Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2022 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2022 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați termenul $a_1$ al progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_3=6$ și $a_4=9$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-3$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-3$. Determinați numerele reale $a$ pentru care $f(a)=g(a)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x+3)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

În urma unei scumpiri cu $30\%$, prețul unui produs a crescut cu $60$ de lei. Determinați prețul produsului după scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-4,1)$, $B(2,3)$ și dreapta $d$ de ecuație $y=2x+a$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că mijlocul segmentului $AB$ aparține dreptei $d$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB=AC$, $BC=12$ și măsura unghiului $B$ egală cu $45^{\circ }$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $36$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x\\ 1& 2x+1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(0)\right)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $2A(4)+A(-2)=aA(2)$.

c) (5 puncte) Arătați că, dacă $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ astfel încât $X\cdot A(1)=A(m)$, unde $m$ este număr întreg, atunci matricea $X$ are toate elementele numere întregi.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x+y)(x-1)(y-1)+1$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\ast 1=1$.

b) (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$" este comutativă.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\ast (1-n)\ge n^2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+3}{x^2}+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-x-6}{x^3}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\ln \frac{x}{3}\ge \frac{2}{3}-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+\frac{e^x}{2}+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\left(f(x)-\frac{e^x}{2}\right)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}2x\left(f(x)-1\right)dx=\frac{5}{3}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_{-1}^0\left(f(x)-x\right)\cdot f(x)dx=\frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$.

Barem și răspunsuri

Lucrarea are 100 p în total (90 p pentru cerințe, 10 p din oficiu). Fiecare cerință dintre 1 și 6 are 5 p; la problemele 7–10, fiecare subpunct are tot 5 p, în două rânduri. Numerele din parantezele care încheie rândurile de mai jos reproduc baremul oficial al simulării din 2022. Restul textului (calea aleasă, probele, capcanele) aparține paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Într-o progresie aritmetică, rația este diferența a doi termeni consecutivi: $r=a_4-a_3=9-6=3$ (2 p).

Termenul al treilea se obține din primul adăugând rația de două ori, $a_3=a_1+2r$, deci $6=a_1+2\cdot 3$ și $${\mathbf{a}}_1=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: se urcă înapoi din $a_3$ cu pași de rație, $a_2=a_3-r=3$ și $a_1=a_2-r=0$. Capcană: rația se scrie în ordine inversă, $r=a_3-a_4=-3$, de unde $a_1=6-2\cdot (-3)=12$; altă greșeală este $a_1=a_3-r=3$, cu un singur pas în loc de doi.)

Exercițiul 2. (5 p) — două funcții cu aceeași valoare.

Egalitatea $f(a)=g(a)$ înseamnă $a^2+2a-3=a-3$. Trecând toți termenii în stânga, $-3$ se reduce și rămâne $$a^2+a=0\text{(3 p)}.$$ Factorizat, $a(a+1)=0$, deci $\mathbf{a}=-1$ sau $\mathbf{a}=0$ (2 p).

(Probă: $f(-1)=1-2-3=-4=g(-1)$ și $f(0)=-3=g(0)$; graficele se intersectează în aceste două puncte. Capcană: se rezolvă $f(a)=0$, care are soluțiile $-3$ și $1$; altă greșeală este împărțirea lui $a^2+a=0$ la $a$, care pierde soluția $a=0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Din definiția logaritmului, ${\log }_{3}u=2$ înseamnă $u=3^2$. Aici $u=x+3$, deci $$x+3=3^2=9\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{x}=6$. Argumentul logaritmului este $6+3=9>0$, deci valoarea convine (2 p).

(Probă: ${\log }_{3}9=2$. Capcană: baza și valoarea se inversează, $x+3=2^3=8$, de unde $x=5$; dar ${\log }_{3}8\ne 2$. Altă greșeală: argumentul se egalează cu valoarea logaritmului, $x+3=2$, de unde $x=-1$; dar ${\log }_{3}2<1$, nu $2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — preț după scumpire.

Fie $x$ prețul dinainte de scumpire. Creșterea de $30\%$ este $\frac{30}{100}\cdot x$ și valorează $60$ de lei: $$\frac{30}{100}\cdot x=60,\text{deci}x=200\text{de lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul după scumpire este prețul vechi plus creșterea: $200+60=260$ de lei (2 p).

