Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2024 (varianta 10) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2024 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{12}{5}\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=6$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4x+1}=3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}$, acesta să fie divizibil cu $20$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$, $B(8,8)$ și $C(11,4)$. Arătați că $AB=2BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $1+\sin 30^{\circ }=2\sin 60^{\circ }\cdot \cos 30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x-1\\ -2x& 2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(2)+A(0)=2A(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (A(x)+x{I}_2)=2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2(x+y)-xy-4$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 3=1$.

b) (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\circ$" este comutativă.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\circ n\ge n-2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x^2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(1-x)}{x^3}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x^2+x+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(x^2+x+1\right)f(x)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=\ln 3$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^x\left(x^2+x+1\right)f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $e+1$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 de puncte ale cerințelor, adunate cu cele 10 din oficiu, dau 100. Împărțire: Subiectul I are 30 p (cerințele 1–6), Subiectul al II-lea are 30 p (cerințele 7 și 8), Subiectul al III-lea are 30 p (cerințele 9 și 10). Problemele de la 7 la 10 au câte trei subpuncte de 5 p, fiecare cu două rânduri. Numerele din dreptul rândurilor sunt ale baremului oficial din iunie-iulie 2024 (Varianta 10). Cum se ajunge la rezultate, ce probe se fac și ce capcane există, aflați în rândurile care urmează.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Mai întâi paranteza. Numitorul comun al lui $2$ și $3$ este $6$: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\text{(2 p)}.$$ Rămâne produsul, în care $5$ se simplifică: $$\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{6}=\frac{12}{6}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă de ordin de mărime: suma $\frac{5}{6}$ este mai mică decât $1$, deci produsul trebuie să fie mai mic decât $\frac{12}{5}$, iar $2<\frac{12}{5}$. Capcană: fracțiile se adună numărător cu numărător și numitor cu numitor, $\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$; atunci produsul iese $\frac{12}{5}\cdot \frac{2}{5}=\frac{24}{25}$. Altă greșeală: se ignoră parantezele și se calculează întâi $\frac{12}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{23}{15}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție afină.

Valoarea funcției în $a$ se obține înlocuind pe $x$ cu $a$: $$f(a)=5a+1\text{(2 p)}.$$ Din $f(a)=6$ rezultă $5a+1=6$, adică $5a=5$, deci $\mathbf{a}=1$ (3 p).

(Probă: $f(1)=5+1=6$. Capcană: $1$ trece în dreapta cu semnul $+$, $5a=6+1=7$, și iese $a=\frac{7}{5}$, unde $f\left(\frac{7}{5}\right)=8$; sau se uită coeficientul $5$ și iese $a+1=6$, adică $a=5$, unde $f(5)=26$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul este egal cu un număr pozitiv, așa că ambii membri pot fi ridicați la pătrat: $$4x+1=3^2=9,\text{deci}4x=8\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{x}=2$. La ridicarea la pătrat pot apărea soluții străine, de aceea se verifică: $\sqrt{4\cdot 2+1}=\sqrt{9}=3$, iar valoarea $2$ convine (2 p).

(Capcană: se uită ridicarea la pătrat a lui $3$ și iese $4x+1=3$, adică $x=\frac{1}{2}$, dar $\sqrt{4\cdot \frac{1}{2}+1}=\sqrt{3}\ne 3$. Altă greșeală: radicalul se „împarte" pe termeni, $\sqrt{4x}+\sqrt{1}=3$, adică $2\sqrt{x}=2$ și $x=1$; dar $\sqrt{4\cdot 1+1}=\sqrt{5}\ne 3$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $10,20,\dots ,90$: sunt $9$ numere, deci $9$ cazuri posibile (2 p).

Un număr din $A$ este divizibil cu $20$ când se împarte exact la $20$, adică este de forma $20\cdot k$ cu $k$ natural. Din $A$ fac parte $20\cdot 1$, $20\cdot 2$, $20\cdot 3$ și $20\cdot 4$; $20\cdot 5=100$ depășește ultimul element, iar celelalte cinci numere ale mulțimii dau câturi cu zecimale. Sunt $4$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{4}{9}\text{(3 p)}.$$

(Probă: multiplii lui $20$ stau pe pozițiile a doua, a patra, a șasea și a opta din șirul celor nouă numere. Capcană: „divizibil cu $20$" se citește „divizor al lui $20$"; atunci favorabile ar fi $10$ și $20$, iar probabilitatea $\frac{2}{9}$. Altă greșeală: numărul de elemente se calculează $\frac{90-10}{10}=8$, fără a-l număra și pe primul, și iese $\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanțe în plan.

Distanța dintre două puncte este rădăcina sumei pătratelor diferențelor coordonatelor. Pentru $B(8,8)$ și $C(11,4)$ diferențele sunt $11-8=3$ și $4-8=-4$: $$BC=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{25}=5\text{(2 p)}.$$ Pentru $A(2,0)$ și $B(8,8)$ diferențele sunt $6$ și $8$: $$AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10=2\cdot 5,\text{ deci }\mathbf{AB}=2BC\text{(3 p)}.$$

(Observație: $(3,4,5)$ și $(6,8,10)$ sunt triplete pitagorice, al doilea fiind dublul primului. Capcană: se uită rădăcina și se compară $A{B}^2=100$ cu $B{C}^2=25$; raportul pătratelor este $4$, nu $2$. Altă greșeală: în locul diferențelor se adună coordonatele, $(11+8{)}^2+(4+8{)}^2=505$, un număr care nu e pătrat perfect.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Valorile necesare sunt $$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, iar cel drept este $$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Cei doi membri sunt egali.

(Probă: $2\sin 60^{\circ }\cos 30^{\circ }=2{\sin }^{2}60^{\circ }$, iar ${\sin }^{2}60^{\circ }=\frac{3}{4}$. Capcană: se aplică formula sinusului unghiului dublu, deși factorii au unghiuri diferite, $60^{\circ }$ și $30^{\circ }$; suma lor, $90^{\circ }$, ar da $\sin 90^{\circ }=1\ne \frac{3}{2}$. Altă greșeală: se inversează valorile, $\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, și membrul stâng iese $1+\frac{\sqrt{3}}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$, elementul $x-1$ este $0$ și $-2x=-2$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 2\end{array}\right),\det (A(1))=1\cdot 2-0\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=2-0=2\text{(2 p)}.$$

(Matricea $A(1)$ are $0$ deasupra diagonalei principale, deci determinantul este produsul $1\cdot 2$ al elementelor de pe ea. Capcană: se scrie $x-1=2$ în loc de $0$; atunci determinantul ar fi $1\cdot 2-2\cdot (-2)=6$.)

b) (5 p) Se calculează cele două matrice și se adună element cu element: $$A(2)+A(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -4& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte, scalarul $2$ înmulțește toate elementele lui $A(1)$: $$2A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -4& 4\end{array}\right)=A(2)+A(0)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: trei dintre elementele lui $A(x)$ sunt de forma $\alpha x+\beta$, iar al patrulea e constant; media argumentelor $2$ și $0$ este $1$. Capcană: se scrie $A(2)+A(0)=A(2+0)=A(2)$; dar $A(2)$ are $1$ în colțul din dreapta sus, iar suma are $0$.)

c) (5 p) Matricea $x{I}_2$ are $x$ doar pe diagonală: $$A(x)+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2x& x-1\\ -2x& x+2\end{array}\right),\det =2x(x+2)-(x-1)(-2x)=4x^2+2x,\text{pentru orice }x\text{(3 p)}.$$ Ecuația $4x^2+2x=2$ se scrie $2x^2+x-1=0$, adică $(2x-1)(x+1)=0$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=-1$ și $\mathbf{x}=\frac{1}{2}$ (2 p).

