Subiect Bac matematică tehnologic, august 2017 (varianta 10) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2017 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(4-\frac{1}{4}\right)\cdot \frac{8}{15}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$, știind că punctul $A(1,5)$ aparține graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{x^2+x+1}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să verifice egalitatea $(n-2)(n-4)=0$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,3)$, $N(4,3)$ și $P(4,0)$. Calculați perimetrul triunghiului $MNP$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}120^{\circ }-{\cos }^{2}30^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& -4\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-13$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 10\\ -10& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (B\cdot B-x{I}_2)=0$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+3X^2-X-3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X-2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x_1^2+x_2^2+x_3^2=11$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^3-6x+4$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=6(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=0$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $0\le f(x)\le 8$, pentru orice $x\in [-1,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+5x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-5x\right)dx=\frac{1}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+2017$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei $Ox$ a graficului funcției $g:[1,2]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ este egal cu $\frac{127\pi }{3}$.

Barem și răspunsuri

Lucrarea valorează 100 p: 90 p pentru cerințe și 10 p din oficiu. Fiecare cerință 1–6 are 5 p; la cerințele 1, 2, 3, 5 și 6 punctele sunt în două rânduri, la cerința 4 în trei (1 p, 2 p, 2 p). Itemii 7 și 8 alcătuiesc Subiectul al II-lea, itemii 9 și 10 Subiectul al III-lea; un item de 15 p cuprinde trei subpuncte de câte 5 p, fiecare cu câte două rânduri. Rândurile punctate sunt cele ale variantei 10 din august 2017, iar demonstrațiile, probele și explicațiile sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Întregul $4$ se scrie $\frac{16}{4}$, pentru a avea numitorul fracției scăzute: $$4-\frac{1}{4}=\frac{16}{4}-\frac{1}{4}=\frac{15}{4}\text{(3 p)}.$$ Produsul este $\frac{15}{4}\cdot \frac{8}{15}=\frac{8}{4}=2$ (2 p).

(Probă: $15$ se simplifică, rămâne $\frac{8}{4}$. Capcană: se scade $1$ din numărător, $\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}$; atunci produsul ar fi $\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{15}=\frac{2}{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — punct pe grafic.

Punctul $A(1,5)$ este pe grafic exact când $f(1)=5$: $$f(1)=1^2+m,\text{deci}1+m=5\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{m}=4$ (2 p).

(Probă: pentru $m=4$, $f(1)=1+4=5$. Capcană: coordonatele se așază invers, $f(5)=1$; atunci $25+m=1$ și $m=-24$, dar $A$ nu mai este pe grafic.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Membrul drept este $1>0$, așa că ecuația $\sqrt{u}=1$ revine la $u=1$: $$x^2+x+1=1⟺x^2+x=0\text{(2 p)}.$$ Se scoate $x$ factor comun: $x(x+1)=0$, deci $x=0$ sau $x=-1$. Pentru ambele valori expresia de sub radical este $1$ ($0+0+1$ și $1-1+1$), deci ambele convin: $$\mathbf{x}\in \{-1,0\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $\sqrt{0+0+1}=1$ și $\sqrt{1-1+1}=1$. Capcană: se păstrează doar $x=0$, ca și cum $x=-1$ ar fi soluție străină; dar verificarea arată că și $-1$ convine.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Numărul $n$ poate fi oricare dintre cele $9$ elemente ale lui $A$ (1 p).

Un produs este nul dacă un factor este nul: $n-2=0$ sau $n-4=0$, adică $n=2$ sau $n=4$. Ambele numere sunt în $A$, deci $2$ alegeri favorabile (2 p).

Probabilitatea este câtul dintre numărul alegerilor favorabile și al celor posibile: $$p=\frac{2}{9}\text{(2 p)}.$$ Rezultatul este $\frac{2}{9}$.

(Probă: $\frac{2}{9}$ este între $0$ și $1$. Capcană: se reține doar $n=4$, iar probabilitatea ar ieși $\frac{1}{9}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi.

Segmentul $MN$ este orizontal (ambele capete au ordonata $3$), deci $MN=4-0=4$; segmentul $NP$ este vertical (ambele capete au abscisa $4$), deci $NP=3-0=3$. Latura rămasă, $MP$, se află cu formula distanței: $$MP=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$ Perimetrul este $4+3+5=12$ (2 p).

