Test inițial tehnologic — clasa a XII-a

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Recapitulare (30 de puncte)

Fiecare exercițiu de aici are 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se dau matricele $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 4& 0& -2\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ -3& 2\\ 0& -4\end{array}\right)$. Calculează determinantul matricei $A\cdot B$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determină numerele reale $x$ pentru care $\det \left(\begin{array}{cc}x& 4\\ 3& x+1\end{array}\right)=8$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{cc}m& 9\\ 3& 7\end{array}\right)$, cu $m$ număr real. Determină $m$ pentru care elementul de pe linia a doua și coloana întâi al inversei matricei $A$ este $-\frac{3}{8}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Pentru ce valoare a lui $a$ limita $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{2x^2+ax-15}{x^2-x-6}$ este un număr real?

Variantele: a) „$2$”; b) „$-1$”; c) „$1$”; d) „$-11$”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:(-2;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2+a}{x+2}$, cu $a$ număr real. Determină $a$ pentru care $f^{\prime }(1)=\frac{1}{3}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+2$ pentru $x<1$, $f(1)=5$ și $f(x)=x^2+b$ pentru $x>1$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determină $a$ și $b$ pentru care $f$ este continuă în $x=1$.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

În Partea a II-a, fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O turnătorie prepară un aliaj din două loturi de fier vechi, A și B. Un kilogram din lotul A conține 18 g de carbon și 6 g de siliciu, iar un kilogram din lotul B conține 30 g de carbon și 14 g de siliciu. Rețeta cere 22 800 g de carbon și 9 200 g de siliciu. Notăm cu $x$ și $y$ masele celor două loturi, în kilograme.

a) (5 puncte) Scrie sistemul liniar în $x$ și $y$, forma lui matriceală $M\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=C$ și calculează $\det M$.

b) (5 puncte) Rezolvă sistemul cu metoda lui Cramer. Apoi află, cu același determinant al sistemului, ce masă de lot A cere o rețetă cu tot 22 800 g de carbon, dar cu 9 920 g de siliciu.

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un senzor de presiune dă tensiunea de ieșire $U(p)=\frac{ap+12}{2p+4}$ volți la presiunea de $p$ bar, pentru $p\ge 0$, unde $a$ este o constantă a aparatului. Graficul funcției $U$ are asimptota orizontală $y=7$ spre $+\infty$.

a) (5 puncte) Determină $a$ și calculează $U(0)$.

b) (5 puncte) Pentru $a$ găsit, arată că $U(p)<7$ pentru orice $p\ge 0$ și află de la ce presiune întreagă depășește tensiunea 6,5 V.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Costul transportului pe 100 km, în lei, cu viteza medie de $v$ km/h este $C(v)=0,5v+\frac{a}{v}$, pentru $30\le v\le 100$, unde $a$ este o constantă (combustibilul costă $0,5v$ lei, iar șoferul $\frac{a}{v}$ lei pe 100 km; model din exercițiu). Se știe că cel mai mic cost se obține la viteza de 60 km/h.

a) (5 puncte) Calculează $C^{\prime }(v)$ în funcție de $a$ și află $a$.

b) (5 puncte) Pentru $a$ găsit, alcătuiește tabelul de variație al funcției $C$ pe $[30;100]$ și află cu câți lei costă mai mult transportul la 100 km/h decât la 60 km/h.

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

În Partea a III-a, fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 7& 6\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ 18& -11\end{array}\right)$ și, pentru fiecare număr real $x$, matricea $C(x)=\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 0& 3& x\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$.

a) (5 puncte) Calculează $\det A$, arată că $A$ este inversabilă și scrie $A^{-1}$.

b) (5 puncte) Rezolvă ecuația matriceală $A\cdot X-2A=B$, unde $X$ este o matrice cu două linii și două coloane.

c) (5 puncte) Arată că $\det C(x)=x+12$ și determină numărul real $x$ pentru care matricea $C(x)$ nu este inversabilă.

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^3+a{x}^2+bx-10$, cu $a$ și $b$ numere reale. Funcția $f$ are puncte critice în $x=1$ și în $x=5$.

a) (5 puncte) Determină numerele $a$ și $b$.

b) (5 puncte) Pentru $a$ și $b$ găsite, alcătuiește tabelul de variație al funcției $f$ și află valorile ei în punctele de extrem local.

c) (5 puncte) Determină mulțimea valorilor funcției $f$ pe intervalul $[0;8]$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările de mai jos sunt pe pași, iar punctele fiecărui pas stau între paranteze; orice alt drum corect primește aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția „Verificare” rămâne fără puncte. La sinteză, un rezultat fără calcule și explicații nu ia punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

Matricea $A$ are dimensiunea $2\times 3$, iar $B$ are dimensiunea $3\times 2$: produsul există și are dimensiunea $2\times 2$ (1 p). Elementele sunt $c_{11}=2\cdot 1+(-1)(-3)+3\cdot 0=5$, $c_{12}=2\cdot 5+(-1)\cdot 2+3\cdot (-4)=-4$, $c_{21}=4\cdot 1+0\cdot (-3)+(-2)\cdot 0=4$ și $c_{22}=4\cdot 5+0\cdot 2+(-2)(-4)=28$ (2 p). Determinantul este $5\cdot 28-(-4)\cdot 4=140+16=156$ (2 p). Verificare: determinantul se calculează pe produs, nu pe factori: $A$ și $B$ nu sunt pătratice, deci n-au determinant, iar $B\cdot A$, de tip $3\times 3$, ar da alt determinant. Cine înmulțește element cu element, $2\cdot 1$, $(-1)\cdot 5$ și așa mai departe, obține o matrice $2\times 3$, nu produsul cerut.

Exercițiul 2.

Determinantul este $x(x+1)-4\cdot 3=x^2+x-12$ (2 p). Ecuația $x^2+x-12=8$ devine $x^2+x-20=0$, cu $\Delta =81$ (1 p), deci $x=\frac{-1\pm 9}{2}$, adică $x=4$ sau $x=-5$ (2 p). Verificare: pentru $x=4$, $4\cdot 5-12=8$; pentru $x=-5$, $(-5)(-4)-12=8$. Cine adună produsele diagonalelor, în loc să le scadă, ajunge la $x^2+x+12=8$, care nu are soluții reale.

Exercițiul 3.

$\det A=7m-27$ (1 p). Inversa are la linia a doua, coloana întâi, elementul $\frac{-3}{\det A}$, fiindcă elementul $3$ din $A$ își schimbă semnul (2 p). Ecuația $\frac{-3}{7m-27}=-\frac{3}{8}$ dă $7m-27=8$, deci $m=5$ (2 p). Verificare: pentru $m=5$, $\det A=35-27=8$ și elementul cerut este $-\frac{3}{8}$. Cine lasă elementul $3$ cu semnul plus obține $\frac{3}{7m-27}=-\frac{3}{8}$, deci $7m-27=-8$ și $m=\frac{19}{7}$, nu 5.

Exercițiul 4.

În $x=3$ numitorul se anulează: $3^2-3-6=0$ (1 p). Limita este un număr real numai dacă numărătorul se anulează și el în $x=3$, altfel câtul tinde la infinit; din $2\cdot 9+3a-15=0$ rezultă $3a=-3$, deci $a=-1$ (2 p), răspunsul $\mathbf{b})$ (1 p). Pentru $a=-1$, $2x^2-x-15=(x-3)(2x+5)$ și $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$; după simplificarea cu $x-3$, limita este $\frac{2\cdot 3+5}{3+2}=\frac{11}{5}$ (1 p). Verificare: pentru $x=3,0001$, $\frac{2\cdot 3,0001+5}{3,0001+2}\approx 2,2000$, aproape de $\frac{11}{5}$. Cine uită coeficientul lui $x^2$ din numărător scrie $9+3a-15=0$ și alege a); cine scrie $18-3a-15=0$ alege c); cine adună 15 în loc să-l scadă, din $18+3a+15=0$, alege d).

Exercițiul 5.

Cu regula câtului, $f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+2)-(x^2+a)\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2+4x-a}{(x+2{)}^2}$ (3 p). În $x=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{5-a}{9}$ (1 p). Ecuația $\frac{5-a}{9}=\frac{1}{3}$ dă $5-a=3$, deci $a=2$ (1 p). Verificare: pentru $a=2$, $f^{\prime }(1)=\frac{1+4-2}{9}=\frac{1}{3}$. Cine derivează numărătorul și numitorul separat obține $\frac{2x}{1}=2$ în $x=1$, fără $a$ și fără nicio ecuație de rezolvat.

Exercițiul 6.

Limita la stânga în 1 este $a+2$, limita la dreapta este $1+b$, iar $f(1)=5$ (1 p). Continuitatea în 1 cere $a+2=5=1+b$ (2 p), deci $a=3$ și $b=4$ (2 p). Verificare: pentru $a=3$ și $b=4$, ambele limite laterale sunt 5, ca $f(1)$. Cine cere doar ca limitele laterale să fie egale, $a+2=1+b$, are o infinitate de perechi, de pildă $a=0$ și $b=1$, cu limita 2, diferită de $f(1)=5$.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Carbonul dă ecuația $18x+30y=22800$, iar siliciul $6x+14y=9200$ (2 p). Forma matriceală este $\left(\begin{array}{cc}18& 30\\ 6& 14\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}22800\\ 9200\end{array}\right)$ (1 p). Determinantul este $\det M=18\cdot 14-30\cdot 6=252-180=72$ (2 p).

b) (5 p) Cum $\Delta =72\ne 0$, sistemul are soluție unică (1 p). ${\Delta }_x=22800\cdot 14-30\cdot 9200=43200$ și ${\Delta }_y=18\cdot 9200-22800\cdot 6=28800$ (1 p), deci $x=\frac{43200}{72}=600$ și $y=\frac{28800}{72}=400$: 600 kg din lotul A și 400 kg din lotul B (1 p). Cu 9 920 g de siliciu matricea $M$ nu se schimbă, deci $\Delta$ rămâne 72, iar ${\Delta }_x^{\prime }=22800\cdot 14-30\cdot 9920=319200-297600=21600$ (1 p), de unde $x^{\prime }=\frac{21600}{72}=300$ kg de lot A (1 p).

