Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2014 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2014 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3 \cdot (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) = 1$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ știind că $f (m) = 1$ , unde $f : R \to R$ , $f (x) = x - 4$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 x^{2} + 1 = 1$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

În anul $2013$ , profitul anual al unei firme a fost de $100000$ de lei, ceea ce reprezintă $4%$ din valoarea veniturilor anuale ale firmei. Determinați valoarea veniturilor anuale ale firmei în anul $2013$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (5, 6)$ , $B (2, 6)$ și $C (5, 2)$ . Arătați că triunghiul $A B C$ este dreptunghic.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $tg^{2} 6 0^{\circ} + tg^{2} 4 5^{\circ} = 4$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A = (3 - 5 1 - 2)$ , $B = (2 - 5 1 - 3)$ și $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $det A = - 1$ .

b) (5 puncte) Arătați că $2 A \cdot B - B \cdot A = I_{2}$ .

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ știind că $A \cdot A - x A = I_{2}$ .

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = 2 (x + y - 1) - x y$ .

a) (5 puncte) Arătați că $1 * 2 = 2$ .

b) (5 puncte) Arătați că $x * 2 = 2 * x = 2$ pentru orice număr real $x$ .

c) (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x * x = x$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $x \to 0 lim f (x) = - 1$ .

b) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = e^{x} + f (x)$ pentru orice număr real $x$ .

c) (5 puncte) Arătați că $x \to 0 lim \frac{f ( x ) + 1}{x} = 0$ .

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ .

a) (5 puncte) Arătați că $\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x = 7$ .

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F : R \to R$ a funcției $f$ pentru care $F (1) = 2014$ .

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ , $n \geq 2$ știind că $\int_{1}^{n} \frac{f ( x )}{x} d x = \frac{13}{2}$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Fiecare cerință și fiecare subpunct de 5 p are două rânduri punctate (2 + 3 sau 3 + 2). Rândurile punctate urmează împărțirea din documentul oficial al sesiunii speciale 2014 (Varianta 9); redactarea rezolvărilor, probele și explicațiile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții cu același numitor.

Fracțiile au numitorul $3$ , deci numitorul se păstrează, iar numărătorii se scad: $\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3} (2 p) .$ Factorul $3$ simplifică numitorul: $3 \cdot \frac{1}{3} = 1 (3 p) .$

(Altă cale: se distribuie factorul, $3 \cdot \frac{2}{3} - 3 \cdot \frac{1}{3} = 2 - 1 = 1$ . Capcană: se scad și numitorii, $\frac{2 - 1}{3 - 3}$ , dar $3 - 3 = 0$ și o fracție cu numitorul $0$ nu are sens; sau fracțiile se înmulțesc, $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ .)

Exercițiul 2. (5 p) — valoarea unei funcții de gradul I.

Condiția $f (m) = 1$ înseamnă că în $f (x) = x - 4$ se pune $m$ în locul lui $x$ și rezultatul este $1$ : $m - 4 = 1 (3 p) .$ Se adaugă $4$ în ambii membri: $m = 5 (2 p) .$

(Probă: $f (5) = 5 - 4 = 1$ . Capcană: se scrie $m + 4 = 1$ și iese $m = - 3$ , dar $f (- 3) = - 7$ ; sau se rezolvă $f (m) = 0$ , ceea ce dă $m = 4$ , iar $f (4) = 0 \neq = 1$ .)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Pătratul unui radical este expresia de sub el, iar $1^{2} = 1$ ; ridicând la pătrat ambii membri se obține $2 x^{2} + 1 = 1 (3 p) .$ Rămâne $2 x^{2} = 0$ , adică $x = 0$ . Verificare: $2 \cdot 0^{2} + 1 = 1 = 1$ , deci valoarea $x = 0$ convine (2 p).

