Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2022 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2022 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $5-3\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=2$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4+2x}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un produs costă 90 de lei. Determinați prețul produsului după o scumpire cu $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(5,0)$ și $M(a,b)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, în care măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ }$ și $AB=3$. Arătați că $BC=6$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 3\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A+2B=3C$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (B\cdot C+x(A-C))=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+2y)(y+2x)+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\ast 1=11$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast 0=4$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x\ast \frac{1}{x}>7$, pentru orice număr real nenul $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^5+5x^4-10x^3+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=10x^2\left(x^2+2x-3\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $2x^5+5x^4-10x^3+3\ge 0$, pentru orice $x\in [-3,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x+\frac{2}{x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)dx=12$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-6x\right)dx=2\ln 2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^e\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)\cdot {\ln }^{2}xdx=\frac{a\left(e^2-1\right)}{2}$.

Barem și răspunsuri

Numerele de puncte din dreptul rândurilor sunt cele din baremul oficial al variantei 1, în aceeași ordine. După fiecare rezolvare, între paranteze, vin o verificare și greșelile care duc la un rezultat fals.

Exercițiul 1. (5 p) — ordinea operațiilor.

Paranteza se scrie cu numitorul $3$: $1+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$, deci expresia este $$5-3\cdot \frac{4}{3}\text{(3 p)}.$$ Produsul $3\cdot \frac{4}{3}$ este $4$, iar $5-4=1$ (2 p).

(Probă: prin distributivitate, $3\cdot \left(1+\frac{1}{3}\right)=3+1=4$. Capcană: se scade mai întâi $5-3=2$ și diferența se înmulțește cu paranteza, iar $2\cdot \frac{4}{3}=\frac{8}{3}$; înmulțirea se face însă înaintea scăderii. Altă greșeală: suma din paranteză se scrie $\frac{1+1}{3}=\frac{2}{3}$; atunci iese $5-3\cdot \frac{2}{3}=3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție afină.

Valoarea funcției în $a$ se obține scriind $a$ în locul lui $x$: $$f(a)=a-4\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(a)=2$ dă $a-4=2$, deci $\mathbf{a}=6$ (3 p).

(Probă: $f(6)=6-4=2$. Capcană: $4$ se scade în loc să se adune, $a=2-4=-2$; dar $f(-2)=-6$, nu $2$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, iar rădăcina este $2$. Ridicând la pătrat ambii membri: $$4+2x=2^2=4\text{(3 p)}.$$ Din $2x=0$ rezultă $x=0$. Verificare: $\sqrt{4+2\cdot 0}=\sqrt{4}=2$, deci $\mathbf{x}=0$ este soluție (2 p).

(Capcană: numai radicalul se ridică la pătrat, iar $2$ rămâne neridicat; atunci $4+2x=2$ dă $x=-1$, dar $\sqrt{4+2\cdot (-1)}=\sqrt{2}$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire procentuală.

Mărirea este $10\%$ din $90$ de lei: $$\frac{10}{100}\cdot 90=9\text{lei}\text{(3 p)}.$$ La prețul inițial se adaugă mărirea: $90+9=99$ de lei (2 p).

(Probă: $90\cdot \frac{11}{10}=99$, fiindcă o scumpire cu $10\%$ înmulțește prețul cu $\frac{110}{100}$. Capcană: se confundă scumpirea cu ieftinirea și se scade mărirea, $90-9=81$. Altă greșeală: se adaugă $10$ lei, ca și cum $10$ lei ar fi $10\%$ din $90$; dar $10\%$ din $90$ este $9$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Coordonatele mijlocului unui segment sunt semisumele coordonatelor capetelor: $$a=\frac{1+5}{2},b=\frac{4+0}{2}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $a=3$ și $b=2$, deci $M(3,2)$, adică $\mathbf{a}=3$ și $\mathbf{b}=2$ (2 p).

