Subiect Bac matematică tehnologic, simulare 2019 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2019 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(1+\sqrt{5}\right)}^2-\sqrt{20}=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+2x-3$. Calculați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x\cdot 8^{x+1}=16^{2x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați numerele naturale de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu $15$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(a,a+1)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ se află pe dreapta de ecuație $y=2x-1$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Demonstrați că ${\left(2\sin x+3\cos x\right)}^2+{\left(3\sin x-2\cos x\right)}^2=13$, pentru orice număr real $x$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x-1\\ x-1& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $A(x)\cdot A(y)=A\left(2xy-x-y+1\right)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, știind că $A(a)=A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=x+y-\frac{xy}{4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $6\ast 2=5$.

b) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (4x)=6$.

c) (5 puncte) Calculați $1\ast 2\ast 3\ast \dots \ast 2019$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{4-x}{e^x}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este convexă pe $[5,+\infty )$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x-3\le e^{x-4}$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=6x^2+4x+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=5$.

b) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, pentru care ${\int }_1^a\frac{f(x)}{x}dx=13+\ln a$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Șase cerințe de câte 5 p la Subiectul I, apoi patru probleme de câte 15 p (două la Subiectul al II-lea, două la Subiectul al III-lea), fiecare cu trei subpuncte de 5 p; pe rânduri, un subpunct se desparte în două. Gruparea punctelor pe rânduri vine din documentul oficial al simulării 2019; soluțiile, observațiile și probele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — pătratul unei sume cu radical.

Pătratul sumei are trei termeni: pătratul primului, dublul produsului și pătratul celui de-al doilea; iar ${\left(\sqrt{5}\right)}^2=5$: $${\left(1+\sqrt{5}\right)}^2=1+2\sqrt{5}+5=6+2\sqrt{5}\text{(3 p)}.$$ Radicalul din enunț se scoate de sub rădăcină astfel: $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$, deci $$6+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}=6\text{(2 p)}.$$

(Capcană: pătratul sumei se scrie ca suma pătratelor, $1^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2=6$, fără dublul produs; atunci expresia ar fi $6-2\sqrt{5}\approx 1,53$, nu $6$.)

Exercițiul 2. (5 p) — distanța dintre intersecțiile cu axa $Ox$.

Punctele de pe $Ox$ au ordonata $0$, deci se rezolvă $f(x)=0$. Trinomul se descompune în $(x+3)(x-1)$, iar un produs este nul când un factor este nul: $x=-3$ sau $x=1$ (3 p). Graficul taie axa în punctele $(-3,0)$ și $(1,0)$, aflate pe aceeași orizontală; distanța dintre ele este diferența absciselor: $$1-(-3)=4\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(-3)=9-6-3=0$ și $f(1)=1+2-3=0$. Capcană: distanța se ia egală cu suma rădăcinilor, $-3+1=-2$, număr negativ; o distanță nu poate fi negativă.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Toate bazele se aduc la $2$: $4=2^2$, $8=2^3$, $16=2^4$. Produsul de puteri ale lui $2$ are exponentul sumă: $$2^{2x}\cdot 2^{3x+3}=2^{8x}⟺2^{5x+3}=2^{8x}\text{(3 p)}.$$ Puterile lui $2$ sunt egale numai dacă exponenții coincid: $5x+3=8x$, adică $3x=3$ și $\mathbf{x}=1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=1$, membrul stâng este $4\cdot 8^2=256$, iar cel drept este $16^2=256$. Capcană: bazele se înmulțesc și exponentul rămâne unul singur, $32^{x+1}=2^{5x+5}$; de aici $5x+5=8x$ și $x=\frac{5}{3}$, valoare care nu verifică ecuația.)

Exercițiul 4. (5 p) — numere de trei cifre cu produsul $15$.

Cifrele sunt numere de la $0$ la $9$, iar produsul lor este $15=3\cdot 5$; singura descompunere în trei factori cifră este $15=1\cdot 3\cdot 5$ (descompunerea $1\cdot 1\cdot 15$ nu merge, fiindcă $15$ nu e cifră). Cifrele sunt $1$, $3$ și $5$ (3 p).

Cu trei cifre diferite se pot scrie $3!=6$ numere, adică toate ordinile posibile ale cifrelor: $135,153,315,351,513,531$ (2 p).

(Probă: $1\cdot 3\cdot 5=15$ pentru fiecare dintre cele șase numere. Capcană: se scrie doar $135$, în ordinea crescătoare a cifrelor, deși fiecare ordine dă un alt număr de trei cifre.)

