Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2024 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2024 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{2}\cdot \left(3+2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}+3=7$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-6$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=3$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{4x-2}=5^2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $300$ de lei. Determinați prețul obiectului după o ieftinire cu $30\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(5,m)$ și $M(3,4)$. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2\left(\sin 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }\right)\left(\sin 45^{\circ }-\sin 30^{\circ }\right)=\cos 60^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& x\\ x+1& 0\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(3)+A(5)=2A(4)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $\det (A(n)+I_2)\ge 0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-3X^2+mX-1$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=-1$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Arătați că $x_1+x_2+x_3=3x_1{x}_2{x}_3$, pentru orice număr real $m$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X-1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)=1$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\left(x^2+1\right)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=\frac{4}{3}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)e^x$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=2$ are aria egală cu $3\left(e^2-1\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I: 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p). Subiectul al II-lea: 30 p (cerințele 7 și 8). Subiectul al III-lea: 30 p (cerințele 9 și 10). La cerințele 7–10, fiecare subpunct are 5 p, în două rânduri de punctaj. Rândurile de punctaj reproduc împărțirea din baremul oficial al sesiunii speciale 2024 (Varianta 9); soluțiile, explicațiile și probele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se înmulțește $\sqrt{2}$ cu fiecare termen din paranteză; produsul $\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}$ este $2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2=2\cdot 2=4$: $$\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}+4\text{(2 p)}.$$ Expresia din enunț devine $$3\sqrt{2}+4-3\sqrt{2}+3=4+3=7\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{2}\right)-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\left(3+2\sqrt{2}-3\right)=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4$. Capcană: se uită că $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ și produsul se scrie $\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$; atunci expresia iese $2\sqrt{2}+3\approx 5,83$, nu $7$. Altă greșeală: semnul termenului $3\sqrt{2}$ din enunț se schimbă și termenii nu se mai reduc, $3\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}+3=6\sqrt{2}+7$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție afină.

Argumentul $m$ se înlocuiește în formula funcției: $$f(m)=3m-6\text{(3 p)}.$$ Condiția $f(m)=3$ înseamnă $3m-6=3$, adică $3m=9$, deci $\mathbf{m}=3$ (2 p).

(Probă: $f(3)=3\cdot 3-6=3$. Capcană: coeficientul lui $m$ se pierde și iese $m-6=3$, adică $m=9$, dar $f(9)=21$; sau $-6$ trece în membrul drept cu semnul schimbat, $3m=3-6$, și iese $m=-1$, unde $f(-1)=-9$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambii membri sunt puteri ale lui $5$, iar funcția $t\mapsto 5^t$ ia fiecare valoare o singură dată; deci exponenții sunt egali: $$4x-2=2\text{(3 p)}.$$ De aici $4x=4$ și $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$, membrul stâng este $5^{4-2}=5^2=25$. Capcană: $-2$ trece în dreapta fără schimbarea semnului, $4x=2-2=0$, și iese $x=0$, unde $5^{-2}=\frac{1}{25}\ne 25$; sau exponentul din dreapta se înmulțește cu baza $5$, și ecuația obținută dă $x=3$, dar atunci $5^{4\cdot 3-2}=5^{10}\ne 5^2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire procentuală.

Ieftinirea este $30\%$ din $300$ de lei: $$\frac{30}{100}\cdot 300=90\text{lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul rămas este $300-90=210$ de lei (2 p).

(Altă cale: după o ieftinire cu $30\%$ rămân $70\%$ din preț, iar $\frac{70}{100}\cdot 300=210$. Capcană: $30\%$ se confundă cu $30$ de lei și iese $300-30=270$; sau se citește „scumpire" în loc de „ieftinire" și iese $300+90=390$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul lui $AB$ are coordonatele semisumelor, iar acest punct este $M(3,4)$: $$3=\frac{1+5}{2},4=\frac{1+m}{2}\text{(3 p)}.$$ Prima egalitate se verifică; din a doua, $1+m=8$, deci $\mathbf{m}=7$ (2 p).

