Evaluarea Națională 2018, sesiunea iunie — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $30-30:3$ este egal cu: a) $0$ b) $-3$ c) $10$ d) $20$

Exercițiul 2 · 5 puncte Zece caiete de același fel costă $40$ de lei. Cinci dintre acestea costă: a) $20$ lei b) $4$ lei c) $80$ lei d) $8$ lei

Exercițiul 3 · 5 puncte Dacă $A=\{1,2,3,4\}$, $B=\{1,3,x\}$ și $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$, atunci numărul $x$ este egal cu: a) $2$ b) $5$ c) $4$ d) $1$

Exercițiul 4 · 5 puncte Un trapez are baza mare de $12$ cm și baza mică de $8$ cm. Linia mijlocie a acestui trapez are lungimea egală cu: a) $20$ cm b) $4$ cm c) $10$ cm d) $2$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=10$ cm, $BC=5$ cm și $A{A}^{\prime }=4$ cm. Volumul acestui paralelipiped este egal cu:

a) $19{\text{cm}}^3$ b) $200{\text{cm}}^3$ c) $100{\text{cm}}^3$ d) $50{\text{cm}}^3$

Exercițiul 6 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate temperaturile înregistrate la ora $8$, la o stație meteo, în fiecare zi a unei săptămâni din luna februarie:

Conform tabelului, media aritmetică a temperaturilor pozitive înregistrate este egală cu: a) $3°C$ b) $9°C$ c) $4°C$ d) $1°C$

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Numărul muchiilor cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu: a) $12$ b) $8$ c) $6$ d) $24$

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră numărul natural $N=2^{n+3}-2^{n+2}+7\cdot 2^{n+1}-2^n$, pentru orice număr natural $n$. Numărul $N$ este divizibil cu: a) $7$ b) $17$ c) $19$ d) $15$

Exercițiul 3 · 5 puncte Mai mulți elevi vor să cumpere împreună materiale pentru un proiect școlar. Dacă fiecare elev contribuie cu câte $20$ de lei, mai sunt necesari $20$ de lei pentru cumpărarea materialelor, iar dacă fiecare contribuie cu câte $25$ de lei, rămân $5$ lei după cumpărarea materialelor. Suma necesară pentru cumpărarea materialelor este egală cu: a) $100$ lei b) $140$ lei c) $120$ lei d) $150$ lei

Exercițiul 4 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$. Graficul funcției $f$ intersectează axa $Ox$ în punctul de coordonate: a) $(2,0)$ b) $(-2,0)$ c) $(0,4)$ d) $(0,-4)$

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$. În sistemul de coordonate $xOy$ se consideră punctul $D(0,-1)$. Distanța de la punctul $D$ la graficul funcției $f$ este egală cu: a) $2\sqrt{5}$ b) $5$ c) $\frac{\sqrt{5}}{2}$ d) $\sqrt{5}$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x+1}{x-3}-\frac{2x^2+3x-3}{x^2-9}+\frac{2x-1}{x+3}\right):\frac{2x^2-18}{x^2+6x+9}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$ și $x\ne 3$. Valoarea expresiei $E(x)$ este egală cu: a) $\frac{1}{2}$ b) $1$ c) $-\frac{1}{2}$ d) depinde de $x$

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=10$ cm și un triunghi isoscel $CDE$ cu $CD=DE=10$ cm. Punctul $C$ este situat pe segmentul $BE$, iar punctele $A$ și $D$ sunt situate de o parte și de alta a dreptei $BE$ astfel încât $m(\angle BCD)=150°$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CE$.

Arătați că unghiul $DCE$ are măsura de $30°$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=10$ cm și un triunghi isoscel $CDE$ cu $CD=DE=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $C$ este situat pe segmentul $BE$, iar punctele $A$ și $D$ sunt situate de o parte și de alta a dreptei $BE$ astfel încât $m(\angle BCD)=150°$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CE$.