Exercițiul 5. (5 p) — un punct pe o dreaptă.

Punctul $A(a,a+1)$ aparține dreptei $y=2x-1$ dacă ordonata lui, $a+1$, este $2$ înmulțit cu abscisa $a$, minus $1$: $$a+1=2a-1\text{(3 p)}.$$ De aici $2=a$, adică $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $a=2$ se obține $A(2,3)$, iar $2\cdot 2-1=3$. Capcană: coordonatele se așază invers, $x=a+1$ și $y=a$; atunci $a=2(a+1)-1$ dă $a=-1$, iar punctul $A(-1,0)$ nu e pe dreaptă, căci $2\cdot (-1)-1=-3$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o identitate trigonometrică.

Fiecare pătrat se desface cu formula pătratului unei sume sau diferențe: $$4{\sin }^{2}x+12\sin x\cos x+9{\cos }^{2}x+9{\sin }^{2}x-12\sin x\cos x+4{\cos }^{2}x\text{(2 p)}.$$ Termenii cu $\sin x\cos x$ se reduc; din restul se scoate factorul $13$, iar pătratele ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$ au împreună valoarea $1$, pentru orice $x$: $$13{\sin }^{2}x+13{\cos }^{2}x=13\cdot 1=13\text{(3 p)}.$$

(Probă pentru $x=0$: $(0+3{)}^2+(0-2{)}^2=9+4=13$. Capcană: suma pătratelor ${\sin }^{2}x$ și ${\cos }^{2}x$ se ia egală cu $2$, ca la doi termeni de câte $1$; atunci s-ar obține $26$.)

Exercițiul 7. (15 p) — familia $A(x)$.

a) (5 p) Pentru $x=2$ avem $x-1=1$: $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right),\det (A(2))=2\cdot 2-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=4-1=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: în general $\det (A(x))=x^2-(x-1{)}^2=2x-1$, iar pentru $x=2$ rezultă $3$. Capcană: în loc de $x-1=1$ se scrie tot $2$ în afara diagonalei, $\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$, care are determinantul $0$.)

b) (5 p) Se înmulțește linie cu coloană; pe diagonală și în afara ei apar câte două expresii: $$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}xy+(x-1)(y-1)& x(y-1)+(x-1)y\\ (x-1)y+x(y-1)& (x-1)(y-1)+xy\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementele de pe diagonală sunt $2xy-x-y+1$, iar cele din afara ei sunt cu $1$ mai mici, adică $2xy-x-y$; așadar matricea este de forma $A(s)$ cu $s=2xy-x-y+1$: $$A(x)\cdot A(y)=\left(\begin{array}{cc}2xy-x-y+1& 2xy-x-y\\ 2xy-x-y& 2xy-x-y+1\end{array}\right)=A\left(2xy-x-y+1\right)\text{(2 p)}.$$

(Probă pentru $x=2$, $y=3$: $s=12-2-3+1=8$, iar $A(2)\cdot A(3)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 7\\ 7& 8\end{array}\right)=A(8)$. Capcană: în colțul stânga sus se uită termenul al doilea al sumei, $(x-1)(y-1)$, și iese doar $xy$.)

c) (5 p) Formula de la b) se aplică de două ori, o dată cu $y=\frac{1}{2}$ și o dată cu $x=\frac{1}{2}$; în ambele cazuri parametrii $x$, respectiv $y$, dispar din rezultat: $$A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)=A\left(2x\cdot \frac{1}{2}-x-\frac{1}{2}+1\right)=A\left(\frac{1}{2}\right),A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=A\left(y-\frac{1}{2}-y+1\right)=A\left(\frac{1}{2}\right)\text{(2 p)}.$$ Produsul din enunț se grupează întâi în primii doi factori; apoi $A\left(\frac{1}{2}\right)$ rămâne și, înmulțit cu $A(y)$, dă iar $A\left(\frac{1}{2}\right)$: $$A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=\left(A(x)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right)\cdot A(y)=A\left(\frac{1}{2}\right).$$ Matricea $A(a)$ determină pe $a$ (este valoarea de pe diagonală), deci $A(a)=A\left(\frac{1}{2}\right)$ cere $\mathbf{a}=\frac{1}{2}$ (3 p).

