Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2026 (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1+\frac{1}{5}\right):2+\frac{2}{5}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4-2x$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=2\cdot f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{6x+7}=5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie multiplu de $4$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,0)$, $B(2,6)$ și $C$, mijlocul segmentului $AB$. Arătați că $OC=3\sqrt{2}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2(\sin 60^{\circ }{)}^2+\sin 45^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $M(a)=\left(\begin{array}{cc}2a& a-1\\ a+1& a+3\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (M(2))=17$.

b) (5 puncte) Arătați că $4M(2)-M(5)=3M(1)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că numărul $N=\det (M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0))$ este pătratul unui număr natural, pentru orice număr natural $n$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=3x-2y+xy$.

a) (5 puncte) Arătați că $2\circ 2=6$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $3\circ x=3$.

c) (5 puncte) Determinați numerele întregi $m$ pentru care $(-m)\circ m>m\circ m$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+3x^2-24x+21$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-2)(x+4)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=18$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $-28\le x^3+3x^2-24x\le 80$, pentru orice $x\in [-4,3]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x-4$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^1\left(f(x)+4\right)dx=0$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx=\frac{6}{5}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^e\frac{f(ax)}{x}\cdot \ln xdx=8$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale cerințelor se împart în trei subiecte de câte 30 p: itemii 1–6 (câte 5 p), itemii 7–8 și itemii 9–10; adăugând 10 p din oficiu, lucrarea însumează 100 p. Pentru itemii 7–10 fiecare subpunct are 5 p, iar baremul îl împarte pe două rânduri. Împărțirea redă baremul oficial de evaluare și de notare al subiectului de rezervă din august 2026 (Varianta 5); tot restul textului din secțiune e al nostru.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Paranteza are valoarea $1+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$, deci $$\left(1+\frac{1}{5}\right):2+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}:2+\frac{2}{5}\text{(3 p)}.$$ Împărțirea la $2$ înseamnă înmulțirea cu $\frac{1}{2}$: $\frac{6}{5}:2=\frac{3}{5}$. Suma devine $$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{5}{5}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale, cu zecimale: $1,2:2+0,4=0,6+0,4=1$. Capcană: împărțirea la $2$ se leagă doar de fracția din paranteză, ca și cum paranteza n-ar exista, $1+\frac{1}{5}:2=1+\frac{1}{10}=\frac{11}{10}$; sau se înmulțește cu $2$ în loc să se împartă, $\frac{6}{5}\cdot 2+\frac{2}{5}=\frac{14}{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi.

Valoarea fixă este $f(1)=4-2\cdot 1=2$, iar $f(a)=4-2a$ pentru orice $a$ real. Condiția cerută se scrie $$4-2a=2\cdot 2=4\text{(3 p)}.$$ Atunci $-2a=0$, adică $\mathbf{a}=0$ (2 p).

(Probă: $f(0)=4$, iar $2\cdot f(1)=4$. Capcană: $2\cdot f(1)$ se confundă cu $f(2)$; ecuația $4-2a=f(2)=0$ dă $a=2$, dar $f(2)=0\ne 4$. Altă greșeală: factorul $2$ se uită, $4-2a=2$, deci $a=1$, dar $f(1)=2\ne 4$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Membrul drept, $5$, este pozitiv, deci prin ridicarea la pătrat se păstrează echivalența cu $u=25$: $$6x+7=25\text{(3 p)}.$$ De aici $6x=18$, deci $\mathbf{x}=3$; verificarea $\sqrt{6\cdot 3+7}=\sqrt{25}=5$ arată că soluția convine (2 p).

(Capcană: $5$ se dublează în loc să se ridice la pătrat, $6x+7=10$, de unde $x=\frac{1}{2}$, dar $\sqrt{10}\ne 5$; sau radicalul pur și simplu dispare, $6x+7=5$, și iese $x=-\frac{1}{3}$, dar $\sqrt{5}\ne 5$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $11,12,\dots ,20$, adică $10$ elemente: sunt $10$ cazuri posibile (2 p).

Multiplii lui $4$ din $A$ se obțin din $4\cdot 3=12$, $4\cdot 4=16$ și $4\cdot 5=20$; $4\cdot 2=8$ este prea mic, iar $4\cdot 6=24$ prea mare. Sunt deci $3$ cazuri favorabile și $$\mathbf{p}=\frac{3}{10}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: se uită $20$, care aparține lui $A$, și iese $\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$; sau se numără $8$, care nu aparține lui $A$, și iese $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Altă greșeală: cazurile posibile se iau $20$ (de la $1$ la $20$), nu $10$, și iese $\frac{3}{20}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța.