Demonstrați că triunghiurile $ACM$ și $CDN$ sunt congruente.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră din nou un triunghi echilateral $ABC$ cu $AB=10$ cm și un triunghi isoscel $CDE$ cu $CD=DE=10$ cm, ca în figura alăturată. Punctul $C$ este situat pe segmentul $BE$, iar punctele $A$ și $D$ sunt situate de o parte și de alta a dreptei $BE$ astfel încât $m(\angle BCD)=150°$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $BC$, respectiv $CE$.

Arătați că patrulaterul $AMDN$ are aria mai mică decât $95{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentată o piramidă triunghiulară regulată $VABC$ cu $AB=12$ cm și $VO=8$ cm, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris bazei $ABC$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VA$, $AB$, $AC$ și, respectiv, $BC$.

Arătați că perimetrul bazei $ABC$ este egal cu $36$ cm.

Exercițiul 5 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu $AB=12$ cm și $VO=8$ cm, ca în figura alăturată, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris bazei $ABC$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VA$, $AB$, $AC$ și, respectiv, $BC$.

Demonstrați că dreapta $VQ$ este paralelă cu planul $(MNP)$.

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră din nou piramida triunghiulară regulată $VABC$ cu $AB=12$ cm și $VO=8$ cm, ca în figura alăturată, unde punctul $O$ este centrul cercului circumscris bazei $ABC$. Punctele $M$, $N$, $P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $VA$, $AB$, $AC$ și, respectiv, $BC$.

Determinați numărul real $p$, știind că volumul piramidei $MANP$ reprezintă $p\%$ din volumul piramidei $VABC$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din itemi + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I, în documentul oficial: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p, fără punctaje intermediare. Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, în documentul oficial: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale. Pe pagină, Subiectele I și al II-lea sunt date ca grile, deci se punctează 5 p sau 0 p.

Subiectul I (30 p)