(Probă: mijlocul segmentului cu capetele $A(1,1)$ și $B(5,7)$ este $\left(\frac{6}{2},\frac{8}{2}\right)=(3,4)$. Capcană: împărțirea la $2$ se uită și iese $1+m=4$, adică $m=3$, dar mijlocul lui $A(1,1)$, $B(5,3)$ este $(3,2)$; sau pentru $m$ se folosește abscisa lui $M$ în loc de ordonată, $m=2\cdot 3-1=5$, iar mijlocul lui $A(1,1)$, $B(5,5)$ este $(3,3)$, nu $M$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Se folosesc valorile unghiurilor cunoscute: $$\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Produsul $\left(\sin 45^{\circ }+\sin 30^{\circ }\right)\left(\sin 45^{\circ }-\sin 30^{\circ }\right)$ este o diferență de pătrate: $$2\left({\sin }^{2}45^{\circ }-{\sin }^{2}30^{\circ }\right)=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}=\cos 60^{\circ }\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\sin }^{2}45^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Capcană: se scrie $(a+b)(a-b)=a^2+b^2$ și iese $2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{2}$; sau se ia $\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoarea lui $\cos 30^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$ se obține $x+1=1$, deci $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right),\det (A(0))=1\cdot 0-0\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(0))=0-0=0\text{(2 p)}.$$

(A doua coloană a lui $A(0)$ e nulă, de aceea determinantul e $0$. Capcană: se crede că $A(0)$ e matricea nulă; dar elementul din colțul stânga sus este $1$ pentru orice $x$, deci $A(0)\ne O_2$.)

b) (5 p) Se scriu cele două matrice, apoi se adună element cu element: $$A(3)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 6& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ 10& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $A(4)=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 5& 0\end{array}\right)$, deci $$2A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 8\\ 10& 0\end{array}\right)=A(3)+A(5)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $A(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ este afină în $x$, iar $4$ este media lui $3$ și $5$. Capcană: se crede că $A(3)+A(5)=A(8)$; dar $A(8)=\left(\begin{array}{cc}1& 8\\ 9& 0\end{array}\right)$, iar suma are $2$ în colțul stânga sus: elementele constante se dublează.)

c) (5 p) Se adaugă $1$ doar pe diagonală: $$A(n)+I_2=\left(\begin{array}{cc}2& n\\ n+1& 1\end{array}\right),\det (A(n)+I_2)=2\cdot 1-n(n+1)=2-n(n+1)\text{(2 p)}.$$ Condiția $2-n(n+1)\ge 0$ înseamnă $n(n+1)\le 2$. Pentru $n=0$ produsul este $0$ și pentru $n=1$ este $2$, deci amândouă convin; pentru $n=2$ produsul este $6>2$, iar $n(n+1)$ crește odată cu $n$, deci nicio valoare mai mare nu convine. Numerele căutate sunt $\mathbf{n}=0$ și $\mathbf{n}=1$ (3 p).

(Altă cale: $n^2+n-2\le 0$ se scrie $(n+2)(n-1)\le 0$, adică $n\in [-2,1]$; dintre numerele naturale rămân $0$ și $1$. Capcană: inegalitatea se citește strict, $n(n+1)<2$, și rămâne doar $n=0$, dar pentru $n=1$ determinantul este $0$, care verifică „$\ge 0$"; sau se uită cerința „numere naturale" și se lasă ca răspuns tot intervalul $[-2,1]$, care conține și numere negative sau neîntregi, ca $-1$ sau $\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $0$ în $f=X^3-3X^2+mX-1$: $$f(0)=0^3-3\cdot 0^2+m\cdot 0-1\text{(3 p)}.$$ Termenul cu $m$ dispare, deoarece $m\cdot 0=0$, deci $f(0)=-1$ pentru orice $m$ (2 p).

(Valoarea lui $f$ în $0$ este chiar termenul liber. Capcană: se scrie $m\cdot 0=m$ și iese $f(0)=m-1$, care depinde de $m$.)

b) (5 p) Polinomul are coeficientul dominant $1$: suma celor trei rădăcini este opusul coeficientului lui $X^2$, iar produsul lor este opusul termenului liber. Aici coeficientul lui $X^2$ este $-3$ și termenul liber este $-1$: $$x_1+x_2+x_3=3,x_1{x}_2{x}_3=1\text{(2 p)}.$$ Atunci $3x_1{x}_2{x}_3=3\cdot 1=3=x_1+x_2+x_3$, pentru orice $m$, deoarece $m$ nu apare în aceste două relații (3 p).

(Probă pentru $m=3$: polinomul este cubul lui $X-1$, deci are rădăcina triplă $1$; suma rădăcinilor este $1+1+1=3$ și produsul lor este $1\cdot 1\cdot 1=1$. Capcană: produsul rădăcinilor se ia egal cu termenul liber, $-1$, fără schimbarea semnului; atunci $3x_1{x}_2{x}_3=-3$, iar egalitatea cerută ar fi falsă.)

c) (5 p) Polinomul $f$ se împarte exact la $X-1$ atunci când $1$ este rădăcină a lui $f$, adică $f(1)=0$. Se calculează $$f(1)=1^3-3\cdot 1^2+m\cdot 1-1=m-3\text{(2 p)}.$$ Din $m-3=0$ rezultă $\mathbf{m}=3$ (3 p).

(Probă: pentru $m=3$ se obține $f(1)=1-3+3-1=0$, deci restul împărțirii la $X-1$ este nul. Capcană: se verifică $f(-1)=0$ în loc de $f(1)=0$; atunci $-1-3-m-1=0$ dă $m=-5$, iar pentru acest $m$, $f(1)=-8\ne 0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, limită, monotonie.

a) (5 p) Se aplică formula derivatei unui cât, cu $u=x$ și $v=x^2+1$, deci $u^{\prime }=1$ și $v^{\prime }=2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+1\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător, $x^2+1-2x^2=1-x^2$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{1-x^2}{{\left(x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=1$, iar $f(x)\approx x$ lângă $0$, deci panta e $1$. Capcană: se derivează la fel numărătorul și numitorul, $\frac{1}{2x}$; sau se folosește regula produsului, $1\cdot \left(x^2+1\right)+x\cdot 2x$, cu semnul $+$ în loc de $-$, și numărătorul iese $3x^2+1$.)

b) (5 p) Produsul este $$xf(x)=\frac{x^2}{x^2+1}.$$ Numărătorul și numitorul tind amândoi la $+\infty$, deci se împarte la $x^2$, cea mai mare putere: $$\frac{x^2}{x^2+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}\text{(3 p)}.$$ Cum $\frac{1}{x^2}\to 0$, limita este $\underset{x\to +\infty }{\lim }xf(x)=\frac{1}{1+0}=1$ (2 p).

(Capcană: se observă că $f(x)\to 0$ și se conchide că $xf(x)\to \infty \cdot 0=0$; dar $\infty \cdot 0$ este o nedeterminare, iar răspunsul corect e $1$. Altă greșeală: se împarte la $x^2$ doar numărătorul, $\frac{1}{x^2+1}$, iar limita ar ieși $0$.)

c) (5 p) Numitorul fracției este un pătrat de număr pozitiv, deci este pozitiv, iar semnul lui $f^{\prime }$ este semnul numărătorului $1-x^2=(1-x)(1+x)$, care se anulează în $-1$ și $1$:

• pentru $x\in (-\infty ,-1]$: $1-x^2\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ descrește pe $(-\infty ,-1]$;
• pentru $x\in [-1,1]$: $1-x^2\ge 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește pe $[-1,1]$ (3 p);
• pentru $x\in [1,+\infty )$: $1-x^2\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ descrește pe $[1,+\infty )$ (2 p).

(Probă: $f(-1)=-\frac{1}{2}$, $f(0)=0$, $f(1)=\frac{1}{2}$, $f(3)=\frac{3}{10}$, deci valorile urcă de la $-1$ la $1$ și coboară după $1$. Capcană: se scrie că $f$ crește pe $(-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )$, confundând semnul numărătorului cu semnul lui $x^2-1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, primitivă, arie.

a) (5 p) Exponențiala se reduce: $\frac{f(x)}{e^x}=x^2+1$. Atunci $${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_0^{1}1dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1+x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $e^x$ se uită la împărțire și se integrează $\left(x^2+1\right)e^x$ ca și cum ar fi $x^2+1$; sau se calculează ${\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ și se uită integrala lui $1$, rezultatul ar fi $\frac{1}{3}$, nu $\frac{4}{3}$.)

b) (5 p) Se derivează $F(x)=\left(x^2-2x+3\right)e^x$ ca produs: $$F^{\prime }(x)=\left(2x-2\right)e^x+\left(x^2-2x+3\right)e^x\text{(3 p)}.$$ Se scoate $e^x$ factor comun: $F^{\prime }(x)=\left(x^2+1\right)e^x=f(x)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ (2 p).

(Funcția $F$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$ ca produs de funcții derivabile. Capcană: se derivează doar factorul polinomial și se uită că $e^x$ are derivata $e^x$; atunci iese un singur termen, în loc de cei doi ai produsului, iar $F^{\prime }$ nu mai este $f$.)

c) (5 p) Funcția $f$ are valori pozitive, fiindcă $x^2+1>0$ și $e^x>0$; deci $|f|=f$, iar aria este integrala lui $f$ de la $0$ la $2$. Din subpunctul b), $F$ este primitivă a lui $f$: $$\mathcal{A}={\int }_0^2\left(x^2+1\right)e^{x}dx=F(2)-F(0)\text{(3 p)}.$$ Cum $F(2)=(4-4+3)e^2=3e^2$ și $F(0)=3$, rezultă $$\mathcal{A}=3e^2-3=3\left({\mathbf{e}}^2-1\right)\text{(2 p)}.$$

(Baremul scrie $\int |f|=\int f$ fără motivare; la noi, motivul e pozitivitatea lui $f$. Probă numerică: integrala ${\int }_0^2\left(x^2+1\right)e^{x}dx$ calculată numeric și $3\left(e^2-1\right)$ coincid, $\approx 19,17$. Capcană: primitiva produsului se ia egală cu produsul primitivelor, $\left(\frac{x^3}{3}+x\right)e^x$; la $x=2$ ea dă $\frac{14}{3}{e}^2\approx 34,48$, nu $19,17$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde lucrarea de matematică M_tehnologic dată la sesiunea specială 2024 a Bacalaureatului, în Varianta 9, cu toate cele zece cerințe rezolvate. O scriu elevii filierei tehnologice (servicii, resurse și tehnic, oricare ar fi calificarea profesională); în acte disciplina se numește Matematică M_tehnologic, iar între colegi se aude „M3". Antetul documentelor este al Ministerului Educației și al Centrului Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile sunt copiate fără nicio schimbare. Tot ce vine după ele — soluții, probe, observații, ghidaj — a fost scris de noi; din barem am păstrat doar împărțirea punctelor pe rânduri.

De la examenul din 2013, anul în care proba M_tehnologic a primit subiecte proprii, lucrarea are același format:

• Subiectul I (30 de puncte): șase cerințe scurte, independente, din materia claselor a IX-a și a X-a, de câte 5 puncte.
• Subiectul al II-lea (30 de puncte): două probleme, fiecare cu trei subpuncte de 5 puncte; prima lucrează cu matrice (materie de a XI-a), a doua cu un polinom (materie de a XII-a).
• Subiectul al III-lea (30 de puncte): tot două probleme cu trei subpuncte; în prima se derivează o funcție (a XI-a), în a doua se integrează una (a XII-a).
• Din oficiu: 10 puncte, primite de toți candidații.

