Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2019 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2019 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $6\sqrt{3}+2\left(1-\sqrt{27}\right)=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$. Calculați $f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(20x-6)={\log }_{5}14$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10\%$, un obiect costă $440$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,4)$, $B(0,6)$ și $C(6,0)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\frac{\cos 30^{\circ }}{1+\sin 30^{\circ }}=\mathrm{tg}30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $M=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -6& -9\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a+1& a+2\\ a-2& a+1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det M=21$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(-a)+A(a)=2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $A(a)\cdot A(b)=M$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=2(x+y)-\frac{xy}{2}$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ (-2)=2$.

b) (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $n\circ \frac{1}{n}=\frac{9}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $y$ astfel încât $x\circ y=8$, pentru orice număr real $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(2-x)(2+x)}{{\left(x^2+4\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-1,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2}x(x+1)\left(f(x)+\frac{1}{x+2}\right)dx=2$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}xf(x)dx=\ln \frac{9}{8}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $p$, știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $\ln \left(p^2+\frac{1}{3}\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, subpunctele valorează câte 5 p, iar fiecare e împărțit pe două rânduri. Împărțirea pe rânduri vine din documentul oficial pentru august 2019, varianta de rezervă (Varianta 1); soluțiile, probele și observațiile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Numărul $27$ se scrie $9\cdot 3$, iar $9$ este pătrat perfect, deci $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ și paranteza devine $1-3\sqrt{3}$: $$6\sqrt{3}+2\left(1-\sqrt{27}\right)=6\sqrt{3}+2\left(1-3\sqrt{3}\right)\text{(3 p)}.$$ Factorul $2$ se distribuie la ambii termeni din paranteză, iar $6\sqrt{3}$ cu semn contrar se reduc: $$6\sqrt{3}+2-6\sqrt{3}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: termenul $2\cdot 3\sqrt{3}$ este chiar $6\sqrt{3}$, cel care se reduce cu primul. Capcană: dacă $2$ înmulțește doar pe $1$, rămâne $6\sqrt{3}+2-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}+2$, un număr diferit de $2$.)

Exercițiul 2. (5 p) — produsul a trei valori ale unei funcții.

Se înlocuiește $x=2$ în $f(x)=x^2-4$: $$f(2)=2^2-4=0\text{(3 p)}.$$ Dacă un factor este nul, tot produsul este nul; celelalte valori sunt $f(0)=-4$ și $f(1)=-3$: $$f(0)\cdot f(1)\cdot f(2)=(-4)\cdot (-3)\cdot 0=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(x)=(x-2)(x+2)$ se anulează în $2$, deci produsul se anulează fără alt calcul. Capcană: dacă factorul $f(2)$ se uită, produsul celorlalți doi este $(-4)\cdot (-3)=12$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_5$ ia fiecare valoare o singură dată, deci doi logaritmi egali, în aceeași bază, au argumente egale: $$20x-6=14\text{(3 p)}.$$ Rezultă $20x=20$, deci $x=1$. Argumentul logaritmului din stânga trebuie să fie pozitiv, iar $20\cdot 1-6=14>0$; așadar $\mathbf{x}=1$ convine (2 p).

(Probă: pentru $x=1$ egalitatea devine ${\log }_{5}14={\log }_{5}14$. Condiția de existență $20x-6>0$ înseamnă $x>\frac{3}{10}$, iar $1>\frac{3}{10}$. Capcană: dacă $6$ trece în membrul drept cu semnul greșit, se scrie $20x=14-6=8$ și iese $x=\frac{2}{5}$, pentru care $20\cdot \frac{2}{5}-6=2\ne 14$.)

Exercițiul 4. (5 p) — prețul inițial.

Fie $x$ prețul inițial. O scumpire cu $10\%$ adaugă $\frac{10}{100}x$ la preț, deci prețul nou este $110\%$ din $x$: $$x+\frac{10}{100}x=\frac{110}{100}x=440\text{(3 p)}.$$ Se împarte $440$ la $\frac{110}{100}$: $$x=440\cdot \frac{100}{110}=400\text{lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $10\%$ din $400$ este $40$, iar $400+40=440$. Capcană: procentul se ia din prețul final, $10\%$ din $440$ este $44$, iar $440-44=396\ne 400$; scumpirea se calculează din prețul inițial.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța până la mijlocul unui segment.

