Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2017 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2017 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(2+\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{4}{5}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Arătați că $\frac{x_1+x_2-1}{x_1{x}_2}=1$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $x^2-4x+3=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x+1}=8$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să fie multiplu de $4$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Calculați perimetrul triunghiului $OAB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}150^{\circ }+{\sin }^{2}60^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=5$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $B\cdot B=2B$.

c) (5 puncte) Arătați că $\det (A\cdot B-B\cdot A)\ge 0$, pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy-3x-3y+12$.

a) (5 puncte) Arătați că $1\circ 3=3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$, pentru care $(x\circ x)\circ x=3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x+2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3\left(x^2+2\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x+2}=3$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-5\le f(x)\le 9$, pentru orice $x\in [-1,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^3-x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)+x\right)dx=1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(4x^3-f(x)\right)e^{x}dx=1$.

c) (5 puncte) Determinați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=3$.

Barem și răspunsuri

Se adună 90 p pentru cerințe și 10 p din oficiu, deci 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p; la cerințele 1, 2, 3, 5 și 6 punctele stau pe două rânduri, iar la cerința 4 pe trei (2 p, 2 p, 1 p). Itemii 7–8 alcătuiesc Subiectul al II-lea, iar 9–10 Subiectul al III-lea; un item de 15 p se desparte în trei subpuncte de câte 5 p, iar baremul dă fiecărui subpunct două rânduri. Punctele pe rânduri sunt cele din varianta 2, iunie 2017; demonstrațiile, probele și explicațiile ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — adunare de fracții și produs.

Întregul $2$ se scrie $\frac{4}{2}$, ca să aibă același numitor cu $\frac{1}{2}$: $$2+\frac{1}{2}=\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$ Produsul devine $\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{20}{10}=2$ (2 p).

(Probă: $5$ se simplifică între numărătorul primei fracții și numitorul celei de-a doua, apoi $\frac{4}{2}=2$. Capcană: se calculează $\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}$, adică întregul se adună la numărător în loc să se scrie $\frac{4}{2}$; atunci produsul ar fi $\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{5}=\frac{6}{5}$, nu $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — relațiile lui Viète.

Ecuația $x^2-4x+3=0$ are $a=1$, $b=-4$, $c=3$, deci $$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=4,x_1{x}_2=\frac{c}{a}=3\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiește în expresie: $$\frac{x_1+x_2-1}{x_1{x}_2}=\frac{4-1}{3}=1\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: soluțiile sunt $1$ și $3$, iar $\frac{1+3-1}{1\cdot 3}=1$. Capcană: suma se ia $-4$, adică chiar coeficientul lui $x$; atunci raportul ar fi $\frac{-4-1}{3}=-\frac{5}{3}$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $8$ este $2^3$, deci ecuația este $2^{x+1}=2^3$. Funcția $t\mapsto 2^t$ este injectivă, așa că exponenții coincid: $$x+1=3\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Probă: $2^{2+1}=2^3=8$. Capcană: $8$ se egalează cu exponentul, $x+1=8$; atunci $x=7$, dar $2^{7+1}=256$, nu $8$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $1,2,\dots ,9$, deci numărul poate fi ales în $9$ feluri (2 p).

Dintre elementele lui $A$, se împart exact la $4$ numai $4=4\cdot 1$ și $8=4\cdot 2$ (următorul multiplu, $12$, trece de $9$); avem așadar $2$ alegeri favorabile (2 p).

Probabilitatea este raportul lor: $$p=\frac{2}{9}\text{(1 p)}.$$ Rezultatul este $\frac{2}{9}$.

(Probă: $0<\frac{2}{9}<1$. Capcană: se iau divizorii lui $4$ din $A$, adică $1$, $2$ și $4$, în locul multiplilor; ar ieși $3$ cazuri favorabile din $9$, adică $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi.

Punctul $A(0,3)$ stă pe axa $Oy$, iar $B(4,0)$ pe axa $Ox$; segmentele $OA$ și $OB$ sunt perpendiculare, cu $OA=3$ și $OB=4$. Latura $AB$ se află cu formula distanței: $$AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$ Perimetrul este $OA+OB+AB=3+4+5=12$ (2 p).

(Probă: $3^2+4^2=5^2$. Capcană: ipotenuza se ia egală cu suma catetelor, $AB=3+4=7$, iar perimetrul ar fi $14$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinus la două unghiuri.

