Subiect Bac matematică tehnologic, model 2016 — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2016 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+2$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(2x-1)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}$, acesta să fie divizor al lui $1000$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Calculați perimetrul triunghiului $AOB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin x=\frac{3}{5}$, știind că $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ și $\cos x=\frac{4}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

b) (5 puncte) Verificați dacă $A\cdot (A+I_2)=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det B=0$, unde $B=A\cdot A+m{I}_2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+X^2+4X+4$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(-1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X^2+3X+2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}+\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_2{x}_3}+\frac{1}{x_3{x}_1}=-\frac{3}{4}$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3-12x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=3(x-2)(x+2)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Arătați că $-16\le f(x)\le 16$, pentru orice $x\in [-2,2]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=5x^4+3x^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-3x^2-1\right)dx=1$.

b) (5 puncte) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$.

c) (5 puncte) Demonstrați că orice primitivă a funcției $f$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Barem și răspunsuri

Cerințele valorează 90 p, la care se adaugă cele 10 p din oficiu: 100 p în total. Cerințele 1–6 (Subiectul I) valorează câte 5 p; cerința 4 se împarte pe trei rânduri (1 p, 2 p, 2 p), celelalte cinci pe câte două. Itemii 7–10 (Subiectele II și III) au câte 15 p, adică trei subpuncte de 5 p, cu două rânduri fiecare. Pagina păstrează rândurile punctate ale modelului din 2016; justificările, verificările și comentariile aparțin autorilor paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — produs de fracții.

Fiecare paranteză se scrie ca o singură fracție: $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ și $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ (3 p).

Produsul fracțiilor are la numărător produsul numărătorilor, iar la numitor produsul numitorilor: $$\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{4},$$ fiindcă factorii $2$ și $3$ se reduc (2 p).

(Capcană: suma în loc de produs; $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{23}{12}$, nu $\frac{1}{4}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția cu axa $Ox$.

Punctele în care graficul taie axa $Ox$ au ordonata $0$, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$: $$x^2-3x+2=0\text{(3 p)}.$$

Discriminantul este $\Delta =(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$, iar soluțiile sunt $x=\frac{3\pm 1}{2}$, adică $${\mathbf{x}}_1=1,{\mathbf{x}}_2=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(1)=1-3+2=0$, $f(2)=4-6+2=0$ și $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$. Capcană: intersecția cu $Oy$ se obține pentru $x=0$, unde $f(0)=2$; punctul $(0,2)$ nu e cerut.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul există pentru $2x-1>0$, adică $x>\frac{1}{2}$. Din definiția logaritmului, ${\log }_{5}u=2$ înseamnă $u=5^2$: $$2x-1=5^2=25\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=26$, deci $x=13$. Verificare: $2\cdot 13-1=25>0$ și ${\log }_{5}25=2$, deci $\mathbf{x}=13$ (2 p).

(Capcană: baza și rezultatul schimbate, $2x-1=2^5=32$; atunci $x=\frac{33}{2}$, dar $5^2=25\ne 32$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Oricare dintre cele nouă numere ale lui $A$ poate fi ales, deci numărul cazurilor posibile este $9$ (1 p).

Se încearcă fiecare element. Numărul $1000$ se împarte exact la $10$ (câtul $100$), la $20$ (câtul $50$), la $40$ (câtul $25$) și la $50$ (câtul $20$). La $30$, $60$, $70$, $80$ și $90$ nu se împarte exact: $1000=30\cdot 33+10$, $1000=60\cdot 16+40$, $1000=70\cdot 14+20$, $1000=80\cdot 12+40$ și $1000=90\cdot 11+10$. Sunt $4$ cazuri favorabile (2 p).

Cazurile favorabile raportate la cele posibile dau $\frac{4}{9}$ (2 p).

(Probă: numărul $1000$ este produsul dintre $2^3$ și $5^3$, deci un divizor al lui este produsul dintre o putere a lui $2$ și o putere a lui $5$, ambele cu exponent cel mult $3$; rămân $10=2\cdot 5$, $20=2^2\cdot 5$, $40=2^3\cdot 5$ și $50=2\cdot 5^2$, dar nu $80=2^4\cdot 5$. Capcană: $80$ pare potrivit, fiind multiplu de $10$, dar $1000=80\cdot 12+40$ nu se împarte exact la $80$.)

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi.

Punctul $A(0,3)$ stă pe axa $Oy$, deci $AO=3$; punctul $B(4,0)$ stă pe axa $Ox$, deci $BO=4$. Axele sunt perpendiculare, așa că triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, iar teorema lui Pitagora dă $$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{(3 p)}.$$ Perimetrul este suma laturilor: $$AO+BO+AB=3+4+5=12\text{(2 p)}.$$

(Capcană: ipotenuza luată ca suma catetelor, $AB=3+4=7$; atunci perimetrul ar ieși $3+4+7=14$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinusul unui unghi ascuțit.

Cum $x\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, unghiul $x$ este unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic. În acel triunghi, $\cos x$ este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză, deci se poate lua cateta alăturată $4$ și ipotenuza $5$ (un triunghi asemenea are aceleași rapoarte). Cateta opusă se află cu teorema lui Pitagora: $$\text{cateta opusa˘}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\text{(3 p)}.$$ Sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $$\sin x=\frac{3}{5}\text{(2 p)}.$$

(Probă: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$. Capcană: ipotenuza este cea mai lungă latură; cu cateta $5$ și ipotenuza $4$, nu există triunghi dreptunghic.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Pentru o matrice $2\times 2$, determinantul este diferența dintre produsul diagonalei principale și produsul diagonalei secundare; pentru $A$ se scrie $$\det A=\left|\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right|\text{(2 p)}.$$ $$\det A=(-1)\cdot 0-1\cdot 0=0-0=0\text{(3 p)}.$$

(Probă: matricea are un rând cu toate elementele nule, iar un asemenea determinant este $0$. Capcană: $-1$ din colțul stânga sus nu schimbă rezultatul, fiindcă este înmulțit cu $0$.)

b) (5 p) Se adună $I_2$ pe poziții: $$A+I_2=\left(\begin{array}{cc}-1+1& 1+0\\ 0+0& 0+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Produsul, rând cu coloană: $$A\cdot (A+I_2)=\left(\begin{array}{cc}-1\cdot 0+1\cdot 0& -1\cdot 1+1\cdot 1\\ 0\cdot 0+0\cdot 0& 0\cdot 1+0\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=O_2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea se verifică.

(Altă cale: $A\cdot (A+I_2)=A\cdot A+A$, iar $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 0\end{array}\right)=-A$; suma este $O_2$. Capcană: produsul calculat element cu element, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, nu este produsul de matrice.)

c) (5 p) Se calculează $A\cdot A$ și apoi $B$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 0\end{array}\right),B=A\cdot A+m{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1+m& -1\\ 0& m\end{array}\right).$$ Matricea $B$ are zero sub diagonală, deci $$\det B=(1+m)\cdot m-(-1)\cdot 0=m(m+1)\text{(3 p)}.$$ Produsul $m(m+1)$ este nul dacă un factor este nul: $$\mathbf{m}=-1\text{ sau }\mathbf{m}=0\text{(2 p)}.$$

(Probă: din 7.b), $A\cdot A=-A$, deci $B=m{I}_2-A=\left(\begin{array}{cc}m+1& -1\\ 0& m\end{array}\right)$, aceeași matrice. Capcană: din $m(m+1)=0$ se reține numai $m=-1$ și se pierde $m=0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $-1$: $$f(-1)=(-1{)}^3+(-1{)}^2+4\cdot (-1)+4\text{(3 p)}.$$ $$f(-1)=-1+1-4+4=0\text{(2 p)}.$$

(Capcană: puterile lui $-1$; cubul este $-1$, pătratul este $1$. Cu pătratul luat $-1$, suma ar fi $-1-1-4+4=-2$.)

