Subiect Bac matematică tehnologic, iunie 2023 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2023 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=6$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_7(2x+1)={\log }_{7}9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,23\}$, acesta să verifice inegalitatea $n\ge 10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$ și $B(1,6)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=\sqrt{2}$ și $BC=2$. Arătați că triunghiul $ABC$ este isoscel.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$ și $C=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-1$.

b) (5 puncte) Arătați că $2B-A=3C$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $2X\cdot A=B+2C$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=(x-4)(y-4)+4$.

a) (5 puncte) Arătați că $5\ast 4=4$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 6=6x$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $\frac{4}{n}\ast n>4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+6x^2-15x+9$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3\left(x^2+4x-5\right)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{e^x{f}^{\prime \prime }(x)}=0$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-9,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{8x}{x+9}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1(x+9)\cdot f(x)dx=4$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^6\frac{1}{8x}\cdot f(x)dx=\ln \frac{3}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_0^{3}f\left(x^2\right)dx=6(4+a\pi )$.

Barem și răspunsuri

Cerințele însumează 90 p, iar oficiul adaugă 10 p din oficiu: 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p; la cerințele 7–10, fiecare dintre cele trei subpuncte de 5 p are două rânduri de punctaj. Fiecare „(2 p)" sau „(3 p)" de mai jos înseamnă un rând din documentul oficial al sesiunii iunie 2023, varianta 1. Soluțiile, contraprobele și comentariile sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

Paranteza se calculează prima: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, deci $$3\cdot \left(1+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=3\cdot \frac{3}{2}-\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Produsul este $\frac{9}{2}$, iar $$\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=\frac{8}{2}=4\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $3$ distribuit în paranteză dă $3\cdot 1+3\cdot \frac{1}{2}=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$. Un rezultat greșit apare dacă $3$ înmulțește doar pe $1$: $3\cdot 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — o valoare a unei funcții afine.

Argumentul $a$ ia locul lui $x$ în formula funcției: $$f(a)=a+2\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(a)=6$ înseamnă $a+2=6$, deci $\mathbf{a}=4$ (3 p).

(Contraproba: $f(4)=4+2=6$. Un rezultat greșit apare dacă $f(a)$ se citește $a\cdot 2$; atunci $a\cdot 2=6$ dă $a=3$, dar $f(3)=5\ne 6$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul există dacă $2x+1>0$. Cum ${\log }_7$ ia fiecare valoare o singură dată, argumentele sunt egale: $$2x+1=9\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=4$, iar $2\cdot 4+1=9>0$, deci valoarea convine: $\mathbf{x}=4$ (2 p).

(Contraproba: ambii membri sunt ${\log }_{7}9$ pentru $x=4$. Un rezultat greșit apare dacă argumentul se egalează cu baza, $2x+1=7$, deci $x=3$; dar ${\log }_7(2\cdot 3+1)={\log }_{7}7=1$, iar ${\log }_{7}9$ este mai mare decât $1$, fiindcă $9>7$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $1,2,\dots ,23$, deci $$23\text{cazuri posibile}\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $n\ge 10$ este verificată de $10,11,\dots ,23$, adică de $23-10+1=14$ numere: $$p=\frac{14}{23}\text{(3 p)}.$$

(Contraproba: numerele mai mici decât $10$ sunt $1,\dots ,9$, adică $9$, iar $9+14=23$. Un rezultat greșit apare dacă se numără $23-10=13$ cazuri favorabile, omițând pe $10$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Abscisa mijlocului este semisuma absciselor capetelor $A(-1,2)$ și $B(1,6)$: $$x_M=\frac{-1+1}{2}=0\text{(3 p)}.$$ Ordonata este semisuma ordonatelor: $y_M=\frac{2+6}{2}=4$, deci $\mathbf{M}(0,4)$ (2 p).

(Contraproba: $MA=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$ și $MB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$, deci $M$ este la aceeași distanță de capete. Un rezultat greșit apare dacă se împart diferențele coordonatelor, $\frac{1-(-1)}{2}=1$ și $\frac{6-2}{2}=2$, adică punctul $(1,2)$, care nu are distanțe egale față de $A$ și $B$.)

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi isoscel.

Ipotenuza este $BC$, deoarece unghiul drept este în $A$. Din teorema lui Pitagora, $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=4-2=2$: $$AB=\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Cum $AC=\sqrt{2}$ are aceeași lungime, $AB=AC$, deci triunghiul $ABC$ este isoscel (2 p).