1. d) Se face întâi împărțirea: $30-30:3=30-10=20$.
2. a) Un caiet costă $40:10=4$ lei, deci cinci caiete costă $5\cdot 4=20$ lei.
3. b) Reuniunea $A\cup B=\{1,2,3,4,5\}$ conține elementul $5$, care nu se află în $A=\{1,2,3,4\}$; el trebuie deci să fie chiar $x$, adică $x=5$.
4. c) Linia mijlocie a trapezului $=\frac{\text{baza mare}+\text{baza mica˘}}{2}=\frac{12+8}{2}=10$ cm.
5. b) Volumul paralelipipedului $=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=10\cdot 5\cdot 4=200{\text{cm}}^3$.
6. a) Temperaturile pozitive din tabel sunt $1$, $3$ și $5$; media lor aritmetică este $\frac{1+3+5}{3}=3°C$.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. a) Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are $8$ vârfuri, $6$ fețe și $12$ muchii: $4$ pe baza $ABCD$, $4$ pe baza $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ și $4$ muchii laterale.
2. b) $N=2^{n+3}-2^{n+2}+7\cdot 2^{n+1}-2^n=2^n\left(2^3-2^2+7\cdot 2-1\right)=2^n(8-4+14-1)=2^n\cdot 17$, care este divizibil cu $17$, pentru orice număr natural $n$.
3. c) Fie $x$ suma necesară și $n$ numărul elevilor. $20n+20=x$ și $25n-5=x$, deci $20n+20=25n-5\Rightarrow 25=5n\Rightarrow n=5$. Atunci $x=20\cdot 5+20=120$ lei.
4. b) Graficul intersectează axa $Ox$ acolo unde $f(x)=0$: $2x+4=0\Rightarrow x=-2$, deci punctul este $(-2,0)$.
5. d) Dreapta graficului lui $f$ are ecuația $2x-y+4=0$. Distanța de la $D(0,-1)$ la această dreaptă este $\frac{|2\cdot 0-(-1)+4|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.
6. a) $\frac{x+1}{x-3}-\frac{2x^2+3x-3}{x^2-9}+\frac{2x-1}{x+3}=\frac{(x+1)(x+3)-(2x^2+3x-3)+(2x-1)(x-3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{(x-3{)}^2}{(x-3)(x+3)}=\frac{x-3}{x+3}$; iar $\frac{2x^2-18}{x^2+6x+9}=\frac{2(x-3)(x+3)}{(x+3{)}^2}=\frac{2(x-3)}{x+3}$. Deci $E(x)=\frac{x-3}{x+3}:\frac{2(x-3)}{x+3}=\frac{x-3}{x+3}\cdot \frac{x+3}{2(x-3)}=\frac{1}{2}$, pentru orice $x$ real, $x\ne -3$ și $x\ne 3$.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte Punctele $B$, $C$, $E$ sunt coliniare ($C\in BE$), deci $m(\angle BCE)=180°$, de unde $m(\angle BCD)+m(\angle DCE)=180°$ (3 p). Cum $m(\angle BCD)=150°$, rezultă $m(\angle DCE)=180°-150°=30°$ (2 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte $AM$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC$, deci $m(\angle AMC)=90°$, iar $DN$ este înălțime în triunghiul isoscel $CDE$, deci $m(\angle CND)=90°$ (2 p). $AC=CD=10$ cm, iar $m(\angle CAM)=m(\angle DCN)=30°$ (jumătate din unghiul de $60°$ al triunghiului echilateral, respectiv unghiul $\angle DCE=30°$ calculat mai sus), deci triunghiurile dreptunghice $ACM$ și $CDN$ sunt congruente (cazul ipotenuză–unghi ascuțit) (3 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte $AM=5\sqrt{3}$ cm (înălțimea triunghiului echilateral $ABC$ de latură $10$ cm), $DN=5$ cm (catetă în triunghiul dreptunghic $CDN$, cu ipotenuza $CD=10$ cm și $m(\angle DCN)=30°$) și $MN=MC+CN=5+5\sqrt{3}=5(1+\sqrt{3})$ cm (3 p). Aria trapezului $AMDN$ (bazele sunt $AM$ și $DN$, iar distanța dintre ele este $MN$) este ${\mathcal{A}}_{AMDN}=\frac{(AM+DN)\cdot MN}{2}=\frac{25(\sqrt{3}+1{)}^2}{2}=50+25\sqrt{3}$ și, cum $\sqrt{3}<1,8$, obținem ${\mathcal{A}}_{AMDN}<50+45=95{\text{cm}}^2$ (2 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte Piramida $VABC$ fiind triunghiulară regulată, baza $ABC$ este echilaterală, deci $P_{ABC}=3\cdot AB$ (2 p) $=3\cdot 12=36$ cm (3 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte $NM$ este linie mijlocie în triunghiul $ABV$, deci $NM\parallel BV$, iar $PM$ este linie mijlocie în triunghiul $ACV$, deci $PM\parallel CV$ (2 p). Cum $BV\cap CV=\{V\}$ și $NM\cap PM=\{M\}$, rezultă $(VBC)\parallel (MNP)$; iar cum $VQ\subset (VBC)$, obținem $VQ\parallel (MNP)$ (3 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte $MA=MN=MP$ (linii mijlocii, fiecare egală cu jumătate din muchiile laterale congruente $VA=VB=VC$ ale piramidei regulate) și triunghiul $ANP$ este echilateral, deci $MANP$ este o piramidă triunghiulară regulată; se obține $V_{MANP}=12\sqrt{3}{\text{cm}}^3$ și $V_{VABC}=96\sqrt{3}{\text{cm}}^3$, deci $\frac{V_{VABC}}{V_{MANP}}=8$ (3 p). Din $p=\frac{V_{MANP}}{V_{VABC}}\cdot 100$, rezultă $p=12,5$ (2 p).

Examen oficial de Evaluare Națională, Varianta 6, susținut de absolvenții clasei a VIII-a în iunie 2018, publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele I și al II-lea sunt aduse la formatul grilă: enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt scrise de noi; cerințele 1 și 4 ale Subiectului al II-lea sunt reformulate din sarcini de construcție (un desen, respectiv o reprezentare grafică), care nu se pot da pe ecran. Subiectul al III-lea este reprodus enunț cu enunț și barem cu barem, cu figurile redesenate după cele din document, în structura examenului de Evaluare Națională (6+6+6 cerințe, 90 p + 10 p oficiu).