b) (5 p) Împărțirea se face în două etape. Primul termen al câtului este $X$, din $X^3:X^2$; scăzând $X\cdot \left(X^2+3X+2\right)=X^3+3X^2+2X$ din $f$, rămâne $-2X^2+2X+4$. Al doilea termen este $-2$, din $-2X^2:X^2$; scăzând $-2\cdot \left(X^2+3X+2\right)=-2X^2-6X-4$, rămâne un polinom de gradul $1$, deci împărțirea se oprește. Din cele două etape rezultă $$\text{caˆtul }\mathbf{X}-2\text{(3 p)}.$$ Ultima diferență, de gradul $1$, nu se mai împarte la trinomul de gradul $2$; ea este $$\text{restul }8X+8\text{(2 p)}.$$

(Probă: $(X-2)\left(X^2+3X+2\right)+8X+8=X^3+X^2-4X-4+8X+8=X^3+X^2+4X+4$. Capcană: împărțirea oprită după primul termen; restul $-2X^2+2X+4$ are gradul $2$, ca împărțitorul, deci mai poate fi împărțit.)

c) (5 p) Polinomul are coeficienții $1,1,4,4$, iar relațiile lui Viète dau $$x_1+x_2+x_3=-1,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=4,x_1{x}_2{x}_3=-4\text{(3 p)}.$$ La numitorul comun $x_1{x}_2{x}_3$, primele trei fracții adunate dau $\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}$, iar următoarele trei dau $\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1{x}_2{x}_3}$. Suma este $$\frac{4+(-1)}{-4}=-\frac{3}{4}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f=(X+1)\left(X^2+4\right)$, cu rădăcinile $-1$, $2i$ și $-2i$; $\frac{1}{-1}+\frac{1}{2i}+\frac{1}{-2i}=-1$, iar $\frac{1}{-2i}+\frac{1}{2i}+\frac{1}{(2i)(-2i)}=\frac{1}{4}$, suma $-\frac{3}{4}$. Capcană: semnul produsului rădăcinilor; $x_1{x}_2{x}_3=-4$ pentru termenul liber $4$, nu $4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, mărginire.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$ și $(12x{)}^{\prime }=12$, deci $$f^{\prime }(x)=3x^2-12\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $3$ și se descompune diferența de pătrate: $$f^{\prime }(x)=3\left(x^2-4\right)=3(x-2)(x+2),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: derivata lui $12x$ este $12$, nu $12x$; cu $3x^2-12x$ nu s-ar obține factorii $x-2$ și $x+2$.)

b) (5 p) Pentru punctul de pe grafic cu $x=2$, ordonata este $f(2)=8-24=-16$, iar coeficientul unghiular al tangentei este $f^{\prime }(2)=3\cdot 0\cdot 4=0$ (2 p).

Ecuația tangentei $y-f(2)=f^{\prime }(2)(x-2)$ devine $y+16=0\cdot (x-2)$, adică $$\mathbf{y}=-16\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(2)=0$, deci tangenta este orizontală; o dreaptă orizontală are ecuația $y=c$, iar prin punctul de contact $(2,-16)$ trece doar $y=-16$. Capcană: se scrie $y=f^{\prime }(2)(x-2)$, fără $f(2)$, și iese $y=0$, dreapta care nu trece prin $(2,-16)$.)

c) (5 p) Derivata se anulează în capetele intervalului: $f^{\prime }(-2)=0$ și $f^{\prime }(2)=0$. Pe $(-2,2)$, factorul $x-2$ este negativ și $x+2$ pozitiv, deci $f^{\prime }(x)<0$ pe $(-2,2)$, iar în capete $f^{\prime }=0$; astfel $f^{\prime }(x)\le 0$ pe tot $[-2,2]$ și funcția $f$ este descrescătoare pe $[-2,2]$ (3 p).

Funcția descrescătoare ia pe interval valori între cea din capătul drept și cea din capătul stâng: $f(2)\le f(x)\le f(-2)$. Cum $f(2)=-16$ și $f(-2)=-8+24=16$: $$-16\le f(x)\le 16,\text{ pentru orice }x\in [-2,2]\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: diferențele $f(x)-16$ și $f(x)+16$ se descompun fiecare într-un pătrat perfect înmulțit cu un factor de gradul întâi, $x-4$, respectiv $x+4$; pe $[-2,2]$ factorul $x-4$ este negativ și $x+4$ pozitiv, iar înmulțirea factorilor confirmă descompunerile. Capcană: în loc de $\pm 16$ se scriu coeficienții, $\pm 12$; valorile cerute sunt $f(2)$ și $f(-2)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale, arie, primitivă.

a) (5 p) Termenii $3x^2$ și $1$ se reduc: $f(x)-3x^2-1=5x^4$. O primitivă a lui $5x^4$ este $x^5$: $${\int }_0^{1}5x^{4}dx=x^5{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=1-0=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: ${\left(5x^5\right)}^{\prime }=25x^4$, deci $5x^5$ nu este primitiva; coeficientul $5$ se simplifică prin împărțirea la noul exponent $5$.)

b) (5 p) Pe $[1,2]$, funcția $f(x)=5x^4+3x^2+1$ este pozitivă (fiecare termen este pozitiv), deci aria este chiar integrala lui $f$: $$\mathcal{A}={\int }_1^2\left(5x^4+3x^2+1\right)dx=\left(x^5+x^3+x\right){|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$\mathcal{A}=\left(2^5+2^3+2\right)-\left(1^5+1^3+1\right)=42-3=39\text{(2 p)}.$$

(Probă: derivata lui $x^5+x^3+x$ este $5x^4+3x^2+1$. Capcană: limitele $0$ și $2$ în loc de $1$ și $2$ dau $42$, aria până la axa $Oy$, nu cea cerută.)

c) (5 p) Dacă $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este o primitivă a lui $f$, atunci $F$ este derivabilă și $$F^{\prime }(x)=f(x),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$ Pentru orice $x$ real, $5x^4\ge 0$ și $3x^2\ge 0$ (puteri pare), iar $1>0$, deci $f(x)>0$, adică $F^{\prime }(x)>0$ pe $\mathbb{R}$. O funcție cu derivata pozitivă pe $\mathbb{R}$ este crescătoare, deci $F$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$ (3 p).

(Capcană: derivata lui $F$ este $f$; derivata lui $f$ este negativă pentru $x<0$ și pozitivă pentru $x>0$, deci nu spune nimic despre monotonia lui $F$.)

Pentru părinți și profesori

Ce este lucrarea. Modelul de subiect pentru examenul din 2016 la matematică M_tehnologic; pagina conține baremul oficial și rezolvările scrise de noi. Foaia nu poartă numărul unei variante, ci cuvântul „Model" în dreapta; sus apar Ministerul Educației și Cercetării Științifice și Centrul Național de Evaluare și Examinare, iar urmează proba E. c), matematică M_tehnologic, a examenului național din 2016. Subiectul se adresează elevilor din filiera tehnologică (profilurile servicii, resurse și tehnic); în limbajul școlilor, proba se numește și M3. Enunțurile din „Itemi" sunt copiate din PDF fără nicio schimbare. Rezolvările, probele și ghidajul sunt ale noastre, iar documentul oficial a dat doar împărțirea punctelor pe rânduri.

Alcătuirea foii. Antetul cere trei ore de lucru, toate subiectele și dă zece puncte din oficiu. Subiectul I are șase cerințe scurte; fiecare dintre Subiectele II și III are două probleme cu trei subpuncte.

Cerințele și clasa lor în programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile aparțin numerelor reale (clasa a IX-a în programa de examen), iar programa nouă nu le consacră nicio unitate; lipsa o acoperă „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Intersecția graficului cu axele figurează și în programa nouă, dar rezolvarea algebrică a ecuației de gradul al doilea, cu discriminant, nu; pe site, ea e în „Supliment Bac M3 2027–2029: gradul II analitic".
• Nota 3. Ecuațiile logaritmice se cer la clasa a X-a, iar programa nouă nu detaliază proprietățile logaritmilor și rezolvă ecuațiile doar grafic. Materia e în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 4. Distanța dintre două puncte e în programa de examen la clasa a X-a, dar în cea nouă la clasa a IX-a; tabelul urmează programa de examen.
• Nota 5. Polinomul de la cerința 8 are o rădăcină reală și două complexe. Relațiile lui Viète nu cer calculul rădăcinilor, dar numerele complexe sunt, la examen, în clasa a X-a, iar programa școlară nouă nu le conține; pe site, ele au „Supliment Bac M3 2027–2029: numere complexe".