(Probă: $AM=\sqrt{(3-1{)}^2+(2-4{)}^2}=\sqrt{8}$ și $MB=\sqrt{(5-3{)}^2+(0-2{)}^2}=\sqrt{8}$, deci $M$ este la distanțe egale de $A$ și $B$. Capcană: coordonatele se scad în loc să se adune, $a=\frac{5-1}{2}=2$ și $b=\frac{0-4}{2}=-2$; punctul $(2,-2)$ are $AM=\sqrt{37}$ și $MB=\sqrt{13}$, deci nu e mijlocul.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Unghiul drept este în $A$, deci $BC$ este ipotenuza, iar $AB$ este cateta opusă unghiului $C$. Sinusul unghiului $C$ este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $$\sin C=\frac{AB}{BC}\text{(2 p)}.$$ Cu $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $AB=3$ se obține $\frac{1}{2}=\frac{3}{BC}$, deci $BC=2\cdot 3=6$ (3 p).

(Probă: cealaltă catetă este $AC=\frac{AB}{\mathrm{tg}30^{\circ }}=3\sqrt{3}$, iar $A{B}^2+A{C}^2=9+27=36=B{C}^2$. Capcană: se folosește cosinusul, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{BC}$, deși $AB$ nu este cateta alăturată lui $C$; atunci $BC=2\sqrt{3}$, valoare mai mică decât $AC=3\sqrt{3}$, deci imposibilă pentru o ipotenuză.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Pentru matricea $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right)$, produsul diagonalei principale este $2\cdot 3$, iar al celei secundare $1\cdot 4$: $$\det A=2\cdot 3-1\cdot 4\text{(3 p)}.$$ $$\det A=6-4=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul de pe diagonala secundară se adună, $6+4=10$.)

b) (5 p) Scalarul $2$ înmulțește toate elementele lui $B$, apoi se adună element cu element: $$A+2B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ 2& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 6& 9\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Fiecare element al sumei este triplul elementului corespunzător din $C$, adică $A+2B=3\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 3\end{array}\right)=3C$ (2 p).

(Capcană: $2$ se aplică doar primei linii a lui $B$; atunci suma ar fi $\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 5& 6\end{array}\right)$, care nu este multiplu al lui $C$.)

c) (5 p) Produsul $B\cdot C$ se face linie cu coloană, iar $A-C$ se calculează element cu element: $$B\cdot C=\left(\begin{array}{cc}0& -8\\ 8& 8\end{array}\right),A-C=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& 0\end{array}\right),B\cdot C+x(A-C)=\left(\begin{array}{cc}0& -8+2x\\ 8+2x& 8\end{array}\right).$$ Determinantul este $0\cdot 8-(-8+2x)(8+2x)=(8-2x)(8+2x)$, pentru orice număr real $x$ (3 p).

Ecuația $(8+2x)(8-2x)=0$ are soluțiile $\mathbf{x}=-4$ și $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Probă: pentru $x=4$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 16& 8\end{array}\right)$, cu prima linie nulă; pentru $x=-4$ este $\left(\begin{array}{cc}0& -16\\ 0& 8\end{array}\right)$, cu prima coloană nulă; în ambele cazuri determinantul este $0$. Capcană: produsul $B\cdot C$ se face element cu element și iese $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 9\end{array}\right)$; ecuația devine $36-(2+2x{)}^2=0$, cu soluțiile $x=2$ și $x=-4$, iar pentru $x=2$ determinantul corect este $48$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=1$ în formula legii: $$1\ast 1=(1+2\cdot 1)(1+2\cdot 1)+2\text{(3 p)}.$$ $$1\ast 1=3\cdot 3+2=11\text{(2 p)}.$$

(Capcană: lipsește termenul $+2$ de la sfârșit și iese $3\cdot 3=9$.)

b) (5 p) Cu $y=0$, primul factor este $x+0=x$, iar al doilea $0+2x=2x$: $$x\ast 0=x\cdot 2x+2=2x^2+2,\text{deci}2x^2+2=4\text{(3 p)}.$$ Din $2x^2=2$ rezultă $x^2=1$, adică $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: $(-1)\ast 0=(-1)(-2)+2=4$ și $1\ast 0=1\cdot 2+2=4$. Capcană: $x^2=1$ se notează numai $x=1$ și se pierde soluția $-1$.)

