Subiect Bac matematică tehnologic, model 2017 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2017 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right):\frac{5}{6}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg \left(x^2+5\right)=\lg 9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $10\%$, prețul unui obiect este $270$ de lei. Calculați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$ și $B(3,5)$. Calculați distanța de la punctul $O(0,0)$ la mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Dacă $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, arătați că $\mathrm{tg}x=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 8\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Arătați că $9(A+B)-(A\cdot B+B\cdot A)=45I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $\det (A+x{I}_2)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2-6X+8$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(2)=-8$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X-1$.

c) (5 puncte) Demonstrați că ${\left(x_1+1\right)}^2+{\left(x_2+1\right)}^2+{\left(x_3+1\right)}^2=30$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-9x^2+12x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x-2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3-f(x)}{f^{\prime }(x)}$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)+2x\right)dx=\frac{2}{3}$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{e}^x\left(x^2-f(x)\right)dx$.

c) (5 puncte) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $\frac{2}{3}$.

Barem și răspunsuri

Cerințele însumează 90 p, iar oficiul adaugă 10 p: 100 p. Cerințele 1–6 au câte 5 p, împărțite în două rânduri; la cerințele 7–10, fiecare subpunct de 5 p are tot două rânduri. Fiecare „(2 p)” sau „(3 p)” de mai jos corespunde unui rând din documentul oficial al modelului din 2017. Calculele, contraprobele și observațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții și împărțire.

Mai întâi suma din paranteză, cu numitorul comun $6$: $$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}\text{(3 p)}.$$ Împărțirea unui număr la el însuși dă $1$: $$\frac{5}{6}:\frac{5}{6}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{5}=1$. Greșeală posibilă: se adună separat numărătorii și numitorii, $\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$, iar atunci câtul $\frac{2}{5}:\frac{5}{6}=\frac{12}{25}$ nu este $1$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Oy$.

Pe axa $Oy$ abscisa este $0$, așa că se evaluează $f$ în $0$, unde produsul $2\cdot 0$ dispare: $$f(0)=0+3=3\text{(3 p)}.$$ Punctul de intersecție are coordonatele $x=0$ și $y=3$, adică $(0,3)$ (2 p).

(Verificare: ordonata la origine a dreptei $y=2x+3$ este termenul liber, $3$. Greșeală posibilă: se rezolvă $2x+3=0$, care dă $x=-\frac{3}{2}$; acesta este punctul de intersecție cu axa $Ox$, nu cu $Oy$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția $\lg$ este injectivă, deci argumentele celor doi logaritmi coincid: $$x^2+5=9,\text{adica˘}{x}^2-4=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația $x^2=4$ are soluțiile $\mathbf{x}=-2$ și $\mathbf{x}=2$; ambele verifică logaritmul, fiindcă $(\pm 2{)}^2+5=9>0$ (3 p).

(Verificare: pentru $x=2$ și pentru $x=-2$ membrul stâng este $\lg 9$. Greșeală posibilă: se egalează $x^2$ cu $9$, adică se uită termenul $5$; atunci $x=\pm 3$, dar $\lg \left(3^2+5\right)=\lg 14$, nu $\lg 9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Fie $p$ prețul de dinainte de ieftinire. Ieftinirea scade $10\%$ din $p$: $$p-\frac{10}{100}\cdot p=270\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{9}{10}p$, deci $p=270\cdot \frac{10}{9}$, adică $\mathbf{p}=300$ de lei (2 p).

(Verificare: $10\%$ din $300$ este $30$, iar $300-30=270$. Greșeală posibilă: se adaugă $10\%$ din $270$, adică $27$, și iese $297$; procentul se aplică însă prețului de dinainte, nu celui de după.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța până la mijlocul unui segment.

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are coordonatele semisumelor: $$M\left(\frac{3+3}{2},\frac{1+5}{2}\right)=M(3,3)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $O(0,0)$ la $M(3,3)$ este $$OM=\sqrt{(3-0{)}^2+(3-0{)}^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: $M$ este la jumătatea segmentului vertical $AB$ de lungime $4$, deoarece $MA=MB=2$. Greșeală posibilă: se măsoară distanța până la un capăt în loc de mijloc; $OA=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$ și $OB=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$, ambele diferite de $OM$.)

Exercițiul 6. (5 p) — tangenta, din cosinus.

Suma pătratelor sinusului și a cosinusului aceluiași unghi este $1$, deci $${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.$$ Pe intervalul $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sinusul este pozitiv, deci $\sin x$ are valoarea $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (3 p). Din definiția tangentei, $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, iar numărătorul și numitorul sunt același număr: $$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1\text{(2 p)}.$$

(Verificare: unghiul cu $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ din intervalul dat este $x=\frac{\pi }{4}$, iar $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$. Greșeală posibilă: se ia $\sin x=\frac{1}{2}$, fără radical; atunci $\frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, nu $1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$ și $B$.

a) (5 p) Se scad produsele de pe cele două diagonale, începând cu cea principală: $$\det A=1\cdot 8-2\cdot 4\text{(3 p)}.$$ $$=8-8=0\text{(2 p)}.$$

(Observație: a doua linie este de patru ori prima, deci determinantul este $0$. Greșeală posibilă: produsele se adună, $1\cdot 8+2\cdot 4=16$.)

b) (5 p) Fiecare element al unui produs se obține înmulțind o linie cu o coloană: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}12& 6\\ 48& 24\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}24& 48\\ 6& 12\end{array}\right),A\cdot B+B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}36& 54\\ 54& 36\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $A+B=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 6& 9\end{array}\right)$, avem $9(A+B)=\left(\begin{array}{cc}81& 54\\ 54& 81\end{array}\right)$, iar diferența este $$9(A+B)-(A\cdot B+B\cdot A)=\left(\begin{array}{cc}45& 0\\ 0& 45\end{array}\right)=45I_2\text{(2 p)}.$$

(Observație: produsele $A\cdot B$ și $B\cdot A$ sunt diferite, deci nu se poate scrie $2A\cdot B$. Greșeală posibilă: dacă $A\cdot B+B\cdot A$ s-ar înlocui cu $2A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}24& 12\\ 96& 48\end{array}\right)$, în poziția $(1,1)$ s-ar obține $81-24=57$, nu $45$.)

c) (5 p) Matricea $x{I}_2$ se adună la diagonala lui $A$: $$A+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1+x& 2\\ 4& 8+x\end{array}\right),\det \left(A+x{I}_2\right)=(1+x)(8+x)-2\cdot 4=x^2+9x\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^2+9x=x(x+9)=0$ are soluțiile $\mathbf{x}=-9$ și $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Verificare: pentru $x=0$ determinantul este $\det A=0$; pentru $x=-9$ matricea este $\left(\begin{array}{cc}-8& 2\\ 4& -1\end{array}\right)$, cu determinantul $8-8=0$. Greșeală posibilă: la înmulțirea elementelor de pe diagonala principală se pierde termenul $9x$; ecuația ar deveni $x^2=0$, care dă doar $x=0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinomul $f$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X=2$ în polinom: $$f(2)=2^3-3\cdot 2^2-6\cdot 2+8\text{(3 p)}.$$ $$=8-12-12+8=-8\text{(2 p)}.$$

(Greșeală posibilă: se ridică la pătrat produsul $3\cdot 2$ în loc de numărul $2$, adică $(3\cdot 2{)}^2=36$; atunci $8-36-12+8=-32$.)

b) (5 p) Prin schema lui Horner, cu $a=1$ și coeficienții $1,-3,-6,8$, se obțin pe rând $1$, $-2$, $-8$ și $0$. Primele trei numere dau câtul, iar împărțirea se scrie: $$f=(X-1)\left({\mathbf{X}}^2-2X-8\right)\text{(3 p)}.$$ Ultimul număr este restul, iar el coincide cu $f(1)=1-3-6+8$: $$\text{restul este }0\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $(X-1)\left(X^2-2X-8\right)=X^3-3X^2-6X+8$. Greșeală posibilă: se împarte la $X+1$ în loc de $X-1$; atunci restul ar fi $f(-1)=-1-3+6+8=10$.)

c) (5 p) Relațiile lui Viète pentru $X^3-3X^2-6X+8$ dau $x_1+x_2+x_3=3$ și $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-6$. Suma pătratelor este ${\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)$: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=3^2-2\cdot (-6)=21\text{(3 p)}.$$ Dezvoltând fiecare pătrat, suma cerută este $\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2\left(x_1+x_2+x_3\right)+3$: $${\left(x_1+1\right)}^2+{\left(x_2+1\right)}^2+{\left(x_3+1\right)}^2=21+2\cdot 3+3=30\text{(2 p)}.$$

