Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2026 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2026 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{8}{3}-2\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x+5$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(m)=26$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x-1}=3^{5-x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $65\%$, un obiect costă $70$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(8,6)$ și $C$, mijlocul segmentului $OB$. Determinați distanța dintre punctele $A$ și $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC=6\cdot AB$ și aria egală cu $12$. Arătați că $AB=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 2\\ 2x& x+4\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=1$.

b) (5 puncte) Arătați că $3A(3)-A(1)=2A(4)$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=4xA(0)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-4X^2+aX-2$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $a=5$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Pentru $a=3$, arătați că $x_1{x}_2{x}_3+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3=8$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Se consideră polinoamele $g=X-3$ și $h=X+2$. Determinați numărul real $a$ pentru care restul împărțirii polinomului $f$ la $g$ este egal cu restul împărțirii polinomului $g$ la $h$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{2x+1}{x^2+6}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2(x+3)(2-x)}{{\left(x^2+6\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x\cdot f(x))=2$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care tangenta la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=a$, situat pe graficul funcției $f$, are panta egală cu $0$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x}{\sqrt{x+4}}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{2}f(x)\cdot \sqrt{x+4}dx=8$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_5^{12}\frac{1}{2x}\cdot f(x)dx=4$.

c) (5 puncte) Se consideră $a\in (0,+\infty )$ și funcția $g:[a,a+8]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{4\sqrt{x}}$. Determinați $a\in (0,+\infty )$ pentru care volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g$ în jurul axei $Ox$ este egal cu $4\pi (2-\ln 2)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Itemii 7–10: fiecare subpunct valorează 5 p, în două rânduri. Cifrele din paranteze reprezintă punctele rândurilor din baremul oficial al sesiunii speciale 2026 (varianta 2); soluțiile, comentariile și verificările de sub fiecare cerință sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — fracții.

Mai întâi paranteza și produsul: $$1-\frac{1}{6}=\frac{6}{6}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6},2\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}\text{(3 p)}.$$ Rămâne diferența a două fracții cu același numitor: $$\frac{8}{3}-\frac{5}{3}=\frac{3}{3}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $2\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)=2-\frac{1}{3}$, iar $\frac{8}{3}-2+\frac{1}{3}=\frac{9}{3}-2=1$. Capcană: paranteza se citește $\frac{1-1}{6}=0$, și expresia devine $\frac{8}{3}$; sau înmulțirea cu $2$ se face la numitor, $2\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{12}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valoarea unei funcții.

Condiția $f(m)=26$ înseamnă $7m+5=26$ (3 p). De aici $7m=21$, deci $$\mathbf{m}=3\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(3)=21+5=26$. Capcană: se scade $5$ în loc să se adune, $7m-5=26$, și iese $m=\frac{31}{7}$, care nu verifică: $7\cdot \frac{31}{7}+5=36$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambii membri sunt puteri ale lui $3$, iar $t\mapsto 3^t$ este strict crescătoare, deci puterile sunt egale doar când exponenții sunt egali: $$2x-1=5-x\text{(3 p)}.$$ Rezultă $3x=6$, adică $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $x=2$, exponenții sunt $2\cdot 2-1=3$ și $5-2=3$, iar $3^3=27$ de ambele părți. Capcană: semnul lui $x$ din exponentul din dreapta se schimbă; ecuația rezultată ar da $x=6$, dar exponenții ar fi atunci $11$ și $-1$, deci $3^{11}\ne 3^{-1}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Fie $x$ prețul de dinainte. O ieftinire cu $65\%$ scade prețul cu $\frac{65}{100}x$, iar prețul rămas este $70$: $$x-\frac{65}{100}x=70,\text{ adica˘ }\frac{35}{100}x=70\text{(3 p)}.$$ Atunci $$x=70\cdot \frac{100}{35}=200\text{ lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $65\%$ din $200$ este $130$, iar $200-130=70$. Capcană: procentul se aplică prețului nou, $70+\frac{65}{100}\cdot 70=\frac{231}{2}$; dar ieftinirea de $65\%$ a fost calculată din prețul de dinainte, nu din cel de după.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment, distanță.

Cu $O(0,0)$ și $B(8,6)$, mijlocul lui $[OB]$ are coordonatele semisumelor: $$C\left(\frac{0+8}{2},\frac{0+6}{2}\right)=C(4,3)\text{(2 p)}.$$ Punctele $A(1,3)$ și $C(4,3)$ au aceeași ordonată, deci distanța dintre ele este diferența abscisselor: $$AC=|4-1|=3\text{(3 p)}.$$

(Cu formula distanței: $AC=\sqrt{3^2+0^2}=3$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ și se ia $C=B$; atunci iese $AB=\sqrt{49+9}=\sqrt{58}$, distanța de la $A$ la $B$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

În triunghiul dreptunghic în $A$, catetele sunt $AB$ și $AC$, deci aria este $\frac{AB\cdot AC}{2}$. Cu $AC=6\cdot AB$: $$\frac{AB\cdot 6\cdot AB}{2}=12\text{(3 p)}.$$ Rezultă $3A{B}^2=12$, adică $A{B}^2=4$; lungimea $AB$ fiind pozitivă, $\mathbf{AB}=2$ (2 p).

(Probă: $AC=12$, iar aria este $\frac{2\cdot 12}{2}=12$. Capcană: se uită împărțirea la $2$ din formula ariei, $6\cdot A{B}^2=12$, și iese $AB=\sqrt{2}$; sau se păstrează și valoarea $-2$, care nu e lungime.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$: $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$, iar $$\det (A(1))=1\cdot 5-2\cdot 2\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=5-4=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: produsele se adună, $5+4=9$.)

b) (5 p) Se calculează $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 6& 7\end{array}\right)$, apoi $$3A(3)-A(1)=\left(\begin{array}{cc}9& 6\\ 18& 21\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 16& 16\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $A(4)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 8& 8\end{array}\right)$, deci $$2A(4)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 16& 16\end{array}\right)=3A(3)-A(1)\text{(2 p)}.$$

(De ce iese: $A(x)=x\cdot P+A(0)$, cu $P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$; atunci $3A(3)-A(1)=(9-1)P+2A(0)=8P+2A(0)=2(4P+A(0))=2A(4)$. Capcană: factorul $3$ înmulțește doar prima coloană a lui $A(3)$, și diferența devine $\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 16& 2\end{array}\right)$.)

c) (5 p) Cu $A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 0& 4\end{array}\right)$, primul produs este $$A(0)\cdot A(x)=\left(\begin{array}{cc}4x& 2x+8\\ 8x& 4x+16\end{array}\right),$$ iar apoi, înmulțind la dreapta cu $A(0)$, $$A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 16x+32\\ 0& 32x+64\end{array}\right)$$ $$=(8x+16)\mathbf{A}(0),\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $(8x+16)A(0)=4xA(0)$ are în ambii membri multipli ai aceleiași matrice nenule $A(0)$, deci factorii scalari sunt egali: $8x+16=4x$, de unde $$\mathbf{x}=-4\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $A(0{)}^2=\left(\begin{array}{cc}0& 8\\ 0& 16\end{array}\right)=4A(0)$ și $A(0)\cdot P\cdot A(0)=8A(0)$, deci $A(0)\cdot A(x)\cdot A(0)=8xA(0)+A(0)\cdot 4A(0)=(8x+16)A(0)$. Probă: pentru $x=-4$, ambii membri sunt $-16A(0)$. Capcană: egalitatea de matrice se „împarte" la $A(0)$, operație care nu există; se compară factorii scalari, fiindcă ambii membri sunt multipli ai lui $A(0)$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=5$, $f=X^3-4X^2+5X-2$, deci $$f(1)=1^3-4\cdot 1^2+5\cdot 1-2\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-4+5-2=0\text{(2 p)}.$$

(Observație: $1$ este rădăcină, iar $f=(X-1{)}^2(X-2)$. Capcană: se calculează $f(-1)$ în loc de $f(1)$, și iese $-12$.)

b) (5 p) Pentru $a=3$, $f=X^3-4X^2+3X-2$. Polinomul are coeficientul lui $X^3$ egal cu $1$, iar pentru un astfel de polinom de gradul trei relațiile lui Viète dau suma produselor câte două, egală cu coeficientul lui $X$, și produsul rădăcinilor, egal cu opusul termenului liber: $$x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=3,x_1{x}_2{x}_3=2\text{(2 p)}.$$ Termenii cu factorul $2$ se grupează: $$x_1{x}_2{x}_3+2\left(x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3\right)=2+2\cdot 3=8\text{(3 p)}.$$

