Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2013 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2013 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\left(2+\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(-2)\cdot f(0)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(x^2+1\right)={\log }_{3}1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $1000$ de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $P(2,1)$ și $R(2,3)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $PR$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos B$, știind că $\sin B=\frac{5}{13}$ și unghiul $B$ este ascuțit.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot A-x{I}_2=A$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați matricele $M=\left(\begin{array}{cc}m& m\\ m& 1\end{array}\right)$, știind că $\det (M+A)=0$, unde $m$ este număr real.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\ast y=x+y-2$.

a) (5 puncte) Calculați $5\ast (-5)$.

b) (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$" este comutativă.

c) (5 puncte) Calculați $(-3)\ast (-2)\ast (-1)\ast 0\ast 1\ast 2\ast 3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x{e}^x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $f^{\prime \prime }(x)+f(x)=2f^{\prime }(x)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ are un punct de extrem.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_4^{5}xf(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $F(x)=4+\ln x$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>5$, pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=5$ și $x=a$, este egală cu $\ln 3$.

Barem și răspunsuri

Totalul lucrării este 100 p: 90 p vin de la cerințe, 10 p din oficiu. Fiecare subiect are 30 p, cu câte 5 p pe cerințele 1–6 și pe fiecare subpunct din celelalte două subiecte. Documentul oficial are 38 de rânduri punctate: cerințele 2 (2 p + 2 p + 1 p) și 5 (1 p + 2 p + 2 p) au trei rânduri, iar toate celelalte unități au două. Rândurile punctate ale documentului apar mai jos ca „(1 p)", „(2 p)" sau „(3 p)", în ordinea lor din document; explicațiile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — distributivitate cu radical.

Factorul $3$ înmulțește ambii termeni din paranteză: $$3\left(2+\sqrt{2}\right)=3\cdot 2+3\sqrt{2}=6+3\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Termenii cu radical sunt opuși și se reduc: $$6+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=6\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $3\left(2+\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}=3\left(2+\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)=3\cdot 2=6$. Capcană: factorul $3$ se aplică numai primului termen, $3\cdot 2+\sqrt{2}-3\sqrt{2}=6-2\sqrt{2}$, număr diferit de $6$.)

Exercițiul 2. (5 p) — produsul a două valori ale unei funcții.

În $f(x)=x+1$ se înlocuiește pe rând $x$ cu $-2$ și cu $0$: $$f(-2)=-2+1=-1\text{(2 p)}.$$ $$f(0)=0+1=1\text{(2 p)}.$$ Produsul valorilor este $$f(-2)\cdot f(0)=(-1)\cdot 1=-1\text{(1 p)}.$$

(Probă: $f$ se anulează în $-1$, între $-2$ și $0$, deci cele două valori au semne opuse și produsul este negativ. Capcană: dacă se pierde semnul lui $-2$, se calculează $2+1=3$, iar produsul $3\cdot 1=3$ nu este $-1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în baza $3$ ia fiecare valoare o singură dată, deci egalitatea ${\log }_{3}u={\log }_{3}v$ cere $u=v$. Argumentul din stânga, $x^2+1$, este pozitiv pentru orice $x$, iar cel din dreapta este $1$: $$x^2+1=1\text{(2 p)}.$$ Rămâne $x^2=0$, adică $$\mathbf{x}=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\log }_3\left(0^2+1\right)={\log }_{3}1$. Capcană: ${\log }_{3}1$ se confundă cu $1$; ar ieși $x^2+1=3$, adică $x=\pm \sqrt{2}$, dar pentru aceste valori ${\log }_{3}3=1$, iar ${\log }_{3}1=0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire procentuală.

Ieftinirea este $10\%$ din prețul de $1000$ de lei: $$\frac{10}{100}\cdot 1000=100\text{lei}\text{(2 p)}.$$ Prețul nou este prețul vechi minus ieftinirea: $$1000-100=900\text{de lei}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\frac{900}{1000}=\frac{9}{10}$, adică $90\%$ din prețul inițial. Capcană: ieftinirea se adună în loc să se scadă, $1000+100=1100$, iar rezultatul este prețul după o scumpire cu $10\%$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul $M$ al segmentului $PR$ are drept coordonate media coordonatelor capetelor: $$x_M=\frac{x_P+x_R}{2},y_M=\frac{y_P+y_R}{2}\text{(1 p)}.$$ Pentru $P(2,1)$ și $R(2,3)$, abscisa este $$x_M=\frac{2+2}{2}=2\text{(2 p)},$$ iar ordonata este $$y_M=\frac{1+3}{2}=2\text{(2 p)}.$$ Mijlocul este deci $M(2,2)$.

(Probă: $P$ și $R$ au aceeași abscisă, $2$, deci segmentul este vertical, iar mijlocul lui stă tot pe dreapta $x=2$, la jumătatea distanței dintre ordonatele $1$ și $3$. Capcană: dacă se uită împărțirea la $2$, ies sumele $4$ și $4$, adică punctul $(4,4)$, care nu este pe segmentul $PR$.)

Exercițiul 6. (5 p) — cosinus din sinus.

Din ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=1$ rezultă $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}$, cu semnul plus, fiindcă unghiul $B$ este ascuțit (3 p). Se înlocuiește $\sin B=\frac{5}{13}$: $$\cos B=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left(\frac{5}{13}\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=1$. Capcană: cosinusul se ia $\frac{13-5}{13}=\frac{8}{13}$, dar ${\left(\frac{5}{13}\right)}^2+{\left(\frac{8}{13}\right)}^2=\frac{89}{169}$, nu $1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — o matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Pentru matricea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, diagonala principală dă $1\cdot 0$, iar cea secundară $1\cdot 1$: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right|=1\cdot 0-1\cdot 1=0-1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: rândurile $(1,1)$ și $(1,0)$ nu sunt proporționale, deci $\det A\ne 0$. Capcană: cu plus între produse, $1\cdot 0+1\cdot 1=1$, valoarea are semnul greșit.)

b) (5 p) Produsul $A\cdot A$ se face rând cu coloană, iar $x{I}_2$ are $x$ pe diagonală: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),A\cdot A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2-x& 1\\ 1& 1-x\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ cere $2-x=1$ și $1-x=0$; ambele dau $$\mathbf{x}=1\text{(2 p)},$$ iar pozițiile din afara diagonalei coincid, $1=1$.

(Probă: pentru $x=1$, $A\cdot A-I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=A$. Capcană: dacă $A\cdot A$ se face element cu element, rezultă $A$ însăși, iar ecuația ar da $x=0$; dar pentru $x=0$, $A\cdot A-0\cdot I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, diferită de $A$.)

c) (5 p) Matricea $M+A$ are $m+1$ pe trei poziții și $1$ în dreapta jos, iar determinantul ei se scoate cu formula de la a): $$\det (M+A)=\left|\begin{array}{cc}m+1& m+1\\ m+1& 1\end{array}\right|=(m+1)\cdot 1-(m+1)(m+1)=-m^2-m\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-m^2-m=0$ se scrie $m(m+1)=0$, deci $m=0$ sau $m=-1$, iar matricele sunt $$M=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{sau}M=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $m=0$, $M+A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, iar pentru $m=-1$, $M+A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$; ambele au determinantul $0$. Capcană: determinantul sumei nu este suma determinanților; $\det M+\det A=m-m^2-1$ nu se anulează pentru niciun $m$ real, fiindcă ecuația $m^2-m+1=0$ are discriminantul $-3$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se pun $x=5$ și $y=-5$ în definiție: $$5\ast (-5)=5+(-5)-2\text{(3 p)}.$$ $$5\ast (-5)=0-2=-2\text{(2 p)}.$$

(Probă: legea adaugă $-2$ la suma celor două numere, iar suma lui $5$ și $-5$ este $0$. Capcană: dacă se uită termenul $-2$, rezultatul ar fi $0$, nu $-2$.)

b) (5 p) Se scriu ambele ordini ale operației, pentru $x$ și $y$ numere reale oarecare: $$x\ast y=x+y-2,y\ast x=y+x-2\text{(3 p)}.$$ Adunarea numerelor reale este comutativă, deci $x+y-2=y+x-2$: $$\mathbf{x}\ast \mathbf{y}=\mathbf{y}\ast \mathbf{x}\text{pentru orice}x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $5\ast (-5)=-2$ și $(-5)\ast 5=-5+5-2=-2$. Capcană: o verificare pe valori izolate nu este o demonstrație; din $2\ast 3=3\ast 2=3$ nu rezultă nimic pentru alte perechi.)

c) (5 p) Legea este comutativă (subpunctul b)) și asociativă (cum spune enunțul), deci termenii se pot regrupa în orice ordine. Se potrivesc perechile opuse $-3$ și $3$, $-2$ și $2$, $-1$ și $1$, iar $0$ rămâne la capăt: $$(-3)\ast (-2)\ast (-1)\ast 0\ast 1\ast 2\ast 3=\left((-3)\ast 3\right)\ast \left((-2)\ast 2\right)\ast \left((-1)\ast 1\right)\ast 0\text{(2 p)}.$$ Fiecare pereche dă $x+(-x)-2=-2$, deci se ajunge la $$(-2)\ast (-2)\ast (-2)\ast 0=-12\text{(3 p)},$$ fiindcă $(-2)\ast (-2)=-6$, apoi $-6\ast (-2)=-10$, apoi $-10\ast 0=-12$.

(Probă: legea aplicată de șase ori pe șapte termeni scade de șase ori câte $2$ din suma lor; suma lor este $0$, deci $0-6\cdot 2=-12$. Capcană: dacă se scade $2$ numai o dată, ca și cum operația ar apărea o singură dată, se obține $0-2=-2$.)

Exercițiul 9. (15 p) — produs cu exponențială.

a) (5 p) Derivata unui produs este $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, cu $u=x$ și $v=e^x$: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }{e}^x+x{\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x+x{e}^x\text{(3 p)}.$$ Se scoate factor comun $e^x$: $$f^{\prime }(x)=(\mathbf{x}+1){\mathbf{e}}^{\mathbf{x}},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=e^0+0=1$ și $(0+1)e^0=1$. Capcană: derivata produsului se ia ca produs al derivatelor, $1\cdot e^x=e^x$, dar pentru $x=1$ rezultatul corect este $2e$, nu $e$.)

b) (5 p) Se derivează $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$ tot ca produs: $$f^{\prime \prime }(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x\text{(2 p)}.$$ Suma cu $f(x)=x{e}^x$ este $$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=(x+2)e^x+x{e}^x=(2x+2)e^x=2(x+1)e^x=2{\mathbf{f}}^{\prime }(\mathbf{x})\text{(3 p)},$$ adică egalitatea este adevărată pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

(Probă: pentru $x=0$, $f^{\prime \prime }(0)=2$, $f(0)=0$, iar $2f^{\prime }(0)=2$. Capcană: dacă se uită derivata lui $x+1$ și se ia $f^{\prime \prime }(x)=(x+1)e^x$, suma $(x+1)e^x+x{e}^x=(2x+1)e^x$ ar diferi de $2(x+1)e^x$ prin $e^x$.)

c) (5 p) Din $f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$ și $e^x>0$, ecuația $f^{\prime }(x)=0$ are o singură soluție: $$f^{\prime }(x)=0⟺x=-1\text{(2 p)}.$$ Cum $e^x>0$, derivata $f^{\prime }$ are semnul factorului $x+1$: este negativă la stânga lui $-1$ și pozitivă la dreapta lui. Funcția $f$ scade, apoi crește, deci $x=-1$ este un punct de extrem, mai precis de minim (3 p).

(Probă: $f(-1)=-e^{-1}=-\frac{1}{e}$, iar $-\frac{1}{e}<-\frac{2}{e^2}=f(-2)$. Capcană: ecuația $e^x=0$ nu are soluții; singura rădăcină a lui $f^{\prime }$ vine din factorul $x+1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, primitivă, arie.

a) (5 p) Pentru $x>0$, produsul $xf(x)=x\cdot \frac{1}{x}$ este constanta $1$: $${\int }_4^{5}xf(x)dx={\int }_4^{5}1dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $1$ este $x$: $$=x{|}_4^5=5-4=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: integrala unei funcții constante $1$ pe un interval de lungime $1$ este $1$. Capcană: limitele se scad în ordinea inversă, $4-5=-1$, valoare negativă pentru o funcție pozitivă.)

b) (5 p) Se derivează $F$; constanta $4$ are derivata $0$: $$F^{\prime }(x)=(4+\ln x{)}^{\prime }=0+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Rezultatul este $f(x)$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $$\mathbf{F}\text{este o primitiva˘ a lui}\mathbf{f}\text{(2 p)}.$$

(Probă: orice altă constantă în loc de $4$ dă tot o primitivă; $F(1)=4+\ln 1=4$. Capcană: constanta $4$ se derivează în $4$, iar $F^{\prime }(x)$ ar fi $4+\frac{1}{x}$, diferită de $f(x)$.)

c) (5 p) Pe $[5,a]$ funcția $f=\frac{1}{x}$ este pozitivă, deci aria este integrala ei: $$\mathcal{S}={\int }_5^a\frac{1}{x}dx\text{(2 p)}.$$ $$\mathcal{S}=\ln x{|}_5^a=\ln a-\ln 5=\ln \frac{a}{5}.$$ Din $\ln \frac{a}{5}=\ln 3$ rezultă $\frac{a}{5}=3$, iar $a=15$, valoare mai mare decât $5$, deci convine: $$\mathbf{a}=15\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\ln 15-\ln 5=\ln \frac{15}{5}=\ln 3$. Capcană: diferența de logaritmi se scrie $\ln (a-5)$, de unde $a-5=3$ și $a=8$, dar $\ln 8-\ln 5=\ln \frac{8}{5}\ne \ln 3$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă lucrarea de matematică din sesiunea specială a Bacalaureatului din 2013, la filiera tehnologică: Proba E. c), Matematică M_tehnologic, înscrisă pe foaie ca Varianta 3, adică „M3" în vorbirea elevilor. În antet apar Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare; lucrarea este pentru filiera tehnologică, cu toate calificările profesionale din profilurile servicii, resurse și tehnic. Cele zece cerințe sunt transcrise exact. Rezolvările, verificările și ghidajul sunt ale noastre; de la documentul oficial de evaluare păstrăm numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Structura foii.

Lucrarea durează 3 ore de lucru efectiv. Nota este totalul de puncte împărțit la $10$: pentru nota $6$ sunt necesare $60$ de puncte, adică $50$ din cele $90$ de la cerințe, la care se adaugă cele $10$ din oficiu.

Programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, anexa 2) așază cerințele pe clase astfel:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Ecuația logaritmică (cerința 3). În programa de examen, logaritmii și ecuațiile lor aparțin clasei a X-a; programa școlară nouă (2026–2027, începând cu clasa a IX-a) rezolvă ecuațiile pe grafic sau digital, deci algebra lor stă pe site în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Procentul (cerința 4). Procentele sunt la examen în clasa a X-a; programa școlară nouă le folosește doar ca exemplu în alte teme, iar pe site materia este în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".

Ce are deosebit această variantă. În documentul de evaluare sunt 38 de rânduri de puncte, nu 36: cerința 2 are trei rânduri (2 p, 2 p, 1 p) și cerința 5 are trei rânduri (1 p, 2 p, 2 p); toate celelalte cerințe și subpuncte au două. La cerința 3, în ambii membri apare câte un logaritm în baza $3$, iar al doilea este ${\log }_{3}1=0$; logaritmul își ia fiecare valoare o singură dată, deci argumentele sunt egale. Subpunctul 8.c) are șapte termeni, dar legea fiind comutativă și asociativă, ei se pot grupa ca să apară de trei ori același rezultat; subpunctul 8.b) pregătește exact această grupare. La 9.b) egalitatea cerută este adevărată pentru orice $x$, deci e o verificare, nu o ecuație de rezolvat. La 10.a) produsul $xf(x)$ se reduce la constanta $1$.

Cum folosești pagina. Rezolvă mai întâi singur o cerință, apoi citește cele două sau trei rânduri ale ei: primul fixează formula sau înlocuirea, ultimul dă rezultatul. Dacă rezultatul tău diferă, caută primul rând la care calculele tale se despart de ale paginii.

Formule folosite.

• Subiectul I. $a(b+c)=ab+ac$; doi logaritmi în baza $3$ ai unor numere pozitive sunt egali numai când numerele sunt egale; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; mijlocul segmentului de capete $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$ are coordonatele $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$; pătratul sinusului plus pătratul cosinusului unui unghi dă $1$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul matricelor se face rând cu coloană, iar $I_2$ nu schimbă o matrice la înmulțire; într-o lege asociativă și comutativă, termenii se pot regrupa oricum.
• Subiectul al III-lea. $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; într-un punct de extrem derivata își schimbă semnul; ${\int }_a^{b}1dx=b-a$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$; $\ln u-\ln v=\ln \frac{u}{v}$.

Despre litere. Trei probleme folosesc litera $f$ pentru trei funcții diferite: $x+1$ (cerința 2), $x{e}^x$ (cerința 9) și $\frac{1}{x}$ (cerința 10). Litera $B$ este un unghi la cerința 6. Litera $A$ este o matrice la cerința 7. Litera $M$ este mijlocul segmentului la cerința 5, iar la 7.c) este o matrice cu parametrul $m$. Litera $x$ este un număr real de aflat la 7.b) și argumentul funcțiilor în rest. Litera $a$ este limita de sus a integralei de la 10.c). Litera $F$ este primitiva de la 10.b). Simbolul $\ast$ numește legea de compoziție de la cerința 8.

Cuvântul „itemul" rămâne doar în titlurile de mai jos, ca în documentul oficial; în explicații vorbim despre „cerințe".