Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2015 (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2015 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\sqrt{3}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+x+2015$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x+2}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o reducere cu $10\%$ un obiect costă $99$ de lei. Calculați prețul obiectului înainte de reducere.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2,1)$ și $N(4,1)$. Determinați lungimea segmentului $MN$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x=\frac{4}{5}$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot A=xA$.

c) (5 puncte) Arătați că $\det \left(A+I_2\right)+\det \left(A-I_2\right)=2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-2X+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=-2$.

b) (5 puncte) Arătați că polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+1$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_2{x}_3}+\frac{1}{x_3{x}_1}=a\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\frac{1}{x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este concavă pe intervalul $(0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-2\right)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(3)=5$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=e^x\cdot f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$, are aria egală cu $3e-4$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Baremul oficial împarte fiecare cerință și fiecare subpunct de 5 p în două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3), iar pagina le păstrează în ordinea din documentul sesiunii iunie 2015 (Varianta 5). Redactarea rezolvărilor, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — raționalizare.

Numitorul $\sqrt{3}-1$ se înmulțește cu conjugatul lui, $\sqrt{3}+1$, iar produsul lor este ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-1^2=2$; fracția se amplifică cu $\sqrt{3}+1$: $$\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}=\sqrt{3}+1\text{(3 p)}.$$ Radicalii se reduc în diferența cerută: $$\sqrt{3}+1-\sqrt{3}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă numerică: $\sqrt{3}\approx 1,732$, iar $\frac{2}{0,732}\approx 2,732$, adică $\sqrt{3}+1$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ și iese $2\left(\sqrt{3}+1\right)$, iar diferența cu $\sqrt{3}$ nu mai este $1$; sau produsul conjugaților se calculează $3+1=4$, ceea ce ar da $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Oy$.

Orice punct al axei $Oy$ are abscisa $0$, deci ordonata punctului căutat este $f(0)$. În $x=0$ dispar termenii care îl conțin pe $x$ și rămâne termenul liber: $$f(0)=2015\text{(3 p)}.$$ Punctul de intersecție al graficului cu axa $Oy$ este $$(0,2015)\text{(2 p)}.$$

(Capcană: numărul $2015$ se ia drept abscisă, $(2015,0)$, dar $2015$ este ordonata; sau se calculează $f(1)=2018$, ordonata punctului de abscisă $1$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Prin ridicare la pătrat, radicalul dispare, iar membrul drept devine $2^2$: $$x+2=4\text{(2 p)}.$$ Rezultă $x=2$. Verificare: $\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2$, așadar $\mathbf{x}=2$ verifică ecuația (3 p).

(Condiția de existență $x+2\ge 0$ este respectată. Capcană: doar membrul stâng se ridică la pătrat, $x+2=2$, deci $x=0$, dar $\sqrt{0+2}=\sqrt{2}\ne 2$; sau $2^2$ se scrie $8$, ceea ce dă $x=6$, iar $\sqrt{6+2}=\sqrt{8}\ne 2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — preț inițial.

Fie $p$ prețul dinainte de reducere. Reducerea este $10\%$ din $p$, iar prețul rămas este $99$ de lei: $$p-\frac{10}{100}p=99\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $0,9p$, deci $p=\frac{99}{0,9}$: $$p=110\text{lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $10\%$ din $110$ este $11$, iar $110-11=99$. Capcană: procentul se adaugă, $p+0,1p=99$, ceea ce dă $p=90$, mai puțin decât prețul de după reducere; sau se scade direct $10$ lei, $p=99+10=109$.)

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment.

Se aplică formula distanței dintre $M(2,1)$ și $N(4,1)$: $$MN=\sqrt{(4-2{)}^2+(1-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ $$MN=\sqrt{4+0}=2\text{(2 p)}.$$

(Cele două puncte au aceeași ordonată, deci segmentul $MN$ este paralel cu axa $Ox$ și lungimea lui este $|4-2|=2$. Capcană: coordonatele se adună, $\sqrt{(4+2{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{40}$; sau se uită pătratele, $\sqrt{(4-2)+(1-1)}=\sqrt{2}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinus din cosinus.

Din identitatea fundamentală, ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\text{(3 p)}.$$ Unghiul $x$ este în $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, deci $\sin x>0$, iar rădăcina pătrată pozitivă a lui $\frac{16}{25}$ este $$\sin x=\frac{4}{5}\text{(2 p)}.$$

(Probă: într-un triunghi dreptunghic cu cateta alăturată $3$ și ipotenuza $5$, cealaltă catetă este $\sqrt{25-9}=4$, iar sinusul este $\frac{4}{5}$. Capcană: se scrie $1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$, fără pătrat; sau se ia $\sin x=-\frac{4}{5}$, dar pe $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ sinusul este pozitiv.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Se scrie determinantul matricei: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det A=2\cdot 1-1\cdot 2=0\text{(3 p)}.$$

(Cele două linii sunt egale, de aceea determinantul este nul. Capcană: produsul se adună, $2\cdot 1+1\cdot 2=4$; sau se înmulțesc elementele de pe aceeași coloană, $2\cdot 2-1\cdot 1=3$.)

b) (5 p) Produsul se face linie cu coloană, iar $xA$ se obține înmulțind fiecare element cu $x$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ 6& 3\end{array}\right),xA=\left(\begin{array}{cc}2x& x\\ 2x& x\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea elementelor de pe aceleași poziții cere $2x=6$ și $x=3$; ambele dau aceeași valoare: $$\mathbf{x}=3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $A\cdot A$ se face ridicând elementele la pătrat, $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$, și atunci nicio valoare a lui $x$ nu convine; sau se adună $A+A=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 4& 2\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Se formează matricele $A+I_2$ și $A-I_2$ și se calculează determinanții lor: $$\det \left(A+I_2\right)=\left|\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right|=4,\det \left(A-I_2\right)=\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right|=-2\text{(3 p)}.$$ Suma lor este $$4+(-2)=2\text{(2 p)}.$$

(Determinantul unei sume nu este suma determinanților: $\det \left(A+I_2\right)=4$, iar $\det A+\det I_2=0+1=1$. Capcană: $I_2$ se adună numai elementului din colțul stânga sus, $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$, cu determinantul $1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $1$: $$f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+1\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-2-2+1=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se calculează $f(0)=1$, valoarea constantei; sau constanta se scrie cu semn schimbat, $1-2-2-1=-4$.)

b) (5 p) Un polinom este divizibil cu $X+1$ exact când se anulează în $-1$, rădăcina lui $X+1$: $$f(-1)=(-1{)}^3-2\cdot (-1{)}^2-2\cdot (-1)+1\text{(3 p)}.$$ $$f(-1)=-1-2+2+1=0,\text{ deci }f\text{ se ıˆmparte exact la }X+1\text{(2 p)}.$$

(Câtul este $X^2-3X+1$. Capcană: se înlocuiește $X$ cu $1$, rădăcina lui $X-1$, și iese $f(1)=-2\ne 0$; sau termenul $-2X$ se calculează ca $-2\cdot 1$, în loc de $-2\cdot (-1)=2$, iar suma devine $-4$.)

c) (5 p) Pentru $f=X^3-2X^2-2X+1$, relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=2,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-2,x_1{x}_2{x}_3=-1\text{(3 p)}.$$ Suma inverselor se scrie $\frac{x_3+x_1+x_2}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{2}{-1}=-2$, iar membrul drept este $a\cdot (-2)$; din $-2=-2a$ rezultă $$\mathbf{a}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{1}{x_1{x}_2}=\frac{x_3}{x_1{x}_2{x}_3}$ și analog pentru celelalte două. Capcană: produsul rădăcinilor se ia cu semn greșit, $x_1{x}_2{x}_3=1$; atunci suma inverselor ar fi $\frac{2}{1}=2$, iar ecuația $2=-2a$ ar da $a=-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivate, asimptotă, concavitate.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen; $x^{\prime }=1$: $$f^{\prime }(x)=x^{\prime }-{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }\text{(2 p)}.$$ Cum ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$: $$f^{\prime }(x)=1-\left(-\frac{1}{x^2}\right)=1+\frac{1}{x^2},x\in (0,+\infty )\text{(3 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $\frac{1}{x}$ se ia cu semnul plus, $\frac{1}{x^2}$, și rezultatul ar fi $1-\frac{1}{x^2}$; sau exponentul nu scade și se scrie $-\frac{1}{x}$.)

b) (5 p) Panta asimptotei este limita raportului $\frac{f(x)}{x}$: $$m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-1}{x^2}=1\text{(2 p)}.$$ Termenul liber: $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{x}\right)=0$, deci asimptota oblică spre $+\infty$ este $$\mathbf{y}=\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se scrie $n=-1$, dar $f(x)-x=-\frac{1}{x}$ tinde la $0$; sau se caută o asimptotă orizontală $y=c$, deși $f(x)\to +\infty$.)

c) (5 p) A doua derivată se obține derivând $f^{\prime }(x)=1+x^{-2}$: $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^3},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$ Pe $(0,+\infty )$ avem $x^3>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)<0$ pentru orice $x$ din interval, iar $f$ este concavă pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(Capcană: se obține $f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}>0$ prin semn greșit, și funcția ar fi declarată convexă; sau se arată doar $f^{\prime }(x)>0$, adică $f$ crescătoare, ceea ce nu spune nimic despre concavitate.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și arie.

a) (5 p) Din $f(x)=x^2+2$ rezultă $f(x)-2=x^2$: $${\int }_0^1\left(f(x)-2\right)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx=\frac{x^3}{3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $x^2$ se ia $x^3$, fără împărțirea la $3$; sau $\frac{x^2}{2}$, formă potrivită pentru $x$.)

b) (5 p) Primitivele lui $x^2+2$ sunt $$F(x)=\frac{x^3}{3}+2x+c,c\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Condiția $F(3)=5$ înseamnă $9+6+c=5$, deci $c=-10$: $$\mathbf{F}(\mathbf{x})=\frac{{\mathbf{x}}^3}{3}+2x-10\text{(3 p)}.$$

(Probă: $F(3)=9+6-10=5$ și $F^{\prime }(x)=x^2+2$. Capcană: constanta $2$ se integrează în $2$, nu în $2x$; sau se dă derivata $2x$ în loc de primitivă.)

c) (5 p) Expresia lui $g$, $e^x\left(x^2+2\right)$, este pozitivă, deci aria este integrala ei pe $[0,1]$. Integrarea prin părți, cu $u=x^2+2$ și $v=e^x$, dă $$\mathcal{S}={\int }_0^1{e}^x\left(x^2+2\right)dx=e^x\left(x^2+2\right){|}_0^1-{\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx=3e-2-{\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx\text{(3 p)}.$$ A doua integrală se calculează tot prin părți: ${\int }_0^{1}2x{e}^{x}dx=2x{e}^x{|}_0^1-{\int }_0^{1}2e^{x}dx=2e-2(e-1)=2$. Atunci $$\mathcal{S}=3e-2-2=3e-4\text{(2 p)}.$$

(Baremul notează aria cu $\mathcal{A}$; la noi este $\mathcal{S}$. Capcană: a doua integrală se adună în loc să se scadă și iese $3e$; sau se omite termenul $2$ din $f$, adică se integrează $x^2{e}^x$, cu valoarea $e-2$.)

Pentru părinți și profesori

Lucrarea de mai jos este Varianta 5 a probei de matematică tehnologic (în actele oficiale, Matematică M_tehnologic; în școli, „M3"), din iunie 2015. Dosarul oficial din care provine o numește „de rezervă"; foaia însăși spune doar „Varianta 5". În antet, pe primul rând stă Ministerul Educației și Cercetării Științifice, iar pe al doilea Centrul Național de Evaluare și Examinare; filiera vizată este cea tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale). Cerințele sunt reproduse literă cu literă. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre; din barem am luat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Cum e făcută lucrarea. Cele trei subiecte au câte 30 de puncte. Primul adună șase cerințe scurte, a câte 5 puncte. Al doilea și al treilea au câte două probleme cu trei subpuncte de 5 puncte fiecare. La fiecare cerință și la fiecare subpunct, baremul are două rânduri punctate.

Harta cerințelor. Clasa din tabel este cea în care programa de examen (OMEN 4430/2014, anexa 2, coloana M_tehnologic) așază tema.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Proprietățile radicalilor figurează în programa de examen la clasa a X-a, iar noua programă școlară a claselor IX–X nu le mai cuprinde.
• Nota 2. Ecuațiile în care necunoscuta stă sub un radical de ordinul $2$ sunt nominalizate la clasa a X-a; programa școlară nouă pentru clasele IX–X rezolvă ecuațiile numai grafic sau cu instrumente digitale.
• Nota 3. Calculul procentual se cere la clasa a X-a, în blocul de matematici financiare; programa școlară nouă pomenește procentul numai ca exemplu la progresii.
• Nota 4. Distanța dintre două puncte este în programa de examen la clasa a X-a, iar programa școlară nouă o așază în clasa a IX-a, în geometria analitică.
• Nota 5. Faptul că ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$ ale aceluiași unghi însumează $1$ lipsește din lista de conținuturi; programa numește totuși, la clasa a IX-a, cercul trigonometric, din care acest fapt se deduce.

Ce a ieșit special. Cerința 1 se închide imediat după raționalizare: $\frac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$. La cerința 4, $10\%$ din $110$ este $11$, iar $110-11=99$. Numerele $3$ și $5$ de la cerința 6 apar ca o catetă și o ipotenuză într-un triunghi cu cealaltă catetă $4$. La Subiectul al II-lea, matricea $A$ are urma $3$ și determinantul $0$, de aceea $A\cdot A=3A$ și $x=3$. Polinomul $f$ are rădăcina $-1$ și se scrie $f=(X+1)\left(X^2-3X+1\right)$; coeficienții dau suma rădăcinilor $2$, suma produselor lor câte două $-2$ și produsul lor $-1$, iar relația de la 8.c) se reduce la $-2=-2a$. La Subiectul al III-lea, $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x^2}$, $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{2}{x^3}$, iar graficul se apropie de dreapta $y=x$. În ultima problemă, $f(x)-2=x^2$ face integrala de la a) imediată, iar aria de la c) cere o integrare prin părți aplicată de două ori.

Ritmul. Cele 90 de puncte stau în 180 de minute, adică 2 minute pe punct: o cerință de 5 puncte din Subiectul I are 10 minute, la fel ca un subpunct de 5 puncte din II sau III. Dacă o cerință dintre 1–6 se termină mai repede, minutele rămase pot merge la recitire.

Calculul notei. Nota este totalul împărțit la $10$. Pentru nota 6 sunt necesare 60 de puncte, dintre care $10$ vin din oficiu, deci 50 din cele 90 ale cerințelor.

Greșeli de redactare de evitat: la 1, numitorul $2$ rezultat după amplificare uitat, ceea ce lasă $2\left(\sqrt{3}+1\right)$; la 3, soluția păstrată fără o probă în ecuația inițială; la 6, sinusul lăsat cu semnul $\pm$ deși unghiul este ascuțit; la 7.b), egalitatea de matrice rezolvată cu un singur element; la 8.b), concluzia „divizibil" fără valoarea $f(-1)$; la 9.c), $f^{\prime \prime }(x)<0$ verificat într-un singur punct; la 10.c), integrala a doua din integrarea prin părți lăsată necalculată.

Formulele folosite în varianta 5

• Subiectul I. $\frac{c}{\sqrt{a}-b}=\frac{c\left(\sqrt{a}+b\right)}{a-b^2}$; $\sqrt{u}=v\Rightarrow u=v^2$ (cu verificare); $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; $MN=\sqrt{(x_N-x_M{)}^2+(y_N-y_M{)}^2}$; suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este $1$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; $f$ este divizibil cu $X-a$ când $f(a)=0$; pentru $f=X^3+b{X}^2+cX+d$, $s_1=-b$, $s_2=c$, $s_3=-d$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; asimptota oblică $y=mx+n$ cu $m=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$ și $n=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-mx\right)$; $f^{\prime \prime }<0$ pe un interval înseamnă $f$ concavă pe el; ${\int }_a^{b}u{v}^{\prime }dx=uv{|}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\prime }vdx$.

Despre litere. Simbolul $f$ are alt înțeles la fiecare problemă: $2x^2+x+2015$ la cerința 2, polinomul $X^3-2X^2-2X+1$ la 8, funcția $x-\frac{1}{x}$ la 9 și funcția $x^2+2$ la 10. Litera $x$ este unghi la cerința 6, necunoscută la 3 și 7.b), iar $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt rădăcinile polinomului. $A$ este matrice la cerința 7, iar $a$ este numărul real cerut la 8.c). Mai apar $p$, prețul inițial de la cerința 4, punctele $M$ și $N$ de la 5, primitiva $F$ de la 10.b) și funcția $g$ de la 10.c).