerințele 5 și 6 cad la altă clasă decât cea în care le găsești în programa nouă: coordonatele punctelor și distanțele din reperul cartezian figurează la examen în blocul de geometrie al clasei a X-a, dar în programa nouă se învață în clasa a IX-a (acolo apare și formula mijlocului unui segment); triunghiul dreptunghic se cere la examen în clasa a IX-a, iar în programa nouă îl găsești în clasa a X-a. Nu e o greșeală, ci o decalare între programa de examen și cea școlară.

Ce a avut special varianta 3. Subiectul I e scurt, cu numere mici; capcana cea mai ușor de nimerit e la cerința 4: zero este număr natural, deci există zece cifre, nu nouă. La Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ se schimbă „liniar" cu $x$, ceea ce face verificarea de la punctul b) aproape imediată, iar legea de compoziție de la a doua problemă se transformă într-o ecuație cu produs de doi factori, unde contează paritatea lor. La Subiectul al III-lea, aceeași funcție $f$ ține trei subpuncte la rând: derivata se factorizează de la sine, iar la volumul de rotație integrandul devine derivata unei fracții.

Cum o lucrezi ca pe o probă completă:

• Timp: 3 ore, fără calculator. Un ritm de lucru: din cele 180 de minute păstrează 20 pentru recitire; rămân 160 de minute pentru 90 de puncte, adică aproape 1,8 minute pe punct, deci aproximativ 53 de minute pentru fiecare subiect. Subiectul I, mai scurt, se poate încheia mai devreme, iar timpul câștigat merge spre problemele de 15 puncte.
• Redactare: soluțiile se scriu complet, cu justificări. Pe barem, fiecare subpunct valorează 5 puncte, împărțite în două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3), iar rezolvările parțiale se pot puncta intermediar.
• Reguli oficiale de notare, tipărite pe barem (redate pe scurt): orice rezolvare corectă ia punctajul întreg, chiar dacă merge pe alt drum decât baremul; punctele nu se împart în zecimi; nota finală se obține împărțind totalul la zece. Cu cele 10 puncte din oficiu, nota 5 înseamnă 50 de puncte, adică 40 din cele 90 ale cerințelor.
• Greșeli de redactare de evitat: inegalitatea de la cerința 4 rezolvată fără a spune că $0$ este număr natural; la cerința 8.c) perechile scrise fără verificare prin înlocuire; la cerința 9.c) concluzia scrisă fără a preciza pe ce interval a fost studiat semnul derivatei; la cerința 10.c) volumul scris fără pătratul funcției sub integrală.
• După corectare: fiecare subpunct pierdut te trimite la un capitol din tabelul de mai sus; acolo îți spui ce lipsește — calculul, o formulă sau ideea.

Cum îți citești punctajul. Sub 40 de puncte din 90, nota 5 încă nu e atinsă: reia Subiectul I și subpunctele a) și b) ale problemelor, care se rezolvă din formule și calcul direct. Între 40 și 65 de puncte, baza e pusă: dacă îți lipsesc puncte, caută-le întâi la subpunctele c), cele care cer o idee în plus față de calcul. Peste 65 de puncte rămân de lucrat viteza și curățenia redactării.

Formulele folosite în varianta 3, adunate pe subiecte:

• Subiectul I. Într-o progresie aritmetică $a_{n+1}=a_n+r$; $7^u=7^v⟺u=v$; probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile; mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; într-un triunghi dreptunghic, cosinusul unui unghi ascuțit este cateta alăturată supra ipotenuză.
• Subiectul al II-lea. Pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, $\det M=ps-qr$; produsul a două matrice se face „rând cu coloană"; două matrice sunt egale când au egale elementele de pe aceleași poziții.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; tangenta la grafic în punctul de abscisă $a$ este $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; integrarea prin părți, ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$; volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Despre scrierea literelor. În lucrare, $f$ denumește trei funcții diferite: $f(x)=2x-2$ (cerința 2), $f(x)=3x^4-4x^3-12x^2-1$ (cerința 9) și $f(x)=x+1+x{e}^x$ (cerința 10); fiecare problemă se citește separat. Litera $A$ este punct la cerința 5, vârf de triunghi la cerința 6 și matrice la cerința 7. La cerința 7, subpunctul c), $x$ și $y$ sunt numere reale, nu necunoscute matriceale.

Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos este luat din barem, unde numește fiecare cerință; în clasă îi spunem, simplu, „cerința".