(Altă cale: prețul nou este $130\%$ din cel vechi, $\frac{130}{100}\cdot 200=260$. Capcană: procentul se aplică creșterii, nu prețului vechi, $\frac{30}{100}\cdot 60=18$, iar prețul ar fi $18+60=78$; altă greșeală este citirea creșterii ca $70\%$, $\frac{70}{100}\cdot x=60$, care dă un preț vechi neîntreg, $\frac{600}{7}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — parametrul unei drepte.

Mijlocul $M$ al segmentului $AB$ are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor: $$M\left(\frac{-4+2}{2},\frac{1+3}{2}\right)=M(-1,2)\text{(2 p)}.$$ Punctul $M$ aparține dreptei $d$ dacă perechea $(-1,2)$ verifică ecuația ei: $2=2\cdot (-1)+a$, deci $$\mathbf{a}=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: dreapta $y=2x+4$ trece prin $(-1,2)$, fiindcă $2\cdot (-1)+4=2$. Capcană: coordonatele se înlocuiesc invers, $-1=2\cdot 2+a$, de unde $a=-5$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi isoscel.

Din $AB=AC$, unghiurile de la bază sunt egale: $\angle C=\angle B=45^{\circ }$, deci $\angle A=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$. Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu ipotenuza $BC=12$, așa că $A{B}^2+A{C}^2=2A{B}^2=144$ și $$AB=AC=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Aria se obține înmulțind catetele și împărțind la $2$: produsul $6\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}$ este $72$, iar jumătatea lui este $$36\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: înălțimea dusă din $A$ pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză, adică $6$, iar aria este $\frac{12\cdot 6}{2}=36$. Capcană: ipotenuza se confundă cu o catetă, $AB=AC=12$; atunci $A{B}^2+A{C}^2=288\ne 144$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=0$, elementele sunt $0$, $0$, $1$ și $2\cdot 0+1=1$: $$A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right),\det \left(A(0)\right)=\left|\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right|\text{(3 p)}.$$ Produsul diagonalei principale minus cel al diagonalei secundare: $$\det \left(A(0)\right)=0\cdot 1-0\cdot 1=0-0=0\text{(2 p)}.$$

(Observație: prima linie a lui $A(0)$ are numai zerouri, deci determinantul este nul oricare ar fi a doua linie.)

b) (5 p) Se calculează $A(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 1& 9\end{array}\right)$ și $A(-2)=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& -3\end{array}\right)$; atunci $$2A(4)+A(-2)=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 2& 18\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ 3& 15\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 5\end{array}\right)$, matricea de mai sus este $$\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ 3& 15\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& 5\end{array}\right)=3A(2),\text{deci}\mathbf{a}=3\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $A(x)=xP+Q$, cu $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $Q=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, deci $2A(4)+A(-2)=(8-2)P+3Q=3(2P+Q)=3A(2)$. Capcană: scalarul $2$ nu se aplică elementului $1$ din stânga jos, iar suma ar avea acolo $1+1=2$, nu $3$.)

c) (5 p) Pentru $m=1$ avem $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, cu $\det A(1)=3-1=2\ne 0$. Matricea $A(1)$ este deci inversabilă: $$A(1{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Din $X\cdot A(1)=A(m)$, înmulțind la dreapta cu $A(1{)}^{-1}$, se obține $$X=A(m)\cdot A(1{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}m& m\\ 1& 2m+1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 1-m& m\end{array}\right).$$ Cum $m$ este întreg, și $m$, și $1-m$ sunt întregi, deci toate elementele lui $X$ sunt numere întregi (3 p).

(Probă: $\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 1-m& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}m& m\\ 1& 2m+1\end{array}\right)=A(m)$. Capcană: inversa se înmulțește în stânga, $A(1{)}^{-1}A(m)$, iar pentru $m=0$ apare elementul $\frac{3\cdot 0-1}{2}=-\frac{1}{2}$, neîntreg.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=1$ în $x\ast y=(x+y)(x-1)(y-1)+1$: $$2\ast 1=(2+1)(2-1)(1-1)+1\text{(3 p)}.$$ $$2\ast 1=3\cdot 1\cdot 0+1=1\text{(2 p)}.$$

(Observație: pentru orice $x$, $x\ast 1=1$, fiindcă factorul $y-1$ se anulează la $y=1$. Capcană: termenul $+1$ se uită, iar rezultatul ar fi $0$.)

b) (5 p) Pentru orice numere reale $x$ și $y$, definiția dă $$x\ast y=(x+y)(x-1)(y-1)+1\text{(2 p)}.$$ Suma și produsul a două numere reale nu depind de ordinea termenilor: $x+y=y+x$ și $(x-1)(y-1)=(y-1)(x-1)$. Prin urmare $x\ast y=(y+x)(y-1)(x-1)+1=y\ast x$, iar legea este comutativă (3 p).