Mijlocul $P$ al segmentului $BC$ are coordonatele semisumelor, cu $B(0,6)$ și $C(6,0)$: $$P\left(\frac{0+6}{2},\frac{6+0}{2}\right)=P(3,3)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la $A(3,4)$ la $P(3,3)$ este $$AP=\sqrt{(3-3{)}^2+(3-4{)}^2}=\sqrt{0+1}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: punctele $A$ și $P$ au aceeași abscisă, $3$, deci segmentul $AP$ este vertical și lungimea lui este $4-3=1$. Capcană: dacă împărțirea la $2$ se uită, se obține punctul $(6,6)$, aflat la distanța $\sqrt{(6-3{)}^2+(6-4{)}^2}=\sqrt{13}$ de $A$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o valoare trigonometrică.

Se scriu valorile unghiului de $30^{\circ }$: $$\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}\text{(3 p)}.$$ Numitorul este $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, iar împărțirea la o fracție înseamnă înmulțirea cu inversa ei: $$\frac{\cos 30^{\circ }}{1+\sin 30^{\circ }}=\frac{\sqrt{3}/2}{3/2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\mathrm{tg}30^{\circ }\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\mathrm{tg}30^{\circ }=\frac{\sin 30^{\circ }}{\cos 30^{\circ }}=\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Capcană: dacă $1$ de la numitor se uită, câtul $\frac{\sqrt{3}/2}{1/2}=\sqrt{3}$ este $\mathrm{tg}60^{\circ }$, nu $\mathrm{tg}30^{\circ }$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Determinantul se formează din produsul diagonalei principale minus produsul celeilalte diagonale: $$\det M=(-1)\cdot (-9)-2\cdot (-6)\text{(3 p)}.$$ $$\det M=9+12=21\text{(2 p)}.$$

(Capcană: dacă semnul produsului $2\cdot (-6)=-12$ se pierde, rămâne $9-12=-3$, un număr care nu este $21$.)

b) (5 p) Pentru $A(-a)$, litera $a$ se înlocuiește peste tot cu $-a$; apoi se adună cu $A(a)$ element cu element: $$A(-a)+A(a)=\left(\begin{array}{cc}-a+1& -a+2\\ -a-2& -a+1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}a+1& a+2\\ a-2& a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -4& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $2$; matricea rămasă este chiar $A(0)$, adică $A(a)$ pentru $a=0$: $$\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -4& 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)=2A(0)\text{(2 p)}.$$

(Probă pentru $a=1$: $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 0\end{array}\right)$ și $A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$ au suma $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -4& 2\end{array}\right)$. Capcană: dacă $A(-a)$ se ia drept $-A(a)$, suma ar fi matricea nulă $O_2$, dar $2A(0)\ne O_2$.)

c) (5 p) Se înmulțește linie cu coloană și se egalează cu $M$ elementele de pe aceleași poziții: $$A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}2ab-a+3b-3& 2ab+3a+3b+4\\ 2ab-a-b-4& 2ab+3a-b-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -6& -9\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Scăzând ecuația primului element din cea a celui de-al doilea element de pe prima linie, $2ab$ și $3b$ dispar: $4a+7=3$, deci $a=-1$. Scăzând apoi ecuația elementului din stânga jos din cea a elementului din stânga sus, $4b+1=5$, deci $b=1$; și ultimul element se verifică: $$\mathbf{a}=-1,\mathbf{b}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A(-1)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -6& -9\end{array}\right)=M$. Capcană: produsul se scrie element cu element, iar în stânga sus apare $(a+1)(b+1)$, care pentru $a=-1$ și $b=1$ dă $0$, nu $-1$; matricele se înmulțesc linie cu coloană.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=-2$ în definiția legii: $$2\circ (-2)=2\left(2+(-2)\right)-\frac{2\cdot (-2)}{2}\text{(3 p)}.$$ Prima parte este $2\cdot 0=0$, iar a doua este $-\frac{-4}{2}=2$: $$2\circ (-2)=0+2=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: legea este simetrică, iar $(-2)\circ 2=2\left(-2+2\right)-\frac{(-2)\cdot 2}{2}=2$. Capcană: dacă produsul $-4$ se scrie $4$, iese $0-\frac{4}{2}=-2$, nu $2$.)

b) (5 p) Produsul $n\cdot \frac{1}{n}$ este $1$, deci $$n\circ \frac{1}{n}=2\left(n+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{2},\text{iar ecuația }2\left(n+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}\text{ da˘ }n+\frac{1}{n}=\frac{5}{2}\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește cu $2n$ și rezultă $2n^2-5n+2=0$, cu soluțiile $n=2$ și $n=\frac{1}{2}$. Numărul $n$ este natural nenul, așa că $\mathbf{n}=2$ (2 p).

(Probă: $2\circ \frac{1}{2}=2\cdot \frac{5}{2}-\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$. Capcană: $n=\frac{1}{2}$ verifică și el ecuația, fiindcă legea este simetrică, dar nu este număr natural.)

c) (5 p) Se grupează termenii după $x$: $$x\circ y=2x+2y-\frac{xy}{2}=\left(2-\frac{y}{2}\right)x+2y\text{(3 p)}.$$ Expresia este de gradul întâi în $x$; ea este egală cu $8$ pentru orice $x$ doar dacă $x$ are coeficientul $0$, adică $2-\frac{y}{2}=0$, deci $y=4$, iar atunci termenul liber $2y=8$ se potrivește: $$\mathbf{y}=4\text{(2 p)}.$$

(Probă: $0\circ 4=8$, $1\circ 4=2\cdot 5-2=8$ și $10\circ 4=2\cdot 14-20=8$. Observație: valoarea $x=0$ dă $0\circ y=2y=8$, deci $y=4$ este singura valoare posibilă, iar cele de mai sus arată că aceasta merge pentru orice $x$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui cât, asimptotă, mulțimea valorilor.

a) (5 p) Se aplică derivata câtului, cu $u=x$, $u^{\prime }=1$, $v=x^2+4$ și $v^{\prime }=2x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^2+4\right)-x\cdot 2x}{{\left(x^2+4\right)}^2}=\frac{4-x^2}{{\left(x^2+4\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul $4-x^2$ este diferență de pătrate: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2-\mathbf{x})(2+\mathbf{x})}{{\left({\mathbf{x}}^2+4\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$, iar forma factorizată dă $\frac{2\cdot 2}{16}=\frac{1}{4}$. Capcană: derivata câtului nu este câtul derivatelor; $\frac{1}{2x}$ ar da $\frac{1}{2}$ la $x=1$, pe când $f^{\prime }(1)=\frac{(2-1)(2+1)}{25}=\frac{3}{25}$.)

b) (5 p) Se împarte numărătorul și numitorul la $x^2$, apoi $\frac{1}{x}$ și $\frac{4}{x^2}$ tind la $0$ când $x\to -\infty$: $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{x^2+4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{4}{x^2}}=\frac{0}{1+0}=0\text{(3 p)}.$$ Limita este finită și egală cu $0$, deci graficul lui $f$ are spre $-\infty$ o asimptotă orizontală, cu ecuația $$\mathbf{y}=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(-1000)=-\frac{1000}{1000004}$, în valoare absolută mai mică decât $\frac{1}{1000}$. Observație: și limita spre $+\infty$ este $0$, deci aceeași dreaptă este asimptotă și spre $+\infty$. Capcană: răspunsul cerut este ecuația dreptei, $y=0$, nu doar valoarea limitei.)

c) (5 p) Din forma lui $f^{\prime }$ rezultă semnul derivatei: numitorul este pozitiv, iar numărătorul $(2-x)(2+x)$ este negativ pentru $x<-2$ și pentru $x>2$, pozitiv pe $(-2,2)$. Deci $f$ descrește pe $(-\infty ,-2]$, crește pe $[-2,2]$ și descrește pe $[2,+\infty )$ (2 p).

Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, cu limita $0$ spre $-\infty$ și spre $+\infty$ și cu valorile $f(-2)=-\frac{1}{4}$, $f(2)=\frac{1}{4}$. Pe $(-\infty ,-2]$, funcția coboară de la $0$ (valoare neatinsă) până la $-\frac{1}{4}$; pe $[-2,2]$ urcă de la $-\frac{1}{4}$ la $\frac{1}{4}$, trecând prin $0$; pe $[2,+\infty )$ coboară de la $\frac{1}{4}$ spre $0$. Reunind valorile: $$\left[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]\text{(3 p)}.$$

(Altă cale, fără derivată: $y=\frac{x}{x^2+4}$ înseamnă $y{x}^2-x+4y=0$, care are soluție reală $x$ exact când $1-16y^2\ge 0$, adică $|y|\le \frac{1}{4}$. Capcană: intervalul scris deschis, $\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$, ar exclude valorile $f(-2)$ și $f(2)$, care sunt atinse.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu fracții.

a) (5 p) Funcția $f$ este diferența dintre $\frac{1}{x+1}$ și $\frac{1}{x+2}$, deci $f(x)+\frac{1}{x+2}=\frac{1}{x+1}$, iar pe $[0,2]$ factorul $x+1$ este nenul și se simplifică: $$x(x+1)\left(f(x)+\frac{1}{x+2}\right)=x(x+1)\cdot \frac{1}{x+1}=x\text{(2 p)}.$$ $${\int }_0^{2}xdx=\frac{x^2}{2}{|}_0^2=\frac{4}{2}-0=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\int }_0^{2}xdx$ este aria triunghiului cu catetele $2$ și $2$, adică $\frac{2\cdot 2}{2}=2$. Capcană: primitiva lui $x$ scrisă fără împărțirea la $2$, adică $x^2$, ar da $4$.)

b) (5 p) Se scoate câte un $1$ din fiecare fracție, ca să rămână numitori simpli: $$xf(x)=\frac{x}{x+1}-\frac{x}{x+2}=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)-\left(1-\frac{2}{x+2}\right)=-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x+2}\text{(2 p)}.$$ Primitivele sunt logaritmii numitorilor, care sunt pozitivi pe $[0,1]$: $${\int }_0^{1}xf(x)dx=(-\ln (x+1)+2\ln (x+2)){|}_0^1=(-\ln 2+2\ln 3)-2\ln 2=2\ln 3-3\ln 2=\ln \frac{9}{8}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2\ln 3=\ln 9$ și $3\ln 2=\ln 8$, iar $\ln \frac{9}{8}\approx 0,1178$ este pozitiv, ca integrala unei funcții pozitive pe $(0,1]$. Capcană: diferența logaritmilor este logaritmul câtului, nu al diferenței; $\ln 9-\ln 8=\ln \frac{9}{8}\ne \ln (9-8)=0$.)

c) (5 p) Pe domeniu, $f(x)=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ este pozitivă, așa că aria este chiar integrala lui $f$ pe $[0,1]$: $$\mathcal{S}={\int }_0^{1}f(x)dx=(\ln (x+1)-\ln (x+2)){|}_0^1=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3=\ln \frac{4}{3}\text{(3 p)}.$$ Ecuația $\ln \left(p^2+\frac{1}{3}\right)=\ln \frac{4}{3}$ dă $p^2+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$, deci $p^2=1$ și $p=\pm 1$; numărul $p$ este natural, așa că $$\mathbf{p}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\ln \left(1+\frac{1}{3}\right)=\ln \frac{4}{3}$. Capcană: dacă limitele se scad în ordine inversă, $F(0)-F(1)=\ln \frac{3}{4}<0$, adică o arie negativă, care nu poate fi.)

Pentru părinți și profesori

Aici găsești varianta 1 din sesiunea de rezervă a lunii august 2019, la matematică M_tehnologic (proba E.c): lucrarea elevilor din filiera tehnologică, adică din profilurile servicii, resurse și tehnic, la toate calificările profesionale. Deasupra titlului foii oficiale se află Ministerul Educației Naționale, iar sub el Centrul Național de Evaluare și Examinare. Cele zece cerințe sunt reproduse semn cu semn; rezolvările, probele, observațiile și ghidajul ne aparțin. Din documentul oficial de notare am preluat doar rândurile punctate, cu punctele și cu conținutul lor.

Structura lucrării. Toate cele trei subiecte au câte 30 de puncte; la ele se adaugă 10 puncte din oficiu. Fiecare subpunct din Subiectele II și III valorează 5 puncte și stă pe două rânduri punctate, la fel ca fiecare cerință din Subiectul I.

Cerințele și clasa lor din programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Programa de examen la clasa a X-a enumeră, în blocul de geometrie, coordonatele carteziene și distanța dintre puncte; mijlocul unui segment nu figurează în enumerare, deși cerința îl folosește, deci semisuma coordonatelor trebuie știută. Programa nouă (trunchi comun, clasele a IX-a și a X-a) are mijlocul segmentului în unitatea de geometrie analitică din clasa a IX-a, alături de distanță.
• Nota 2. Valorile funcțiilor trigonometrice la $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ țin în programa de examen de clasa a IX-a, la cercul trigonometric. Programa nouă pentru clasa a IX-a enumeră valorile pentru $0$, $\frac{\pi }{6}$, $\frac{\pi }{4}$, $\frac{\pi }{3}$ și mai departe pe cercul trigonometric; $\frac{\pi }{6}$ înseamnă $30^{\circ }$.
• Nota 3. Legea de compoziție internă intră în programa de examen la capitolul „Grupuri” din clasa a XII-a, împreună cu tabla operației.
• Nota 4. Programa de examen la clasa a XII-a cere calculul integralelor definite de forma ${\int }_a^b\frac{P(x)}{Q(x)}dx$ cu $Q$ de gradul cel mult $2$; la 10.b) fiecare dintre cele două fracții are numitor de gradul întâi.

Ce are special această variantă. La Subiectul I, $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ reduce tot termenul cu radical, prețul inițial este $400$ de lei, iar mijlocul segmentului $BC$ este punctul $(3,3)$, care are aceeași abscisă cu $A$. Elementele matricei $A(a)$ sunt toate de gradul întâi în $a$, de aceea la 7.b) termenii cu $a$ se anulează în suma $A(-a)+A(a)$. La Subiectul al II-lea, legea de compoziție este simetrică în $x$ și $y$, iar la 8.c) cu $y=4$ rezultatul $x\circ 4$ nu mai depinde de $x$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{x}{x^2+4}$ este impară, ceea ce explică mulțimea valorilor simetrică de la 9.c); funcția de la 10 se scrie ca un singur cât, $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$, pozitiv pe tot domeniul.

Ritmul de lucru. Timpul efectiv este de 3 ore, adică 180 de minute. Dacă păstrezi 20 de minute pentru recitire, rămân 160 de minute pentru cele 90 de puncte ale cerințelor, deci aproape 1,8 minute pe punct. Subiectul I are 30 de puncte; ce câștigi acolo se mută pe subpunctele c) din Subiectele II și III.

Nota. Nota este punctajul total împărțit la $10$. Pentru nota $7$ este nevoie de $70$ de puncte în total, adică de $60$ de puncte din cele $90$ ale cerințelor, cu cele $10$ din oficiu adăugate.

Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, înmulțirea lui $2$ cu primul termen din paranteză, fără al doilea; la 3, soluția $x=1$ lăsată fără verificarea $20\cdot 1-6=14>0$; la 4, procentul de $10\%$ calculat din $440$, nu din prețul inițial; la 7.c), înmulțirea matricelor element cu element; la 9.c), intervalul $\left(-\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right)$ scris deschis, deși capetele sunt valori ale funcției; la 10.c), soluția $p=-1$ păstrată, deși $p$ este număr natural.

Cum lucrezi cu pagina. Rezolvă mai întâi singur o jumătate de oră, pe o foaie, apoi citește soluția rând cu rând și bifează rândurile pe care le-ai avut. Un rând ratat te trimite la clasa din tabelul de mai sus: acolo se află teoria care lipsește. Ghidajul de sub fiecare cerință îți pune pe rând câte o întrebare mică, cu răspunsuri de ales sau de scris.

Formule folosite în această variantă

• Subiectul I. $\sqrt{k^2\cdot m}=k\sqrt{m}$ pentru $k\ge 0$; egalitatea ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ cere $u=v$, cu $u>0$ și $v>0$; după o scumpire cu $p\%$ prețul este de $\left(1+\frac{p}{100}\right)$ ori cel inițial; mijlocul segmentului cu capetele $(x_1,y_1)$ și $(x_2,y_2)$ este $\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$; $\mathrm{tg}u=\frac{\sin u}{\cos u}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ a unui produs de matrice este suma produselor dintre elementele liniei $i$ a primului factor și ale coloanei $j$ a celui de-al doilea; două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=c$ este asimptotă orizontală spre $-\infty$ când $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=c$; o primitivă a lui $x$ este $\frac{x^2}{2}$; o primitivă a lui $\frac{1}{x+c}$ este $\ln (x+c)$ pe intervalele unde $x+c>0$.

Despre litere. Litera $f$ denumește trei obiecte: funcția $x^2-4$ de la cerința 2, fracția $\frac{x}{x^2+4}$ de la 9 și funcția cu două fracții de la 10; fiecare problemă se citește separat. $A$ este un punct la cerința 5 și matricea cu parametru $A(a)$ la 7, iar $M$ este matricea fixă de la 7; mijlocul segmentului $BC$ se notează aici cu $P$, ca să nu se încurce cu matricea. Litera $a$ este parametrul matricei la 7 și, la 7.c), una dintre necunoscutele de aflat; $n$ este numărul natural nenul de la 8.b), iar $p$ este numărul natural de la 10.c).

Titlurile „Itemul n” de mai jos urmează numele din documentul oficial; în explicații vom spune „cerința”.