c) (5 p) Pentru $y=\frac{1}{x}$, produsele din dezvoltare sunt $x\cdot \frac{1}{x}=1$, $x\cdot 2x=2x^2$, $\frac{2}{x}\cdot \frac{1}{x}=\frac{2}{x^2}$ și $\frac{2}{x}\cdot 2x=4$: $$x\ast \frac{1}{x}=\left(x+\frac{2}{x}\right)\left(\frac{1}{x}+2x\right)+2=2x^2+\frac{2}{x^2}+1+4+2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $x\ast \frac{1}{x}=2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+7$. Pentru $x\ne 0$, numerele $x^2$ și $\frac{1}{x^2}$ sunt pozitive, deci $2\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)>0$ și $x\ast \frac{1}{x}>7$ (2 p).

(Probă: pentru $x=-1$ se obține $(-1)\ast (-1)=(-3)(-3)+2=11>7$. Capcană: o singură valoare, $x=1$ cu $1\ast 1=11$, nu demonstrează inegalitatea pentru orice $x$ nenul.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, minim pe un interval.

a) (5 p) Fiecare termen se derivează după regula ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$, iar constanta $1$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=10x^4+20x^3-30x^2\text{(3 p)}.$$ Din toți trei termenii se scoate factorul comun $10x^2$: $$f^{\prime }(x)=10x^2\left(x^2+2x-3\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=10+20-30=0$, iar $10\cdot 1\cdot (1+2-3)=0$. Capcană: exponentul nu scade, $(5x^4{)}^{\prime }=20x^4$; în $x=2$ aceasta ar da $320$, față de $160$ pentru $20x^3$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea și panta în punctul de abscisă $0$: $$f(0)=1,f^{\prime }(0)=10\cdot 0\cdot (-3)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y-1=0$, deci $\mathbf{y}=1$ (3 p).

(Probă: $f(0)$ are toți termenii cu $x$ nuli, rămâne $1$. Capcană: panta se confundă cu $f(0)$ și se scrie dreapta $y=x+1$; ea are panta $1$, deși $f^{\prime }(0)=0$.)

c) (5 p) Trinomul $x^2+2x-3$ are rădăcinile $-3$ și $1$, deci $x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$ și $f^{\prime }(x)=10x^2(x+3)(x-1)$. Pe $[-3,1]$, factorii $x^2$ și $x+3$ sunt pozitivi sau nuli, iar $x-1\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ scade. Pe $[1,+\infty )$ toți factorii sunt pozitivi sau nuli, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește. Valoarea cea mai mică pe $[-3,+\infty )$ este atinsă în $x=1$, adică $f(x)\ge f(1)$ pentru orice $x\in [-3,+\infty )$ (3 p).

Se calculează $f(1)=2+5-10+1=-2$. Din $f(x)\ge -2$ se obține $2x^5+5x^4-10x^3+1+2\ge 0$, adică $2x^5+5x^4-10x^3+3\ge 0$ (2 p).

(Probă: $f(-3)=190$ și $f(0)=1$, ambele mai mari decât $-2$. Capcană: minimul se caută în $x=0$, unde $f^{\prime }=0$ și $f(0)=1$, și se concluzionează $f\ge 1$; dar $f(1)=-2<1$, iar $x=0$ nu schimbă semnul derivatei, fiindcă factorul $x^2$ rămâne pozitiv de ambele părți. Intervalul contează: pentru $x=-4$, în afara lui, $2x^5+5x^4-10x^3+3=-125<0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu $f(x)=6x+\frac{2}{x+1}$.

a) (5 p) Prin scăderea lui $\frac{2}{x+1}$ din $f(x)$ rămâne $6x$. O primitivă a lui $6x$ este $3x^2$: $${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{2}{x+1}\right)dx={\int }_0^{2}6xdx=3x^2{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=3\cdot 4-0=12\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $6x$ se ia $6x^2$, a cărei derivată este $12x$, și iese $24$. Altă greșeală: $\frac{2}{x+1}$ se adună în loc să se scadă, iar integrala lui $6x+\frac{4}{x+1}$ pe $[0,2]$ este $12+4\ln 3$.)