Ce are special acest model. La cerința 1, factorii 2 și 3 se reduc între numărătoare și numitori. La cerința 5, laturile au lungimile $3$, $4$ și $5$, iar la cerința 6, cosinusul $\frac{4}{5}$ duce la același triunghi. Matricea $A$ de la 7 are determinantul $0$ și verifică $A\cdot A=-A$, ceea ce explică forma lui $B$ la 7.c). La 8.c), calculul nu depinde de natura rădăcinilor. La 9, valorile $-16$ și $16$ sunt valorile lui $f$ în capetele intervalului $[-2,2]$, unde derivata se anulează. La 10, ambele puteri ale lui $x$ din $f$ sunt pare și au coeficienți pozitivi, iar termenul liber este $1$, de aceea $f>0$.

Cum se folosește pagina:

• Cele 180 de minute. Subiectul I primește 35, fiecare dintre Subiectele II și III câte 50, iar verificarea finală 45.
• Ce se scrie. Fiecare calcul, cu justificarea lui. Documentul oficial împarte cerințele și subpunctele în câte două rânduri; cerința 4 are trei (1 + 2 + 2 puncte).
• Regulile foii de barem. Foaia acceptă soluții corecte pe alt drum decât cel oficial, nu fracționează punctele (admite însă punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limita rândului) și face nota din totalul împărțit la 10.
• Unde se strică lucrurile: la 1, o sumă în loc de produs; la 3, baza și rezultatul logaritmului schimbate; la 4, un număr care nu divide pe $1000$ socotit divizor; la 7.c), soluția $m=0$ pierdută; la 8.b), împărțirea oprită prea devreme; la 10.b), $|f|$ înlocuit fără să se arate că $f>0$.
• După scriere. La fiecare subpunct greșit se notează ce a lipsit: formula, calculul sau justificarea.

Nota din total. Pentru nota 7 se adună 70 de puncte (60 din cerințe și 10 din oficiu), iar nota 10 înseamnă 100 de puncte. Cine strânge sub 40 de puncte din cele 90 reia Subiectul I; la un total între 40 și 80 apar subpunctele c), cu câte o idee în plus; peste 80, atenția se mută pe semne.

Formulele modelului:

• Subiectul I. $\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$; o ecuație de gradul al doilea se rezolvă cu discriminantul $\Delta =b^2-4ac$, iar soluțiile sunt minus coeficientul lui $x$, plus sau minus rădăcina pătrată a discriminantului, totul împărțit la dublul coeficientului lui $x^2$; ${\log }_{a}u=c⟺u=a^c$, cu $u>0$; $d$ este divizor al lui $n$ dacă $n$ se împarte exact la $d$; teorema lui Pitagora; în triunghiul dreptunghic, sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, iar cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; produsul „rând cu coloană"; împărțirea polinoamelor cu rest, cu restul de grad mai mic decât al împărțitorului; pentru $f=X^3+a{X}^2+bX+c$, $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$, $x_1{x}_2{x}_3=-c$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^k\right)}^{\prime }=k{x}^{k-1}$; tangenta $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$; dacă $f^{\prime }\le 0$ pe $[a,b]$, atunci $f(b)\le f(x)\le f(a)$; primitiva unei puteri a lui $x$: exponentul crește cu $1$, iar rezultatul se împarte la exponentul nou; aria sub graficul unei funcții pozitive; dacă $F^{\prime }=f>0$, $F$ este crescătoare.

Despre litere. Litera $f$ denumește patru obiecte: funcția $x^2-3x+2$ (cerința 2), polinomul $X^3+X^2+4X+4$ (cerința 8), funcția $x^3-12x$ (cerința 9) și funcția $5x^4+3x^2+1$ (cerința 10). Litera $A$ este, pe rând, mulțimea de la cerința 4, punctul de la 5 și matricea de la 7; $B$ este punct la 5 și matrice la 7.c). Litera $O$ este originea la cerința 5, iar $O_2$ este matricea nulă de la 7.b). Titlurile de forma „Itemul n" păstrează numerotarea oficială, iar în explicații cerința apare sub numele „cerința n".