(Probă pentru $x=4$: $A(4)\cdot A\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$. Capcană: se aplică formula cu semnul lui $y$ schimbat, $2x\cdot \frac{1}{2}-x+\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$, și se conchide $a=\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 8. (15 p) — legea de compoziție $x\ast y=x+y-\frac{xy}{4}$.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=6$ și $y=2$ în definiție: $$6\ast 2=6+2-\frac{6\cdot 2}{4}\text{(3 p)}.$$ $$6\ast 2=8-3=5\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{6\cdot 2}{4}=\frac{12}{4}=3$. Capcană: fracția se împarte la $2$ în loc de $4$, $\frac{6\cdot 2}{2}=6$, și iese $8-6=2$.)

b) (5 p) Pentru $y=4x$ se obține: $$x+4x-\frac{x\cdot 4x}{4}=5x-x^2.$$ Egalitatea cu $6$ se scrie $5x-x^2=6$, adică $x^2-5x+6=0$ (3 p).

Trinomul se descompune în $(x-2)(x-3)$, deci soluțiile sunt $\mathbf{x}=2$ și $\mathbf{x}=3$ (2 p).

(Probă: pentru $x=2$, $2\ast 8=2+8-4=6$; pentru $x=3$, $3\ast 12=3+12-9=6$. Capcană: produsul $x\cdot 4x$ se scrie $4x^2$ și nu se mai împarte la $4$; atunci ecuația ar fi $5x-4x^2=6$, cu discriminant negativ, deci fără soluții reale.)

c) (5 p) Pentru orice $x$ și $y$ reale, numărul $4$ este absorbant: $$x\ast 4=x+4-\frac{4x}{4}=4\text{și}4\ast y=4+y-\frac{4y}{4}=4\text{(2 p)}.$$ Legea este asociativă, deci parantezele se pot muta; primele patru numere se compun întâi, iar rezultatul $(1\ast 2\ast 3)\ast 4$ este $4$: $$1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast \dots \ast 2019=((1\ast 2\ast 3)\ast 4)\ast \left(5\ast \dots \ast 2019\right)=4\ast \left(5\ast \dots \ast 2019\right)=4\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2\ast 4=2+4-2=4$ și $4\ast 7=4+7-7=4$. Capcană: numărul $4$ se ia drept element neutru, ca și când $x\ast 4$ ar fi $x$; dar elementul neutru este $0$, fiindcă $x\ast 0=x$, iar $x\ast 4=4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcția $f(x)=3+\frac{x-3}{e^x}$.

a) (5 p) Constanta $3$ se derivează în $0$; fracția se derivează ca un cât, cu $u=x-3$ și $v=e^x$, adică $u^{\prime }=1$ și $v^{\prime }=e^x$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot e^x-(x-3)\cdot e^x}{{\left(e^x\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător se dă factor comun $e^x$, iar $e^x$ se simplifică cu unul dintre cei doi $e^x$ de la numitor: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1-(x-3))}{e^{2x}}=\frac{4-x}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: în $x=4$ derivata se anulează, $\frac{4-4}{e^4}=0$, iar $f^{\prime }(0)=4$. Capcană: se derivează separat numărătorul și numitorul, $\frac{1}{e^x}$, ca și când derivata unui cât ar fi câtul derivatelor.)

b) (5 p) Se derivează $f^{\prime }(x)=(4-x)e^{-x}$ ca produs: $$f^{\prime \prime }(x)=(-1)e^{-x}+(4-x)\left(-e^{-x}\right)=\frac{x-5}{e^x},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Pentru $x\ge 5$ avem $x-5\ge 0$, iar $e^x>0$, deci $f^{\prime \prime }(x)\ge 0$ pe $[5,+\infty )$ și funcția $f$ este convexă pe acest interval (2 p).

(Probă: $f^{\prime \prime }(5)=0$ și $f^{\prime \prime }(6)=\frac{1}{e^6}>0$. Capcană: derivata a doua se scrie $\frac{5-x}{e^x}$, cu semnul inversat; atunci pe $[5,+\infty )$ ar rezulta $f^{\prime \prime }\le 0$, adică funcție concavă, concluzie opusă celei din enunț.)

c) (5 p) Semnul derivatei $f^{\prime }(x)=\frac{4-x}{e^x}$ este semnul lui $4-x$: pentru $x\in (-\infty ,4]$, $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește; pentru $x\in [4,+\infty )$, $f^{\prime }\le 0$ și $f$ scade (2 p).

