Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2026 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(3+\frac{3}{5}\right):4+\frac{1}{10}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+6$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(1)+f(a)=2f(0)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{4x-x^2}=\sqrt{3x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{0,1,2,\dots ,26\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie pătratul unui număr natural.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(3,0)$ și $C(4,7)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2\sin 60^{\circ }+\sqrt{3}\sin 30^{\circ }-3\cos 30^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}2a& a\\ a& a-2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(4))=0$.

b) (5 puncte) Arătați că $M(1)\cdot M(1)-M(1)=3I_2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că numărul $N=\det \left(M(n)-3(M(1){)}^{-1}\right)$ este natural impar, pentru orice număr natural nenul $n$, unde $(M(1){)}^{-1}$ este inversa matricei $M(1)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-3x-3y+12$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 5=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$".

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $(a-x)\ast (a-x)=(a+x)\ast (a+x)$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2-3}{x^3}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{9-x^2}{x^4}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $9f(2x)-f(x)\le 4$, pentru orice $x\in [1,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2+\frac{2}{\sqrt{x+3}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^4\left(f(x)-\frac{2}{\sqrt{x+3}}\right)dx=16$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^6\left(f(x)-x-2\right)dx=4$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)dx=\ln \left(2e^a\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, un subpunct valorează 5 p, în două rânduri. Valorile din paranteze sunt cele ale rândurilor din baremul oficial al simulării 2026; rezolvările, observațiile și probele de sub ele ne aparțin.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții și împărțire.

Se începe cu paranteza, apoi se împarte la $4$. Cu numitorul $5$, $3=\frac{15}{5}$; împărțirea la $4$ înseamnă înmulțire cu $\frac{1}{4}$: $$3+\frac{3}{5}=\frac{18}{5},\frac{18}{5}:4=\frac{18}{5}\cdot \frac{1}{4}=\frac{9}{10}\text{(3 p)}.$$ Rămâne suma $$\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: toată expresia cu numitorul $20$: $\frac{18}{20}+\frac{2}{20}=\frac{20}{20}$. Capcană: $3+\frac{3}{5}$ se citește ca $\frac{3+3}{5}=\frac{6}{5}$; atunci împărțirea la $4$ dă $\frac{3}{10}$, iar suma iese $\frac{4}{10}$, nu $1$. Altă greșeală: împărțirea la $4$ se face ca înmulțire cu $4$ și iese $\frac{72}{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții.

Se calculează cele trei valori necesare: $$f(0)=6,f(1)=3\cdot 1+6=9,f(a)=3a+6,\text{ pentru orice numa˘r real }a\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $f(1)+f(a)=2f(0)$ devine $9+3a+6=12$, adică $3a+15=12$ și $3a=-3$, deci $$\mathbf{a}=-1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(1)+f(-1)=9+3=12=2\cdot 6$. Capcană: $f(1)$ se ia $3$, fără termenul liber, iar $f(0)$ și $f(a)$ rămân corecte; atunci $3+3a+6=12$ dă $a=1$, dar $f(1)+f(1)=18\ne 12$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radicali.

Cei doi radicali sunt egali când radicanzii sunt egali. Radicalul din dreapta cere $3x\ge 0$; dacă radicanzii coincid, atunci și $4x-x^2\ge 0$, deci nu mai e nevoie de altă condiție de existență. Din $$4x-x^2=3x\text{rezulta˘}{x}^2-x=0\text{(2 p)}.$$ Factorul comun: $x(x-1)=0$, deci $x=0$ sau $x=1$. Ambele valori convin: pentru $x=0$ cei doi radicali sunt $\sqrt{0}$, iar pentru $x=1$ sunt amândoi $\sqrt{3}$. Soluțiile sunt $$\mathbf{x}\in \{0,1\}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: din $x^2-x=0$ se simplifică prin $x$ și rămâne $x-1=0$; se pierde soluția $x=0$, fiindcă s-a împărțit la un număr care poate fi zero.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A=\{0,1,\dots ,26\}$ începe de la $0$, deci are $26-0+1=27$ de elemente: $27$ de cazuri posibile (2 p).

Pătratele numerelor naturale de la $0$ la $5$ sunt $0$, $1$, $4$, $9$, $16$ și $25$ și toate se află în $A$; următorul pătrat, $36$, depășește $26$. Sunt $6$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se uită $0$, care este pătratul lui $0$ și face parte din $A$; atunci iese $\frac{5}{26}$, pe o mulțime numărată tot fără $0$. Altă greșeală: $A$ se crede că are $26$ de elemente.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanțe și triunghi dreptunghic isoscel.

Din $A(0,4)$: $$AB=\sqrt{(3-0{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5,AC=\sqrt{(4-0{)}^2+(7-4{)}^2}=\sqrt{16+9}=5,$$ deci $\mathbf{AB}=\mathbf{AC}=5$ (2 p).

Latura rămasă: $BC=\sqrt{(4-3{)}^2+(7-0{)}^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}$, iar $B{C}^2=50=25+25=A{B}^2+A{C}^2$. Reciproca teoremei lui Pitagora dă unghiul drept în $A$; împreună cu $AB=AC$, triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel (3 p).

(Probă: laturile $5$, $5$, $\sqrt{50}$ verifică $5^2+5^2={\left(\sqrt{50}\right)}^2$. Capcană: se arată doar $AB=AC$, care dă un triunghi isoscel, dar nu și unghiul drept; sau $BC$ se calculează cu $A$ în loc de $B$, și iese $\sqrt{(4-0{)}^2+(7-4{)}^2}=5$, adică tot $AC$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute ale unghiurilor de $30^{\circ }$ și $60^{\circ }$ sunt $$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuind, $$2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}-3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}-3\sqrt{3}}{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Observație: $\sqrt{3}$ se scoate factor comun, iar parantezele rămase dau $2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0$. Capcană: $\cos 30^{\circ }$ se ia $\frac{1}{2}$; atunci suma este $\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$, care nu e $0$, fiindcă $3\sqrt{3}\ne 3$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=4$ avem $2a=8$ și $a-2=2$: $$M(4)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 2\end{array}\right),\det (M(4))=8\cdot 2-4\cdot 4\text{(3 p)}.$$ $$\det (M(4))=16-16=0\text{(2 p)}.$$

(A doua linie este jumătate din prima, deci determinantul se anulează. Capcană: produsele se adună, $16+16=32$.)

b) (5 p) Se calculează $M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, apoi, rând cu coloană, $$M(1)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se scade $M(1)$ element cu element: $$M(1)\cdot M(1)-M(1)=\left(\begin{array}{cc}5-2& 1-1\\ 1-1& 2-(-1)\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=3{\mathbf{I}}_2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: elementul din dreapta jos al produsului se scrie $0$, din $1\cdot 1+(-1)(-1)$ socotit greșit ca $1-1$; atunci diferența ar avea $0-(-1)=1$ în acel loc, iar rezultatul nu mai e $3I_2$. Altă greșeală: produsul se face element cu element, $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Determinantul $\det M(1)=2\cdot (-1)-1\cdot 1=-3$ este nenul, deci există inversa $$(M(1){)}^{-1}=\frac{1}{-3}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 2\end{array}\right),\text{deci}$$ $$3(M(1){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right).$$ Atunci $$M(n)-3(M(1){)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2n-1& n-1\\ n-1& n\end{array}\right),N=(2n-1)n-(n-1{)}^2={\mathbf{n}}^2+\mathbf{n}-1\text{(3 p)}.$$ Scris altfel, $N=n(n+1)-1$. Numerele $n$ și $n+1$ sunt consecutive, deci unul dintre ele este par, iar produsul $n(n+1)$ este par; un număr par minus $1$ este impar. Pentru $n\ge 1$ avem $n(n+1)\ge 2$, deci $N\ge 1$ este natural. Așadar $N$ este natural impar (2 p).

(Probă: pentru $n=1$, matricea este $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu determinantul $1=1^2+1-1$; pentru $n=2$, $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $5=2^2+2-1$. Capcană: se uită factorul $3$ și se scade $(M(1){)}^{-1}$ însăși; apar fracții, iar pentru $n=1$ determinantul iese $-1$, care nu e natural.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=5$: $$2\ast 5=2\cdot 5-3\cdot 2-3\cdot 5+12\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 5=10-6-15+12=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: legea se scrie $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, deci $2\ast 5=(-1)\cdot 2+3=1$. Capcană: se scrie $-12$ în loc de $+12$ și iese $-23$.)

b) (5 p) Pentru orice număr real $x$, $$x\ast 4=4x-3x-12+12=x\text{(2 p)}.$$ Legea este comutativă, fiindcă $xy$ și $-3x-3y$ nu depind de ordinea lui $x$ și $y$; deci și $4\ast x=x$, pentru orice $x$. Un element care lasă pe loc orice $x$, atât la stânga cât și la dreapta, este element neutru: $\mathbf{e}=4$ (3 p).

(Cu scrierea $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$: $x\ast 4=(x-3)\cdot 1+3=x$. Capcană: se verifică doar $x\ast 4=x$ și se lasă neverificat celălalt sens; la o lege necomutativă, ar fi insuficient.)

c) (5 p) Cu $x=y=u$ în definiție, $$u\ast u=u^2-6u+12,\text{ pentru orice }u\text{(2 p)}.$$ Pentru $u=a-x$ și $u=a+x$, egalitatea cerută devine $$(a-x{)}^2-6(a-x)+12=(a+x{)}^2-6(a+x)+12.$$ Termenii $a^2$, $x^2$, $-6a$ și $12$ se reduc, iar rămâne $-4ax+12x=0$, adică $4x(3-a)=0$. Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice $x$, deci și pentru $x=1$, ceea ce dă $3-a=0$: $$\mathbf{a}=3\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $a=3$, ambele părți sunt $x^2+3$: $(3-x{)}^2-6(3-x)+12=x^2+3$ și $(3+x{)}^2-6(3+x)+12=x^2+3$. Altă cale: $u\ast u=(u-3{)}^2+3$, deci egalitatea cere $(a-x-3{)}^2=(a+x-3{)}^2$; cele două pătrate sunt egale pentru orice $x$ doar dacă $a-3=0$. Capcană: se alege o singură valoare a lui $x$, de exemplu $x=0$, pentru care egalitatea e adevărată oricare ar fi $a$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate.

a) (5 p) Pe $(0,+\infty )$, funcția se desface în doi termeni: $f(x)=\frac{x^2}{x^3}-\frac{3}{x^3}=\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}$. Derivata unei puteri se obține coborând exponentul ca factor și scăzând $1$ din el; astfel, termen cu termen, $$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{9}{x^4}\text{(3 p)}.$$ Cu numitorul comun $x^4$, $-\frac{x^2}{x^4}+\frac{9}{x^4}$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{9-x^2}{x^4},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot x^3-\left(x^2-3\right)\cdot 3x^2}{x^6}=\frac{x^2(9-x^2)}{x^6}$. Capcană: derivata lui $\frac{1}{x}$ se scrie $\frac{1}{x^2}$, fără minus; atunci iese $\frac{1}{x^2}+\frac{9}{x^4}$.)

b) (5 p) Valorile în $x=1$: $f(1)=\frac{1-3}{1}=-2$ și $f^{\prime }(1)=\frac{9-1}{1}=8$ (2 p). Ecuația tangentei, $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, devine $y+2=8(x-1)$, deci $$\mathbf{y}=8x-10\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta trece prin punctul $(1,-2)$ al graficului, fiindcă $8\cdot 1-10=-2$, și are panta $8$. Capcană: se scrie $y-2=8(x-1)$, cu $f(1)=2$ în loc de $-2$, și iese $y=8x-6$.)

c) (5 p) Pe $(0,+\infty )$, numitorul $x^4$ și factorul $3+x$ sunt pozitivi, deci $f^{\prime }(x)=\frac{(3-x)(3+x)}{x^4}$ are semnul lui $3-x$: pozitivă înainte de $3$, negativă după. Rezultă că $f$ este crescătoare pe $(0,3]$ și descrescătoare pe $[3,+\infty )$, cu maximul global $f(3)=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$ (2 p).

Fie $x\in [1,2]$. Cum $x\in (0,3]$ și $f$ crește acolo, $f(x)\ge f(1)=-2$. Iar $f(2x)\le f(3)=\frac{2}{9}$, fiindcă $\frac{2}{9}$ este maximul lui $f$ pe tot domeniul. Atunci $$9f(2x)-f(x)\le 9\cdot \frac{2}{9}-(-2)=2+2=4\text{(3 p)}.$$

(Inegalitatea este strictă pe $[1,2]$: $f(2x)=\frac{2}{9}$ cere $x=\frac{3}{2}$, iar $f(x)=-2$ cere $x=1$, deci cele două majorări nu se ating în același punct. Capcană: se pune $f(x)\le f(1)$ în loc de $\ge$; atunci termenul $-f(x)$ nu mai are o majorare.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical.

a) (5 p) Radicalul se reduce: $f(x)-\frac{2}{\sqrt{x+3}}=x+2$. Atunci $${\int }_0^4\left(f(x)-\frac{2}{\sqrt{x+3}}\right)dx=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right){|}_0^4\text{(3 p)}.$$ $$=8+8=16\text{(2 p)}.$$

(Capcană: la primitivarea constantei $2$ se scrie $2$, în loc de $2x$; atunci valoarea iese $8$.)

b) (5 p) Acum $f(x)-x-2=\frac{2}{\sqrt{x+3}}$. Derivând radicalul $\sqrt{x+3}$ se obține jumătate din inversul lui, deci o primitivă a lui $\frac{2}{\sqrt{x+3}}$ este $4\sqrt{x+3}$: $${\int }_1^6\frac{2}{\sqrt{x+3}}dx=4\sqrt{x+3}{|}_1^6\text{(3 p)}.$$ $$=4\sqrt{9}-4\sqrt{4}=12-8=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se ia drept primitivă o expresie cu factorul $2$ în loc de $4$ în fața radicalului, și rezultatul iese $2$, jumătate din cel corect.)

c) (5 p) Pe $[-2,1]$ avem $x+2\ge 0$ și $\frac{2}{\sqrt{x+3}}>0$, deci $f(x)>0$: împărțirea la $f$ și logaritmul lui $f$ au sens. Integrandul este $f^{\prime }(x)+\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$, adică derivata sumei $f(x)+\ln f(x)$: $${\int }_{-2}^1{f}^{\prime }(x)\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)dx=(f(x)+\ln f(x)){|}_{-2}^1\text{(3 p)}.$$ Cu $f(1)=1+2+\frac{2}{2}=4$ și $f(-2)=0+\frac{2}{1}=2$, valoarea este $(4+\ln 4)-(2+\ln 2)=2+\ln 2$. Cum $\ln \left(2e^a\right)=\ln 2+a$, ecuația $2+\ln 2=\ln 2+a$ dă $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\left(f+\ln f\right)}^{\prime }=f^{\prime }+\frac{f^{\prime }}{f}$, exact integrandul. Capcană: limitele se scad invers, jos minus sus, și iese $-2-\ln 2$; sau se uită partea $\int f^{\prime }dx=f$ și rămâne doar $\ln 2$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina conține subiectul de simulare la matematică pentru Bacalaureatul tehnologic 2026 și baremul lui. Antetul PDF-urilor oficiale poartă numele Ministerului Educației și Cercetării și pe cel al Centrului Național pentru Curriculum și Evaluare; lucrarea are titlul Proba E. c) — Matematică M_tehnologic și mențiunea „Simulare"; pe acest site o numim și M3. Subiectul se adresează elevilor din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic, toate calificările profesionale). Enunțurile din secțiunea „Itemi" sunt cele din PDF; rezolvările, observațiile și ghidajul sunt ale noastre, iar rândurile punctate ale baremului se regăsesc în pagină cu aceleași valori.

Cum e împărțită lucrarea. Șase cerințe scurte deschid lucrarea, apoi urmează patru probleme cu câte trei subpuncte. Antetul cere să rezolvi toate subiectele (sunt obligatorii), lasă trei ore de lucru efectiv și dă din oficiu zece puncte.

Cerințele pe scurt. Coloana „Clasa" indică locul subiectului în programa de examen.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Cerința 1 se sprijină pe calculul cu fracții și pe împărțire, adică pe operațiile cu numere reale din programa de examen a clasei a IX-a. Anexa 3 a programei școlare noi nu le tratează într-o unitate proprie; le acoperă „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Cerința 3 îmbină două lucruri cerute la examen: ecuația cu radicali (clasa a X-a) și rezolvarea algebrică a ecuației de gradul II (clasa a IX-a). Programa școlară nouă tratează ecuațiile doar pe grafic sau cu instrumente digitale; metoda se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice" și în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
• Nota 3. Pentru cerința 5, reperul cartezian și distanța dintre două puncte aparțin clasei a X-a în programa de examen, dar clasei a IX-a în programa școlară nouă. Nu e o greșeală a paginii: cele două programe împart materia altfel.
• Nota 4. Radicalul din numitorul de la cerința 10 cere calcul cu puteri cu exponent rațional, element al programei de examen din clasa a X-a. Sugestiile metodologice ale programei noi introduc puterile cu exponent real doar intuitiv, fără calcul algebric. Vezi „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".

Ce are simularea aceasta. Cerința 3 ascunde o capcană de simplificare: ecuația $x^2-x=0$ are două rădăcini, iar împărțirea la $x$ o pierde pe una. Cerința 5 cere mai mult decât un triunghi isoscel: trebuie arătat și unghiul drept. La Subiectul al II-lea, matricea $M(1)$ verifică ea însăși relația de la b), iar legea de la a doua problemă se rescrie ca $(x-3)(y-3)+3$, de unde elementul neutru și ecuația de la c) apar aproape de la sine. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}$ are un maxim global pe $(0,+\infty )$, folosit la 9.c); la 10.c) integrandul este derivata unei sume, $f+\ln f$.

Cum lucrezi simularea.

• Condiții de examen. Pornește un ceas de trei ore, deschide doar enunțurile din secțiunea „Itemi" și scrie pe foaie. Baremul se deschide abia la sfârșit.
• Ordinea. Subiectul I are cerințe independente și nu cere vreo ordine anume; la problemele de $15$ puncte, a), b) și c) au câte $5$ puncte și se pot lua separat. Aici, de pildă, 9.c) se sprijină pe derivata de la 9.a), dar 8.a), 8.b) și 8.c) nu depind unul de altul.
• Regulile baremului. Antetul baremului spune că o rezolvare corectă diferită de cea din barem este punctată la fel și că punctele sunt întregi, cu posibilitatea punctajelor intermediare pentru rezolvări parțiale. Nota finală este punctajul împărțit la zece.
• Cum corectezi. Treci pentru fiecare subpunct punctele pe care le-ai obținut pe rânduri, nu doar totalul de $5$. Un subpunct de $5$ puncte are două rânduri, cu valorile $2+3$ sau $3+2$; la ghidaj, aceeași împărțire se vede pas cu pas.
• Locuri unde se rupe redactarea. La cerința 3, soluția $x=0$ trebuie păstrată și verificată. La 7.c), ordinea operațiilor din determinant. La 8.c), egalitatea trebuie să fie valabilă pentru orice $x$, nu doar pentru un $x$. La 10.c), motivarea că $f$ este pozitivă pe intervalul de integrare, altfel $\ln f$ nu are sens.

Punctajul pe subiecte. Fiecare subiect are $30$ de puncte. Un reper al nostru, nu unul oficial: sub $15$ puncte la un subiect, teoria cere o reluare; între $15$ și $24$ de puncte, ideile sunt bune, dar calculul se pierde pe drum; peste $24$ de puncte, rămân de limpezit doar rânduri izolate. Oficiul adaugă zece puncte la total: pentru nota $5$ ai nevoie de $40$ de puncte din cele $90$ ale cerințelor.

Formulele din simulare.

• Subiectul I. Cu numitor comun se adună și se scad fracții; împărțirea la un număr este înmulțirea cu inversul lui; un radical e definit doar pentru expresii nenegative, iar doi radicali sunt egali când radicanzii sunt egali; distanța dintre două puncte se obține din teorema lui Pitagora, aplicată diferențelor de coordonate; o egalitate $a^2+b^2=c^2$ între pătratele laturilor arată un unghi drept; $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. Inversa matricei $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, când determinantul $d=ps-qr$ nu e zero, este $\frac{1}{d}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; elementul neutru $e$ al unei legi cere $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$.
• Subiectul al III-lea. Ecuația tangentei în punctul de abscisă $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; derivata lui $\ln f$ este $\frac{f^{\prime }}{f}$; derivata radicalului dintr-o expresie $u$ este $\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$.

Despre litere. Funcția $f$ nu este aceeași peste tot: la cerința 2 este $f(x)=3x+6$, la cerința 9 este $f(x)=\frac{x^2-3}{x^3}$, iar la cerința 10 este $f(x)=x+2+\frac{2}{\sqrt{x+3}}$. Litera $A$ este o mulțime la cerința 4 și un punct la cerința 5. Litera $e$ este elementul neutru la 8.b), iar la 10.c) este numărul lui Euler din $2e^a$. Litera $a$ este necunoscută la cerințele 2, 8.c) și 10.c) și parametru la cerința 7. Litera $N$ de la 7.c) este un număr, nu o matrice.

„Itemul" din titlurile de mai jos înseamnă „cerința" în limba baremului; în clasă folosim cuvântul „cerința".