(Rădăcinile nu sunt întregi și nici raționale, fiindcă niciunul dintre $\pm 1$, $\pm 2$ nu anulează polinomul; de aceea se folosesc relațiile lui Viète, nu rădăcinile. Capcană: produsul rădăcinilor se ia $-2$, cu semnul termenului liber; atunci totalul ar fi $-2+6=4$.)

c) (5 p) Restul împărțirii lui $f$ la $X-3$ este valoarea lui $f$ în rădăcina $3$ a lui $g$: $$f(3)=27-36+3a-2=3a-11.$$ Restul împărțirii lui $g$ la $h=X+2$ este $g(-2)=-2-3=-5$ (3 p). Egalitatea $3a-11=-5$ dă $3a=6$, deci $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $a=2$, $f(3)=27-36+6-2=-5$. Capcană: se folosește valoarea în $-3$, nu în $3$: $f(-3)=-3a-65$; sau $g$ se evaluează în $2$, nu în $-2$, și restul lui $g$ la $h$ iese $-1$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Regula câtului, cu numărătorul $2x+1$ (derivata $2$) și numitorul $x^2+6$ (derivata $2x$): $$f^{\prime }(x)=\frac{2\left(x^2+6\right)-(2x+1)\cdot 2x}{{\left(x^2+6\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul se desface și se descompune: $$2x^2+12-4x^2-2x=-2x^2-2x+12=-2(x+3)(x-2)=2(x+3)(2-x),$$ deci $$f^{\prime }(x)=\frac{2(x+3)(2-x)}{{\left(x^2+6\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=\frac{2\cdot 3\cdot 2}{36}=\frac{1}{3}$, iar formula inițială dă $\frac{2\cdot 6-0}{36}$, același număr. Capcană: cei doi termeni din numărător se scad în ordine inversă, și derivata iese cu semn opus.)

b) (5 p) Produsul este $x\cdot f(x)=\frac{2x^2+x}{x^2+6}$. Împărțind numărătorul și numitorul la $x^2$: $$x\cdot f(x)=\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{6}{x^2}}\text{(3 p)}.$$ Când $x\to +\infty$, fracțiile $\frac{1}{x}$ și $\frac{6}{x^2}$ tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(x\cdot f(x))=\frac{2+0}{1+0}=2\text{(2 p)}.$$

(Numărătorul și numitorul au același grad, iar coeficienții dominanți sunt $2$ și $1$, deci limita este $\frac{2}{1}$. Capcană: se împarte la $x^2$ și termenul $\frac{x}{x^2}$ se scrie $\frac{1}{x^2}$; atunci iese tot $2$, dar printr-o transformare greșită.)

c) (5 p) Panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$, deci se cere $f^{\prime }(a)=0$ (2 p). Din a), $f^{\prime }(a)=\frac{2(a+3)(2-a)}{{\left(a^2+6\right)}^2}$, iar numitorul este pozitiv; fracția se anulează când un factor din numărător este nul: $a+3=0$ sau $2-a=0$. Așadar $$\mathbf{a}=-3\text{ sau }\mathbf{a}=2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f(-3)=\frac{-5}{15}=-\frac{1}{3}$ și $f(2)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$; tangentele în aceste puncte sunt dreptele orizontale $y=-\frac{1}{3}$ și $y=\frac{1}{2}$. Capcană: se rezolvă $f(a)=0$, adică $2a+1=0$, și iese $a=-\frac{1}{2}$ — rădăcina funcției, nu punctul cu tangentă orizontală.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical, volum.

a) (5 p) Pe $(-4,+\infty )$, $\sqrt{x+4}>0$, iar radicalul se simplifică: $$f(x)\cdot \sqrt{x+4}=\frac{4x}{\sqrt{x+4}}\cdot \sqrt{x+4}=4x.$$ Atunci $${\int }_0^{2}4xdx=2x^2{|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=8-0=8\text{(2 p)}.$$

(Capcană: radicalul se împarte încă o dată în loc să se simplifice, și iese o fracție cu $x+4$ la numitor, a cărei primitivă conține un logaritm și nu mai dă $8$.)

b) (5 p) Produsul se simplifică și el: $\frac{1}{2x}\cdot \frac{4x}{\sqrt{x+4}}=\frac{2}{\sqrt{x+4}}$, pe $[5,12]$. O primitivă a acestei funcții este $4\sqrt{x+4}$, fiindcă derivata radicalului $\sqrt{x+4}$ este jumătate din inversul lui: $${\int }_5^{12}\frac{2}{\sqrt{x+4}}dx=4\sqrt{x+4}{|}_5^{12}\text{(3 p)}.$$ $$=4\sqrt{16}-4\sqrt{9}=16-12=4\text{(2 p)}.$$

(Capcană: la simplificare, $\frac{1}{2x}\cdot 4x$ se calculează $4$ în loc de $2$, și integrala iese $8$.)

c) (5 p) Pe $[a,a+8]\subset (0,+\infty )$, $$g(x)=\frac{4x}{\sqrt{x+4}}\cdot \frac{1}{4\sqrt{x}}=\frac{x}{\sqrt{x}\sqrt{x+4}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}},\text{deci}$$ $$g^2(x)=\frac{x}{x+4}=1-\frac{4}{x+4}.$$ Volumul corpului de rotație este $$V=\pi {\int }_a^{a+8}\left(1-\frac{4}{x+4}\right)dx=\pi (x-4\ln (x+4)){|}_a^{a+8}$$ $$=\pi \left(8-4\ln \frac{a+12}{a+4}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $4\pi (2-\ln 2)=\pi (8-4\ln 2)$, egalitatea $V=4\pi (2-\ln 2)$ dă $\ln \frac{a+12}{a+4}=\ln 2$; argumentul logaritmului din stânga trebuie deci să fie $2$, adică $a+12=2(a+4)$, de unde $a+12=2a+8$ și $$\mathbf{a}=4,\text{ valoare din }(0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Probă: pentru $a=4$, raportul $\frac{16}{8}$ este $2$. Capcană: se uită pătratul funcției și se integrează $g$ însăși, care are un radical fără primitivă la îndemână; sau se uită factorul $\pi$ din formula volumului.)

Pentru părinți și profesori

Pe această pagină se află lucrarea de matematică din sesiunea specială 2026 a Bacalaureatului tehnologic, cu baremul ei. PDF-ul oficial îi spune Proba E. c) — Matematică M_tehnologic și o marchează „Varianta 2"; pe site, lucrarea poartă numele sesiunii speciale 2026. Antetul subiectului poartă numele Ministerului Educației și Cercetării și al Centrului Național pentru Curriculum și Evaluare. Lucrarea e dată pentru filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, toate calificările profesionale. Pe acest site îi spunem și M3. Enunțurile din secțiunea „Itemi" sunt copiate din PDF, iar tot restul — rezolvări, observații, ghidaj — este scris de noi; împărțirea punctelor pe rânduri este aceea a baremului oficial.

Structura lucrării. Prima parte are șase cerințe scurte; urmează patru probleme cu câte trei subpuncte. În antet se precizează: subiecte obligatorii în întregime, trei ore de lucru efectiv, zece puncte primite din oficiu.

Cerințele, una câte una. Coloana „Clasa" arată locul subiectului în programa de examen.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Parantezele și fracțiile din cerința 1 sunt operații cu numere reale, subiect de clasa a IX-a în programa de examen și absent ca unitate din Anexa 3; el este tratat în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Programa de examen cere ecuația exponențială în clasa a X-a; programa școlară nouă lucrează ecuațiile doar pe grafic ori cu instrumente digitale. Rezolvarea algebrică e în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Calculul procentual (creșteri, scăderi, preț inițial) face parte din calculul financiar cerut la examen în clasa a X-a. În Anexa 3, procentele apar doar ca exemplu pentru progresii, nu ca temă proprie; pentru ele, unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 4. Mijlocul și distanța par subiect „de a IX-a": așa le așază programa școlară nouă, în timp ce programa de examen le trece la clasa a X-a. Nicio greșeală aici, doar două programe care împart materia diferit.
• Nota 5. Cerința 10 simplifică expresii cu radicali și lucrează cu $\frac{1}{\sqrt{x}}$, adică cu radicali și puteri cu exponent rațional, cerute la examen în clasa a X-a. Sugestiile metodologice ale Anexei 3 cer ca puterile cu exponent real să fie definite intuitiv, prin aproximare, fără proprietățile lor algebrice, cu valorile luate de pe calculator; subiectul e în „Supliment Bac M3 2027–2029: puteri, radicali, logaritmi".