(Verificare: rădăcinile sunt $1$, $4$ și $-2$, iar $2^2+5^2+(-1{)}^2=4+25+1=30$. Greșeală posibilă: se scrie suma pătratelor ca $3^2=9$, adică pătratul sumei, fără termenul $-2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)=12$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Fiecare monom se derivează separat: $2x^3$ dă $6x^2$, $-9x^2$ dă $-18x$, $12x$ dă $12$, iar constanta $1$ dispare: $$f^{\prime }(x)=6x^2-18x+12\text{(3 p)}.$$ Scoțând factorul $6$ și descompunând trinomul $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$: $$f^{\prime }(x)=6\left(x^2-3x+2\right)=6(x-1)(x-2),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: $f^{\prime }(1)=6-18+12=0$ și $f^{\prime }(2)=24-36+12=0$. Greșeală posibilă: derivata lui $-9x^2$ se ia $-9x$, fără factorul $2$ al exponentului.)

b) (5 p) Numărătorul este $2x^3-f(x)=9x^2-12x-1$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^3-f(x)}{f^{\prime }(x)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{9x^2-12x-1}{6x^2-18x+12}\text{(2 p)}.$$ Împărțind ambii termeni ai raportului la $x^2$, fracțiile $\frac{12}{x}$, $\frac{1}{x^2}$, $\frac{18}{x}$ și $\frac{12}{x^2}$ tind la $0$ și rămâne raportul coeficienților lui $x^2$: $$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: la $x=100$, raportul $\frac{9x^2-12x-1}{6x^2-18x+12}$ este $\frac{88799}{58212}$, adică aproximativ $1,525$. Greșeală posibilă: se uită scăderea din $2x^3-f(x)$ și se păstrează $2x^3+f(x)$, al cărui grad este $3$; atunci raportul nu ar tinde la un număr real.)

c) (5 p) Pentru $x=1$ avem $f(1)=2-9+12+1=6$, iar panta tangentei este $f^{\prime }(1)=6\cdot 0\cdot (-1)=0$: $$f(1)=6,f^{\prime }(1)=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei, $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, devine $y-6=0$, adică $$\mathbf{y}=6\text{(3 p)}.$$

(Verificare: tangenta este orizontală, iar în $x=1$ funcția are un extrem local, fiindcă $f^{\prime }$ trece acolo de la plus la minus. Greșeală posibilă: se uită ordonata $f(1)$ și se scrie $y=f^{\prime }(1)(x-1)=0$; dreapta $y=0$ nu trece prin punctul $(1,6)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Suma $f(x)+2x=x^2-2x+2x=x^2$, deci $${\int }_{-1}^1\left(f(x)+2x\right)dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx\text{(2 p)}.$$ Primitiva lui $x^2$ este $\frac{x^3}{3}$: $${\frac{x^3}{3}|}_{-1}^1=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$

(Verificare: funcția $x^2$ este pară, graficul ei fiind simetric față de axa $Oy$, deci integrala ei pe $[-1,1]$ este dublul integralei pe $[0,1]$, adică $2\cdot \frac{1}{3}$. Greșeală posibilă: se uită semnul valorii în $-1$ și se scrie $\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0$.)

b) (5 p) Diferența $x^2-f(x)=x^2-x^2+2x=2x$, deci integrala este ${\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx$. Prin părți, cu $u=2x$ și $v^{\prime }=e^x$: $${\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx=2x{e}^x{|}_0^1-2{\int }_0^1{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ Produsul $2x{e}^x$ ia valoarea $2e$ la capătul $1$ și $0$ la capătul $0$, iar integrala rămasă este $2\left(e-1\right)$, deci $$2e-2e+2=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare: ${\left((2x-2)e^x\right)}^{\prime }=2e^x+(2x-2)e^x=2x{e}^x$, iar diferența valorilor acestei primitive în $1$ și în $0$ este $0-(-2)=2$. Greșeală posibilă: se integrează produsul ca produs al primitivelor, $x^2\cdot e^x$, a cărui valoare între $0$ și $1$ este $e$, nu $2$.)

c) (5 p) Pe $[0,1]$ avem $f(x)=x(x-2)\le 0$, deoarece $x\ge 0$ și $x-2<0$; aria este deci integrala lui $-f(x)=2x-x^2$: $$\mathcal{A}={\int }_0^1\left|f(x)\right|dx={\int }_0^1\left(2x-x^2\right)dx=x^2{|}_0^1-\frac{x^3}{3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$

(Verificare: graficul parabolei $f$ trece prin $(0,0)$ și $(2,0)$, iar pe $[0,1]$ este sub axa $Ox$. Greșeală posibilă: se calculează ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}$; o arie nu este negativă.)

Pentru părinți și profesori

Aici găsești modelul de lucrare la matematică M_tehnologic pentru Bacalaureatul din 2017, cu toate cele zece cerințe rezolvate. Foaia are titlul „Examenul de bacalaureat național 2017, Proba E. c)”; în colțul din dreapta stă cuvântul „Model”, în locul unui număr de variantă. Subiectul este scris pentru filiera tehnologică, cu profilurile servicii, resurse și tehnic. Antetul menționează Centrul Național de Evaluare și Examinare. Enunțurile sunt reproduse cu semnele lor. Calculele, contraprobele și observațiile sunt scrise de noi; din documentul oficial de evaluare am reținut numai felul în care se împart punctele pe rânduri.

Cele zece cerințe sunt grupate în trei subiecte egale, de 30 de puncte fiecare; foaia mai adaugă 10 puncte din oficiu și lasă 3 ore de lucru efectiv. Subiectul I are șase întrebări scurte, de câte 5 puncte. În subiectele II și III, fiecare dintre cele două probleme se desface în trei subpuncte egale, de câte 5 puncte. Documentul oficial împarte un subpunct în două rânduri; pe pagina de față, rândul se închide cu „(2 p)” sau cu „(3 p)”.

Harta modelului

În programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), clasa a XII-a conține teorema împărțirii cu rest și schema lui Horner, iar clasa a XI-a conține tangenta la o curbă.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are modelul. La 3, ecuația se reduce la $x^2=4$, deci apar două valori, iar logaritmul le admite pe amândouă. La 5, segmentul $AB$ este vertical, iar abscisa mijlocului rămâne $3$. La 7.a) rezultatul $0$ arată că $A$ nu are inversă; la 7.b) intră în joc produsele $A\cdot B$ și $B\cdot A$, care nu coincid. La 8.c) rădăcinile polinomului nu se calculează, ci se pornește de la legătura dintre ele și coeficienți. La 9.c) panta tangentei este $0$, deci dreapta căutată este orizontală.

Cifre pentru ritm. Cele șase întrebări ale primului subiect au câte 5 puncte, deci 30 de puncte în total. Cine le rezolvă pe toate și mai câștigă un singur subpunct de 5 puncte din restul foii, adună, cu oficiul, 45 de puncte, ceea ce înseamnă nota 4,5.

Cum parcurgi pagina. Rezolvă fiecare subpunct pe ciornă și abia apoi citește cele două rânduri. Dacă rămâi la 8.c), reia suma $x_1+x_2+x_3$ și suma produselor a câte două rădăcini; dacă rămâi la 10.b), caută o primitivă a lui $2x{e}^x$ cu ajutorul integrării prin părți.

Formulele modelului

• Subiectul I. raportul a două numere egale și nenule este $1$; $\lg u=\lg v$ cu $u,v>0$ implică $u=v$; mijlocul lui $[AB]$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor; suma pătratelor sinusului și a cosinusului aceluiași unghi este $1$, iar $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; pentru $X^3+p{X}^2+qX+r$, suma rădăcinilor este $-p$ și suma produselor a câte două este $q$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; ecuația tangentei în $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $\int u{e}^{x}dx=u{e}^x-\int u^{\prime }{e}^{x}dx$; aria sub un grafic aflat sub axa $Ox$ se obține integrând $-f$.

Despre litere. Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția afină de la 2, polinomul de la 8, o funcție polinomială de gradul $3$ la 9 și una de gradul $2$ la 10. Literele $A$ și $B$ sunt puncte la 5 și matrice la 7. Literele $x_1,x_2,x_3$ sunt rădăcinile polinomului de la 8, iar $x$ de la 7.c) este un număr real care înmulțește matricea $I_2$, iar produsul $x{I}_2$ se adună cu $A$. $I_2$ este matricea unitate de ordin $2$.