Mijlocul lui $[AB]$ are coordonatele semisumelor: $$C\left(\frac{4+2}{2},\frac{0+6}{2}\right)=C(3,3)\text{(2 p)}.$$ Distanța de la origine $O(0,0)$ la $C$ este $$OC=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $C$ se află pe dreapta $y=x$, deci $OC$ este diagonala unui pătrat cu latura $3$, adică $3\sqrt{2}$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ și iese $C(6,6)$, cu $OC=6\sqrt{2}$; sau coordonatele se scad, $C(1,-3)$, cu $OC=\sqrt{10}$; sau se împarte doar abscisa, $C(3,6)$, cu $OC=3\sqrt{5}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute sunt $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (3 p). Atunci $$2(\sin 60^{\circ }{)}^2+\sin 45^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }=2\cdot \frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\sin 45^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }=\frac{1}{2}$, adică jumătate din $\sin 90^{\circ }=1$. Capcană: $\sin 60^{\circ }$ se ia $\frac{1}{2}$, valoarea lui $\sin 30^{\circ }$, și expresia ar da $\frac{2}{4}+\frac{1}{2}=1$; sau $\sin 45^{\circ }$ și $\cos 45^{\circ }$ se iau ambele $\frac{\sqrt{3}}{2}$, și iese $\frac{3}{2}+\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$ elementele sunt $2a=4$, $a-1=1$, $a+1=3$ și $a+3=5$: $$M(2)=\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 5\end{array}\right),\det (M(2))=\left|\begin{array}{cc}4& 1\\ 3& 5\end{array}\right|=4\cdot 5-1\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det (M(2))=20-3=17\text{(2 p)}.$$

(Pentru orice $a$, $\det M(a)=2a(a+3)-(a-1)(a+1)=a^2+6a+1$, iar la $a=2$ iese $4+12+1=17$. Capcană: produsele se adună, $20+3=23$; sau $a+1$ se calculează $4$, $4\cdot 5-1\cdot 4=16$; sau $2a$ se citește $2$, $2\cdot 5-1\cdot 3=7$.)

b) (5 p) Se calculează $M(5)=\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 6& 8\end{array}\right)$ și $M(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 4\end{array}\right)$, apoi $$4M(2)-M(5)=\left(\begin{array}{cc}16& 4\\ 12& 20\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}10& 4\\ 6& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 6& 12\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Și $3M(1)=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 6& 12\end{array}\right)$, deci $$4M(2)-M(5)=3M(1)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $M(a)=aU+V$, cu $U=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ și $V=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$, deci $4M(2)-M(5)=(8-5)U+(4-1)V=3(U+V)=3M(1)$. Capcană: factorul $4$ se aplică doar primei linii și diferența ar fi $\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ -3& -3\end{array}\right)$; sau se scade fără factorul $4$, $M(2)-M(5)=\left(\begin{array}{cc}-6& -3\\ -3& -3\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Se calculează, pe rând, $M(0)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $M(n)=\left(\begin{array}{cc}2n& n-1\\ n+1& n+3\end{array}\right)$: $$M(0)\cdot M(n)=\left(\begin{array}{cc}-n-1& -n-3\\ 5n+3& 4n+8\end{array}\right),M(1)\cdot M(0)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 4& 10\end{array}\right).$$ Diferența lor este $$M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0)=\left(\begin{array}{cc}-n-1& -n-1\\ 5n-1& 4n-2\end{array}\right),\text{ pentru orice numa˘r natural }n\text{(2 p)}.$$ Determinantul are factorul comun $-n-1$ pe prima linie: $$N=(-n-1)(4n-2)-(-n-1)(5n-1)=(-n-1)((4n-2)-(5n-1))=(-n-1)(-n-1)=(n+1{)}^2\text{(3 p)}.$$ Pentru $n$ natural, baza $n+1$ e tot un număr natural, așa că $N=(n+1{)}^2$ are forma cerută.