b) (5 p) Prin scăderea lui $6x$ din $f(x)$ rămâne $\frac{2}{x+1}$, a cărui primitivă este $2\ln (x+1)$, pentru că $x+1>0$ pe $[0,1]$: $${\int }_0^1\left(f(x)-6x\right)dx={\int }_0^1\frac{2}{x+1}dx=2\ln (x+1){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=2\ln 2-2\ln 1=2\ln 2\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left(2\ln (x+1)\right)}^{\prime }=\frac{2}{x+1}$. Capcană: primitiva se alege $\ln (x+1)$, fără factorul $2$, și iese $\ln 2$, jumătate din rezultatul corect. Altă greșeală: $\ln 1$ se ia egal cu $1$ și iese $2\ln 2-2$.)

c) (5 p) Din subpunctul a) integrandul este $6x{\ln }^{2}x$. Se integrează prin părți, cu $u={\ln }^{2}x$ și $v^{\prime }=6x$, deci $v=3x^2$ și $u^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}$: $${\int }_1^{e}6x{\ln }^{2}xdx=3x^2{\ln }^{2}x{|}_1^e-{\int }_1^{e}6x\ln xdx.$$ Prima parte este $3e^2\cdot 1-0=3e^2$. A doua integrală se face tot prin părți, cu $u=\ln x$ și $v^{\prime }=x$: $${\int }_1^{e}x\ln xdx=\frac{x^2}{2}\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{x}{2}dx=\frac{e^2}{2}-\frac{e^2-1}{4}=\frac{e^2+1}{4}.$$ Prin urmare integrala este $3e^2-6\cdot \frac{e^2+1}{4}=\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}$ (3 p).

Egalitatea $\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}=\frac{a\left(e^2-1\right)}{2}$ are $e^2-1\ne 0$, deci $\mathbf{a}=3$ (2 p).

(Probă numerică: integrala ${\int }_1^{e}6x{\ln }^{2}xdx$ și numărul $\frac{3\left(e^2-1\right)}{2}$ valorează amândouă $9,5836$. Capcană: se uită factorul $6$; atunci integrala este $\frac{e^2-1}{4}$ și egalitatea dă $a=\frac{1}{2}$. Altă greșeală: în formula părților se adună, $uv{|}_1^e+\int u^{\prime }vdx$, în loc să se scadă.)

Pentru părinți și profesori

Ce găsești aici. Varianta 1 a lucrării de matematică M_tehnologic din sesiunea iunie-iulie 2022 a Bacalaureatului. Proba E.c) are un singur subiect pentru candidații filierei tehnologice: pe antet sunt trecute profilurile servicii, resurse și tehnic, cu toate calificările lor profesionale. Antetul lor numește două instituții: Ministerul Educației, pe primul rând, și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, pe al doilea. Cerințele sunt transcrise cu punctuația din document; drumul de rezolvare, verificările și ghidajul sunt ale noastre, iar baremul oficial ne dă numai numărul de puncte de pe fiecare rând.

Cum se adună cele 100 de puncte. Subiectul I însumează 30 de puncte din șase cerințe de câte 5. Fiecare dintre Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea are două probleme de 15 puncte, deci tot 30 de puncte. Restul de 10 puncte vin din oficiu. Fiecare cerință de 5 puncte este împărțită pe două rânduri, 3 + 2 sau 2 + 3, la toate cele 18 cerințe și subpuncte ale variantei 1.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Cerința 1 cere adunarea unei fracții cu un număr întreg și apoi respectarea ordinii operațiilor. Programa de examen trece operațiile cu numere reale la clasa a IX-a, dar programa școlară nouă nu are o unitate despre numere reale; tehnica de calcul e în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Programa de examen plasează ecuația cu radical în clasa a X-a. Programa nouă lasă ecuațiile să se rezolve numai pe grafic sau cu mijloace digitale, așa că ridicarea la pătrat și verificarea valorii găsite se regăsesc în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Calculul procentual ține, la examen, de matematicile financiare din clasa a X-a. Programa nouă folosește procentul numai ca exemplu în alte teme; capitolul complet, cu profit, preț de cost și TVA, e în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Programa de examen așază reperul cartezian la clasa a X-a. Programa școlară nouă îl predă în clasa a IX-a și include acolo coordonatele mijlocului unui segment; diferența ține de calendarul celor două programe.
• Nota 5. Triunghiul dreptunghic este, la examen, materie de clasa a IX-a, iar în programa școlară nouă se învață în clasa a X-a. Cele două programe așază aceeași temă în ani diferiți.

