Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2020 (varianta 6) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2020 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3 (23 + 1) - 3 = 6$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - 4 x + 2$ . Determinați numerele reale $a$ pentru care $f (a) = 2$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x - 1 = 3$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $10%$ , un obiect costă $180$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 1)$ , $B (- 4, 1)$ și $C (0, 4)$ . Determinați lungimea înălțimii din vârful $C$ în triunghiul $A B C$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $3 \cdot sin 6 0^{\circ} - 2 \cdot cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A = (1032)$ și $I_{2} = (1001)$ .

a) (5 puncte) Arătați că $det A = 2$ .

b) (5 puncte) Arătați că $3 A - A \cdot A = 2 I_{2}$ .

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(x A - I_{2}) (x A - I_{2}) = 5 A - I_{2}$ .

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x^{2} + (x + 1) (y + 1) + y^{2}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $3 \circ (- 1) = 10$ .

b) (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „ $\circ$ " este comutativă.

c) (5 puncte) Demonstrați că $x \circ 1 \geq 2$ , pentru orice număr real $x$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : (0, + \infty) \to R$ , $f (x) = (x - 1) ln x$ .

a) (5 puncte) Arătați că $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} + ln x$ , $x \in (0, + \infty)$ .

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x = 1$ , situat pe graficul funcției $f$ .

c) (5 puncte) Demonstrați că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $(0, 1]$ .

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 1 + \frac{x}{x ^{2} + 1} - \frac{2}{x ^{2} + 1}$ .

a) (5 puncte) Arătați că $\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) f (x) d x = - \frac{1}{6}$ .

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F (0) = 0$ .

c) (5 puncte) Arătați că $\int_{1}^{2} (f (x) + f (\frac{1}{x})) d x = ln \frac{5}{2}$ .

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I: 30 p (cerințele 1–6, câte 5 p). Subiectul al II-lea: 30 p (cerințele 7 și 8). Subiectul al III-lea: 30 p (cerințele 9 și 10). La cerințele 7–10, fiecare subpunct are 5 p, în două rânduri. La fiecare rând marcat, punctele sunt cele ale documentului oficial din iunie 2020 (Varianta 6); textul rezolvărilor, al explicațiilor și al probelor ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — produs cu radicali.

Se înmulțește $3$ cu fiecare termen din paranteză, lăsând încă netăiați radicalii: $3 (23 + 1) - 3 = 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 - 3 (3 p) .$ Produsul $3 \cdot 3$ este $3$ , iar ultimii doi termeni se reduc: $2 \cdot 3 + 3 - 3 = 2 \cdot 3 = 6 (2 p) .$

(Altă cale: $3 (23 + 1) - 3 = 3 \cdot 23 + 3 \cdot 1 - 3$ , iar $3 \cdot 1$ se reduce cu $- 3$ . Capcană: produsul $3 \cdot 3$ se scrie $6$ , prin adunarea radicanzilor; atunci $26 \approx 4, 90$ , nu $6$ .)

Exercițiul 2. (5 p) — ecuația $f (a) = 2$ .

Se pune condiția $f (a) = 2$ în formula funcției și se trece totul într-un membru: $a^{2} - 4 a + 2 = 2 ⟺ a^{2} - 4 a = 0 (3 p) .$ Se scoate $a$ factor comun: $a (a - 4) = 0$ , deci $a = 0$ sau $a = 4$ (2 p).

(Probă: $f (0) = 2$ și $f (4) = 16 - 16 + 2 = 2$ . Altă cale: axa de simetrie a parabolei este $x = 2$ , iar $0$ și $4$ sunt simetrice față de ea. Capcană: ecuația $a^{2} = 4 a$ se împarte la $a$ și rămâne $a = 4$ ; soluția $a = 0$ se pierde, fiindcă împărțirea la $a$ nu e permisă când $a = 0$ .)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Radicalul de ordinul $2$ are valori nenegative, iar partea dreaptă, $3$ , este pozitivă; se ridică ambii membri la pătrat: $x - 1 = 3^{2} = 9 (3 p) .$ De aici $x = 10$ . Verificare: $10 - 1 = 9 = 3$ , deci valoarea convine: $x = 10$ (2 p).

(Capcană: se ridică la pătrat doar membrul stâng și se scrie $x - 1 = 3$ , cu $x = 4$ ; dar $4 - 1 = 3 \approx 1, 73$ , nu $3$ .)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire în procente.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. Ieftinirea înseamnă $10%$ din $x$ , scăzută din $x$ : $x - \frac{10}{100} \cdot x = 180 (3 p) .$ Membrul stâng este $\frac{9}{10} x$ , așa că $x = 180 \cdot \frac{10}{9} = 200$ de lei (2 p).

(Probă: $10%$ din $200$ este $20$ , iar $200 - 20 = 180$ . Capcană: $10%$ se adaugă la prețul de acum; $10%$ din $180$ este $18$ , iar $180 + 18 = 198$ ; dar o ieftinire cu $10%$ duce $198$ la $198 - 19, 8 = 178, 2$ , nu la $180$ .)

Exercițiul 5. (5 p) — înălțimea unui triunghi.

Punctele $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci $A B$ este orizontal, iar $C$ stă pe axa $O y$ . Distanțele de la $C$ la capete sunt egale: $A C = (0 - 4)^{2} + (4 - 1)^{2} = 5$ și $B C = (0 + 4)^{2} + (4 - 1)^{2} = 5$ . Triunghiul este isoscel, cu $A C = B C$ , deci înălțimea din $C$ cade în mijlocul $D (0, 1)$ al lui $A B$ (3 p). Înălțimea este $C D = (0 - 0)^{2} + (4 - 1)^{2} = 3$ (2 p).

(Altă cale: dreapta $A B$ are ecuația $y = 1$ , iar distanța de la $C (0, 4)$ la ea este $4 - 1 = 3$ . Capcană: se ia drept înălțime una dintre laturi sau baza; $A B = 8$ este baza, iar $A C = B C = 5$ sunt laturile, niciuna nefiind înălțimea.)

Exercițiul 6. (5 p) — expresie trigonometrică.

Valorile cunoscute sunt $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ și $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ (2 p). Înlocuind, se obține $3 \cdot \frac{3}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} = \frac{1}{2} (3 p) .$

(Capcană: $cos 4 5^{\circ}$ se ia egal cu $\frac{1}{2}$ , valoarea lui $cos 6 0^{\circ}$ ; atunci $\frac{3}{2} - \frac{2}{2} \approx 0, 79$ , nu $\frac{1}{2}$ .)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2 \times 2$ .

a) (5 p) Se aplică formula determinantului $2 \times 2$ : $det A = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 0 (3 p) .$ $det A = 2 - 0 = 2 (2 p) .$

(Observație: matricea este superior triunghiulară, iar determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonală, $1 \cdot 2$ . Capcană: se înmulțesc toate cele patru elemente, $1 \cdot 3 \cdot 0 \cdot 2 = 0$ .)

b) (5 p) Produsul $A \cdot A$ , linie cu coloană: $A \cdot A = (1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 0 \cdot 3 + 2 \cdot 2) = (1094) (2 p) .$ Atunci $3 A - A \cdot A = (3096) - (1094) = (2002) = 2 I_{2} (3 p) .$

(Observație: coeficienții relației nu sunt întâmplători; $3 = 1 + 2$ este suma elementelor de pe diagonală, iar $2$ este chiar $det A$ . Capcană: $A \cdot A$ se confundă cu $2 A$ ; atunci $3 A - 2 A = A$ , iar $A \neq = 2 I_{2}$ .)

c) (5 p) Se calculează $x A - I_{2}$ și pătratul ei, iar $5 A - I_{2}$ se scrie explicit: $x A - I_{2} = (x - 1 0 3 x 2 x - 1), (x A - I_{2}) (x A - I_{2}) = ((x - 1)^{2} 0 9 x^{2} - 6 x (2 x - 1)^{2}), 5 A - I_{2} = (40159) (3 p) .$ Egalitatea matricelor cere trei egalități, câte una pe fiecare poziție nenulă. Stânga sus se reduce la $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $3$ ; dreapta sus, la $9 x^{2} - 6 x = 15$ , adică $3 x^{2} - 2 x - 5 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $\frac{5}{3}$ ; dreapta jos, la $x^{2} - x - 2 = 0$ , cu soluțiile $- 1$ și $2$ . Singura valoare comună este $x = - 1$ (2 p).

(Probă: pentru $x = - 1$ , $- A - I_{2} = (- 2 0 - 3 - 3)$ , iar pătratul ei este $(40159)$ . Capcană: se rezolvă doar prima egalitate și se reține $x = 3$ ; la $x = 3$ , elementul din dreapta sus este $9 \cdot 9 - 6 \cdot 3 = 63$ , nu $15$ .)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x = 3$ și $y = - 1$ în definiție: $3 \circ (- 1) = 3^{2} + (3 + 1) (- 1 + 1) + (- 1)^{2} (3 p) .$ $3 \circ (- 1) = 9 + 4 \cdot 0 + 1 = 10 (2 p) .$

(Capcană: $(- 1)^{2}$ se scrie $- 1$ ; atunci rezultatul ar fi $9 + 0 - 1 = 8$ , dar $(- 1)^{2} = 1$ .)

b) (5 p) Definiția spune că $x \circ y = x^{2} + (x + 1) (y + 1) + y^{2}$ (2 p). Dacă $x$ și $y$ își schimbă rolurile, se obține $y \circ x = y^{2} + (y + 1) (x + 1) + x^{2}$ . Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative, deci termenii pot fi reordonați: $y^{2} + (y + 1) (x + 1) + x^{2} = x^{2} + (x + 1) (y + 1) + y^{2}$ . Așadar $y \circ x = x \circ y$ pentru orice $x, y \in R$ , adică legea este comutativă (3 p).

(Capcană: se verifică o singură pereche, $3 \circ 1 = 9 + 4 \cdot 2 + 1 = 18$ și $1 \circ 3 = 1 + 2 \cdot 4 + 9 = 18$ ; egalitatea unui caz nu dovedește comutativitatea, care se cere pentru toate perechile.)

c) (5 p) Se înlocuiește $y = 1$ : $x \circ 1 = x^{2} + (x + 1) (1 + 1) + 1^{2} = x^{2} + 2 x + 3 (3 p) .$ Se completează pătratul: $x^{2} + 2 x + 3 = (x + 1)^{2} + 2$ . Cum $(x + 1)^{2} \geq 0$ , rezultă $x \circ 1 \geq 2$ pentru orice $x \in R$ (2 p).

(Observație: valoarea $2$ se atinge pentru $x = - 1$ , fiindcă $(- 1) \circ 1 = 1 + 0 + 1 = 2$ . Capcană: la completarea pătratului se uită termenul $+ 2$ și se păstrează numai $(x + 1)^{2}$ ; atunci s-ar demonstra $x \circ 1 \geq 0$ , nu $x \circ 1 \geq 2$ .)

Exercițiul 9. (15 p) — produs cu logaritm.

a) (5 p) Funcția este produsul dintre $x - 1$ și $ln x$ , deci se aplică regula produsului: $f^{'} (x) = (x - 1)^{'} ln x + (x - 1) (ln x)^{'} (3 p) .$ Cum $(x - 1)^{'} = 1$ și $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ , rezultă $f^{'} (x) = ln x + \frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x} + ln x$ , pentru $x \in (0, + \infty)$ (2 p).

(Capcană: derivata produsului se ia drept produsul derivatelor, $1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ , ceea ce nu coincide cu $f^{'} (x)$ din enunț.)

b) (5 p) Tangenta cere două numere la abscisa $1$ , valoarea lui $f$ și valoarea lui $f^{'}$ : $f (1) = 0 \cdot ln 1 = 0$ și $f^{'} (1) = 1 - 1 + ln 1 = 0$ (2 p). Tangenta are ecuația $y - f (1) = f^{'} (1) (x - 1)$ ; cu valorile găsite, ea devine $y = 0$ , chiar axa $O x$ (3 p).

(Altă cale: factorii $x - 1$ și $ln x$ au același semn, deci $f (x) \geq 0$ , iar $f (1) = 0$ este minim; într-un minim, tangenta este orizontală. Capcană: $ln 1$ se ia drept $1$ ; atunci $f^{'} (1)$ ar ieși $1$ , iar tangenta ar fi $y = x - 1$ , în loc de $y = 0$ .)

c) (5 p) Pentru $x \in (0, 1]$ avem $x \leq 1$ , deci $ln x \leq 0$ , și $\frac{1}{x} \geq 1$ , deci $1 - \frac{1}{x} \leq 0$ (3 p). Atunci $f^{'} (x) = (1 - \frac{1}{x}) + ln x \leq 0$ pe $(0, 1]$ , fiind suma a doi termeni nepozitivi; așadar $f$ descrește pe $(0, 1]$ (2 p).

(Probă numerică: $f (\frac{1}{4}) \approx 1, 04$ , $f (\frac{1}{2}) \approx 0, 35$ , $f (1) = 0$ . Capcană: se afirmă $1 - \frac{1}{x} \geq 0$ ; la $x = \frac{1}{2}$ , însă, $1 - 2 = - 1 < 0$ .)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale dintr-o funcție rațională.

a) (5 p) Se înmulțește $f (x)$ cu $x^{2} + 1$ termen cu termen: $(x^{2} + 1) f (x) = x^{2} + 1 + x - 2 = x^{2} + x - 1$ . Integrala devine $\int_{0}^{1} (x^{2} + x - 1) d x = (\frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} - x)_{0}^{1} (3 p) .$ $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = - \frac{1}{6} (2 p) .$

(Capcană: al treilea termen al lui $f$ se adaugă în loc să se scadă, $x^{2} + 1 + x + 2$ ; atunci integrala ar fi $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 3 = \frac{23}{6}$ , nu $- \frac{1}{6}$ .)

b) (5 p) Primitiva cu $F (0) = 0$ este integrala $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ . Se integrează pe rând cei trei termeni, folosind primitivele $t$ , $\frac{1}{2} ln (t^{2} + 1)$ și $arctg t$ : $F (x) = (t + \frac{1}{2} ln (t^{2} + 1) - 2 arctg t)_{0}^{x} (3 p) .$ La limita $0$ , toți termenii se anulează, deci $F (x) = x + \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) - 2 arctg x$ , pentru $x \in R$ (2 p).

(Verificare: derivata este $1 + \frac{x}{x ^{2} + 1} - \frac{2}{x ^{2} + 1} = f (x)$ , iar $F (0) = 0 + 0 - 0 = 0$ . Capcană: factorul $\frac{1}{2}$ se uită; derivata lui $ln (x^{2} + 1)$ are numărătorul $2 x$ , adică de două ori mai mult decât termenul cu $x$ din $f$ .)

c) (5 p) Se calculează $f (\frac{1}{x}) = 1 + \frac{x}{1 + x ^{2}} - \frac{2 x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ , pentru $x \neq = 0$ . Suma celor două valori este $f (x) + f (\frac{1}{x}) = 2 + \frac{2 x}{1 + x ^{2}} - \frac{2 + 2 x ^{2}}{1 + x ^{2}} = \frac{2 x}{1 + x ^{2}} (2 p) .$ Numărătorul fracției, $2 x$ , este derivata numitorului $1 + x^{2}$ , deci o primitivă este logaritmul numitorului, $ln (1 + x^{2})$ : $\int_{1}^{2} \frac{2 x}{1 + x ^{2}} d x = ln (1 + x^{2})_{1}^{2} = ln 5 - ln 2 = ln \frac{5}{2} (3 p) .$

(Capcană: diferența logaritmilor se scrie ca logaritmul diferenței, adică $ln (5 - 2) = ln 3 \approx 1, 10$ , deși rezultatul corect este $ln \frac{5}{2} \approx 0, 92$ .)

Pentru părinți și profesori

Mai jos este Varianta 6 a lucrării de matematică M_tehnologic din sesiunea de iunie 2020 a Bacalaureatului, cu toate cele zece cerințe rezolvate. Foaia este cea a filierei tehnologice și poartă în antet Ministerul Educației și Cercetării și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile urmează întocmai documentul oficial. Tot restul (rezolvări, probe, observații, ghidaj) a fost scris pentru această pagină; din baremul oficial se regăsește doar felul în care sunt împărțite punctele pe rânduri.

Subiectul	Puncte	Ce conține în varianta 6
I	30	șase cerințe de câte 5 puncte: radicali, valorile unei funcții de gradul al doilea, ecuație cu radical, ieftinire în procente, înălțimea unui triunghi în reper cartezian, o expresie trigonometrică
al II-lea	30	două probleme de câte 15 puncte (trei subpuncte de 5 puncte): matrice $2 \times 2$ și o lege de compoziție
al III-lea	30	două probleme de câte 15 puncte: derivata unei funcții cu logaritm și integrale dintr-o funcție rațională
oficiu	10	primite de toți candidații

Materia fiecărei cerințe, pe clase

Cerința	Tema	Clasa la examen
1	produs cu radicali de ordinul $2$	a X-a
2	ecuația $f (a) = 2$ pentru o funcție de gradul al doilea	a IX-a
3	ecuație cu un radical de ordinul $2$	a X-a
4	prețul de dinainte de o ieftinire în procente	a X-a
5	înălțimea unui triunghi isoscel, cu coordonate	a X-a
6	valori de sinus și cosinus ale unor unghiuri cunoscute	a IX-a
7	matrice $2 \times 2$ : determinant, produs, o ecuație matriceală cu un parametru real	a XI-a
8	o lege de compoziție: o valoare, comutativitatea, o inegalitate	a XII-a
9	derivata unui produs cu $ln x$ , tangenta într-un punct, monotonia	a XI-a
10	o integrală, o primitivă cu condiție inițială, o integrală a cărei primitivă este un logaritm	a XII-a

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Două remarci verificabile. Programa de examen spune „primitive uzuale" fără să le înșire; primitiva lui $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ , adică $arctg x$ , apare aici la 10.b), unde o folosește și documentul oficial. A doua remarcă privește o copie a baremului care circulă în afara arhivei oficiale: la cerința 5 ea scrie $A B = B C$ , deși în triunghiul din enunț $A B = 8$ , iar $B C = 5$ ; documentul oficial scrie $A C = B C$ , adică exact egalitatea care face din $C D$ înălțime. Pagina urmează documentul oficial.

De unde vin punctele grele. La Subiectul al II-lea, subpunctul 7.b) cere produsul $A \cdot A$ , care revine sub altă formă în 7.c), în pătratul lui $x A - I_{2}$ ; acolo parametrul $x$ apare în trei ecuații, cu o singură valoare comună. La 8.c), inegalitatea se arată prin completarea unui pătrat. La Subiectul al III-lea, derivata de la 9.a) hotărăște restul problemei: tangenta de la b) și semnul de la c) se scot din ea. La 10, subpunctul c) reduce o sumă de două valori ale funcției la o fracție a cărei primitivă este un logaritm.

Ritmul de lucru. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. Dacă păstrezi 20 de minute pentru verificare, rămân 160 de minute pe cele 90 de puncte, adică puțin sub două minute pe punct. Rezolvările admise sunt cele corecte, nu numai cea tipărită în documentul oficial, iar punctele nu se fracționează. Nota este totalul lucrării împărțit la 10; cu cele 10 puncte din oficiu, nota 8 cere 70 de puncte din cele 90 ale cerințelor.

Locuri unde se alunecă la scris: la cerința 2, împărțirea ecuației $a^{2} - 4 a = 0$ la $a$ , care pierde soluția $0$ ; la cerința 3, ridicarea la pătrat făcută doar în stânga; la cerința 4, procentul calculat din prețul de acum; la 7.c), o singură ecuație din cele trei verificată; la 8.b), comutativitatea dovedită pe un exemplu; la 9.c), semnul lui $1 - \frac{1}{x}$ pe $(0, 1]$ ; la 10.b), factorul $\frac{1}{2}$ de la logaritm uitat.

Cum poți parcurge pagina. Citește enunțul cerinței, spune cu voce tare ce se dă și ce se cere, apoi rezolvă fără să te uiți mai jos. Compară abia după aceea, rând cu rând, iar pentru o cerință ratată recitește „Materia fiecărei cerințe" ca să știi la ce clasă să te întorci. Cerințele de 15 puncte se pot lucra și pe subpuncte, în ordinea a), b), c): la 9, derivata de la a) servește la b) și la c), iar la 7, produsul $A \cdot A$ de la b) revine la c).

Formule folosite în varianta 6

Subiectul I. $a \cdot a = a$ pentru $a \geq 0$ ; ecuația $u = v$ se ridică la pătrat, iar soluția se verifică; după o ieftinire cu $p %$ , prețul este prețul inițial înmulțit cu $1 - \frac{p}{100}$ ; într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf coincide cu mediana; $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ și $cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ .
Subiectul al II-lea. matricele $2 \times 2$ se înmulțesc linie cu coloană; legea „ $\circ$ " este comutativă dacă $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x, y$ .
Subiectul al III-lea. $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ; tangenta în punctul de abscisă $a$ are ecuația $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ ; $(ln u)^{'} = \frac{u ^{'}}{u}$ ; o fracție al cărei numărător este derivata numitorului are drept primitivă logaritmul numitorului, când numitorul este pozitiv.

Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos este cel din documentul oficial, unde numește cerința. Aceeași literă desemnează obiecte diferite: $f$ este funcția de gradul al doilea la cerința 2, produsul cu logaritm la 9 și funcția rațională la 10; $A$ , $B$ și $C$ sunt puncte la cerința 5, iar $A$ și $I_{2}$ sunt matrice la 7.