(De ce iese: $M(0)=V$ și $M(n)=nU+V$, deci diferența este $nVU-UV$, cu $VU=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 5& 4\end{array}\right)$ și $UV=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$. Probă: pentru $n=0$, $N=1=1^2$, iar pentru $n=2$, $N=\det \left(\begin{array}{cc}-3& -3\\ 9& 6\end{array}\right)=-18+27=9=3^2$. Capcană: cele două produse din formula determinantului se adună, nu se scad, $(-n-1)(9n-3)=-9n^2-6n+3$, care pentru $n=1$ dă $-12$, nu un pătrat; sau determinantul se scrie în ordine inversă, $-(n+1{)}^2$, negativ.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=2$ în formulă: $$2\circ 2=3\cdot 2-2\cdot 2+2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$2\circ 2=6-4+4=6\text{(2 p)}.$$

(Legea se rescrie $x\circ y=(x-2)(y+3)+6$, deci $2\circ 2=0\cdot 5+6=6$. Capcană: $-2y$ se ia $+2y$ și iese $6+4+4=14$; sau $xy$ se scade, $6-4-4=-2$; sau $2y$ se citește $2$, $6-2+4=8$.)

b) (5 p) Cu $x=3$ și $y$ necunoscut, notat $x$ în enunț: $$3\circ x=3\cdot 3-2x+3x=9+x\text{(3 p)}.$$ Ecuația $9+x=3$ dă $\mathbf{x}=-6$ (2 p).

(Probă: $3\circ (-6)=9+12-18=3$. Observație: legea nu este comutativă; $x\circ 3=3x-6+3x=6x-6$ este altceva decât $3\circ x=9+x$. Capcană: se rezolvă $x\circ 3=3$, adică $6x-6=3$, și iese $x=\frac{3}{2}$, dar $3\circ \frac{3}{2}=9+\frac{3}{2}=\frac{21}{2}$, nu $3$.)

c) (5 p) Pentru orice $m$ întreg, $$(-m)\circ m=3(-m)-2m+(-m)m=-5m-m^2,m\circ m=3m-2m+m^2=m+m^2\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea cerută este $-5m-m^2>m+m^2$, adică $2m^2+6m<0$, deci $m(m+3)<0$; aceasta are loc pentru $-3<m<0$, iar numerele întregi din acest interval sunt $$\mathbf{m}\in \{-2,-1\}\text{(3 p)}.$$

(Probă: pentru $m=-2$, $2\circ (-2)=6+4-4=6$ și $(-2)\circ (-2)=-6+4+4=2$, iar $6>2$; pentru $m=-3$ și $m=0$ cei doi membri sunt egali, $6=6$ și $0=0$, deci capetele nu convin. Capcană: se păstrează capetele $-3$ și $0$, deși inegalitatea este strictă.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, valori extreme.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: $$f^{\prime }(x)={\left(x^3\right)}^{\prime }+3{\left(x^2\right)}^{\prime }-24\cdot (x{)}^{\prime }+(21{)}^{\prime }=3x^2+6x-24\text{(2 p)}.$$ Se scoate factor comun $3$: $3x^2+6x-24=3\left(x^2+2x-8\right)$, iar trinomul are rădăcinile $2$ și $-4$: $$f^{\prime }(x)=3(x-2)(x+4),x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Capcană: constanta $21$ se păstrează în derivată, iar termenul liber devine $-24+21=-3$; sau ${\left(3x^2\right)}^{\prime }$ se scrie $3x$, nu $6x$; sau rădăcinile $2$ și $-4$ se iau cu semn schimbat, adică factorii $x+2$ și $x-4$, al căror produs are termenul de gradul întâi $-2x$, nu $+2x$.)

b) (5 p) Numărătorul este $x^3-f(x)=-3x^2+24x-21=-3\left(x^2-8x+7\right)=-3(x-1)(x-7)$, iar numitorul este $x^2-x=x(x-1)$; pentru $x=1$ se obține $\frac{0}{0}$, care dispare după simplificarea prin $x-1$: $$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-f(x)}{x^2-x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-3(x-1)(x-7)}{x(x-1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-3(x-7)}{x}\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{-3\cdot (-6)}{1}=18\text{(2 p)}.$$

(Altă cale, cu regula lui l'Hôpital: $\frac{(-3x^2+24x-21{)}^{\prime }}{(x^2-x{)}^{\prime }}=\frac{-6x+24}{2x-1}$, iar la $x=1$ iese $\frac{18}{1}=18$. Capcană: se uită schimbarea semnelor lui $f$ la scădere și numărătorul devine $-3x^2-24x+21$, care nu se mai anulează în $1$.)

c) (5 p) Derivata se anulează în $x=-4$ și $x=2$. Pe $[-4,2]$ avem $x-2\le 0$ și $x+4\ge 0$, deci $f^{\prime }\le 0$; pe $[2,3]$ ambii factori sunt nenegativi, deci $f^{\prime }\ge 0$: $$f\text{ scade pe }[-4,2]\text{ și crește pe }[2,3]\text{(3 p)}.$$ Valorile din punctele importante sunt $f(-4)=101$, $f(2)=-7$ și $f(3)=3$, așa că pe $[-4,3]$ minimul lui $f$ este $-7$, iar maximul $101$. Din $-7\le f(x)\le 101$ și $f(x)-21=x^3+3x^2-24x$ rezultă $$-28\le x^3+3x^2-24x\le 80\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(0)=21$ se află între $-7$ și $101$. Capcană: maximul se ia în $x=3$, $f(3)=3$, uitând capătul $-4$, unde $f(-4)=101$; sau minimul se ia în capătul $3$, deși punctul critic $2$ coboară mai jos, la $-7$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu o funcție de gradul întâi.