(Capcană: se verifică un singur exemplu, $2\ast 1=1=1\ast 2$; egalitatea trebuie demonstrată pentru orice $x$ și $y$.)

c) (5 p) Cu $x=n$ și $y=1-n$, suma $x+y$ este $1$: $$n\ast (1-n)=(n+1-n)(n-1)(1-n-1)+1=(n-1)(-n)+1=-n^2+n+1\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $-n^2+n+1\ge n^2$ se scrie $2n^2-n-1\le 0$, adică $(2n+1)(n-1)\le 0$, deci $-\frac{1}{2}\le n\le 1$. Numerele naturale din acest interval sunt $\mathbf{n}\in \{0,1\}$ (3 p).

(Probă: pentru $n=0$, $1\ge 0$; pentru $n=1$, $1\ge 1$; pentru $n=2$, $-4+2+1=-1<4$. Capcană: sensul inegalității se păstrează la mutarea termenilor, $2n^2-n-1\ge 0$, ceea ce ar duce la $n\ge 1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, inegalitate prin minim.

a) (5 p) Pentru raportul $\frac{x+3}{x^2}$ regula câtului are la numărător $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$, iar derivata lui $\ln x$ este $\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{x^2-(x+3)\cdot 2x}{x^4}+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $x^2-2x^2-6x=-x^2-6x$, iar fracția se simplifică prin $x$ la $\frac{-x-6}{x^3}$. Cu numitorul comun $x^3$, $\frac{1}{x}=\frac{x^2}{x^3}$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{-x-6+x^2}{x^3}=\frac{x^2-x-6}{x^3},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}+\ln x$, cu derivata $-\frac{1}{x^2}-\frac{6}{x^3}+\frac{1}{x}$, egală cu aceeași fracție. Capcană: la numărător se adună, nu se scade, $x^2+(x+3)\cdot 2x=3x^2+6x$.)

b) (5 p) Valorile în $x=1$ sunt $f(1)=\frac{1+3}{1}+\ln 1=4$ și $f^{\prime }(1)=\frac{1-1-6}{1}=-6$ (2 p).

Tangenta are ecuația $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-4=-6(x-1)$: $$\mathbf{y}=-6x+10\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se uită valoarea $f(1)$ și se scrie $y=-6(x-1)$, adică $y=-6x+6$, o dreaptă care nu trece prin punctul $(1,4)$ al graficului.)

c) (5 p) Ecuația $f^{\prime }(x)=0$ înseamnă $x^2-x-6=0$, adică $(x-3)(x+2)=0$; pe $(0,+\infty )$ rămâne $x=3$. Numitorul $x^3$ este pozitiv, iar $x+2>0$, deci semnul lui $f^{\prime }$ este cel al factorului $x-3$: $f^{\prime }\le 0$ pe $(0,3]$ și $f^{\prime }\ge 0$ pe $[3,+\infty )$. Funcția descrește până în $3$ și crește după, așa că $3$ este punctul ei de minim: $$f(x)\ge f(3),\text{pentru orice}x>0\text{(3 p)}.$$ Valoarea minimă este $f(3)=\frac{6}{9}+\ln 3=\frac{2}{3}+\ln 3$, iar inegalitatea $\frac{x+3}{x^2}+\ln x\ge \frac{2}{3}+\ln 3$ se rescrie $\ln x-\ln 3\ge \frac{2}{3}-\frac{x+3}{x^2}$, adică $$\ln \frac{x}{3}\ge \frac{2}{3}-\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se reține și rădăcina $x=-2$, deși nu aparține domeniului $(0,+\infty )$; altă greșeală este citirea invers a semnului derivatei, deși $f^{\prime }(1)=-6<0$ arată că $f$ scade la stânga lui $3$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu exponențială.

a) (5 p) Din $f(x)-\frac{e^x}{2}=x+1$ rămâne integrala unui polinom, cu primitiva $\frac{x^2}{2}+x$; rezultatul este valoarea ei în $2$ minus valoarea în $0$ (3 p). $$\left(\frac{2^2}{2}+2\right)-0=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $x$ se ia $x^2$, a cărei derivată este $2x$; între $0$ și $2$ ar ieși $6$.)

b) (5 p) Avem $f(x)-1=x+\frac{e^x}{2}$, deci $2x\left(f(x)-1\right)=2x^2+x{e}^x$. O primitivă a lui $2x^2$ este $\frac{2x^3}{3}$, iar una a lui $x{e}^x$ este $(x-1)e^x$, căci ${\left((x-1)e^x\right)}^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$. Integrala se desparte în două, evaluate între $0$ și $1$: $${\int }_0^{1}2x^{2}dx=\frac{2x^3}{3}{|}_0^1,{\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=(x-1)e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{2}{3}+\left(0-(-1)\right)=\frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $x{e}^x$ se ia $\frac{x^2}{2}{e}^x$, a cărei derivată are și termenul $\frac{x^2}{2}{e}^x$; între $0$ și $1$ ar ieși $\frac{2}{3}+\frac{e}{2}$, nu $\frac{5}{3}$.)

c) (5 p) Derivata funcției este $f^{\prime }(x)=1+\frac{e^x}{2}=f(x)-x$, deci integrandul este $f^{\prime }(x)\cdot f(x)$. Cum ${\left(f^2\right)}^{\prime }=2f{f}^{\prime }$, o primitivă a lui este $\frac{f^2(x)}{2}$: $${\int }_{-1}^0{f}^{\prime }(x)f(x)dx=\frac{f^2(x)}{2}{|}_{-1}^0.$$ Se calculează $f(0)=0+\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$ și $f(-1)=-1+\frac{1}{2e}+1=\frac{1}{2e}$, de unde $$\frac{1}{2}\left(\frac{9}{4}-\frac{1}{4e^2}\right)=\frac{9e^2-1}{8e^2}\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\frac{9e^2-1}{8e^2}=\frac{(3e+1)(3e+a)}{8e^2}$ cere $9e^2-1=(3e+1)(3e+a)$. Cum $9e^2-1=(3e+1)(3e-1)$, rezultă $\mathbf{a}=-1$ (2 p).

(Capcană: factorul $\frac{1}{2}$ al primitivei se uită; atunci valoarea integralei ar fi dublul celei corecte, $\frac{9e^2-1}{4e^2}$.)

Pentru părinți și profesori

Despre ce e vorba. Aici găsești subiectul de simulare de la proba E. c) de matematică M_tehnologic din 2022, împreună cu baremul. În cele două PDF-uri oficiale lucrarea poartă doar cuvântul „Simulare", fără numărul unei variante. A fost scrisă pentru filiera tehnologică (profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, la toate calificările profesionale), iar documentele aparțin Ministerului Educației și sunt făcute publice de CNPEE, centrul său de evaluare. Textul enunțurilor, în „Itemi", urmează PDF-ul; tot ce vine după el (rezolvări, probe, capcane, ghidaj) a fost scris pentru această pagină, iar din baremul oficial apare numai valoarea în puncte a fiecărui rând.

Structura lucrării.

• zece cerințe în total: șase scurte la început, apoi două probleme de câte trei subpuncte în fiecare dintre ultimele două subiecte;
• cerințele însumează 90 de puncte, iar oficiul adaugă 10;
• orice cerință din primul subiect și orice subpunct valorează 5 puncte, repartizate de barem pe două rânduri (2 + 3 sau 3 + 2);
• timpul de lucru este de trei ore; în PDF, enunțul ocupă două pagini.

Ce se cere în simulare, în ordine.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. În programa de examen, ecuațiile logaritmice țin de clasa a X-a. Programa școlară nouă introduce logaritmul încă din clasa a IX-a, însă fără regulile de calcul, iar ecuațiile se rezolvă doar citind graficul; rezolvarea algebrică o ține „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 2. Calculul procentual se cere la examen în clasa a X-a (procente, dobânzi, TVA). Programa școlară nouă pomenește procentul doar ca exemplu la progresii; ca temă, el este în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 3. Programa de examen nu pomenește mijlocul unui segment, deși cerința 5 se bazează pe el; în programa școlară nouă el apare în clasa a IX-a, la capitolul de geometrie analitică.

Ce are special simularea. Cerința 1 pornește de la doi termeni vecini ai progresiei, iar rația iese din scăderea lor. La cerința 2, ecuația $f(a)=g(a)$ se reduce la $a^2+a=0$, cu două soluții. Cerința 4 dă creșterea în lei, nu prețul vechi, așa că prima etapă este aflarea prețului dinainte de scumpire. La 7.c) nu se cere un număr, ci o demonstrație: matricea necunoscută $X$ se află cu inversa lui $A(1)$ și se constată că are elemente întregi. Legea de la a doua problemă dă $x\ast 1=1$ pentru orice $x$, fiindcă factorul $y-1$ se anulează. La Subiectul al III-lea, funcția are un minim în $x=3$, iar inegalitatea de la 9.c) este chiar $f(x)\ge f(3)$ rescrisă; la 10.c), derivata lui $f$ coincide cu factorul $f(x)-x$ din integrand.

Timp. Dacă se rezervă 21 de minute pentru recitire, rămân 159 de minute pentru cele 90 de puncte, adică 106 secunde pe punct.

Nota. Se acceptă orice rezolvare corectă, și cele care nu seamănă cu baremul; nu există fracțiuni de punct, iar nota se obține împărțind totalul la 10. Nota 9 înseamnă un total de 90 de puncte, adică 10 din oficiu și 80 din cele 90 ale cerințelor.

Puncte de atenție. La 1, rația se scade în ordinea $a_4-a_3$; la 2, ecuația $a^2+a=0$ nu se simplifică cu $a$; la 4, procentul se aplică prețului vechi, nu creșterii; la 5, coordonatele mijlocului se înlocuiesc în $x$ și $y$ în această ordine; la 6, se folosește faptul că $BC$ este ipotenuza; la 7.c), inversa se înmulțește la dreapta lui $A(m)$; la 8.b), comutativitatea se arată pentru orice $x$ și $y$, nu pe un exemplu; la 9.c), $x=-2$ nu aparține domeniului; la 10.c), primitiva lui $f^{\prime }\cdot f$ are factorul $\frac{1}{2}$.

Cum se poate lucra. Setează un ceas de trei ore și rezolvă pe foaie, cu enunțurile din „Itemi" în față, fără barem. Apoi compară, rând cu rând, cu rezolvările de mai jos și socotește-ți punctele pe rânduri. Ghidajul fiecărei cerințe pune întrebări scurte; alegerea unei variante greșite aduce explicația pe loc. Un scor sub 40 din 90 trimite înapoi la Subiectul I; între 40 și 65, la subpunctele de la capătul problemelor; peste 65, la ritmul de lucru.

Formule folosite în simulare

• La cerințele 1–6. Într-o progresie aritmetică, $a_{n+1}=a_n+r$ și $a_n=a_1+(n-1)r$; ${\log }_{a}u=c$ înseamnă $u=a^c$; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele semisumelor; într-un triunghi isoscel unghiurile de la bază sunt egale, iar un triunghi cu unghiurile $45^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $90^{\circ }$ are catetele egale, iar aria lui este produsul lor împărțit la $2$.
• La problemele 7 și 8. Matricea $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, cu $d=ps-qr\ne 0$, are inversa $\frac{1}{d}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; din $X\cdot M=N$, cu $M$ inversabilă, rezultă $X=N\cdot M^{-1}$; o lege este comutativă dacă $x\ast y=y\ast x$ pentru orice $x,y$.
• La problemele 9 și 10. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ și $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; ecuația tangentei este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)\left(x-x_0\right)$; dacă $f$ are minimul $f(x_0)$, atunci $f(x)\ge f(x_0)$; ${\left(f^2\right)}^{\prime }=2f{f}^{\prime }$, deci o primitivă a lui $f^{\prime }\cdot f$ este $\frac{f^2}{2}$.

Despre litere. În titlurile de mai jos, „itemul" este cuvântul baremului pentru ceea ce numim la clasă „cerință". Funcția $f$ nu e aceeași la 2, la 9 și la 10 (trei funcții), iar $g$ este a doua funcție de la 2. Litera $a$, fără indice, are patru sensuri: argument la 2, parametrul dreptei la 5, scalar la 7.b) și constantă la 10.c); cu indice ($a_1$, $a_3$, $a_4$), ea numește termenii progresiei de la 1. Cu $A$ sunt notate un punct (5), un vârf de triunghi (6) și o matrice cu parametru (7); $B$ numește un punct (5) și un vârf (6); $d$ este dreapta de la 5, iar $X$, matricea necunoscută de la 7.c).