Evaluarea Națională 2023, sesiunea de rezervă — subiectul oficial, rezolvat

Disciplina: Matematică · Clasa a VIII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Evaluare Națională

Exerciții

Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de două ore.

Subiectul I (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte Rezultatul calculului $2+3\cdot 5$ este egal cu: a) $1$ b) $10$ c) $17$ d) $25$

Exercițiul 2 · 5 puncte Dacă $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$, atunci numărul $a$ este egal cu: a) $\frac{2}{3}$ b) $1$ c) $\frac{3}{2}$ d) $6$

Exercițiul 3 · 5 puncte Produsul numerelor $-2$ și $7$ este egal cu: a) $-14$ b) $-5$ c) $5$ d) $14$

Exercițiul 4 · 5 puncte Scris sub formă de fracție ordinară, numărul $2,3$ este egal cu: a) $\frac{23}{9}$ b) $\frac{23}{10}$ c) $\frac{2}{3}$ d) $\frac{23}{100}$

Exercițiul 5 · 5 puncte În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la rezultatele obținute de elevii unei clase la un test de matematică.

Conform informațiilor din tabel, numărul de elevi care au obținut note mai mari sau egale cu $8$, la acest test, este egal cu: a) $5$ b) $6$ c) $11$ d) $14$

Exercițiul 6 · 5 puncte Se consideră numerele reale $a=2\sqrt{3}$ și $b=3\sqrt{2}$. Radu afirmă că: „Numărul $a$ este mai mic decât numărul $b$." Afirmația lui Radu este: a) adevărată b) falsă

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$. Simetricul punctului $B$ față de punctul $E$ este punctul:

a) $A$ b) $B$ c) $C$ d) $D$

Exercițiul 2 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $AB$ și $CD$, cu punctele $A$ și $D$ de aceeași parte a dreptei $BC$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu $45^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

a) $45^{\circ }$ b) $75^{\circ }$ c) $135^{\circ }$ d) $145^{\circ }$

Exercițiul 3 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu lungimea laturii de $12$ cm. Punctul $M$ se află în interiorul triunghiului $ABC$, la distanțe egale de laturile triunghiului. Distanța de la punctul $M$ la dreapta $BC$ este egală cu:

a) $4\sqrt{3}$ cm b) $6$ cm c) $4$ cm d) $2\sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $CD=20$ cm și $AB=4\cdot CD$. Lungimea liniei mijlocii a acestui trapez este egală cu:

a) $30$ cm b) $50$ cm c) $80$ cm d) $100$ cm

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$. Măsura arcului mic $AB$ este egală cu $46^{\circ }$. Măsura unghiului $BAO$ este egală cu:

a) $23^{\circ }$ b) $46^{\circ }$ c) $67^{\circ }$ d) $134^{\circ }$

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ cu $AB=6$ cm. Suma lungimilor tuturor muchiilor acestui tetraedru este egală cu:

a) $18$ cm b) $24$ cm c) $30$ cm d) $36$ cm

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Scrie rezolvările complete. Se punctează raționamentul și justificările.

Exercițiul 1 · 5 puncte La ora de geometrie, fiecare dintre cei $25$ de elevi ai unei clase a desenat pe caiet fie un triunghi, fie un patrulater. a) (2 p) Este posibil ca exact $7$ elevi să fi desenat câte un triunghi și numărul total de laturi desenate de cei $25$ de elevi să fie egal cu $90$? Justifică răspunsul dat. b) (3 p) Determină numărul de elevi care au desenat câte un patrulater, știind că numărul total de laturi ale figurilor geometrice desenate de elevii clasei este egal cu $91$.

Exercițiul 2 · 5 puncte Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\right):\frac{2x+1}{x^2+3x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -1$, $x\ne -2$ și $x\ne -\frac{1}{2}$. a) (2 p) Arată că $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$, pentru orice număr real $x$. b) (3 p) Dacă $n$ este număr natural par, nenul, arată că numărul $N=\frac{1}{E(n)}$ este natural.

Exercițiul 3 · 5 puncte Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{3}-1$.

a) (2 p) Arată că $f(3)+f(9)=2$. b) (3 p) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $M$, respectiv $N$. Calculează distanța de la punctul $O$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

Exercițiul 4 · 5 puncte În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale $ABC$ și $CDE$, cu $AB=8$ cm, $CD=4$ cm, iar punctele $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $DE$.

a) (2 p) Arată că $CM=2\cdot CN$. b) (3 p) Aria triunghiului $MCN$ reprezintă $p\%$ din aria triunghiului $ACD$. Determină valoarea lui $p$.

Exercițiul 5 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=AC=10$ cm și $\angle BAC=120^{\circ }$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $S$ este simetricul punctului $M$ față de punctul $A$.

a) (2 p) Arată că $BC=10\sqrt{3}$ cm. b) (3 p) Demonstrează că distanța de la punctul $M$ la dreapta $SC$ este mai mică decât $7$ cm.

Exercițiul 6 · 5 puncte În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=2\sqrt{3}$ cm, $BC=2$ cm și $A{A}^{\prime }=4$ cm. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

a) (2 p) Arată că volumul paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $16\sqrt{3}$ cm³. b) (3 p) Demonstrează că dreapta $A^{\prime }C$ este paralelă cu planul $(MA{B}^{\prime })$.

Barem și răspunsuri

Punctaj: 90 p din exerciții + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctaj : 10.

Subiectul I și Subiectul al II-lea: se punctează doar rezultatul – pentru fiecare răspuns corect 5 p, altfel 0 p (fără punctaje intermediare). Subiectul al III-lea: pentru orice soluție corectă se acordă punctajul corespunzător; se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 p)

1. c) Înmulțirea se efectuează înaintea adunării: $2+3\cdot 5=2+15=17$.
2. c) Din $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$ rezultă $2a=3$, deci $a=\frac{3}{2}$.
3. a) $(-2)\cdot 7=-14$.
4. b) $2,3=\frac{23}{10}$.
5. c) Note mai mari sau egale cu $8$ au obținut $6+4+1=11$ elevi.
6. a) $a=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $b=3\sqrt{2}=\sqrt{18}$; cum $\sqrt{12}<\sqrt{18}$, rezultă $a<b$, deci afirmația lui Radu este adevărată.

Subiectul al II-lea (30 p)

1. d) Punctele $B$, $E$ și $D$ sunt coliniare, cu $EB=ED$, deci simetricul punctului $B$ față de punctul $E$ este punctul $D$.
2. c) $AB\parallel CD$ și secanta $BC$: unghiurile $ABC$ și $BCD$ sunt interne de aceeași parte a secantei, deci suplementare; $m(\angle ABC)=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$.
3. d) Punctul $M$, egal depărtat de laturi, este centrul cercului înscris în triunghiul echilateral; $d(M,BC)=r=\frac{l\sqrt{3}}{6}=\frac{12\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$ cm.
4. b) $AB=4\cdot CD=4\cdot 20=80$ cm; linia mijlocie $=\frac{AB+CD}{2}=\frac{80+20}{2}=50$ cm.
5. c) Unghiul la centru $AOB$ are măsura arcului mic $AB$, adică $46^{\circ }$; triunghiul $OAB$ este isoscel ($OA=OB=r$), deci $m(\angle BAO)=\frac{180^{\circ }-46^{\circ }}{2}=67^{\circ }$.
6. d) Tetraedrul regulat are $6$ muchii congruente, deci suma lungimilor lor este $6\cdot 6=36$ cm.

Subiectul al III-lea (30 p)

Exercițiul 1 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiurile desenate de cei $7$ elevi ar avea $7\cdot 3=21$ de laturi (1 p). Patrulaterele desenate ar avea $(25-7)\cdot 4=72$ de laturi, $72+21=93$ și, cum $93\ne 90$, obținem că nu este posibil ca $7$ elevi să deseneze câte un triunghi (1 p). b) (3 p) $a+b=25$, unde $a$ reprezintă numărul de elevi care au desenat câte un triunghi și $b$ reprezintă numărul de elevi care au desenat câte un patrulater (1 p). $3a+4b=91$ (1 p). $b=16$ (1 p).

Exercițiul 2 · 5 puncte a) (2 p) $(x+1)(x+2)=x^2+2x+x+2=$ (1 p) $=x^2+3x+2$, pentru orice număr real $x$ (1 p). b) (3 p) $E(x)=\frac{x^2+3x+2+2x^2+4x-3x^2-3x}{x(x+1)(x+2)}:\frac{2x+1}{(x+1)(x+2)}=$ (1 p) $=\frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)}\cdot \frac{(x+1)(x+2)}{2x+1}=\frac{2}{x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -1$, $x\ne -2$ și $x\ne -\frac{1}{2}$ (1 p). Dacă $n$ este număr natural par, nenul, atunci numărul $N=\frac{1}{E(n)}=\frac{n}{2}$ este natural (1 p).

Exercițiul 3 · 5 puncte a) (2 p) $f(3)=0$ (1 p). $f(9)=2\Rightarrow f(3)+f(9)=2$ (1 p). b) (3 p) $M(3,0)$ și $N(0,-1)$ (1 p). Triunghiul $MON$ este dreptunghic în $O$, deci $MN=\sqrt{10}$ (1 p). $OP\perp MN$, unde $P\in MN$, $OP=\frac{OM\cdot ON}{MN}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (1 p).

Exercițiul 4 · 5 puncte a) (2 p) $CM$ este înălțime în triunghiul echilateral $ABC$ $\Rightarrow CM=4\sqrt{3}$ cm (1 p). $CN$ este înălțime în triunghiul echilateral $CDE$ $\Rightarrow CN=2\sqrt{3}$ cm, deci $CM=2\cdot CN$ (1 p). b) (3 p) $CM$ și $CN$ sunt bisectoare în triunghiurile echilaterale $ABC$, respectiv $CDE$, deci $m(\angle BCM)=m(\angle DCN)=30^{\circ }$, de unde obținem $m(\angle MCN)=120^{\circ }$ (1 p). $m(\angle ACD)=120^{\circ }$, deci $\angle MCN\equiv \angle ACD$ și, cum $\frac{CM}{AC}=\frac{CN}{CD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow △MCN\sim △ACD$ (1 p). $\frac{{\mathcal{A}}_{MCN}}{{\mathcal{A}}_{ACD}}=\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=75\%\Rightarrow p=75$ (1 p).

Exercițiul 5 · 5 puncte a) (2 p) Triunghiul $ABC$ este isoscel, $AM$ mediană, deci $AM$ este înălțime și bisectoare (1 p). Triunghiul $AMC$ este dreptunghic în $M$, $\sin \left(\angle CAM\right)=\frac{CM}{AC}$, de unde obținem $CM=5\sqrt{3}$ cm, deci $BC=10\sqrt{3}$ cm (1 p). b) (3 p) Triunghiul $SMC$ este dreptunghic în $M$, $S{C}^2=M{C}^2+M{S}^2$, deci $SC=5\sqrt{7}$ cm (1 p). $MT\perp CS$, unde $T\in SC$, deci $d(M,SC)=MT=\frac{SM\cdot MC}{SC}=\frac{10\sqrt{21}}{7}$ cm (1 p). Cum $\frac{10\sqrt{21}}{7}<7\iff 10\sqrt{21}<49\iff 2100<2401$, obținem $MT<7$ cm (1 p).

Exercițiul 6 · 5 puncte a) (2 p) $\mathcal{V}=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }=$ (1 p) $=2\sqrt{3}\cdot 2\cdot 4=16\sqrt{3}$ cm³ (1 p). b) (3 p) $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi, $A^{\prime }B\cap A{B}^{\prime }=\{O\}$, deci $O$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$ (1 p). În triunghiul $A^{\prime }BC$, $OM$ este linie mijlocie, de unde $OM\parallel A^{\prime }C$ (1 p). $OM\subset (AM{B}^{\prime })$, deci $A^{\prime }C\parallel (AM{B}^{\prime })$ (1 p).

Sursa: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a, probă scrisă la matematică, sesiunea de rezervă, anul școlar 2022–2023, Varianta 5. Enunțurile, datele și baremul urmează documentul oficial; figurile sunt redesenate, iar aranjarea în pagină este a site-ului.

Pentru părinți și profesori

Documentul de față nu este o simulare scrisă de noi: este subiectul oficial de matematică pregătit pentru sesiunea de rezervă a Evaluării Naționale pentru absolvenții clasei a VIII-a, anul școlar 2022–2023, Varianta 5 — publicat de Ministerul Educației prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, împreună cu baremul de evaluare și de notare. Sesiunea de rezervă este cea pregătită pentru candidații care nu pot susține proba în sesiunea obișnuită, din motive medicale sau din alte situații prevăzute de metodologie; este o variantă completă, la același nivel de dificultate, distinctă de subiectul sesiunii obișnuite din iunie 2023 (Varianta 1), publicat pe acest site ca test separat. Antetul foii nu numește sesiunea — scrie doar „Anul școlar 2022 – 2023" și „Varianta 5" —, așa că încadrarea vine din felul în care centrul a publicat documentul, nu din foaie. Enunțurile urmează documentul oficial: valorile și ordinea variantelor sunt cele de pe subiect, iar figurile au fost redesenate după cele oficiale, cu aceeași configurație. Două lucruri sunt aduse la convenția site-ului, ca să se citească la fel peste tot: măsura unghiului se scrie cu $\angle$ acolo unde documentul folosește simbolul $\sphericalangle$, iar instrucțiunile spun explicit cât valorează cerințele — la Subiectele I și al II-lea, că fiecare cerință aduce $5$ puncte (pe foaia oficială punctajul stă în marginea din stânga, în dreptul fiecărei cerințe), iar la Subiectul al III-lea, că se punctează raționamentul și justificările. Rezolvările, explicațiile, controalele numerice și ghidajul pas cu pas sunt scrise de noi, iar punctajul de la Subiectul al III-lea urmează rând cu rând baremul oficial.

Structura probei:

Total: 100 de puncte, timp de lucru două ore. Nota se obține împărțind punctajul total la zece.

Harta materiei, pe cele 18 cerințe:

• Ordinea operațiilor — înmulțirea se face înaintea adunării; clasele V–VI. (Subiectul I, cerința 1)
• Rapoarte și proporții — un termen aflat dintr-o egalitate de rapoarte, cu rezultat fracționar; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 2)
• Numere întregi — regula semnelor la înmulțire; clasa a VI-a. (Subiectul I, cerința 3)
• Fracții zecimale și fracții ordinare — o zecimală finită cu o singură zecimală; clasa a V-a. (Subiectul I, cerința 4)
• Statistică: citirea unui tabel — o sumă de frecvențe, cu „mai mari sau egale"; clasele VI–VIII. (Subiectul I, cerința 5)
• Compararea numerelor iraționale — $2\sqrt{3}$ față de $3\sqrt{2}$, prin introducerea sub radical; clasa a VII-a. (Subiectul I, cerința 6)
• Simetricul unui punct față de un punct — mijlocul unui segment citit din figură; clasa a VI-a. (Subiectul al II-lea, cerința 1)
• Drepte paralele tăiate de o secantă — unghiuri interne de aceeași parte a secantei, suplementare; clasele VI–VII. (Subiectul al II-lea, cerința 2)
• Cercul înscris în triunghiul echilateral — punctul egal depărtat de laturi și raza $\frac{l\sqrt{3}}{6}$; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 3)
• Linia mijlocie a trapezului — semisuma bazelor, după ce se află baza mare; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 4)
• Unghi la centru și triunghi isoscel în cerc — arcul dă unghiul la centru, razele dau triunghiul isoscel; clasa a VII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 5)
• Tetraedrul regulat — numărul muchiilor și suma lungimilor lor; clasa a VIII-a. (Subiectul al II-lea, cerința 6)
• Problemă cu triunghiuri și patrulatere — o verificare prin numărare și un sistem de gradul întâi; clasele VI–VII. (Subiectul al III-lea, cerința 1)
• Fracții algebrice — descompunerea numitorului, numitor comun, împărțirea fracțiilor; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 2)
• Funcția liniară — intersecțiile cu axele și distanța de la origine la grafic; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 3)
• Triunghiuri echilaterale și asemănare — două înălțimi, un unghi comun și raportul ariilor scris în procente; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 4)
• Triunghi isoscel cu unghi de $120^{\circ }$ — cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$, apoi o inegalitate cu radicali; clasele VII–VIII. (Subiectul al III-lea, cerința 5)
• Paralelipipedul dreptunghic — volumul, apoi paralelismul dintre o dreaptă și un plan; clasa a VIII-a. (Subiectul al III-lea, cerința 6)

Ce a cerut, de fapt, proba de rezervă din 2023. La Subiectul I, patru cerințe din șase se pierd la citire, nu la calcul: cerința 1 este chiar definiția ordinii operațiilor, iar $25$ din listă este rezultatul celui care adună întâi și înmulțește după; cerința 2 dă $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$, deci $2a=3$ și $a=\frac{3}{2}$ — varianta $6$ este produsul $2\cdot 3$, adică proporția „înmulțită" greșit; cerința 4 cere fracția ordinară a lui $2,3$, iar $\frac{23}{9}$ este forma unei zecimale periodice, nu a uneia finite; cerința 5 spune „mai mari sau egale cu $8$", iar varianta $5$ este exact suma celor care au luat doar $9$ și $10$, adică răspunsul celui care sare peste nota $8$. Cerința 6 are doar două variante de răspuns și se rezolvă introducând ambele numere sub radical: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$ și $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$. Subiectul al II-lea este integral geometrie cu figură: la cerința 1 se citește din desen că $B$, $E$ și $D$ sunt coliniare, cu $EB=ED$; la cerința 2 unghiurile $ABC$ și $BCD$ sunt interne de aceeași parte a secantei, deci suplementare, iar $45^{\circ }$ din listă este răspunsul celui care le crede alterne interne; la cerința 3 punctul egal depărtat de laturi este centrul cercului înscris, deci distanța este raza $r=\frac{l\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$ cm, nu raza cercului circumscris $\frac{l\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$ cm, care e tot pe listă; la cerința 4 se cere linia mijlocie, nu baza mare, deci $80$ cm este un rezultat intermediar transformat în capcană; la cerința 5 unghiul $BAO$ este unghi la bază într-un triunghi isoscel cu unghiul de la vârf de $46^{\circ }$, nu jumătatea arcului; la cerința 6 tetraedrul regulat are $6$ muchii, nu $4$. La Subiectul al III-lea, cerința 1 cere mai întâi o respingere argumentată cu numere, nu o rezolvare; cerința 2 se sprijină pe descompunerea cerută la subpunctul a), care se folosește apoi ca numitor comun; cerința 3 vrea distanța de la un punct la o dreaptă, adică înălțimea din unghiul drept al triunghiului $MON$; cerința 4 cere un procent, iar raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare; cerința 5 cere o inegalitate, care se închide prin ridicare la pătrat, iar cerința 6 cere paralelism dreaptă–plan, care trece obligatoriu printr-o dreaptă din plan.

Cum se dă ca probă completă:

• Punctaj: 90 de puncte din cerințe + 10 puncte din oficiu = 100 de puncte.
• Timp de lucru: 2 ore, cronometrate. Reper pentru un elev de clasa 8: $25$ de minute pentru Subiectul I, $35$ pentru Subiectul al II-lea, restul pentru Subiectul al III-lea și pentru recitire.
• Materiale: foaie de examen, pix cu pastă albastră, riglă. Fără calculator. Rezultatele sunt „curate": întregi, fracții simple sau expresii de forma $5\sqrt{3}$.
• Redactare: la Subiectele I și al II-lea se încercuiește o singură literă; la Subiectul al III-lea se scriu toți pașii, altfel rezultatul corect nu ia punctajul întreg.

Regulile oficiale de notare, de pe baremul probei: se acordă zece puncte din oficiu, iar nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare; la Subiectul I și la Subiectul al II-lea se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie cinci puncte, fie zero puncte și nu se acordă punctaje intermediare; la Subiectul al III-lea, pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul corespunzător și nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.

Ce se depunctează la Subiectul al III-lea, pe această variantă: răspunsul „nu este posibil" dat fără cele două numărători, $7\cdot 3=21$ și $18\cdot 4=72$, și fără comparația $93\ne 90$ (cerința 1); trecerea la numitorul comun fără egalitatea $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ demonstrată la subpunctul a) și concluzia „$N$ este natural" scrisă fără să folosești ipoteza că $n$ este par (cerința 2); valoarea $OP=\frac{3\sqrt{10}}{10}$ scrisă fără triunghiul dreptunghic $MON$ și fără $MN=\sqrt{10}$ (cerința 3); raportul ariilor $\frac{3}{4}$ folosit fără asemănarea $△MCN\sim △ACD$, adică fără unghiul de $120^{\circ }$ și fără raportul $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (cerința 4); distanța $MT=\frac{10\sqrt{21}}{7}$ cm dată ca răspuns final, fără ridicarea la pătrat care arată că este mai mică decât $7$ cm (cerința 5); „dreapta este paralelă cu planul" fără trecerea prin linia mijlocie $OM\parallel A^{\prime }C$ și fără observația $OM\subset (AM{B}^{\prime })$ (cerința 6).

Interpretarea punctajului:

Un elev de a 8-a poate folosi harta materiei de mai sus ca listă de recapitulare: fiecare rând spune ce capitol se ascunde în spatele cerinței și din ce clasă vine.