a) (5 p) Termenul liber se reduce: $f(x)+4=5x-4+4=5x$. Atunci $${\int }_{-1}^1\left(f(x)+4\right)dx={\int }_{-1}^{1}5xdx=\frac{5x^2}{2}{|}_{-1}^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $5x$ este o funcție impară, iar intervalul $[-1,1]$ este simetric. Capcană: $+4$ se uită și se integrează $5x-4$, de unde $-8$; sau primitiva lui $5x$ se scrie $5x$ și iese $10$.)

b) (5 p) Pe $[1,4]$, $f(x)=5x-4\ge 1>0$, deci radicalul are sens. Cum ${\left(\sqrt{5x-4}\right)}^{\prime }=\frac{5}{2\sqrt{5x-4}}$, o primitivă a lui $\frac{1}{\sqrt{5x-4}}$ este $\frac{2}{5}\sqrt{5x-4}$: $${\int }_1^4\frac{1}{\sqrt{f(x)}}dx=\frac{2}{5}\sqrt{5x-4}{|}_1^4\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{2}{5}\left(\sqrt{16}-\sqrt{1}\right)=\frac{2}{5}\cdot 3=\frac{6}{5}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $5x-4$ nu se ține seama, primitiva se scrie $2\sqrt{5x-4}$ și iese $6$; sau se ține seama de $5$, dar nu și de factorul $2$ al derivatei radicalului, $\frac{1}{5}\sqrt{5x-4}$, de unde $\frac{3}{5}$; sau se confundă cu $\frac{1}{u}$, a cărui primitivă este $\ln u$, și iese $\frac{4\ln 2}{5}$.)

c) (5 p) Cu $f(ax)=5ax-4$, integrandul se desface în doi termeni: $$\frac{f(ax)}{x}\cdot \ln x=\frac{5ax-4}{x}\ln x=5a\ln x-4\cdot \frac{\ln x}{x}\text{(2 p)}.$$ Se calculează separat cele două integrale: ${\int }_1^e\ln xdx=(x\ln x-x){|}_1^e=(e-e)-(0-1)=1$, iar ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e=\frac{1}{2}$. Atunci $${\int }_1^e\frac{f(ax)}{x}\cdot \ln xdx=5a\cdot 1-4\cdot \frac{1}{2}=5a-2,$$ iar $5a-2=8$ dă $\mathbf{a}=2$ (3 p).

(Probă: pentru $a=2$, $f(2x)=10x-4$ și integrala este $10\cdot 1-4\cdot \frac{1}{2}=8$. Capcană: primitiva lui $\ln x$ se scrie $x\ln x$, fără $-x$; atunci ${\int }_1^e\ln xdx$ ar fi $e$, ecuația ar fi $5ae-2=8$, iar $a=\frac{2}{e}$; sau ${\ln }^{2}x{|}_1^e=1$ fără jumătate, $5a-4=8$, de unde $a=\frac{12}{5}$.)

Pentru părinți și profesori

Varianta 5 este subiectul de rezervă al sesiunii de august 2026 la matematică M_tehnologic, cunoscută în școli drept „M3”. Pagina de față păstrează enunțurile oficiale exact așa cum au fost tipărite și le pune alături de baremul oficial și de rezolvări scrise de noi, cu un ghidaj pe pași pentru fiecare cerință. Pe documentele oficiale stă menționat că lucrarea se adresează elevilor din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic, toate calificările profesionale), iar antetul este cel al Ministerului Educației și Cercetării și al CNCE.

Ca toate cele 83 de probe din arhiva noastră (2013–2026), lucrarea începe cu șase cerințe scurte și continuă cu patru probleme, fiecare cu trei subpuncte.