(Altă privire: $2 x^{2} \geq 0$ , deci $2 x^{2} + 1 \geq 1$ pentru orice $x$ , cu egalitate numai când $2 x^{2} = 0$ . Capcană: membrul drept se ridică greșit, $2 x^{2} + 1 = 2$ , ceea ce dă $x^{2} = \frac{1}{2}$ , dar atunci $2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 2 \neq = 1$ .)

Exercițiul 4. (5 p) — baza unui procent.

Fie $x$ veniturile anuale, în lei. Profitul este $4%$ din venituri: $100000 = 4% \cdot x = \frac{4}{100} \cdot x (3 p) .$ Împărțirea la $\frac{4}{100}$ înseamnă înmulțirea cu $25$ : $x = 100000 \cdot 25 = 2500000 de lei (2 p) .$

(Probă: $4% \cdot 2500000 = \frac{4 \cdot 2500000}{100} = 100000$ . Capcană: se calculează $4%$ din profit, $\frac{4}{100} \cdot 100000 = 4000$ , dar $4%$ se raportează la venituri; sau se scrie $100000 = 4 x$ , cu $4$ în loc de $4%$ , și iese $x = 25000$ .)

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi în reper cartezian.

Cele trei laturi, din formula distanței dintre două puncte: $A B = (2 - 5)^{2} + (6 - 6)^{2} = 3, A C = (5 - 5)^{2} + (2 - 6)^{2} = 4, B C = (5 - 2)^{2} + (2 - 6)^{2} = 5 (3 p) .$ Latura cea mai lungă este $B C$ , deci numai ea poate fi ipotenuză; relația lui Pitagora se verifică: $A B^{2} + A C^{2} = 9 + 16 = 25 = B C^{2} (2 p) .$ Reciproca teoremei lui Pitagora arată că unghiul din $A$ este drept.

(Fără calcul: $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci $A B$ e orizontal; $A$ și $C$ au aceeași abscisă, deci $A C$ e vertical, iar unghiul din $A$ este drept. Capcană: $B C$ se ia egal cu $3 + 4 = 7$ ; atunci $3^{2} + 4^{2} = 25$ nu este $7^{2} = 49$ și triunghiul pare oarecare.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori ale tangentei.

Valorile din tabelul unghiurilor remarcabile sunt $tg 6 0^{\circ} = 3, tg 4 5^{\circ} = 1 (2 p) .$ Se ridică la pătrat și se adună: $tg^{2} 6 0^{\circ} + tg^{2} 4 5^{\circ} = (3)^{2} + 1^{2} = 3 + 1 = 4 (3 p) .$

(Verificare: $tg 6 0^{\circ} = \frac{sin 6 0 ^{\circ}}{cos 6 0 ^{\circ}} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$ . Capcană: pentru $6 0^{\circ}$ se ia $\frac{3}{3}$ , valoarea lui $tg 3 0^{\circ}$ , și suma devine $\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$ .)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2 \times 2$ .

a) (5 p) Determinantul se așază cu elementele diagonalei principale înmulțite, minus produsul celeilalte diagonale: $det A = 3 - 5 1 - 2 (2 p) .$ $det A = 3 \cdot (- 2) - 1 \cdot (- 5) = - 6 + 5 = - 1 (3 p) .$

(Capcană: produsul $1 \cdot (- 5)$ se adună în loc să se scadă, $- 6 + (- 5) = - 11$ ; sau diagonalele se amestecă: $3 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) = - 7$ .)

b) (5 p) Se înmulțește linie cu coloană; de exemplu, elementul din colțul stânga sus este $3 \cdot 2 + 1 \cdot (- 5) = 1$ : $A \cdot B = (3 \cdot 2 + 1 \cdot (- 5) - 5 \cdot 2 + (- 2) (- 5) 3 \cdot 1 + 1 \cdot (- 3) - 5 \cdot 1 + (- 2) (- 3)) = (1001) = I_{2} (2 p) .$ Produsul în ordine inversă dă același rezultat, $B \cdot A = I_{2}$ , iar $2 A \cdot B - B \cdot A = 2 I_{2} - I_{2} = (2002) - (1001) = I_{2} (3 p) .$

(Matricele $A$ și $B$ sunt inverse una alteia, de aceea ambele produse sunt $I_{2}$ . Capcană: produsul se face element cu element, $(62516)$ ; sau se scrie $2 I_{2} + I_{2} = 3 I_{2}$ , cu semnul scăderii uitat.)

c) (5 p) Se calculează $A \cdot A$ și $x A$ , apoi diferența lor: $A \cdot A = (4 - 5 1 - 1), A \cdot A - x A = (4 - 3 x - 5 + 5 x 1 - x - 1 + 2 x) (3 p) .$ Egalitatea cu $I_{2}$ cere ca elementele de pe aceleași poziții să coincidă; $1 - x = 0$ dă $x = 1$ , valoare care verifică și celelalte trei elemente ( $4 - 3 = 1$ , $- 5 + 5 = 0$ , $- 1 + 2 = 1$ ): $x = 1 (2 p) .$

(Urma lui $A$ este $3 + (- 2) = 1$ , iar $det A = - 1$ ; de aceea $A \cdot A - A = I_{2}$ . Capcană: $A \cdot A$ se calculează ridicând elementele la pătrat, $(92514)$ ; sau $x$ se scade din fiecare element, nu se înmulțește cu matricea $A$ .)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x = 1$ și $y = 2$ în definiția legii: $1 * 2 = 2 (1 + 2 - 1) - 1 \cdot 2 (3 p) .$ $1 * 2 = 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 (2 p) .$

(Capcană: paranteza se ignoră și se scrie $2 \cdot 1 + 2 - 1 - 1 \cdot 2 = 1$ ; sau produsul $x y$ se adună, $2 \cdot 2 + 2 = 6$ .)

b) (5 p) Pentru $y = 2$ , parantezele se desfac și $x$ dispare: $x * 2 = 2 (x + 2 - 1) - 2 x = 2 x + 2 - 2 x = 2 (2 p) .$ Pentru ordinea inversă, $x$ se pune pe a doua poziție: $2 * x = 2 (2 + x - 1) - 2 x = 2 x + 2 - 2 x = 2, deci x * 2 = 2 * x = 2 (3 p) .$

(Legea se scrie $x * y = 2 - (x - 2) (y - 2)$ , iar $x = 2$ sau $y = 2$ anulează produsul. Capcană: produsul $2 x$ se înlocuiește cu suma $2 + x$ și iese $2 (x + 1) - (2 + x) = x$ ; sau factorul $2$ se aplică doar primului termen din paranteză: $2 \cdot 2 + x - 1 - 2 x = 3 - x$ .)

c) (5 p) Se calculează $x * x$ și se așază ecuația cu toți termenii în același membru: $x * x = 2 (2 x - 1) - x^{2} = - x^{2} + 4 x - 2, - x^{2} + 4 x - 2 = x ⟺ x^{2} - 3 x + 2 = 0 (3 p) .$ Trinomul se descompune în $(x - 1) (x - 2)$ : $x \in {1, 2} (2 p) .$

(Probă: $1 * 1 = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ și $2 * 2 = 2 \cdot 3 - 4 = 2$ . Capcană: semnul lui $x y$ se schimbă, iar coeficientul lui $x$ din ecuația de gradul al doilea ar fi $+ 3$ , nu $- 3$ ; sau $x$ se mută în membrul stâng cu semnul greșit, iar acel coeficient ar fi $- 5$ .)

Exercițiul 9. (15 p) — limite și derivată.

a) (5 p) Funcția $f$ este continuă pe $R$ ca produs de funcții continue, așa că limita în $0$ se obține înlocuind $x = 0$ : $x \to 0 lim f (x) = x \to 0 lim (x - 1) e^{x} = (0 - 1) \cdot e^{0} (2 p) .$ $= - 1 \cdot 1 = - 1 (3 p) .$

(Capcană: pentru $e^{0}$ se ia valoarea $0$ , nu $1$ , și limita iese $0$ ; sau $e^{0}$ se confundă cu $e$ , iar limita iese $- e$ .)

b) (5 p) Se aplică regula derivării produsului, cu $(x - 1)^{'} = 1$ și $(e^{x})^{'} = e^{x}$ : $f^{'} (x) = 1 \cdot e^{x} + (x - 1) e^{x} (3 p) .$ Al doilea termen este chiar $f (x)$ , deci $f^{'} (x) = e^{x} + f (x) pentru orice num \overset{a}{˘} r real x (2 p) .$

(Capcană: se derivează factor cu factor, $(x - 1)^{'} \cdot (e^{x})^{'} = e^{x}$ ; sau al doilea termen se confundă cu $f^{'} (x) = x e^{x}$ , deși el este $(x - 1) e^{x}$ .)

c) (5 p) Din a), $f (0) = - 1$ , deci $f (x) + 1 = f (x) - f (0)$ și limita cerută este limita raportului incrementelor în $0$ : $x \to 0 lim \frac{f ( x ) + 1}{x} = x \to 0 lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} (2 p) .$ Aceasta este derivata în $0$ , iar din b), $f^{'} (0) = e^{0} + f (0) = 1 - 1$ : $= f^{'} (0) = 0 (3 p) .$

(Probă: $f^{'} (x) = x e^{x}$ se anulează în $x = 0$ . Capcană: se scrie $f (x) + f (0)$ în loc de $f (x) - f (0)$ ; atunci numărătorul tinde către $f (0) + f (0) = - 2$ , iar raportul nu are limită finită.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitivă.

a) (5 p) Pentru $3 x^{2}$ o primitivă este $x^{3}$ , fiindcă $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ : $\int_{1}^{2} 3 x^{2} d x = x^{3}_{1}^{2} (3 p) .$ $= 2^{3} - 1^{3} = 8 - 1 = 7 (2 p) .$

(Capcană: primitiva se alege $3 x^{3}$ , deși derivata ei este $9 x^{2}$ , nu $3 x^{2}$ ; sau se ia derivata în loc de primitivă, $6 x$ .)

b) (5 p) Primitivele lui $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ sunt funcțiile $F (x) = x^{3} + x^{2} + c, c \in R (3 p) .$ Condiția $F (1) = 2014$ înseamnă $1 + 1 + c = 2014$ , deci $c = 2012$ : $F (x) = x^{3} + x^{2} + 2012 (2 p) .$

(Probă: $F^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x = f (x)$ și $F (1) = 2 + 2012 = 2014$ . Capcană: pentru $2 x$ se scrie $2 x^{2}$ , iar derivata lui $2 x^{2}$ este $4 x$ , nu $2 x$ .)

c) (5 p) Pentru $x > 0$ fracția se simplifică, $\frac{f ( x )}{x} = 3 x + 2$ , deci $\int_{1}^{n} \frac{f ( x )}{x} d x = \int_{1}^{n} (3 x + 2) d x = (\frac{3 x ^{2}}{2} + 2 x)_{1}^{n} = (\frac{3 n ^{2}}{2} + 2 n) - \frac{7}{2} = \frac{3 n ^{2} + 4 n - 7}{2} (3 p) .$ Ecuația $\frac{3 n ^{2} + 4 n - 7}{2} = \frac{13}{2}$ dă $3 n^{2} + 4 n - 20 = 0$ , cu rădăcinile $- \frac{10}{3}$ și $2$ ; numărul $n$ este natural, deci $n = 2 (2 p) .$

(Probă: pentru $n = 2$ , $\frac{3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 - 7}{2} = \frac{13}{2}$ . Capcană: valoarea primitivei în $1$ se adună în loc să se scadă și se obține $\frac{3 n ^{2} + 4 n + 7}{2}$ ; sau se uită împărțirea la $2$ a primitivei lui $3 x$ .)

Pentru părinți și profesori

Aici stă lucrarea de matematică tehnologic (în actele oficiale, Matematică M_tehnologic; în școli se spune și „M3") din sesiunea specială a Bacalaureatului 2014, Varianta 9. Foaia oficială poartă antetul Ministerului Educației Naționale și al Centrului Național de Evaluare și Examinare și se adresează filierei tehnologice: profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale. Enunțurile sunt transcrise întocmai. Rezolvările, probele și ghidajul sunt scrise de noi; din documentul oficial de notare am păstrat numai împărțirea punctelor pe rânduri.

Locul în arhivă. Arhiva cuprinde probele M_tehnologic din 2013–2026, iar sesiunea specială din 27 mai 2014 ține de al doilea an al ei. Varianta 9 are forma cunoscută (șase cerințe scurte, apoi patru probleme cu câte trei subpuncte), iar baremul ei dă fiecărei cerințe și fiecărui subpunct câte două rânduri punctate, de 2 + 3 sau 3 + 2.

Subiect	Ce cuprinde	Puncte
I	șase cerințe independente: fracții, o funcție de gradul I, un radical, un procent, un triunghi în plan, două valori trigonometrice	$6 \times 5 = 30$
al II-lea	două matrice $2 \times 2$ (clasa a XI-a), apoi o lege de compoziție pe $R$ (clasa a XII-a)	$2 \times 15 = 30$
al III-lea	o funcție cu exponențială și limite, apoi o funcție de gradul al doilea și integrale	$2 \times 15 = 30$
din oficiu	puncte primite de toți candidații	$10$

Unde se află fiecare cerință în programa de examen. Harta folosește programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, anexa 2).

Cerința	Despre ce e vorba	Clasa la examen	De știut
1	scăderea a două fracții cu același numitor, apoi înmulțire cu $3$	a IX-a	—
2	valoarea unei funcții de gradul I, citită ca ecuație	a IX-a	—
3	ecuație cu radical de ordinul $2$ , cu verificare	a X-a	nota 1
4	baza unui procent, într-o problemă de profit	a X-a	nota 2
5	laturile unui triunghi din coordonate; teorema lui Pitagora reciprocă	a X-a	nota 3
6	pătratul tangentei pentru $6 0^{\circ}$ și $4 5^{\circ}$	a IX-a	—
7	matrice $2 \times 2$ : determinant, produs, ecuație matriceală	a XI-a	—
8	lege de compoziție: o valoare, un element care absoarbe, o ecuație	a XII-a	—
9	limite, derivata unui produs, limita ca derivată în $0$	a XI-a	nota 4
10	integrală de putere, primitivă cu condiție, ecuație cu limita de sus necunoscută	a XII-a	—

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Nota 1. Programa de examen cere ecuațiile cu radicali de ordinul $2$ la clasa a X-a. În noua programă școlară de la clasele a IX-a și a X-a ecuațiile se rezolvă pe grafic, iar ecuațiile cu radicali lipsesc din lista temelor; noua programă se aplică însă abia generațiilor care dau Bacalaureatul din 2030.
Nota 2. Calculul procentual și aplicațiile cu profit sunt trecute la clasa a X-a, în blocul „Matematici financiare" al programei de examen. În programa școlară nouă, procentul apare doar ca exemplu la progresii.
Nota 3. Distanța dintre două puncte din plan e trecută în programa de examen la clasa a X-a (geometria în reper cartezian); programa școlară nouă o predă încă din clasa a IX-a. Rezolvarea triunghiului dreptunghic stă, în programa de examen, la clasa a IX-a.
Nota 4. Derivata într-un punct și tangenta la o curbă sunt, în programa de examen, materie a clasei a XI-a; la 9.c) limita cerută este chiar derivata în $x = 0$ , scrisă ca limită a raportului incrementelor.

Ce are special varianta 9. La cerința 4 profitul de $100000$ de lei este $4%$ din venituri, deci veniturile sunt de $25$ de ori mai mari. Punctele $A$ , $B$ și $C$ de la cerința 5 așază două laturi pe direcțiile axelor, iar lungimile $3$ , $4$ și $5$ formează o terță pitagorică. La Subiectul al II-lea, matricele $A$ și $B$ sunt inverse una alteia, motiv pentru care $2 A \cdot B - B \cdot A$ se reduce la $I_{2}$ ; în plus, $A \cdot A - A = I_{2}$ , de unde rezultă $x = 1$ . Legea $x * y = 2 (x + y - 1) - x y$ se poate scrie $2 - (x - 2) (y - 2)$ , deci $2$ absoarbe orice număr; ecuația $x * x = x$ are rădăcinile $1$ și $2$ . La Subiectul al III-lea, derivata este $f^{'} (x) = x e^{x}$ , iar numitorul $x$ din ultima integrală se simplifică cu un factor al lui $f (x) = 3 x^{2} + 2 x$ .

Cum o lucrezi.

Ordinea. Subiectul I are 30 de puncte și poate lua o treime din cele 180 de minute, adică 60 de minute; restul timpului revine problemelor cu subpuncte. La fiecare cerință, scrie întâi formula folosită, apoi calculul.
Regulile baremului. Orice rezolvare corectă, chiar dacă nu urmează calea din barem, primește punctajul rândurilor corespunzătoare; punctele nu se fracționează; nota se obține împărțind totalul la 10, iar oficiul de 10 puncte se adaugă tuturor lucrărilor. Nota 7 înseamnă 70 de puncte, adică 60 din cele 90 ale cerințelor.
Greșeli de redactare de evitat: la 3, soluția păstrată fără a fi înlocuită în ecuația cu radical; la 4, procentul calculat din profit în loc de venituri; la 5, concluzia „triunghi dreptunghic" fără egalitatea $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ ; la 7.c), matricea $x A$ scrisă cu $x$ doar pe prima linie; la 8.c), păstrarea unei singure rădăcini; la 10.c), soluția negativă $- \frac{10}{3}$ lăsată, deși $n$ este număr natural.
După corectare: o cerință ratată te trimite, prin tabelul de mai sus, la clasa și la tema ei.

Formulele folosite în varianta 9

Subiectul I. $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}$ ; $u = v$ , cu $v \geq 0$ , atrage $u = v^{2}$ ; $p %$ din $S$ este $\frac{p}{100} \cdot S$ ; $A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}$ ; $tg 4 5^{\circ} = 1$ și $tg 6 0^{\circ} = 3$ .
Subiectul al II-lea. $det (p r q s) = p s - q r$ ; produsul $P \cdot Q$ se face linie cu coloană; dacă $P \cdot Q = Q \cdot P = I_{2}$ , matricele $P$ și $Q$ sunt inverse una alteia.
Subiectul al III-lea. $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ și $(e^{x})^{'} = e^{x}$ ; $f^{'} (a) = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ ; o primitivă a puterii $x^{k}$ , cu $k \neq = - 1$ , se obține mărind exponentul cu $1$ și împărțind la exponentul nou.

Despre litere. În cele trei probleme cu funcții, $f$ are de fiecare dată alt înțeles: $x - 4$ la cerința 2, $(x - 1) e^{x}$ la cerința 9, $3 x^{2} + 2 x$ la cerința 10 (unde apare și primitiva $F$ ). Litera $x$ este necunoscută la cerințele 3, 4, 7.c) și 8.c) și număr real oarecare la 8.b) și 9.b); $m$ este numărul cerut la cerința 2, iar $n$ , limita de sus necunoscută de la 10.c). Literele $A$ , $B$ și $C$ sunt puncte la cerința 5, iar $A$ și $B$ sunt matrice la cerința 7.

Titlurile de mai jos numerotează cerințele de la 1 la 10 („Exercițiul 1” … „Exercițiul 10”). Foaia oficială nu folosește cuvântul „item”, iar numerele 7–10 sunt ale noastre: cerințele 7 și 8 sunt acolo problemele 1 și 2 din Subiectul al II-lea, iar 9 și 10, cele din Subiectul al III-lea. În text, aceeași unitate se numește „cerința”.