Prin urmare $f(x)\le f(4)=3+\frac{1}{e^4}$ pentru orice $x$ real. Se scade $3$ din ambii membri și se înmulțește cu $e^x>0$: $$3+\frac{x-3}{e^x}\le 3+\frac{1}{e^4}⟺x-3\le \frac{e^x}{e^4}={\mathbf{e}}^{\mathbf{x}-4}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $x=4$ inegalitatea devine egalitate, $4-3=1=e^0$. Capcană: se compară cu $f(0)=0$, valoare oarecare, nu cu maximul; faptul că $f(x)\le f(0)$ nu e adevărat pentru orice $x$, deoarece $f(4)=3+e^{-4}>f(0)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — $f(x)=6x^2+4x+1$.

a) (5 p) O primitivă a lui $f$ se găsește termen cu termen: $6x^2\to 2x^3$, $4x\to 2x^2$, $1\to x$: $${\int }_0^1\left(6x^2+4x+1\right)dx=\left(2x^3+2x^2+x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=(2+2+1)-0=5\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $2x^3+2x^2+x$ este $6x^2+4x+1$. Capcană: primitiva termenului $4x$ se scrie $4x^2$, fără împărțire la $2$; atunci valoarea ar fi $2+4+1=7$.)

b) (5 p) Dacă $F$ este o primitivă a lui $f$, atunci $F^{\prime }(x)=f(x)=6x^2+4x+1$ pentru orice $x$ real (2 p).

Trinomul are coeficientul dominant $6>0$ și discriminantul $4^2-4\cdot 6\cdot 1=-8<0$, deci $f(x)>0$ pentru orice $x$. Atunci $F^{\prime }(x)>0$ pe $\mathbb{R}$, iar $F$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (3 p).

(Documentul oficial scrie $f(x)>0$ fără justificare; la noi, motivul e semnul discriminantului. Probă: $f(0)=1>0$. Capcană: se reține doar că $6>0$, ca și când orice trinom cu coeficient dominant pozitiv ar avea valori pozitive; dar $x^2-1$ are coeficientul dominant $1>0$ și ia valoarea $-1$ în $0$.)

c) (5 p) Pentru $x>0$, câtul se desface în trei termeni, iar o primitivă a lui se află termen cu termen: $${\int }_1^a\frac{f(x)}{x}dx={\int }_1^a\left(6x+4+\frac{1}{x}\right)dx=\left(3x^2+4x+\ln x\right){|}_1^a=3a^2+4a+\ln a-7\text{(2 p)}.$$ În egalitatea cu $13+\ln a$, termenul $\ln a$ apare în ambii membri și se reduce; după trecerea termenilor în același membru rămâne $3a^2+4a-20=0$, cu rădăcinile $-\frac{10}{3}$ și $2$. Condiția $a>1$ elimină valoarea negativă, deci $\mathbf{a}=2$ (3 p).

(Probă: pentru $a=2$, $3\cdot 4+4\cdot 2+\ln 2-7=13+\ln 2$. Capcană: câtul se desface greșit, $\frac{f(x)}{x}=6x+4$, cu termenul $\frac{1}{x}$ pierdut; atunci $\ln a$ nu mai apare în partea stângă, iar ecuația $3a^2+4a-7=13+\ln a$ nu se mai reduce la una de gradul al II-lea.)

Pentru părinți și profesori

Documentul rezolvat aici este simularea din 2019 la matematică M_tehnologic, cu mențiunea „Clasa a XII-a” tipărită în antet. Ca să nu fie confundat cu o sesiune propriu-zisă: nu poartă număr de variantă, dar are antetul Ministerului Educației Naționale și al Centrului Național de Evaluare și Examinare, proba E.c) a filierei tehnologice și aceeași alcătuire ca lucrările de examen. Cerințele sunt reproduse întocmai; soluțiile, probele, observațiile și ghidajul sunt scrise de noi, iar din document am preluat numai felul în care sunt grupate punctele pe rânduri.

Alcătuirea lucrării, așa cum e tipărită:

• Subiectul I (30 de puncte) conține șase cerințe scurte, fiecare de 5 puncte.
• Subiectul al II-lea (30 de puncte) are o familie de matrice $A(x)$ și o lege de compoziție pe $\mathbb{R}$, cu câte trei subpuncte de 5 puncte.
• Subiectul al III-lea (30 de puncte) are o funcție cu exponențială, de derivat, și o funcție polinomială, de integrat; din nou trei subpuncte de 5 puncte la fiecare.
• Se adaugă 10 puncte din oficiu; timpul efectiv de lucru este de 3 ore.

Tema fiecărei cerințe și clasa din programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Programa de examen îi dedică radicalilor, cu tot cu proprietăți, un rând în clasa a X-a. Din radicali, Anexa 3 la OMEC 6930/2025 (programa nouă pentru clasele a IX-a și a X-a) păstrează numai „Funcția radical de ordin 2”; proprietățile radicalilor lipsesc.
• Nota 2. Ecuațiile exponențiale sunt la clasa a X-a în programa de examen. În Anexa 3, funcția exponențială se învață în clasa a IX-a („numărul irațional e”), dar ecuațiile exponențiale nu sunt pomenite.
• Nota 3. Programa de examen are la clasa a X-a „metode de numărare”: permutări, aranjamente, combinări. Cele șase numere de la cerința 4 sunt permutările cifrelor $1$, $3$ și $5$. Anexa 3 are permutări, aranjamente și combinări tot în clasa a X-a.
• Nota 4. Dreapta $y=2x-1$ este graficul unei funcții de gradul I, subiect din clasa a IX-a în programa de examen, iar ecuațiile dreptei figurează și în clasa a X-a.
• Nota 5. Identitatea fundamentală a trigonometriei nu e numită în programa de examen, dar rezultă din definirea sinusului și a cosinusului pe cercul trigonometric, materie de clasa a IX-a: suma pătratelor lor, pentru același unghi, este $1$.
• Nota 6. Legea de compoziție internă este în programa de examen la clasa a XII-a, în capitolul de algebră. Enunțul spune el însuși că legea este asociativă, așa că asociativitatea nu trebuie demonstrată la subpunctul c).

Particularități ale simulării. La cerința 8, legea $x\ast y=x+y-\frac{xy}{4}$ se rescrie $4-\frac{(4-x)(4-y)}{4}$, iar numărul $4$ „absoarbe" orice alt număr, ceea ce face calculabil produsul de la 8.c). Matricea de la cerința 7 are $x$ pe diagonala principală și $x-1$ în afara ei; produsul a două astfel de matrice rămâne în aceeași familie, iar subpunctul c) folosește exact acest fapt. La cerința 9, exponențiala stă la numitor, iar derivatele succesive se scriu mai ușor dacă $\frac{1}{e^x}$ se tratează ca $e^{-x}$.

Cum îți împarți timpul. Din 180 de minute, 50 pot fi rezervate pentru verificare; rămân 130 de minute pentru 90 de puncte, adică sub un minut și jumătate pe fiecare punct.

De unde vine nota. Totalul tău se împarte la zece: 40 de puncte din cerințe și cele 10 din oficiu fac 50, adică nota 5.

Greșeli de redactare de evitat: la 1, pătratul sumei scris $1+5$, fără dublul produs; la 4, doar un număr scris din cele șase; la 5, coordonatele punctului așezate invers în ecuația dreptei; la 8.c), cifra $4$ luată drept element neutru; la 9.c), inegalitatea scrisă fără trecerea prin maximul din $x=4$; la 10.b), semnul lui $f$ afirmat fără discriminant.

Cum lucrezi cu pagina. Cu foaia de ciornă în față, rezolvi cerințele, apoi le confrunți cu rândurile de mai jos. Un rând ratat te trimite la clasa din tabel. Sub 40 de puncte, reia cerințele 1–6. Între 40 și 70 de puncte, concentrează-te pe subpunctele b) și c). Peste 70, mai poți câștiga la redactare.

Formule de reținut pentru simulare

• Subiectul I. $(p+q{)}^2=p^2+2pq+q^2$; $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$; două puteri ale aceleiași baze $a>0$, $a\ne 1$, sunt egale numai dacă exponenții coincid; pătratul sinusului plus pătratul cosinusului, ale aceluiași unghi, dau $1$.
• Subiectul al II-lea. matricele $2\times 2$ se înmulțesc linie cu coloană; o lege de compoziție se aplică prin înlocuirea lui $x$ și $y$ în formulă; în șirul $1\ast 2\ast 3\ast \dots$ parantezele pot fi mutate, fiindcă legea este asociativă.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$; $f^{\prime \prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă convexitate acolo; $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$ pe $(0,+\infty )$; o primitivă $F$ a lui $f$ satisface $F^{\prime }=f$.

„Itemul n” din titluri este numerotarea paginii (1–10), nu un termen al documentului, care spune doar „1.”, „2.” și, la Subiectele al II-lea și al III-lea, numerotează problemele „1.”, „2.”, cu subpunctele a), b), c). Simbolul $\ast$ este cel al enunțului pentru legea de compoziție; litera $f$ numește trei funcții diferite, la cerințele 2, 9 și 10, iar $A$ este un punct la cerința 5 și o familie de matrice la 7. Litera $a$ are trei roluri: parametrul punctului de la 5, numărul căutat la 7.c) și capătul integralei de la 10.c).