Verificare: $18\cdot 600+30\cdot 400=22800$ și $6\cdot 600+14\cdot 400=9200$. Pentru noua rețetă, $y^{\prime }=\frac{18\cdot 9920-22800\cdot 6}{72}=580$, iar $18\cdot 300+30\cdot 580=22800$ și $6\cdot 300+14\cdot 580=9920$. Cine pune pe prima coloană coeficienții carbonului ambelor loturi, $18$ și $30$, scrie matricea transpusă și rezolvă un alt sistem.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Împărțind numărătorul și numitorul la $p$, $U(p)=\frac{a+\frac{12}{p}}{2+\frac{4}{p}}$, deci $\underset{p\to +\infty }{\lim }U(p)=\frac{a}{2}$ (2 p). Asimptota orizontală $y=\frac{a}{2}$ trebuie să fie $y=7$, deci $a=14$ (1 p). Atunci $U(0)=\frac{12}{4}=3$ V (2 p).

b) (5 p) Pentru $a=14$, $U(p)=\frac{14p+12}{2p+4}=\frac{7p+6}{p+2}=7-\frac{8}{p+2}$ (2 p); cum $p+2>0$, fracția scăzută este pozitivă, deci $U(p)<7$ pentru orice $p\ge 0$ (1 p). Inegalitatea $U(p)>6,5$ devine $\frac{8}{p+2}<0,5$, adică $p+2>16$, deci $p>14$ (1 p): cea mai mică presiune întreagă este $15$ bar (1 p).

Verificare: $U(14)=\frac{14\cdot 14+12}{2\cdot 14+4}=\frac{208}{32}=6,5$, deci la 14 bar tensiunea este exact 6,5 V, nu mai mare, iar $U(15)=\frac{222}{34}\approx 6,53$. Cine ia $a=7$, valoarea asimptotei, uită împărțirea la 2 a coeficientului lui $p$ de la numitor.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Scrii $C(v)=0,5v+a\cdot \frac{1}{v}$, iar ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{v^2}$, deci $C^{\prime }(v)=0,5-\frac{a}{v^2}=\frac{v^2-2a}{2v^2}$ (2 p). Minimul din interiorul intervalului este un punct critic, deci $C^{\prime }(60)=0$ (1 p), adică $3600-2a=0$ și $a=1800$ (2 p).

b) (5 p) Cu $a=1800$, $C^{\prime }(v)=\frac{v^2-3600}{2v^2}$ se anulează în $v=60$ (1 p). Pe $[30;60)$, $v^2<3600$ și $C^{\prime }<0$: $C$ scade; pe $(60;100]$, $C^{\prime }>0$: $C$ crește (2 p). Minimul este $C(60)=30+30=60$ lei, iar $C(100)=50+18=68$ lei, deci transportul costă cu $8$ lei mai mult la 100 km/h (2 p).

Verificare: $C^{\prime }(50)=0,5-\frac{1800}{2500}=-0,22<0$, iar $C^{\prime }(80)=0,5-\frac{1800}{6400}\approx 0,22>0$; $C(30)=15+60=75$, mai mare decât $C(60)$. Cine derivează $\frac{a}{v}$ ca $+\frac{a}{v^2}$ obține $C^{\prime }=0,5+\frac{a}{v^2}>0$ și nu găsește niciun punct critic.

Exercițiul 10.

a) (5 p) $\det A=3\cdot 6-2\cdot 7=4\ne 0$, deci $A$ este inversabilă (2 p). $A^{-1}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}6& -2\\ -7& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{7}{4}& \frac{3}{4}\end{array}\right)$ (3 p).

b) (5 p) Se mută $2A$ în dreapta: $A\cdot X=B+2A$ (1 p), cu $B+2A=\left(\begin{array}{cc}12& 1\\ 32& 1\end{array}\right)$ (1 p). Cum $A$ este inversabilă și stă la stânga lui $X$, $X=A^{-1}\cdot (B+2A)$ (1 p), cu elementele $x_{11}=\frac{3}{2}\cdot 12-\frac{1}{2}\cdot 32=2$, $x_{12}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1$, $x_{21}=-\frac{7}{4}\cdot 12+\frac{3}{4}\cdot 32=3$ și $x_{22}=-\frac{7}{4}+\frac{3}{4}=-1$ (1 p), deci $X=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& -1\end{array}\right)$ (1 p).

c) (5 p) