Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2020 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2020 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $5 (1 + 25) - 5 = 10$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ . Arătați că $f (1) = f (2)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{5} (x^{2} - 21) = lo g_{5} 4$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10%$ , un obiect costă $220$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 8)$ și $B (0, 4)$ . Știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$ , determinați coordonatele punctului $M$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

În triunghiul $A B C$ , $m (∢ B) = m (∢ C) = 6 0^{\circ}$ . Calculați cosinusul unghiului $A$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A = (1 - 1 6 - 4)$ , $B = (1224)$ și $O_{2} = (0000)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $det A = 2$ .

b) (5 puncte) Arătați că $B \cdot A + B = O_{2}$ .

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $det (B + n A) = det B + n det A$ .

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x + 2 y + 1$ .

a) (5 puncte) Arătați că $1 \circ (- 1) = 0$ .

b) (5 puncte) Demonstrați că $x \circ (- \frac{1}{2}) = x$ , pentru orice număr real $x$ .

c) (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ " nu admite element neutru.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} + 1}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ , $x \in R$ .

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+ \infty$ la graficul funcției $f$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că $f (x) + ln (x^{2} + 1) < \frac{5}{2}$ , pentru orice $x \in [0, 1]$ .

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : (- 1, + \infty) \to R$ , $f (x) = \frac{e ^{x}}{x + 1}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $\int_{0}^{2} (x + 1) f (x) d x = e^{2} - 1$ .

b) (5 puncte) Arătați că $\int_{0}^{1} \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = 1 - ln 2$ .

c) (5 puncte) Arătați că $\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} ln (x + 1) d x = e ln 2$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I: 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p). Subiectul al II-lea: 30 p (cerințele 7 și 8). Subiectul al III-lea: 30 p (cerințele 9 și 10). La cerințele 7–10, fiecare subpunct are 5 p, în două rânduri. Rândurile marcate mai jos urmează împărțirea punctelor din documentul oficial al sesiunii speciale 2020 (Varianta 1); soluțiile, explicațiile și probele ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Se înmulțește $5$ cu fiecare termen din paranteză, fără să se calculeze încă produsul radicalilor: $5 (1 + 25) - 5 = 5 + 2 \cdot 5 \cdot 5 - 5 (3 p) .$ Produsul $5 \cdot 5$ este $5$ , iar termenii $5$ și $- 5$ se reduc între ei: $5 + 2 \cdot 5 - 5 = 2 \cdot 5 = 10 (2 p) .$

(Altă cale: $5 (1 + 25) - 5 = 5 (1 + 25 - 1) = 5 \cdot 25 = 10$ . Capcană: factorul $25$ nu se înmulțește cu $5$ , ca și cum produsul s-ar face doar cu $1$ ; atunci expresia ar fi $5 + 25 - 5 = 25 \approx 4, 47$ , nu $10$ .)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții.

Se calculează $f$ în cele două puncte, pe rând. Pentru $x = 1$ : $f (1) = 1^{2} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1 (2 p) .$ Pentru $x = 2$ se obține $f (2) = 2^{2} - 3 \cdot 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = - 1$ , deci $f (1) = f (2)$ (3 p).

(Altă cale: graficul lui $f$ este o parabolă cu axa de simetrie $x = \frac{3}{2}$ , iar $1$ și $2$ sunt simetrice față de $\frac{3}{2}$ , fiindcă $\frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2}$ ; două puncte simetrice au aceeași valoare. Capcană: la $f (2)$ termenul $- 3 x$ se scrie $- 3$ , fără factorul $2$ ; atunci se calculează $4 - 3 + 1 = 2$ , valoare diferită de $f (1) = - 1$ , iar egalitatea pare falsă.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Ecuația are sens când argumentul logaritmului este pozitiv, adică $x^{2} - 21 > 0$ . Funcția $lo g_{5}$ ia fiecare valoare o singură dată, deci doi logaritmi în baza $5$ sunt egali numai dacă argumentele lor coincid: $x^{2} - 21 = 4, adic \overset{a}{˘} x^{2} - 25 = 0 (3 p) .$ Soluțiile ecuației $x^{2} = 25$ sunt $- 5$ și $5$ . La amândouă, $x^{2} - 21 = 25 - 21 = 4 > 0$ , deci convin ambele: $x \in {- 5, 5}$ (2 p).

(Capcană: din $x^{2} = 25$ se reține numai $x = 5$ , deși și $(- 5)^{2} = 25$ ; sau $21$ se scade în loc să se adune, $x^{2} = 4 - 21 = - 17$ , număr negativ, și ecuația pare fără soluții reale.)

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire în procente.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. Prețul de acum este prețul inițial plus scumpirea, iar scumpirea înseamnă $10%$ din $x$ : $x + \frac{10}{100} \cdot x = 220 (3 p) .$ Membrul stâng este $\frac{11}{10} x$ , deci $x = 220 \cdot \frac{10}{11} = 200$ de lei (2 p).

(Probă: $10%$ din $200$ este $20$ , iar $200 + 20 = 220$ . Capcană: $10%$ se calculează din prețul nou, nu din cel inițial; $10%$ din $220$ este $22$ , iar $220 - 22 = 198$ , dar o scumpire cu $10%$ duce $198$ la $198 + 19, 8 = 217, 8$ , nu la $220$ .)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul $M$ al segmentului $A B$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor. Abscisa lui este $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2 (3 p) .$ Ordonata este $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2} = \frac{8 + 4}{2} = 6$ , deci $M (2, 6)$ (2 p).

(Probă: $M A = (4 - 2)^{2} + (8 - 6)^{2} = 8$ și $M B = (0 - 2)^{2} + (4 - 6)^{2} = 8$ , deci $M$ e la aceeași distanță de capete. Capcană: coordonatele se amestecă și se ajunge la punctul $(6, 2)$ , care nu se află pe dreapta $A B$ ; dreapta are ecuația $y = x + 4$ , iar $2 \neq = 6 + 4$ .)

Exercițiul 6. (5 p) — cosinusul unui unghi.

Suma unghiurilor unui triunghi este $18 0^{\circ}$ , deci $m (∢ A) = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ} (3 p) .$ Cosinusul unghiului $A$ este $cos A = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ (2 p).

(Observație: toate cele trei unghiuri măsoară $6 0^{\circ}$ , deci triunghiul este echilateral. Capcană: $\frac{3}{2}$ este $cos 3 0^{\circ}$ , nu $cos 6 0^{\circ}$ ; iar suma $6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ este măsura lui $B$ și $C$ la un loc, nu a lui $A$ .)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice.

a) (5 p) Pentru o matrice $2 \times 2$ , determinantul se obține scăzând din produsul elementelor diagonalei principale produsul elementelor celeilalte diagonale: $det A = 1 \cdot (- 4) - (- 1) \cdot 6 (3 p) .$ $det A = - 4 + 6 = 2 (2 p) .$

(Capcană: produsul $(- 1) \cdot 6 = - 6$ se scade, deci se adună $6$ ; dacă se uită minusul din fața parantezei, rezultatul ar fi $- 4 - 6 = - 10$ .)

b) (5 p) Se înmulțește $B$ cu $A$ , linie cu coloană: $B \cdot A = (1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 1) 2 \cdot 1 + 4 \cdot (- 1) 1 \cdot 6 + 2 \cdot (- 4) 2 \cdot 6 + 4 \cdot (- 4)) = (- 1 - 2 - 2 - 4) = - B (3 p) .$ Cum $B \cdot A = - B$ , rezultă $B \cdot A + B = - B + B = O_{2}$ (2 p).

(Capcană: înmulțirea matricelor nu se face element cu element; pe acea cale s-ar obține $(1 - 2 12 - 16)$ , iar suma cu $B$ ar fi $(20 14 - 12)$ , nu $O_{2}$ .)

c) (5 p) Se scrie matricea $B + n A$ și se calculează determinantul ei: $B + n A = (1 + n 2 - n 2 + 6 n 4 - 4 n), det (B + n A) = (1 + n) (4 - 4 n) - (2 + 6 n) (2 - n) = 2 n^{2} - 10 n (2 p) .$ Pe de altă parte, $det B = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 0$ , iar $n det A = 2 n$ . Egalitatea cerută devine $2 n^{2} - 10 n = 2 n$ , adică $2 n (n - 6) = 0$ , deci numerele naturale căutate sunt $n = 0$ și $n = 6$ (3 p).

(Probă: pentru $n = 6$ , $B + 6 A = (7 - 4 38 - 20)$ și $det (B + 6 A) = 7 \cdot (- 20) - 38 \cdot (- 4) = 12 = det B + 6 det A$ ; pentru $n = 0$ , ambii membri sunt $0$ . Capcană: determinantul nu este aditiv, deci egalitatea nu e adevărată pentru orice $n$ ; la $n = 1$ , $det (B + A) = - 8$ , în timp ce suma determinanților este $0 + 2 = 2$ . Valoarea $n = 0$ nu se aruncă: zero este număr natural.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x = 1$ și $y = - 1$ în definiția legii: $1 \circ (- 1) = 1 + 2 \cdot (- 1) + 1 (3 p) .$ $1 \circ (- 1) = 1 - 2 + 1 = 0 (2 p) .$

(Capcană: argumentele se pun în ordine inversă, $x = - 1$ și $y = 1$ ; legea nu este comutativă, iar $(- 1) \circ 1 = - 1 + 2 + 1 = 2$ , nu $0$ .)

b) (5 p) Se înlocuiește $y = - \frac{1}{2}$ în definiție, cu $x$ liber: $x \circ (- \frac{1}{2}) = x + 2 \cdot (- \frac{1}{2}) + 1 (3 p) .$ $x \circ (- \frac{1}{2}) = x - 1 + 1 = x, pentru orice num \overset{a}{˘} r real x (2 p) .$

(O singură valoare, de pildă $0 \circ (- \frac{1}{2}) = 0 - 1 + 1 = 0$ , nu este demonstrație: egalitatea se cere pentru toți $x$ reali, iar calculul de mai sus lasă $x$ nespecificat.)

c) (5 p) Dacă $e$ ar fi element neutru, ar trebui ca $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$ ; în particular, pentru $x = 0$ ar rezulta $0 \circ e = e \circ 0 = 0$ (3 p). Din $0 \circ e = 0 + 2 e + 1 = 0$ iese $e = - \frac{1}{2}$ , iar din $e \circ 0 = e + 0 + 1 = 0$ iese $e = - 1$ . Cele două valori sunt diferite, deci un asemenea $e$ nu există: legea „ $\circ$ " nu admite element neutru (2 p).

(Observație: din b) rezultă că $- \frac{1}{2}$ este neutru la dreapta; la stânga nu este, fiindcă $(- \frac{1}{2}) \circ 0 = - \frac{1}{2} + 0 + 1 = \frac{1}{2} \neq = 0$ . Capcană: se rezolvă numai $x \circ e = x$ , se găsește $e = - \frac{1}{2}$ și se declară neutru, fără să se verifice și $e \circ x = x$ .)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție rațională, limită, inegalitate.

a) (5 p) Se derivează câtul după formula $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ , cu $u = x^{2} + 2$ și $v = x^{2} + 1$ : $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} + 1 ) - 2 x ( x ^{2} + 2 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} (3 p) .$ La numărător se scoate $2 x$ factor comun: $2 x (x^{2} + 1 - x^{2} - 2) = 2 x \cdot (- 1)$ , de unde $f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}, x \in R (2 p) .$

(Altă cale: $f (x) = \frac{x ^{2} + 1 + 1}{x ^{2} + 1} = 1 + \frac{1}{x ^{2} + 1}$ , iar derivata lui $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ este $\frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ . Capcană: numărătorul se scrie $u v^{'} - u^{'} v$ , cu ordinea inversată, și derivata iese cu semn opus, $\frac{2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ .)

b) (5 p) Numărătorul și numitorul tind amândoi la $+ \infty$ , așa că se împarte la $x^{2}$ , cea mai mare putere: $x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} + 1} = x \to + \infty lim \frac{1 + \frac{2}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}} = 1 (3 p) .$ Limita la $+ \infty$ este finită și egală cu $1$ , deci graficul lui $f$ are asimptota orizontală $y = 1$ când $x \to + \infty$ (2 p).

(Capcană: se spune că raportul a două expresii care tind la $+ \infty$ are limita $1$ , fără calcul; dar în $\frac{6 x ^{2} + 11}{3 x ^{2} + 7}$ , la fel, ambii termeni tind la $+ \infty$ , iar limita este $2$ .)

c) (5 p) Se definește $g : [0, 1] \to R$ , $g (x) = f (x) + ln (x^{2} + 1)$ ; derivata ei este $g^{'} (x) = \frac{- 2 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} + \frac{2 x}{x ^{2} + 1} = \frac{- 2 x + 2 x ( x ^{2} + 1 )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{3}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} .$ Pe $[0, 1]$ avem $2 x^{3} \geq 0$ , deci $g^{'} \geq 0$ și $g$ este crescătoare; atunci $g (x) \leq g (1)$ pentru orice $x \in [0, 1]$ (3 p). Valoarea în $1$ este $g (1) = f (1) + ln 2 = \frac{3}{2} + ln 2$ . Cum $2 < e$ , avem $ln 2 < 1$ , deci $g (1) < \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$ . Rezultă $f (x) + ln (x^{2} + 1) = g (x) \leq g (1) < \frac{5}{2}$ , pentru orice $x \in [0, 1]$ (2 p).

(Probă numerică: $g (0) = 2$ , iar $g (1) \approx 2, 19$ , ambele sub $2, 5$ . Capcană: inegalitatea se verifică doar în capetele $0$ și $1$ ; două valori nu o dovedesc pe tot intervalul, iar monotonia lui $g$ este ceea ce o face.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale.

a) (5 p) Factorul $x + 1$ se simplifică cu numitorul lui $f$ , deci $(x + 1) f (x) = e^{x}$ pentru $x > - 1$ . Atunci $\int_{0}^{2} (x + 1) f (x) d x = \int_{0}^{2} e^{x} d x (3 p) .$ O primitivă a lui $e^{x}$ este chiar $e^{x}$ , așa că rezultatul este diferența valorilor ei la capete: $e^{2} - e^{0} = e^{2} - 1 (2 p) .$

(Capcană: la limita de jos se scrie $0$ în locul lui $e^{0}$ și rezultatul pare $e^{2}$ ; dar $e^{0} = 1$ , deci se scade $1$ .)

b) (5 p) Funcția $f$ are valori pozitive, deci $ln f$ există, iar $(ln f)^{'} = \frac{f ^{'}}{f}$ . Integrala cerută este variația lui $ln f$ între $0$ și $1$ : $\int_{0}^{1} \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln f (x)_{0}^{1} = ln \frac{e ^{x}}{x + 1}_{0}^{1} (3 p) .$ Cum $f (1) = \frac{e}{2}$ și $f (0) = 1$ , variația este $ln \frac{e}{2} - ln 1$ ; logaritmul unui cât este diferența logaritmilor, iar $ln 1 = 0$ , deci rezultatul este $1 - ln 2$ (2 p).

(Altă cale: numărătorul derivatei câtului este $e^{x} (x + 1) - e^{x} = x e^{x}$ , deci raportul $\frac{f ^{'}}{f}$ se simplifică la $\frac{x}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1}$ , a cărui integrală de la $0$ la $1$ este $1 - ln 2$ . Capcană: logaritmul unui cât se trece drept câtul logaritmilor, $\frac{ln e}{ln 2} = \frac{1}{ln 2} \approx 1, 44$ , deși rezultatul corect este numărul mai mic $1 - ln 2 \approx 0, 31$ .)

c) (5 p) Se observă că $f (x) = e^{x} \cdot \frac{1}{x + 1} = e^{x} (ln (x + 1))^{'}$ , așa că suma din enunț devine $\int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} ln (x + 1) d x = \int_{0}^{1} e^{x} (ln (x + 1))^{'} d x + \int_{0}^{1} e^{x} ln (x + 1) d x (3 p) .$ Prima integrală se calculează prin părți, cu $u = e^{x}$ și $v = ln (x + 1)$ : $\int_{0}^{1} e^{x} (ln (x + 1))^{'} d x = e^{x} ln (x + 1)_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} ln (x + 1) d x .$ Integrala rămasă se reduce cu a doua din sumă, iar suma este $e ln 2 - 1 \cdot ln 1 = e ln 2$ (2 p).

(Altă cale: $(e^{x} ln (x + 1))^{'} = e^{x} ln (x + 1) + \frac{e ^{x}}{x + 1}$ este chiar integrandul sumei, deci suma este $e^{x} ln (x + 1)_{0}^{1} = e ln 2$ . Capcană: la integrarea prin părți se pierde minusul din fața integralei rămase; atunci cele două integrale cu $e^{x} ln (x + 1)$ nu se mai reduc, ci se adună.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2020 a Bacalaureatului, Varianta 1, cu cele zece cerințe rezolvate. Foaia oficială se adresează candidaților din filiera tehnologică, indiferent de profil (servicii, resurse sau tehnic) și de calificare; în acte, disciplina se numește Matematică M_tehnologic, iar pe acest site seria ei poartă eticheta „M3". Sus, antetul poartă denumirile Ministerului Educației și Cercetării și ale Centrului Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile apar copiate fără nicio schimbare. Soluțiile, probele, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi; din documentul oficial de evaluare am păstrat doar împărțirea punctelor pe rânduri.

Cum e alcătuită lucrarea. Sunt trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu:

Subiectul I strânge șase cerințe scurte, de câte 5 puncte: calcul cu radicali, două valori ale unei funcții de gradul al doilea, o ecuație logaritmică, o scumpire în procente, mijlocul unui segment și un cosinus într-un triunghi.
Subiectul al II-lea are două probleme cu trei subpuncte de câte 5 puncte. Prima pune în joc două matrice $2 \times 2$ (programa clasei a XI-a); a doua definește o lege de compoziție pe $R$ (programa clasei a XII-a).
Subiectul al III-lea are tot două probleme: o funcție rațională, studiată cu derivata și cu limita (a XI-a), și o funcție cu exponențială, cu trei integrale definite (a XII-a).

Cerințele și clasa la care se învață materia lor

Cerința	Ce se cere	Clasa la examen
1	verificarea unei egalități cu radicali de ordinul $2$	a X-a
2	egalitatea a două valori ale unei funcții de gradul al doilea	a IX-a
3	o ecuație cu logaritmi în aceeași bază	a X-a
4	prețul de dinainte de o scumpire cu un procent dat	a X-a
5	mijlocul unui segment, în reperul cartezian	a X-a
6	cosinusul unui unghi, când celelalte două unghiuri ale triunghiului sunt date	a IX-a
7	două matrice $2 \times 2$ : determinant, produs, o ecuație cu determinanți în numere naturale	a XI-a
8	o lege de compoziție: două calcule și neexistența elementului neutru	a XII-a
9	derivata unui cât, asimptota orizontală și o inegalitate cu logaritm pe $[0, 1]$	a XI-a
10	trei integrale definite, dintre care una cere integrarea prin părți	a XII-a

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Două precizări despre program. La cerința 5, programa de examen enumeră coordonatele carteziene și distanța dintre două puncte, nu și mijlocul unui segment; cerința îl folosește totuși, așa că semisuma coordonatelor trebuie știută. La problema 8, legile de compoziție se studiază în clasa a XII-a, la capitolul „Grupuri" din programa de examen. Programele școlare noi de clasele a XI-a și a XII-a pentru filiera tehnologică nu mai includ grupuri, inele și corpuri; problema aparține deci programei de examen după care s-a scris lucrarea din 2020.

Ce o deosebește. Ecuația de la cerința 3 are două soluții, $- 5$ și $5$ , iar condiția de existență a logaritmului se verifică pentru amândouă. Cele două matrice de la problema 7 se leagă prin relația $B \cdot A = - B$ , iar $det B = 0$ scurtează subpunctul c). La problema 8, numărul $- \frac{1}{2}$ este neutru doar la dreapta: de aceea subpunctul b) se verifică, iar subpunctul c) cere să se arate că nu există niciun element neutru. La problema 10, subpunctul a) cere întâi o simplificare, la b) integrandul este derivata lui $ln f$ , iar la c) integrarea prin părți produce o integrală care se reduce cu a doua din sumă.

Timpul și nota. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. Dacă păstrezi 25 de minute pentru recitire, rămân 155 de minute pe cele 90 de puncte ale cerințelor: puțin sub două minute pe punct. Ce economisești la cerințele scurte poți folosi la subpunctele c). Documentul oficial admite orice rezolvare corectă, nu doar pe cea tipărită în el, și nu fracționează punctele. Nota este totalul împărțit la 10; cu cele 10 puncte din oficiu, nota 6 cere 50 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, produsul $5 \cdot 5$ lăsat necalculat; la cerința 3, soluția $x = - 5$ uitată; la 7.c), valoarea $n = 0$ aruncată, deși zero este număr natural; la 8.c), alegerea unui $e$ dintr-una singură dintre cele două egalități; la 9.c), verificarea inegalității doar în capetele intervalului $[0, 1]$ ; la 10.b), logaritmul unui cât tratat ca un cât de logaritmi.

Cum folosești pagina. Rezolvă întâi singur, pe hârtie; abia apoi citește soluția, rând cu rând. Un rând pierdut arată ce trebuie reluat: pătratul unui radical, valoarea unei funcții sau a unei legi, determinantul, derivata unui cât, integrarea prin părți. Dacă după prima trecere ai sub 30 de puncte, reia Subiectul I, apoi subpunctele a); între 30 și 60 de puncte, lucrează subpunctele b); peste 60, rămân subpunctele c), unde ideea cântărește mai mult decât calculul.

Formule folosite în varianta 1

Subiectul I. $(a)^{2} = a$ pentru $a \geq 0$ ; doi logaritmi în aceeași bază sunt egali numai când argumentele lor coincid, iar argumentele sunt pozitive; după o scumpire cu $p %$ , prețul este prețul inițial înmulțit cu $1 + \frac{p}{100}$ ; coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor; unghiurile unui triunghi însumează $18 0^{\circ}$ .
Subiectul al II-lea. $det (p r q s) = p s - q r$ ; matricele se înmulțesc linie cu coloană; elementul neutru $e$ al unei legi „ $\circ$ " verifică $x \circ e = e \circ x = x$ pentru orice $x$ .
Subiectul al III-lea. $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ ; $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ ; formula Leibniz–Newton $\int_{a}^{b} F^{'} (x) d x = F (b) - F (a)$ ; integrarea prin părți $\int_{a}^{b} u v^{'} d x = uv_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v d x$ .

În titlurile de mai jos, „itemul" numește fiecare cerință, ca în documentele oficiale; la clasă se spune „cerința". Aceeași literă are sensuri diferite de la o problemă la alta: $f$ este funcția de gradul al doilea la cerința 2, fracția de la 9 și funcția cu exponențială de la 10; $A$ și $B$ sunt puncte la cerința 5, vârfuri de triunghi la 6 și matrice la 7, iar $e$ notează elementul neutru presupus la 8.c), dar la 9.c) și la 10 este baza logaritmului natural.