(Contraproba: $A{B}^2+A{C}^2=2+2=4=B{C}^2$. Un rezultat greșit apare dacă se adună pătratele, $\sqrt{B{C}^2+A{C}^2}=\sqrt{6}$; dar ipotenuza $BC=2$ este cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic, iar o catetă de lungime $\sqrt{6}>2$ ar depăși-o.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Determinantul este produsul diagonalei principale minus cel al diagonalei secundare: $$\det A=3\cdot 1-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det A=3-4=-1\text{(2 p)}.$$

(Un rezultat greșit apare dacă produsele se adună, $3\cdot 1+2\cdot 2=7$.)

b) (5 p) Se dublează toate elementele lui $B$ și se scade $A$ element cu element: $$2B-A=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ 8& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ 6& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cu factorul $3$ în față, matricea este $3\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=3C$ (2 p).

(Un rezultat greșit apare dacă dublarea se aplică doar primei linii a lui $B$: $\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ 4& 2\end{array}\right)-A=\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ 2& 1\end{array}\right)\ne 3C$.)

c) (5 p) Se calculează $B+2C=\left(\begin{array}{cc}0& 4\\ 4& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 8\\ 8& 4\end{array}\right)$. Cum $\det A=-1\ne 0$, matricea $A$ este inversabilă, iar $$A^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din $2X\cdot A=B+2C$, prin înmulțire la dreapta cu $A^{-1}$, rezultă $X=\frac{1}{2}(B+2C)A^{-1}$. Produsul este $\left(\begin{array}{cc}-2& 8\\ 8& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}18& -28\\ 0& 4\end{array}\right)$, deci $$X=\left(\begin{array}{cc}9& -14\\ 0& 2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $X\cdot A=\left(\begin{array}{cc}9& -14\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$, iar dublul ei este $\left(\begin{array}{cc}-2& 8\\ 8& 4\end{array}\right)=B+2C$. Un rezultat greșit apare dacă se înmulțește la stânga, $\frac{1}{2}{A}^{-1}(B+2C)=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ -14& 2\end{array}\right)$; pentru ea, $2XA$ are pe poziția $(1,1)$ valoarea $2\cdot 27=54$, nu $-2$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiesc $x=5$ și $y=4$ în $(x-4)(y-4)+4$: $$5\ast 4=(5-4)(4-4)+4\text{(3 p)}.$$ $$=1\cdot 0+4=4\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: factorul $4-4=0$ anulează produsul, deci $x\ast 4=4$ pentru orice $x$. Un rezultat greșit apare dacă se adună $4$ în loc să se scadă: $(5+4)(4+4)+4=76$.)

b) (5 p) Pentru $y=6$, factorul $6-4$ este $2$: $$x\ast 6=(x-4)\cdot 2+4=2x-4\text{(3 p)}.$$ Ecuația $2x-4=6x$ conduce la $-4=4x$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Contraproba: $(-1)\ast 6=(-5)\cdot 2+4=-6=6\cdot (-1)$. Un rezultat greșit apare dacă se scrie $(x-4)(6+4)+4=10x-36$; atunci $10x-36=6x$ dă $x=9$, dar $9\ast 6=5\cdot 2+4=14$, iar $6\cdot 9=54$.)

c) (5 p) Pentru $x=\frac{4}{n}$ și $y=n$ legea dă $$\frac{4}{n}\ast n=\left(\frac{4}{n}-4\right)(n-4)+4,$$ iar condiția $>4$ înseamnă $\left(\frac{4}{n}-4\right)(n-4)>0$ (2 p). Primul factor este $\frac{4(1-n)}{n}$; cum $n>0$, condiția cere $(1-n)(n-4)>0$, adică $n$ se află între rădăcinile factorilor, $1$ și $4$: $1<n<4$. Numerele naturale nenule din acest interval sunt $\mathbf{n}=2$ și $\mathbf{n}=3$ (3 p).

(Contraproba: pentru $n=2$ valoarea este $(2-4)(2-4)+4=8>4$; pentru $n=3$ este $\left(\frac{4}{3}-4\right)(3-4)+4=\frac{20}{3}>4$; pentru $n=1$ și $n=4$ valoarea este exact $4$, iar pentru $n=5$ este $\frac{4}{5}$. Un rezultat greșit apare dacă inegalitatea se citește nestrict, $\ge 4$: ar intra și $n=1$ și $n=4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, monotonie, limită.

a) (5 p) Regula de derivare a unei puteri dă pe rând ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, ${\left(6x^2\right)}^{\prime }=12x$ și $(-15x{)}^{\prime }=-15$; constanta $9$ are derivata $0$: $$f^{\prime }(x)=3x^2+12x-15\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $3$ din toți termenii: $$f^{\prime }(x)=3\left(x^2+4x-5\right),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: $f^{\prime }(1)=3+12-15=0$. Un rezultat greșit apare dacă ${\left(6x^2\right)}^{\prime }$ se ia $6x$, fără factorul $2$ al exponentului: $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-15$.)

b) (5 p) Trinomul se descompune, $x^2+4x-5=(x+5)(x-1)$, deci $f^{\prime }(x)=0$ pentru $x=-5$ și $x=1$ (2 p). Semnul lui $f^{\prime }(x)=3(x+5)(x-1)$:

• pe $(-\infty ,-5)$ ambii factori sunt negativi, deci $f^{\prime }>0$: $f$ crește pe $(-\infty ,-5]$;
• pe $(-5,1)$ factorul $x+5$ este pozitiv și $x-1$ negativ, deci $f^{\prime }<0$: $f$ descrește pe $[-5,1]$;
• pe $(1,+\infty )$ ambii factori sunt pozitivi, deci $f^{\prime }>0$: $f$ crește pe $[1,+\infty )$ (3 p).

(Contraproba: $f(-5)=-125+150+75+9=109$ și $f(1)=1+6-15+9=1$; valoarea scade de la $109$ la $1$ între cele două puncte. Un rezultat greșit apare dacă semnele se inversează, $f$ descrește pe $(-\infty ,-5]$; dar $f^{\prime }(-6)=3\cdot (-1)\cdot (-7)=21>0$.)

c) (5 p) A doua derivată este $f^{\prime \prime }(x)=6x+12=3(2x+4)$, iar factorul $3$ din $f^{\prime }$ se simplifică cu cel din $f^{\prime \prime }$: $$\frac{f^{\prime }(x)}{e^x{f}^{\prime \prime }(x)}=\frac{x^2+4x-5}{e^x(2x+4)}.$$ Numărătorul și numitorul tind la $+\infty$, deci se aplică regula lui l'Hospital. Numitorul este un produs, iar derivata lui are doi termeni, $e^x(2x+4)+2e^x=e^x(2x+6)$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-5}{e^x(2x+4)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+4}{e^x(2x+6)}\text{(3 p)}.$$ Forma rămâne $\frac{\infty }{\infty }$; se derivează din nou: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{e^x(2x+8)}=0\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: împărțirea dă $\frac{x^2+4x-5}{2x+4}=\frac{x}{2}+1-\frac{9}{2x+4}$, iar fiecare termen împărțit la $e^x$ tinde la $0$. Un rezultat greșit apare dacă se derivează o singură dată; limita $\frac{2x+4}{e^x(2x+6)}$ rămâne de forma $\frac{\infty }{\infty }$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale ale unei funcții raționale.

a) (5 p) Factorul $x+9$ se simplifică: $(x+9)\cdot \frac{8x}{x+9}=8x$, iar o primitivă a lui $8x$ este $4x^2$: $${\int }_0^1(x+9)\cdot f(x)dx={\int }_0^{1}8xdx=4x^2{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=4-0=4\text{(2 p)}.$$

(Un rezultat greșit apare dacă se ia primitiva $8x^2$, fără împărțirea la $2$; atunci integrala ar fi $8$, dublul celei corecte.)

b) (5 p) Factorii $8x$ se simplifică: $\frac{1}{8x}\cdot \frac{8x}{x+9}=\frac{1}{x+9}$, a cărui primitivă este $\ln (x+9)$: $${\int }_1^6\frac{1}{8x}\cdot f(x)dx={\int }_1^6\frac{1}{x+9}dx=\ln (x+9){|}_1^6\text{(3 p)}.$$ Diferența logaritmilor este logaritmul câtului: $$\ln 15-\ln 10=\ln \frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$

(Contraproba: derivata lui $\ln (x+9)$ este $\frac{1}{x+9}$. Un rezultat greșit apare dacă diferența logaritmilor se confundă cu logaritmul diferenței: $\ln (15-10)=\ln 5$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $x^2$ în $f$: $f\left(x^2\right)=\frac{8x^2}{x^2+9}$. Numărătorul se scrie $8x^2=8\left(x^2+9\right)-72$, deci $$f\left(x^2\right)=8-\frac{72}{x^2+9}.$$ O primitivă a lui $\frac{1}{x^2+9}$ este $\frac{1}{3}\mathrm{arctg}\frac{x}{3}$, deci $${\int }_0^{3}f\left(x^2\right)dx=\left(8x-24\mathrm{arctg}\frac{x}{3}\right){|}_0^3=24-24\cdot \frac{\pi }{4}=24-6\pi \text{(3 p)}.$$ Egalitatea $24-6\pi =6(4+a\pi )=24+6a\pi$ dă $-6\pi =6a\pi$, deci $\mathbf{a}=-1$ (2 p).

(Contraproba: integrandul $f\left(x^2\right)$ este pozitiv pe $(0,3]$, iar $24-6\pi \approx 5,15>0$. Un rezultat greșit apare dacă se uită factorul $\frac{1}{3}$ al primitivei: atunci se scade $72\cdot \frac{\pi }{4}=18\pi$ în loc de $6\pi$, iar rezultatul $24-18\pi$ ar fi negativ, deși integrandul este pozitiv.)

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea de iunie 2023 a Bacalaureatului, varianta 1, toate cele zece cerințe. Foaia aparține filierei tehnologice; o rezolvă elevi din profilul tehnic, din cel de servicii sau din cel de resurse naturale și protecția mediului. Disciplina poartă în acte numele Matematică M_tehnologic, iar în conversațiile dintre elevi apare ca „M3". Antetul scrie întâi Ministerul Educației, apoi Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile sunt copiate din foaie, cu semnele ei de punctuație. Rezolvările, contraprobele și comentariile sunt ale noastre; din documentul oficial de evaluare am luat numai felul în care punctajul se împarte pe rânduri.

Cele trei subiecte valorează câte 30 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu; timpul efectiv este de trei ore, iar nota este totalul împărțit la zece. Primul subiect este format din șase cerințe cu câte 5 puncte. Ultimele două subiecte, de 60 de puncte împreună — adică două treimi din cele 90 de puncte ale cerințelor —, au câte două probleme, iar fiecare problemă are trei subpuncte de 5 puncte. Rândurile unui subpunct sunt marcate mai jos „(2 p)" sau „(3 p)".

Harta variantei 1

Programa de examen M_tehnologic din OMEN 4430/2014, Anexa 2, include la clasa a XII-a calculul integralelor de forma $\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$ cu gradul lui $Q$ cel mult $2$. La 10.c) numitorul $x^2+9$ are gradul $2$.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are varianta 1. Cerința 4 cere o probabilitate pe o mulțime enumerată, nu pe una descrisă printr-o proprietate. La 7.c) ecuația $2X\cdot A=B+2C$ se rezolvă înmulțind la dreapta cu inversa lui $A$, deci ordinea factorilor contează. La 8.c) inegalitatea cu $\frac{4}{n}\ast n$ se reduce la un produs de doi factori, iar condiția „număr natural nenul" lasă doar două valori. La 9.c) numărătorul limitei are gradul al doilea, de aceea regula lui l'Hospital se aplică de două ori; după fiecare derivare, factorul $e^x$ rămâne în numitor. La 10.c) integrandul $\frac{8x^2}{x^2+9}$ nu se integrează direct: se separă o parte întreagă.

Cifre pentru ritm. Cu 48 de puncte din cerințe și 10 din oficiu, totalul este 58 de puncte, adică nota 5,8.

Cum parcurgi pagina. Rezolvă tu mai întâi, apoi parcurge rezolvarea fiecărui subpunct și verifică separat rândul de 2 puncte și rândul de 3 puncte. Dacă te oprești la 7.c), reia produsul de matrice și inversa unei matrice $2\times 2$; dacă te oprești la 10.c), reia împărțirea unei fracții în care numărătorul și numitorul au același grad.

Formulele variantei 1

• Subiectul I. doi logaritmi în baza $7$ sunt egali, pentru argumente pozitive, doar când argumentele coincid; probabilitatea este câtul dintre cazurile favorabile și cele posibile; mijlocul unui segment are drept coordonate jumătățile sumelor coordonatelor capetelor; într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza la pătrat este suma catetelor la pătrat.
• Subiectul al II-lea. o matrice $2\times 2$ cu $\det A\ne 0$ are inversa $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ pentru $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$; din $2XA=M$ rezultă $X=\frac{1}{2}M{A}^{-1}$; produsul $uv>0$ cere ca $u$ și $v$ să aibă același semn.
• Subiectul al III-lea. $f^{\prime }\ge 0$ pe un interval înseamnă că $f$ crește pe el, iar $f^{\prime }\le 0$ înseamnă că $f$ descrește; regula lui l'Hospital pentru $\frac{\infty }{\infty }$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|$; $\int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x}{a}$.

Despre litere. Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos este numele oficial al unei cerințe. Litera $f$ denumește trei funcții diferite: cea afină de la 2, funcția polinomială de gradul $3$ de la 9 și fracția de la 10. Litera $A$ este o mulțime la 4, un punct la 5, un vârf al triunghiului la 6 și o matrice la 7; $B$ este punct la 5, vârf la 6 și matrice la 7, iar $C$ este vârf la 6 și matrice la 7. $X$ este necunoscuta matriceală de la 7.c).