Cerință cu cerință: ce se cere și la ce clasă se învață

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Calculul cu radicali de ordinul $2$ (de pildă $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$) ține la examen de clasa a X-a. Noua programă școlară pentru clasele a IX-a și a X-a intră în vigoare din 2026–2027, treptat, începând cu a IX-a, și nu conține proprietățile radicalilor, ci doar funcția radical de ordinul $2$. Candidații din 2027, 2028 sau 2029 și-au parcurs ciclul pe programa anterioară; tehnica de calcul le stă la dispoziție în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".
• Nota 2. Ecuațiile exponențiale se cer în clasa a X-a. Programa nouă rezolvă ecuațiile numai pe grafic sau cu instrumente digitale, deci egalarea exponenților nu e dezvoltată acolo; ea apare în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. În programa nouă, procentul figurează doar ca exemplu din capitolul despre progresii. Calculul procentual ca temă proprie, cu scumpiri și ieftiniri, ține de unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Reperul cartezian și coordonatele punctelor se cer la examen în partea de geometrie a clasei a X-a, iar programa nouă le predă în clasa a IX-a, unde apare și formula mijlocului unui segment: aceeași materie stă la clase diferite în cele două programe. Programa de examen nu numește mijlocul segmentului, dar cerința 5 îl cere.
• Nota 5. Inecuația de gradul al II-lea în $n$ de la 7.c) se poate rezolva și prin semnul unui trinom (calea a doua de la 7.c), adică un subiect de clasa a IX-a la examen; calea principală de la noi verifică pe rând numerele naturale. Programa nouă îl tratează doar pe grafic; rezolvarea cu rădăcinile stă în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".

Ce are în plus varianta 9. Singura cerință cu context de preț este a patra. În Subiectul al II-lea, matricea $A(x)$ are două elemente constante ($1$ și $0$) și două care depind de $x$; al doilea determinant duce la o inegalitate în numere naturale, cu doar două soluții. Polinomul din a doua problemă are termenul liber $-1$, iar cele trei subpuncte se rezolvă fără să se calculeze rădăcinile. Subiectul al III-lea folosește aceeași fracție pentru derivată, limită și monotonie: limita produsului $xf(x)$ se află împărțind la $x^2$.

Organizarea timpului. Lucrarea durează trei ore, fără calculator. Dacă păstrezi un sfert de oră pentru recitire, rămân 165 de minute la 90 de puncte, aproape două minute pe punct; Subiectul I merge mai repede, iar surplusul se duce spre problemele de 15 puncte. Regulile de notare tipărite pe barem admit orice rezolvare corectă, nu doar pe cea din document; punctele nu se fracționează, iar nota se obține împărțind totalul la zece. Datorită celor 10 puncte din oficiu, nota 5 se atinge cu 40 de puncte din cele 90 ale cerințelor, adică 50 în total.

Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, produsul $\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}$ scris $2\sqrt{2}$; la 7.c), inecuația rezolvată pe $\mathbb{R}$, fără reținerea finală a numerelor naturale; la 8.b), produsul rădăcinilor scris cu semn greșit; la 9.c), semnul numărătorului $1-x^2$ confundat cu cel al lui $x^2-1$; la 10.c), aria scrisă fără precizarea că $f$ are valori pozitive.

Cum folosești pagina. Rezolvă cerințele pe hârtie, apoi compară rând cu rând. Unde ți-a lipsit un rând de 2 sau 3 puncte, caută în tabelul de mai sus clasa în care se învață metoda. Sub 40 de puncte, nota 5 nu e atinsă: reia Subiectul I și subpunctele a) și b). Între 40 și 65 de puncte, lucrează în primul rând subpunctele c). Peste 65, rămân de îmbunătățit ritmul și redactarea.

Formule folosite în varianta 9

• Subiectul I. Pătratul unui radical: ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$ pentru $a\ge 0$; puteri cu aceeași bază pozitivă, diferită de $1$, sunt egale numai când exponenții sunt egali; $p\%$ din $S$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot S$; coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor; $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; matricele se adună element cu element; la un polinom de gradul $3$ cu coeficientul dominant $1$, suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui $X^2$, iar produsul lor este opusul termenului liber; $X-1$ divide polinomul exact când valoarea lui în $1$ este $0$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; $F^{\prime }=f$ spune că $F$ este primitivă a lui $f$; aria dintre graficul unei funcții pozitive și axa $Ox$ este ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos este cel din barem, unde numește fiecare cerință; la clasă îi spunem „cerința". Litera $f$ denumește patru obiecte distincte: funcția afină de la cerința 2, polinomul de la 8, fracția de la 9 și funcția cu exponențială de la 10. Litera $A$ este punct la cerința 5 și matrice la 7.