Particularități ale variantei 1. Matricele $A$, $B$ și $C$ din Subiectul al II-lea sunt legate prin $A+2B=3C$, iar determinantul cerut la 7.c) iese un produs de doi factori de gradul întâi în $x$. Expresia $x\ast \frac{1}{x}$ de la 8.c) se simplifică într-o sumă cu doi termeni pozitivi, $2x^2$ și $\frac{2}{x^2}$, plus $7$. Derivata funcției din prima problemă a Subiectului al III-lea se descompune în $10x^2(x+3)(x-1)$, iar inegalitatea de la 9.c) folosește tocmai capătul $-3$ al intervalului și minimul din $x=1$. În a doua problemă, aceeași funcție $f$ este despărțită în două părți: scăzând pe rând $\frac{2}{x+1}$ și $6x$ rămâne câte o parte ușor de integrat.

Planul orar. Timpul efectiv este de trei ore: dacă ții 20 de minute pentru recitire, ai la dispoziție 160 de minute pentru cele 90 de puncte ale cerințelor, adică puțin mai puțin de două minute pe punct. Antetul baremului reamintește că o soluție corectă, diferită de cea oficială, se notează la fel, că punctele nu se fragmentează, iar nota se calculează împărțind totalul la zece. Din cauza celor 10 puncte din oficiu, pentru nota 5 trebuie adunate 40 de puncte din cele 90.

De evitat la redactare: la 1, scăderea făcută înaintea înmulțirii; la 4, prețul final înlocuit cu mărirea de $9$ lei; la 7.c), produsul $B\cdot C$ calculat element cu element; la 8.c), inegalitatea verificată într-o singură valoare a lui $x$; la 9.c), minimul căutat în $x=0$, deși funcția coboară mai jos, în $x=1$.

Pași de lucru. Rezolvă problema pe ciornă, apoi compară-ți rândurile cu cele de mai jos și subliniază primul rând la care ai greșit sau te-ai oprit. Ghidajul reia exact acel rând și îți pune câte o întrebare, fără a-ți da rezultatul de la început. Interpretarea totalului: sub 40 de puncte, merită refăcut Subiectul I; între 40 și 65, rămân de întărit ultimele subpuncte; peste 65, antrenamentul se mută pe viteză.

Formule folosite în varianta 1

• Subiectul I. Prioritatea operațiilor: întâi paranteza, apoi înmulțirea, apoi scăderea; mărirea cu $p\%$ a unui preț $P$ este $P+\frac{p}{100}\cdot P$; mijlocul segmentului $[AB]$ are coordonatele $\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; sinusul unui unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic se obține împărțind lungimea catetei opuse la cea a ipotenuzei.
• Subiectul al II-lea. Determinantul unei matrice $2\times 2$: $ad-bc$; matricele se adună și se scad element cu element, iar un scalar înmulțește toate elementele; produsul a două matrice se face linie cu coloană; $\left(u+\frac{k}{u}\right)\left(\frac{1}{u}+ku\right)$ se dezvoltă prin distributivitate.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; semnul derivatei dă monotonia, iar monotonia dă cel mai mic sau cel mai mare dintre valori; $\int \frac{1}{x+1}dx=\ln (x+1)$; integrarea prin părți: ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$.

Numerele 7–10 de mai jos corespund, în ordine, problemelor 1 și 2 din Subiectul al II-lea și din Subiectul al III-lea. Una și aceeași literă numește lucruri diferite după cerință: $A$ este punct la cerința 5, vârful unghiului drept la 6 și matrice la 7; $B$ este punct la 5, vârf al triunghiului la 6 și matrice la 7; $C$ este vârf al triunghiului și unghiul de $30^{\circ }$ la cerința 6 și matrice la 7; $M$ este punct la 5; $a$ este un număr real la 2, o coordonată la 5 și, la 10.c), parametrul căutat; $f$ numește trei funcții diferite, la 2, 9 și 10. Fiecare cerință se citește separat.