Unghiul de $150^{\circ }$ se reduce la primul cadran: $\sin 150^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-30^{\circ }\right)=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, iar $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3 p).

Pătratele se adună: $${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }$, deci suma este ${\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}30^{\circ }=1$. Capcană: $\sin 150^{\circ }$ se ia $\frac{\sqrt{2}}{2}$; atunci suma ar fi $\frac{1}{2}+\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$, nu $1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Se înmulțesc elementele diagonalei care coboară de la stânga la dreapta și se scade produsul celor de pe cealaltă diagonală: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=3\cdot 3-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=9-4=5\text{(2 p)}.$$

(Capcană: cele două produse se adună, $9+4=13$.)

b) (5 p) Rând peste coloană: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+1\cdot 1& 1\cdot 1+1\cdot a\\ 1\cdot 1+a\cdot 1& 1\cdot 1+a\cdot a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& a+1\\ a+1& a^2+1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Pe de altă parte $2B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2a\end{array}\right)$. Egalitatea cere $a+1=2$ și $a^2+1=2a$; prima dă $a=1$, iar a doua este $(a-1{)}^2=0$, adică tot $a=1$: $$\mathbf{a}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $a=1$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)=2B$. Capcană: $B\cdot B$ se face pe poziții, $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& a^2\end{array}\right)$; atunci stânga sus ar fi $1$, nu $2$, și egalitatea n-ar avea soluție.)

c) (5 p) Se calculează separat $A\cdot B$ și $B\cdot A$: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}5& 3+2a\\ 5& 2+3a\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}5& 5\\ 3+2a& 2+3a\end{array}\right).$$ Diferența lor: $$A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 2a-2\\ 2-2a& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din produsul diagonalei principale se scade produsul diagonalei secundare: $$\det (A\cdot B-B\cdot A)=0\cdot 0-(2a-2)(2-2a).$$ Cum $2-2a=-(2a-2)$, scăderea produsului dă un pătrat: $$\det (A\cdot B-B\cdot A)=(2a-2{)}^2\ge 0\text{(2 p)}.$$ Pătratul unui număr real nu coboară sub zero, deci inegalitatea rămâne valabilă oricare ar fi $a$.

(Probă: $a=1$ dă matricea nulă, cu determinantul $0$; $a=0$ dă $\det =4$. Capcană: se omite minusul dinaintea produsului diagonalei secundare; atunci determinantul ar părea negativ pentru orice $a\ne 1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=1$ și $y=3$: $$1\circ 3=1\cdot 3-3\cdot 1-3\cdot 3+12\text{(3 p)}.$$ $$1\circ 3=3-3-9+12=3\text{(2 p)}.$$

(Probă prin b): $(1-3)(3-3)+3=3$. Capcană: $3\cdot 3$ se uită, iar suma ar fi $3-3+12=12$.)

b) (5 p) Se scrie $12=9+3$: $$x\circ y=xy-3x-3y+9+3\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni au factorul $x$, următorii doi factorul $-3$: $$x(y-3)-3(y-3)+3=(x-3)(y-3)+3\text{(3 p)}.$$

(Probă prin dezvoltare: $(x-3)(y-3)+3=xy-3x-3y+9+3$. Capcană: $9-3=6$, nu $12$; dacă se pornește de la $9-3$, constanta ar fi $6$ în loc de $12$, iar rezultatul ar diferi de $x\circ y$ prin $6$.)

c) (5 p) Cu forma de la b), $x\circ x=(x-3{)}^2+3$. Apoi $$(x\circ x)\circ x=((x\circ x)-3)(x-3)+3=(x-3{)}^2(x-3)+3=(x-3{)}^3+3\text{(3 p)}.$$ Ecuația $(x-3{)}^3+3=3$ înseamnă $(x-3{)}^3=0$, deci $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: $3\circ 3=3$, apoi $3\circ 3=3$. Capcană: din primul argument nu se scade $3$; atunci s-ar calcula $((x-3{)}^2+3)(x-3)+3$, care nu e cubul $(x-3{)}^3+3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, margini.

a) (5 p) Derivata sumei este suma derivatelor: $$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+(6x{)}^{\prime }+(2{)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ $$f^{\prime }(x)=3x^2+6+0=3\left(x^2+2\right),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: $(6x{)}^{\prime }$ se ia $6x$, nu $6$; atunci s-ar obține $3x^2+6x$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $f^{\prime }$: $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{x+2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\left(x^2+2\right)}{x+2}\text{(2 p)}.$$ Fracția este definită și în $0$ (numitorul devine $2$), așa că limita se obține înlocuind $x=0$: $$\frac{3\cdot 2}{2}=3\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se aplică regula lui l'Hospital, deși fracția nu are forma $\frac{0}{0}$: numitorul ia valoarea $0+2=2$. Raportul derivatelor, $\frac{6x}{1}$, ar tinde la $0$, nu la $3$; regula se folosește numai în cazurile $\frac{0}{0}$ și $\frac{\infty }{\infty }$.)

c) (5 p) Fiindcă $x^2+2\ge 2$ pentru orice $x$, derivata este strict pozitivă, deci $f$ crește pe $\mathbb{R}$ și, în particular, pe $[-1,1]$ (2 p).

O funcție crescătoare ia valoarea minimă în capătul stâng și valoarea maximă în capătul drept: $$f(-1)=-1-6+2=-5,f(1)=1+6+2=9,$$ deci $-5\le f(x)\le 9$ pentru orice $x\in [-1,1]$ (3 p).

(Probă: $f(0)=2$, iar $-5\le 2\le 9$. Capcană: $f(-1)$ se calculează $-1+6+2=7$, cu semnul lui $6x$ pierdut; marginea din stânga ar fi $7$, dar $f(0)=2<7$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și arie.

a) (5 p) În sumă dispare termenul $-x$ cu $+x$: $f(x)+x=4x^3$. Atunci $${\int }_0^{1}4x^{3}dx\text{(2 p)}.$$ $$=x^4{|}_0^1=1\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se scrie $12x^2$ ca primitivă a lui $4x^3$; dar $12x^2$ este derivata lui $4x^3$, nu o primitivă.)

b) (5 p) Din $4x^3-f(x)=4x^3-4x^3+x=x$ rezultă integrala ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx$ (2 p).

Prin părți, cu $u=x$ și $v^{\prime }=e^x$, o primitivă este $x{e}^x-e^x=(x-1)e^x$: $${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=(x-1)e^x{|}_0^1=0-(-1)=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $((x-1)e^x{)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Capcană: primitiva lui $x{e}^x$ se ia $x{e}^x$; derivata acesteia este $(x+1)e^x$, nu $x{e}^x$.)

c) (5 p) Funcția se scrie $f(x)=x(2x-1)(2x+1)$, iar pentru $x\ge 1$ cei trei factori sunt strict pozitivi; astfel $f\ge 0$ pe $[1,3]$ și $|f|=f$ acolo. Aria este $$\mathcal{A}={\int }_1^3\left(4x^3-x\right)dx=\left(x^4-\frac{x^2}{2}\right){|}_1^3\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{A}=\left(81-\frac{9}{2}\right)-\left(1-\frac{1}{2}\right)=76\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(1)=3>0$ și $f(3)=105>0$. Capcană: primitiva lui $x$ se scrie $x^2$; atunci rezultatul ar fi $(81-9)-(1-1)=72$.)

Pentru părinți și profesori

Despre pagină. Aici găsești lucrarea de matematică tehnologic (M_tehnologic, „M3" în vorbirea din școli) dată la Bacalaureat în iunie 2017, în Varianta 2. Sus, foaia îi arată ca emitenți pe Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare; o rezolvă elevii filierei tehnologice (profilurile servicii, resurse și tehnic). Cerințele sunt luate din PDF fără nicio schimbare. Soluțiile, verificările și ghidajul sunt scrise de noi; baremul oficial ne-a arătat doar unde cad punctele.

Un loc în istoria probei. Din 2013 matematica tehnologică are lucrare distinctă, deci 2017 este al cincilea an în care se dă un subiect propriu.

Structura foii.

• Subiectul I: șase exerciții scurte, cu câte 5 puncte.
• Subiectul al II-lea: două probleme, una cu matrice și una cu o lege de compoziție, fiecare cu subpunctele a), b), c).
• Subiectul al III-lea: două probleme construite la fel, una cu derivate și una cu integrale.
• La total se adaugă 10 puncte din oficiu, iar durata maximă este de trei ore.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Adunarea unui întreg cu o fracție ține, la examen, de calculul cu numere reale din clasa a IX-a. Unitățile școlare noi ale clasei a IX-a nu au capitol de numere reale; materia a fost adunată în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Suma și produsul soluțiilor unei ecuații de gradul al II-lea (relațiile lui Viète) se cer la examen în clasa a IX-a. În textul programei școlare noi pentru clasele IX–X numele lui Viète nu apare; subiectul este tratat în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
• Nota 3. Egalarea exponenților este o metodă de clasa a X-a la examen. Programa școlară nouă lasă ecuațiile pe seama graficului sau a instrumentelor digitale, iar metoda stă la noi în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 4. Raportul dintre alegerile favorabile și cele posibile se învață în clasa a X-a atât după programa de examen, cât și după programa școlară nouă; pentru el nu s-a scris supliment.
• Nota 5. Reperul cartezian cu distanța dintre două puncte aparține clasei a X-a la examen, iar în programa școlară nouă clasei a IX-a. Tabelul urmează programa de examen.
• Nota 6. Trigonometria începe, la examen, în clasa a IX-a și cuprinde reducerea la primul cadran, de care are nevoie $\sin 150^{\circ }$. Programa școlară nouă o are tot în clasa a IX-a, așa că acest exercițiu nu cere supliment.

Ce iese din comun în varianta 2:

• baremul cerinței 4 are trei rânduri, nu două (2 + 2 + 1 puncte): numărul alegerilor posibile, numărul celor favorabile și, la urmă, raportul;
• la cerința 6, egalitățile $\sin 150^{\circ }=\sin 30^{\circ }$ și $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }$ arată că suma este $1$ chiar fără valorile numerice;
• la 7.b) două ecuații în $a$ se cer îndeplinite simultan, iar $a=1$ le satisface pe ambele;
• la 7.c) determinantul este pătratul unui număr, deci nu poate coborî sub zero;
• la 8.c) două aplicări ale legii produc un cub;
• la 9.c) valorile extreme ale unei funcții crescătoare stau în capetele intervalului;
• la 10.c) se verifică întâi semnul lui $f$ pe $[1,3]$, ca aria să se scrie fără modul.

Cum folosești pagina la o simulare:

• Cronometru. Cu 15 minute rezervate recitirii rămân 165 de minute pentru 90 de puncte, adică $\frac{165}{90}\approx 1,8$ minute pe punct.
• Rândurile baremului. Cerința 4 are trei rânduri, de 2, 2 și 1 puncte; toate celelalte cerințe și subpuncte au câte două rânduri.
• Regulile baremului oficial. Documentul admite orice soluție corectă, chiar dacă alege altă cale decât cea din barem. Fracțiunile de punct nu există, dar rezolvările parțiale primesc puncte intermediare, în limitele indicate. Nota se obține împărțind totalul la zece.
• După corectare. Notează, pentru fiecare subpunct pierdut, ce a lipsit.

Praguri. Nota 7 înseamnă 70 de puncte în total, deci 60 din cele 90 ale cerințelor; nota 10 cere 90 din 90. Sub 30 de puncte, de reluat e Subiectul I; între 30 și 60 de puncte rămân de lucrat subpunctele a) și b) din Subiectele II și III; peste 60, diferența o fac subpunctele c).

Formule folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. pentru $a{x}^2+bx+c=0$, $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$; $a^u=a^v⟺u=v$ când $a>0$, $a\ne 1$; probabilitatea clasică: favorabile supra posibile; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată din suma pătratelor diferenței de abscise și a diferenței de ordonate; sinusul unui unghi este egal cu sinusul suplementului său.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; la produsul a două matrice, fiecare element se obține din câte un rând și o coloană; la o lege de compoziție se înlocuiesc $x$ și $y$ în formulă.
• Subiectul al III-lea. o putere se derivează înmulțind cu exponentul și micșorând exponentul cu $1$; $f^{\prime }>0$ pe un interval înseamnă $f$ crescătoare pe el; $\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$; sub o curbă situată deasupra axei $Ox$, aria este chiar integrala.

Despre litere. Pe foaie, $f$ apare cu două expresii: $f(x)=x^3+6x+2$ la cerința 9 și $f(x)=4x^3-x$ la cerința 10. Litera $A$ numește mulțimea $\{1,2,\dots ,9\}$ la cerința 4; $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5 și matrice la cerința 7, unde $a$ e parametrul real din $B$, iar $O$ e originea reperului. „Itemul n" din secțiunile de mai jos este eticheta baremului; în clasă se spune „cerința n".