Ce are varianta aceasta. Polinomul $f=X^3-4X^2+aX-2$ lucrează trei subpuncte, de fiecare dată cu alt rol al lui $a$: valoare dată la a), altă valoare dată la b), necunoscută la c). Pentru matricea de la Subiectul al II-lea, $A(x)$ se poate scrie ca $x\cdot P+A(0)$, cu $P$ o matrice fixă, iar egalitatea de la b) devine o consecință directă a acestei scrieri. La Subiectul al III-lea, ambele funcții se simplifică înainte de a fi folosite: derivata de la 9.a) are un numărător care se descompune în factori; la 10.a) radicalul dispare prin înmulțire, iar la 10.b) produsul se simplifică până la o fracție cu radical la numitor. Volumul de la 10.c) cere ridicarea la pătrat a funcției, de unde rămâne o fracție simplă, a cărei primitivă conține un logaritm.

Cum lucrezi varianta.

• Ritm. Un plan propus de noi (nu o regulă oficială): o treime din cele $180$ de minute, adică $60$, pentru Subiectul I, cu cerințe scurte de câte $5$ puncte. Pentru problemele de $15$ puncte, fiecare subpunct are $5$ puncte: dacă un subpunct te blochează, treci la următorul, fiindcă ele nu depind unul de altul.
• Verificări rapide. Ai mai multe rezultate pe care le poți controla singur: cerința 2 se verifică înlocuind în $f$; cerința 3, înlocuind în ecuație; la 7.c), valoarea lui $x$ se pune înapoi în egalitate; la 8.c), $a$ se pune în polinom.
• Reguli de notare. Antetul baremului spune că o rezolvare corectă, chiar diferită de cea din barem, primește aceleași puncte, că punctele se dau întregi și că se pot da puncte parțiale pentru o rezolvare neterminată. Nota este punctajul total împărțit la zece.
• Cele zece puncte din oficiu. Pentru nota $5$ trebuie $50$ de puncte în total, deci $40$ dintre cele $90$ ale cerințelor.
• Greșeli de redactare de evitat. La cerința 4, procentul se aplică prețului de dinainte, nu celui de după. La 7.c), egalitatea de matrice nu se „împarte" la $A(0)$. La 8.b), expresia se calculează prin relațiile lui Viète, nu prin rădăcinile polinomului. La 9.c), trebuie date ambele valori ale lui $a$. La 10.c), pătratul funcției $g$ intră sub integrală.

După corectare. Treci pe barem punctele câștigate pe fiecare rând. Un subpunct pierdut te trimite la capitolul din tabelul de mai sus; acolo îți notezi dacă ți-au lipsit formula, calculul sau ideea.

Formulele din varianta 2.

• Subiectul I. Fracțiile se aduc la numitor comun; exponenții se egalează când bazele sunt egale; un procent $p\%$ din $x$ înseamnă $\frac{p}{100}\cdot x$; mijlocul unui segment are drept coordonate semisumele coordonatelor capetelor; aria triunghiului dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.
• Subiectul al II-lea. Teorema restului: restul împărțirii lui $f$ la $X-c$ este $f(c)$. Pentru un polinom de gradul trei cu coeficientul dominant $1$ și rădăcinile $x_1$, $x_2$, $x_3$, suma produselor rădăcinilor câte două este coeficientul lui $X$, iar produsul rădăcinilor este opusul termenului liber.
• Subiectul al III-lea. Regula câtului, ca la orice fracție de funcții; limita unui raport de polinoame de același grad este raportul coeficienților dominanți; tangenta în punctul de abscisă $a$ are panta $f^{\prime }(a)$; volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g$ în jurul axei $Ox$, pe $[\alpha ,\beta ]$, este $V=\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }{g}^2(x)dx$.

Despre litere. În lucrare, $f$ denumește patru obiecte: o funcție la fiecare dintre cerințele 2, 9 și 10 și un polinom la cerința 8. La fel, $g$ este un polinom la 8.c) și o funcție la 10.c). Litera $A$ este un punct la cerința 5, un vârf de triunghi la cerința 6 și o matrice la cerința 7. Litera $a$ este un parametru la cerința 8, o abscisă la 9.c) și capătul stâng al unui interval la 10.c). Literele $x_1$, $x_2$, $x_3$ de la 8.b) sunt rădăcinile polinomului, nu valori ale lui $x$ din altă parte.

Titlurile de mai jos spun „itemul", ca baremul; e vorba de câte o cerință a lucrării.