(Probă: $MN\perp NP$, iar $4^2+3^2=5^2$. Capcană: $MP$ se ia egală cu suma $4+3=7$; atunci perimetrul ar fi $14$.)

Exercițiul 6. (5 p) — două valori trigonometrice.

Reducerea la primul cadran dă $\sin 120^{\circ }=\sin \left(180^{\circ }-60^{\circ }\right)=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 p).

Cele două valori sunt egale, deci $${\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: $120^{\circ }=90^{\circ }+30^{\circ }$ și $\sin \left(90^{\circ }+u\right)=\cos u$, deci $\sin 120^{\circ }=\cos 30^{\circ }$. Capcană: $\sin 120^{\circ }$ se ia $\frac{1}{2}$, valoarea lui $\sin 30^{\circ }$; atunci diferența ar fi $\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este un produs pe prima diagonală din care se scade un produs pe a doua: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& -4\end{array}\right|=1\cdot (-4)-3\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=-4-9=-13\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsul $3\cdot 3$ se adună, iar rezultatul ar fi $-4+9=5$.)

b) (5 p) Rând peste coloană, pentru primul produs: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+3\cdot 2& 1\cdot 2+3\cdot 2\\ 3\cdot 2-4\cdot 2& 3\cdot 2-4\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ -2& -2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Pentru al doilea produs: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 1+2\cdot 3& 2\cdot 3+2\cdot (-4)\\ 2\cdot 1+2\cdot 3& 2\cdot 3+2\cdot (-4)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -2\\ 8& -2\end{array}\right).$$ Diferența lor, element cu element: $$A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 10\\ -10& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: urma diferenței este $0+0=0$, ca la orice diferență de forma $A\cdot B-B\cdot A$. Capcană: se consideră $B\cdot A=A\cdot B$; atunci diferența ar fi matricea nulă, dar produsele diferă.)

c) (5 p) Se calculează $B\cdot B$ și se scade $x{I}_2$: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 8& 8\end{array}\right),B\cdot B-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}8-x& 8\\ 8& 8-x\end{array}\right).$$ Determinantul este $$(8-x{)}^2-8\cdot 8=x^2-16x\text{(3 p)}.$$ Ecuația $x^2-16x=0$ se scrie $x(x-16)=0$, deci $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=16\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $x=16$, matricea este $\left(\begin{array}{cc}-8& 8\\ 8& -8\end{array}\right)$, cu determinantul $64-64=0$. Capcană: ecuația se împarte la $x$, iar soluția $x=0$ se pierde.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X=1$: $$f(1)=1^3+3\cdot 1^2-1-3\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1+3-1-3=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: ultimul termen se ia $+3$; atunci suma ar fi $1+3-1+3=6$.)

b) (5 p) Se împarte cu schema lui Horner, cu rădăcina $2$ a lui $X-2$ și coeficienții $1,3,-1,-3$: primul coeficient coboară ($1$), apoi $3+2\cdot 1=5$, apoi $-1+2\cdot 5=9$ și, la urmă, $-3+2\cdot 9=15$. Coeficienții câtului sunt $1,5,9$: $$\text{caˆtul }{\mathbf{X}}^2+5X+9\text{(3 p)}.$$ Ultima valoare este restul: $$\text{restul }15\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(X-2)\left(X^2+5X+9\right)+15=X^3+3X^2-X-3$, iar $f(2)=8+12-2-3=15$. Capcană: se folosește rădăcina $-2$, adică împărțirea la $X+2$; atunci câtul ar fi $X^2+X-3$, iar restul $3$.)

c) (5 p) Pentru $X^3+3X^2-X-3$, relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor $x_1+x_2+x_3=-3$ și suma produselor lor două câte două $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=-1$ (2 p).

Suma pătratelor se scrie prin acestea: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1)=9-2\cdot (-1)=11\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f=(X+3)(X-1)(X+1)$, rădăcinile sunt $-3$, $1$, $-1$, iar $9+1+1=11$. Capcană: suma produselor se ia $+1$, nu $-1$; atunci rezultatul ar fi $9-2=7$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, margini.

a) (5 p) Se derivează fiecare termen: $$f^{\prime }(x)=2\cdot 3x^2-6+0=6x^2-6\text{(3 p)}.$$ Se scoate factor comun $6$ și se aplică diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=6\left(x^2-1\right)=6(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $6x$ se ia $6x$, nu $6$; atunci s-ar obține $6x^2-6x$.)

b) (5 p) Din $f(1)=2-6+4=0$ rezultă $f(x)=f(x)-f(1)$, deci $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\text{(2 p)}.$$ Limita este chiar derivata în punctul $1$: $$f^{\prime }(1)=6\cdot 0\cdot 2=0\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $f(x)=2(x-1{)}^2(x+2)$, deci $\frac{f(x)}{x-1}=2(x-1)(x+2)\to 0$. Capcană: limita se calculează înlocuind direct $x=1$, ceea ce dă $\frac{0}{0}$, o formă fără valoare fixă; pasul prin $f(1)$ este cel care ridică nedeterminarea.)

c) (5 p) Pentru $x\in [-1,1]$ factorul $x-1$ este negativ sau nul, iar $x+1$ este pozitiv sau nul, deci $f^{\prime }(x)\le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $[-1,1]$ (2 p).

Valorile sunt între cea din capătul drept și cea din capătul stâng: $$f(1)=0,f(-1)=-2+6+4=8,$$ deci $0\le f(x)\le 8$ pentru orice $x\in [-1,1]$ (3 p).

(Probă: $f(0)=4\in [0,8]$. Capcană: $2\cdot (-1{)}^3$ se calculează $+2$; atunci $f(-1)$ ar ieși $2+6+4=12$, iar marginea din dreapta ar fi $12$, nu $8$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și volum.

a) (5 p) Termenul $5x$ se reduce: $f(x)-5x=x^2$. Atunci $${\int }_0^1{x}^{2}dx\text{(2 p)}.$$ $$=\frac{x^3}{3}{|}_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se adună $5x$ în loc să se scadă, iar sub integrală ar rămâne $x^2+10x$.)

b) (5 p) O funcție $F$ este primitivă a lui $f$ dacă $F^{\prime }=f$. Se derivează fiecare termen al lui $F$: $$F^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\cdot 3x^2+\frac{5}{2}\cdot 2x+0\text{(3 p)}.$$ $$F^{\prime }(x)=x^2+5x=f(x),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: constanta $2017$ dispare la derivare, deci orice constantă ar fi dat aceeași $F^{\prime }$. Capcană: derivata constantei $2017$ se ia $2017$; atunci $F^{\prime }$ nu ar mai fi $f$.)

c) (5 p) Pentru $x\in [1,2]$ se poate simplifica prin $x$: $g(x)=\frac{x^2+5x}{x}=x+5$. Volumul este $$\mathcal{V}=\pi {\int }_1^2{g}^2(x)dx=\pi {\int }_1^2(x+5{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^2\left(x^2+10x+25\right)dx\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{x^3}{3}+5x^2+25x\right){|}_1^2=\frac{127\pi }{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\left(\frac{(x+5{)}^3}{3}\right){|}_1^2=\frac{343-216}{3}=\frac{127}{3}$. Capcană: pătratul $(x+5{)}^2$ se scrie $x^2+25$, fără termenul $10x$; atunci rezultatul ar fi $\pi \left(\frac{7}{3}+25\right)=\frac{82\pi }{3}$.)

Pentru părinți și profesori

Pe ce pagină ai ajuns. Este varianta 10 a probei de matematică tehnologic (M_tehnologic, sau „M3" cum se spune în școli) de la sesiunea de august 2017. Pe foaie semnează Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, iar candidații vin din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic). Enunțurile urmează PDF-ul litera cu literă; tot ce e rezolvare, probă sau ghidaj aparține paginii noastre, iar de la baremul oficial am păstrat numai felul în care se împart punctele.

Poziția în timp. Din 2013 matematica tehnologică se dă pe subiect separat, așa că lucrarea din august 2017 face parte din al cincilea an al probei.

De ce merită această variantă:

• parcurge trei mari domenii ale programei: calcul și geometrie în plan (Subiectul I), algebră cu matrice și polinoame (Subiectul II) și analiză cu derivate și integrale (Subiectul III);
• la matrice, produsul $A\cdot B$ diferă de $B\cdot A$, iar diferența lor are zerouri pe diagonală;
• la polinoame, suma pătratelor rădăcinilor se află fără a rezolva ecuația de gradul $3$;
• la analiză, o limită cu numitorul care se anulează se rezolvă prin derivata din punctul $1$.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile și întregii se combină în cadrul numerelor reale din clasa a IX-a (programa de examen). Programa școlară nouă pentru clasa a IX-a nu cuprinde un asemenea capitol, de aceea materia stă la noi în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Cerința 3 se rezolvă prin ridicare la pătrat și verificarea soluțiilor. Ecuațiile cu radicali se cer la examen în clasa a X-a, iar programa școlară nouă le trimite la grafice sau la instrumente digitale; metoda stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Raportul dintre numărul valorilor care verifică egalitatea și numărul tuturor valorilor este probabilitate de clasa a X-a atât la examen, cât și în programa școlară nouă; nu există supliment pentru această temă.
• Nota 4. Coordonatele și distanța dintre două puncte sunt, la examen, în clasa a X-a, dar în programa școlară nouă în clasa a IX-a. Programele așază diferit materia, iar pagina o citește după cea de examen.
• Nota 5. Pentru $\sin 120^{\circ }$ se folosește reducerea la primul cadran, care aparține clasei a IX-a atât în programa de examen, cât și în programa școlară nouă; tema nu cere supliment.

Format și puncte. Subiectul I conține șase cerințe de câte 5 puncte. Subiectele II și III au fiecare două probleme de câte 15 puncte, în trei subpuncte de 5 puncte. Cerința 4 are în baremul oficial trei rânduri, cu 1, 2 și 2 puncte, iar toate celelalte cerințe și subpuncte au câte două. Din oficiu se adaugă 10 puncte, iar timpul de lucru este de trei ore.

Un plan de lucru. Dacă îți rezervi 30 de minute pentru recitire, ai la dispoziție 150 de minute pentru 90 de puncte, adică $\frac{150}{90}\approx 1,7$ minute pe punct. Subiectul I poate fi încheiat repede, ca să rămână timp pentru problemele de 15 puncte.

Nota și punctele. Nota 6 înseamnă 60 de puncte în total, deci 50 din cele 90 ale cerințelor; nota 8 cere 70 din 90. Peste 70 de puncte, restul se câștigă la subpunctele c). Baremul oficial recunoaște orice soluție corectă, chiar dacă diferă de cea din document, nu fracționează punctele și împarte totalul la zece pentru a obține nota.

Formule folosite, pe subiecte:

• Subiectul I. distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată din suma pătratelor a două diferențe, una de abscise și una de ordonate; sinusul unui unghi este egal cu sinusul suplementului său.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; la împărțirea unui polinom $f$ la $X-a$, restul este $f(a)$; pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$: $x_1+x_2+x_3=-b$ și $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=c$; suma pătratelor rădăcinilor este pătratul sumei lor, din care se scade dublul sumei produselor luate câte două.
• Subiectul al III-lea. derivata $f^{\prime }(a)$ este limita câtului dintre creșterea lui $f$ și creșterea lui $x$, când creșterea lui $x$ se apropie de zero; $f^{\prime }\le 0$ pe un interval înseamnă $f$ descrescătoare pe el; volumul corpului obținut prin rotirea graficului lui $g:[a,b]\to \mathbb{R}$ în jurul axei $Ox$ este $\pi$ înmulțit cu integrala pătratului lui $g$ pe $[a,b]$.

Despre litere. Litera $f$ are patru înțelesuri în această lucrare: $f(x)=x^2+m$ la cerința 2, polinomul $f=X^3+3X^2-X-3$ la cerința 8, $f(x)=2x^3-6x+4$ la cerința 9 și $f(x)=x^2+5x$ la cerința 10. $M$, $N$, $P$ sunt puncte la cerința 5; $A$ este punct la cerința 2, mulțime la cerința 4 și matrice la cerința 7, unde apare și $B$. „Itemul n" din secțiunile următoare e eticheta baremului, iar la clasă se zice „cerința n".