Harta cerințelor:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile din cerința 1 țin, la examen, de calculul cu numere reale din clasa a IX-a. Programa școlară nouă (din 2026–2027, începând cu clasa a IX-a) nu le dedică o unitate proprie, iar promoțiile care dau Bacalaureatul în 2027, 2028 sau 2029 au făcut (sau fac acum) clasele a IX-a și a X-a pe programa veche. Ele găsesc subiectul în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale”.
• Nota 2. Pentru ecuația cu radical din cerința 3 se ridică ambii membri la pătrat. Programa de examen o așază în clasa a X-a, dar în programa școlară nouă ecuațiile se rezolvă doar pe grafic sau cu mijloace digitale; metoda este reluată în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice”.
• Nota 3. La cerința 5 se cer mijlocul unui segment și o distanță în reperul cartezian. Distanța dintre două puncte este, în programa de examen, în clasa a X-a, iar în programa nouă a clasei a IX-a, unde se află și formula coordonatelor mijlocului. În lista conținuturilor de examen mijlocul unui segment nu este numit, deși subiectul îl folosește.

Ce are special varianta 5. La cerința 4, mulțimea $A$ are doar zece elemente și se numără pe listă. La cerința 5, mijlocul $C(3,3)$ are coordonatele egale, deci $OC$ este diagonala unui pătrat de latură $3$. La Subiectul al II-lea, matricea $M(a)$ are forma „$a$ ori o matrice fixă, plus o altă matrice fixă”, iar la c) expresia $M(0)\cdot M(n)-M(1)\cdot M(0)$ are determinantul $(n+1{)}^2$, deci un pătrat perfect pentru orice $n$. Legea de compoziție se poate rescrie $x\circ y=(x-2)(y+3)+6$, formă din care se vede și rezolvarea de la c). La Subiectul al III-lea, limita de la 9.b) are forma $\frac{0}{0}$ și se simplifică prin $x-1$; la 9.c) extremele pe un interval se caută în punctele critice și în capete. Ultima problemă are o funcție de gradul întâi, dar integrala de la c) combină doi logaritmi.

Cum lucrezi varianta ca pe un examen:

• Ritmul. Lucrarea durează trei ore, fără calculator. Un exemplu de împărțire: $30$ de minute pentru cele $30$ de puncte ale Subiectului I, apoi $150$ de minute în care se lucrează problemele de $15$ puncte, adică $2$ minute și $30$ de secunde pentru fiecare punct.
• Scrierea. Un subpunct valorează $5$ puncte și are două rânduri de barem, $3+2$ sau $2+3$; scrie pe foaie ce reprezintă fiecare rând, în ordinea din barem.
• Ce spune baremul oficial. El recunoaște orice soluție corectă, chiar dacă alege altă cale decât a lui; fracțiuni de punct nu se dau; nota finală este totalul împărțit la zece, cu cele zece puncte din oficiu cuprinse în total.
• La verificare: pune la ecuația cu radical soluția înapoi în enunț; la 8.c), tratează capetele intervalului $(-3,0)$ ca excluse; la 9.c), compară valorile din capetele intervalului cu cea din punctul critic; la 10.c), calculează separat cele două integrale cu logaritm.
• După corectare. Treci fiecare subpunct ratat în harta cerințelor și notează ce a lipsit: formula, calculul sau ideea.

Formulele variantei 5:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}:c=\frac{a}{b\cdot c}$; $\sqrt{u}=c$, cu $c>0$, dă $u=c^2$; probabilitatea este $\frac{\text{cazuri favorabile}}{\text{cazuri posibile}}$; $OC=\sqrt{x_C^2+y_C^2}$ pentru $O(0,0)$; $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; la o lege de compoziție, $a\circ b$ se obține înlocuind $a$ și $b$ în formulă, iar ordinea contează; $m(m+3)<0$ pentru $-3<m<0$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; o limită de forma $\frac{0}{0}$ cu polinoame se rezolvă simplificând factorul comun; $f^{\prime }\le 0$ pe un interval înseamnă $f$ descrescătoare, $f^{\prime }\ge 0$, crescătoare; $\int \frac{dx}{\sqrt{u}}$ se află din ${\left(\sqrt{u}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$; ${\int }_1^e\ln xdx=(x\ln x-x){|}_1^e$ și ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx=\frac{{\ln }^{2}x}{2}{|}_1^e$.

Despre litere. În lucrare, $A$ este mulțimea de la cerința 4 și punctul de la cerința 5, iar $M$ este matricea de la cerința 7; cu $a$ se notează necunoscuta de la cerința 2, parametrul din matricea de la cerința 7 și valoarea căutată la 10.c). Litera $f$ denumește trei funcții, $4-2x$ (2), $x^3+3x^2-24x+21$ (9) și $5x-4$ (10), așa că fiecare problemă se citește separat. Litera $n$ este un număr natural la 7.c), iar $m$ un număr întreg la 8.c).

Numerotarea „Itemul n” din titlurile de mai jos vine din barem; aici „itemul” și „cerința” sunt unul și același lucru.