(Probă: pentru $x=-1$, $4-2=2$; pentru $x=\frac{1}{2}$, $1+1=2$. Capcană: $x{I}_2$ se confundă cu o matrice având $x$ în toate cele patru poziții; atunci determinantul iese $4x^2+3x$, iar ecuația $4x^2+3x=2$ are alte soluții. Altă greșeală: la factorizare se confundă semnele și se scrie $x=1$ și $x=-\frac{1}{2}$, dar pentru $x=1$, $4+2=6\ne 2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=1$ și $y=3$ în formula legii: $$1\circ 3=2(1+3)-1\cdot 3-4\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 3=8-3-4=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: paranteza se pierde și $2(x+y)$ devine $2x+y$; atunci $2+3-3-4=-2$. Altă greșeală: produsul $xy$ se adună în loc să se scadă, $8+3-4=7$.)

b) (5 p) Pentru a arăta că legea este comutativă trebuie comparate $x\circ y$ și $y\circ x$, pentru orice numere reale $x$ și $y$. Formula, cu rolurile inversate, este $$y\circ x=2(y+x)-yx-4\text{(2 p)}.$$ Adunarea și înmulțirea numerelor reale nu depind de ordine, deci $y+x=x+y$ și $yx=xy$: $$y\circ x=2(x+y)-xy-4=x\circ y,\text{ pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Legea $\circ$ este comutativă.

(Altă cale: $x\circ y=-(x-2)(y-2)$, fiindcă $-(x-2)(y-2)=-xy+2x+2y-4$; produsul a doi factori nu depinde de ordine. Capcană: se verifică egalitatea doar pe o pereche de numere, $1\circ 3=3\circ 1=1$, ceea ce nu dovedește că ea ține pentru orice $x$ și $y$.)

c) (5 p) Se pune $x=y=n$: $$n\circ n=2(n+n)-n\cdot n-4=4n-n^2-4\text{(2 p)}.$$ Expresia se scrie $4n-n^2-4=-(n-2{)}^2$, deci inegalitatea cerută este $-(n-2{)}^2\ge n-2$, adică $(n-2{)}^2+(n-2)\le 0$. Se scoate factor comun $n-2$ și rămâne $(n-1)(n-2)\le 0$. Un produs de acest fel este nepozitiv între rădăcinile $1$ și $2$, capetele incluse, iar dintre numerele naturale rămân $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

(Probă: $1\circ 1=-1\ge -1$ și $2\circ 2=0\ge 0$; pentru $n=0$, $0\circ 0=-4<-2$, iar pentru $n=3$, $3\circ 3=-1<1$. Capcană: inegalitatea se citește strict și rămâne un interval deschis, care nu conține niciun număr natural; dar capetele $1$ și $2$ verifică „$\ge$".)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, monotonie.

a) (5 p) Numărătorul se împarte termen cu termen la $x^2$: $f(x)=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}$. Derivatele puterilor lui $x$ sunt ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ și ${\left(\frac{1}{x^2}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{x^3}$: $$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}\text{(3 p)}.$$ Cu numitor comun $x^3$: $$f^{\prime }(x)=\frac{-2x+2}{x^3}=\frac{2(1-x)}{x^3},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(2)=\frac{2(1-2)}{8}=-\frac{1}{4}$, iar $-\frac{2}{4}+\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$. Capcană: derivata lui $-\frac{1}{x^2}$ se scrie cu semn greșit, $-\frac{2}{x^3}$, și iese $-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}$, care în $x=2$ dă $-\frac{3}{4}$, nu $-\frac{1}{4}$.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $1$. Se calculează $$f(1)=\frac{2\cdot 1-1}{1^2}=1,f^{\prime }(1)=\frac{2(1-1)}{1^3}=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-1=0$, deci $$\mathbf{y}=1\text{(3 p)}.$$

(Panta este nulă, deci tangenta este orizontală, iar $x=1$ este punct în care $f^{\prime }$ se anulează. Capcană: se confundă $f(1)$ cu $2\cdot 1+1=3$ și iese dreapta $y=3$, care nu trece prin punctul $(1,1)$ al graficului.)

c) (5 p) Pe $(0,+\infty )$, $x^3>0$, deci semnul lui $f^{\prime }(x)=\frac{2(1-x)}{x^3}$ este semnul lui $1-x$, care se anulează în $1$:

• pentru $x\in (0,1]$: $1-x\ge 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește pe $(0,1]$ (3 p);
• pentru $x\in [1,+\infty )$: $1-x\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ descrește pe $[1,+\infty )$ (2 p).

(Probă: $f\left(\frac{1}{2}\right)=0$, $f(1)=1$, $f(2)=\frac{3}{4}$; valorile cresc până la $1$ și apoi scad. Capcană: se studiază semnul pe tot $\mathbb{R}$, deși $f$ e definită doar pe $(0,+\infty )$, și se vorbește despre un interval $(-\infty ,1]$ care nu aparține domeniului.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu o fracție care conține derivata numitorului.

a) (5 p) Factorul $x^2+x+1$ simplifică numitorul: $\left(x^2+x+1\right)f(x)=2x+1$. O primitivă a lui $2x+1$ este $x^2+x$: $${\int }_0^1(2x+1)dx=\left(x^2+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=(1+1)-0=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se integrează $f$ în loc de produsul cu $x^2+x+1$; o primitivă a lui $f$ nu e un polinom. Altă greșeală: la capătul de sus se scrie $1^2+1=1$.)

b) (5 p) Numărătorul $2x+1$ este derivata numitorului $x^2+x+1$, iar ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$ cu $u=x^2+x+1>0$. O primitivă a lui $f$ este deci $\ln \left(x^2+x+1\right)$: $${\int }_0^{1}f(x)dx=\ln \left(x^2+x+1\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\ln 3-\ln 1=\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Numitorul este pozitiv pentru orice $x$, deci logaritmul are sens. Capcană: se alege $\frac{1}{x^2+x+1}$ ca primitivă; derivata ei este $-\frac{2x+1}{{\left(x^2+x+1\right)}^2}$, nu $f$. Altă greșeală: se uită $\ln 1=0$ și se scrie $\ln 3-1$.)

c) (5 p) Din subpunctul a), produsul $\left(x^2+x+1\right)f(x)$ este $2x+1$, deci $g(x)=e^x(2x+1)$. Pe $[0,1]$ funcția $g$ are valori pozitive, așa că aria este integrala ei. O primitivă este $G(x)=e^x(2x-1)$, ceea ce se verifică prin derivare: $$G^{\prime }(x)=e^x(2x-1)+2e^x=e^x(2x+1)=g(x)\text{(3 p)}.$$ Atunci $$\mathcal{A}={\int }_0^{1}g(x)dx=G(1)-G(0)=e-(-1)=\mathbf{e}+1\text{(2 p)}.$$

(Baremul calculează integrala prin părți; la noi primitiva e dată și verificată. Probă numerică: integrala ${\int }_0^1{e}^x(2x+1)dx$ și $e+1$ coincid. Capcană: $G(0)=e^0\cdot (0-1)=-1$ se scrie $+1$ și iese $e-1$; sau se alege chiar $g$ ca primitivă a ei însăși; derivata lui $g$ are factorul $2x+3$, nu $2x+1$, deci $g$ nu este primitiva lui $g$.)

Pentru părinți și profesori

Pe scurt. Mai jos stă varianta 10 a lucrării de matematică M_tehnologic din sesiunea iunie-iulie 2024 a Bacalaureatului: zece cerințe, rezolvate rând cu rând, plus un ghidaj interactiv. Lucrarea e scrisă de candidații din filiera tehnologică (profilul servicii, profilul resurse, profilul tehnic). Pe documentele oficiale apar Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Cerințele au rămas cum au fost date; explicațiile, probele și ghidajul sunt ale noastre, iar din barem preluăm doar numărul de puncte al fiecărui rând.

Harta lucrării. Cele 90 de puncte ale cerințelor se împart așa: Subiectul I are șase cerințe de câte 5 puncte (30), Subiectul al II-lea are două probleme de câte 15 puncte (30), Subiectul al III-lea are alte două probleme de câte 15 puncte (30). Fiecare cerință sau subpunct de 5 puncte are două rânduri de punctaj, 3 + 2 sau 2 + 3. Se adaugă 10 puncte din oficiu.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Calculul cu fracții din prima cerință face parte, la examen, din capitolul clasei a IX-a despre operațiile cu numere reale. Noua programă școlară de clasa a IX-a nu are o unitate despre numere reale; tehnica de calcul se găsește la noi în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Ecuațiile cu radicali se cer în clasa a X-a. În programa școlară nouă ecuațiile se rezolvă numai grafic sau cu instrumente digitale, de aceea ridicarea la pătrat și verificarea soluției stau în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Distanța dintre două puncte se cere la examen în clasa a X-a, dar în programa școlară nouă ea se predă încă din clasa a IX-a, în unitatea despre reperul cartezian. Nu e o eroare, ci o decalare între programa de examen și programa școlii.
• Nota 4. Inegalitatea de la 8.c) ajunge la un produs de doi factori de gradul întâi; semnul ei se citește ca la o inecuație de gradul al II-lea, subiect de clasa a IX-a la examen. Programa nouă nu îl tratează decât pe grafic, iar calculul cu ajutorul rădăcinilor îl găsești în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce a avut special varianta 10. Subiectul I nu conține nicio problemă cu context practic; toate cele șase cerințe sunt calcule. La cerința 4, cuvintele „divizibil cu $20$" se pot confunda ușor cu „divizor al lui $20$". La Subiectul al II-lea, determinantul de la 7.c) duce la o ecuație de gradul al II-lea în $x$, cu două soluții reale. Legea de compoziție de la a doua problemă se poate scrie sub forma unui produs de factori, ceea ce face evidente și comutativitatea, și valoarea lui $n\circ n$. În a doua problemă din Subiectul al III-lea, aceeași fracție apare în toate cele trei subpuncte, iar numărătorul ei este derivata numitorului.

Timpul de lucru. Trei ore, fără calculator. Cine lasă 20 de minute pentru recitire are 160 de minute pentru 90 de puncte, adică puțin peste un minut și trei sferturi pe punct. Subiectul I se poate încheia mai repede, iar timpul rămas ajută la problemele de 15 puncte. Pe barem scrie că se admite orice rezolvare corectă, nu doar cea din document, că nu există fracțiuni de punct și că nota e totalul împărțit la zece. Cele 10 puncte din oficiu fac ca nota 5 să se obțină cu 40 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

De evitat la redactare: la 3, lipsa verificării soluției după ridicarea la pătrat; la 4, o mulțime cu alt număr de elemente decât $A$; la 7.c), $x$ adunat și în afara diagonalei; la 8.b), egalitatea verificată pe o singură pereche de numere; la 9.c), intervale care ies din domeniul $(0,+\infty )$.

Cum poți folosi pagina. Rezolvă întâi singur o problemă, apoi urmărește rândurile de mai jos și notează unde ai ajuns. Pentru ce nu ți-a ieșit, deschide ghidajul: te întreabă pe rând, ca să nu primești soluția dintr-odată. Un total propriu sub 40 de puncte cere o reluare a Subiectului I și a subpunctelor de început din probleme; între 40 și 65, rămân de exersat subpunctele de la sfârșit; peste 65, contează ritmul.

Formule folosite în varianta 10

• Subiectul I. Pentru a aduna fracții se aduc la același numitor; $\sqrt{u}=v$ cu $v\ge 0$ implică $u=v^2$; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată a sumei pătratelor diferențelor coordonatelor de același fel; $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. Determinantul unei matrice cu două linii se obține scăzând produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale; $\lambda M$ înmulțește toate elementele lui $M$ cu $\lambda$; o lege $\circ$ este comutativă dacă $x\circ y=y\circ x$ pentru orice $x,y$.
• Subiectul al III-lea. Tangenta la grafic în punctul de abscisă $a$ are ecuația $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $F^{\prime }=g$, atunci ${\int }_a^{b}g(x)dx=F(b)-F(a)$; ${\left(\ln u\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{u}$.

Titlurile „itemul" de mai jos sunt luate din barem; în clasă folosim „cerința". Litera $f$ denumește trei funcții diferite, în cerințele 2, 9 și 10; fiecare cerință se citește separat. Litera $A$ este mulțime la cerința 4, punct la cerința 5 și matrice la cerința 7.