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică al Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2017–2018, sesiunea iunie 2018, Varianta 6 — publicat de Ministerul Educației Naționale prin Centrul Național de Evaluare și Examinare, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Enunțurile, datele numerice și ordinea cerințelor sunt cele din document, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Trei lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie $m(\angle BCD)$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$; instrucțiunile de subiect sunt formulate la persoana a doua singular („Scrie rezolvările complete”), ca în restul testelor de aici; iar cele șase subpuncte ale Subiectului al III-lea sunt scrise ca cerințe autonome, fiecare cu figura și datele ei complete, ca să poată fi luate în orice ordine. Rezolvările, explicațiile și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul din ghidaj urmează rând cu rând baremul oficial.

Notă de transparență privind formatul. În 2018 documentul oficial nu era grilă. Subiectul I cerea numai rezultatul: „Pe foaia de examen scrieți numai rezultatele”, fără variante de răspuns. Subiectul al II-lea cerea rezolvarea completă, punctată pe pași în barem. Ca proba să poată fi dată pe ecran, la fiecare cerință a Subiectelor I și al II-lea enunțul și răspunsul corect sunt cele din document, iar cele trei variante greșite de la fiecare cerință sunt adăugate de noi — ele nu apar nicăieri în subiectul oficial. Două cerințe ale Subiectului al II-lea cereau o construcție, care pe ecran nu se poate face, și au fost reformulate ca întrebări cu răspuns unic despre același obiect: cerința 1, „Desenați, pe foaia de examen, un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$” (baremul dădea 4 puncte desenului și 1 punct notării literelor), a devenit întrebarea despre numărul muchiilor aceluiași cub; cerința 4 a), „Reprezentați grafic funcția $f$ într-un sistem de coordonate $xOy$” (baremul dădea 2 puncte unui punct al graficului, 2 puncte altui punct și 1 punct trasării), a devenit întrebarea despre punctul în care graficul intersectează axa $Ox$, cu aceeași funcție $f(x)=2x+4$ din document. Cum cerința 4 a documentului avea două subpuncte, ele apar aici ca două cerințe separate — a 4-a și a 5-a —, iar expresia $E(x)$, cerința 5 din document, apare ca a 6-a. Subiectul al III-lea este reprodus ca atare, enunț și barem, fără nicio variantă adăugată de noi.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe ale probei de clasa 8:

• Ordinea operațiilor — împărțirea se face înaintea scăderii; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Proporționalitate directă — prețul a cinci caiete, aflat din prețul a zece; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Reuniunea mulțimilor — elementul care apare în reuniune, dar lipsește din prima mulțime; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Linia mijlocie a trapezului — semisuma bazelor; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Volumul paralelipipedului dreptunghic — produsul celor trei dimensiuni; clasa a VIII-a. (Subiectul I, cerința 5)
• Media aritmetică — media temperaturilor pozitive citite dintr-un tabel; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 6)
• Elementele cubului — vârfuri, fețe și muchii; clasa a VIII-a. Cerință reformulată. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Puteri și divizibilitate — factor comun $2^n$, apoi divizibilitatea cu $17$; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Problemă cu două condiții — două ecuații cu aceleași două necunoscute; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Funcția liniară — punctul în care graficul taie axa $Ox$; clasa a VIII-a. Cerință reformulată. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Distanța de la un punct la o dreaptă — triunghiuri dreptunghice asemenea și sinusul unui unghi ascuțit; clasele VII–VIII. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Fracții algebrice — același numitor, împărțirea fracțiilor, simplificare; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Unghiuri adiacente suplementare — un unghi alungit împărțit de o rază; clasa a VI-a. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Congruența triunghiurilor dreptunghice — cazul ipotenuză–unghi ascuțit; clasa a VII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Aria unui trapez și încadrarea unui radical — $\sqrt{3}<1,8$, fără calculator; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Piramida triunghiulară regulată — perimetrul bazei echilaterale; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Dreaptă paralelă cu un plan — două linii mijlocii care dau plane paralele; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Volumul piramidei și procente — raportul volumelor, scris ca procent; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba din 2018. La Subiectul I, prima cerință este o capcană de ordine, nu de calcul: în $30-30:3$ se împarte înainte de a scădea, iar cine scade întâi obține $0$ — exact una dintre variantele de pe ecran; cerința 6 cere media temperaturilor pozitive, adică a celor trei valori $1$, $3$ și $5$, nu a tuturor celor șapte zile, iar cine se oprește la sumă răspunde $9$. Subiectul al II-lea, cel pe care documentul îl cerea rezolvat complet, are trei locuri unde baremul oficial arată drumul: la cerința 2, toți termenii lui $N$ se scriu cu factor comun $2^n$, iar paranteza rămasă, $2^3-2^2+7\cdot 2-1$, valorează chiar $17$; la cerința 3, „mai sunt necesari $20$ de lei” înseamnă că suma strânsă este cu $20$ mai mică decât prețul, iar „rămân $5$ lei” că este cu $5$ mai mare — de aici cele două ecuații; la cerința 5, distanța de la $D$ la grafic se află cu mijloacele clasei a VIII-a, prin triunghiuri dreptunghice asemenea și sinusul unghiului $\angle ABO$, nu cu formula distanței de la un punct la o dreaptă, care nu este în programă. La Subiectul al III-lea, primele trei cerințe sunt geometrie plană și se sprijină una pe alta — unghiul de $30^{\circ }$ obținut la prima este chiar ipoteza celei de-a doua —, iar ultimele trei sunt geometrie în spațiu, unde cerința 6 cere procentul $p$, nu raportul volumelor.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de a 8-a care se antrenează acasă: cronometrul pornit de la prima cerință. Reper: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate”: întregi, fracții simple sau expresii de forma $5\sqrt{3}$.
• Redactare: pe ecran, la Subiectele I și al II-lea se alege o singură variantă; pe hârtie, în 2018, Subiectul I cerea doar rezultatul scris, iar Subiectul al II-lea rezolvarea completă. La Subiectul al III-lea se scriu toți pașii și justificările, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă 10 puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la 10 a punctajului total obținut pentru lucrare; la Subiectul I — se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 5 puncte, fie 0 puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al II-lea și Subiectul al III-lea, luate împreună — pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem. Gruparea aceasta este a documentului din 2018: pe hârtie, Subiectul al II-lea se rezolva complet și se puncta pe pași, la fel ca Subiectul al III-lea. Pe ecran, unde răspunsul se alege dintre patru variante, el se punctează integral sau deloc — regula „câte $5$ puncte sau $0$, fără punctaje intermediare”, scrisă mai jos la baremul acestei pagini și pentru Subiectul al II-lea, este deci practica paginii, nu gruparea documentului din 2018. Tocmai de aceea ghidajul de aici arată, pentru fiecare cerință a Subiectului al II-lea, chiar pașii și punctajele din baremul oficial.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: măsura $m(\angle DCE)=30^{\circ }$ scrisă direct, fără coliniaritatea lui $B$, $C$, $E$ din care rezultă $m(\angle BCD)+m(\angle DCE)=180^{\circ }$ — baremul dă $3$ din cele $5$ puncte tocmai pentru acest pas (cerința 1); congruența anunțată fără cele două unghiuri drepte și fără numirea cazului ipotenuză–unghi ascuțit (cerința 2); aria calculată corect, dar inegalitatea încheiată cu o valoare de calculator, în locul încadrării $\sqrt{3}<1,8$ (cerința 3); perimetrul scris de-a dreptul $3\cdot 12$, fără observația că baza unei piramide triunghiulare regulate este echilaterală (cerința 4); „dreapta $VQ$ este paralelă cu planul” fără trecerea prin $(VBC)\parallel (MNP)$ și fără $VQ\subset (VBC)$ (cerința 5); raportul $8$ dat drept răspuns în locul procentului $p=12,5$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului: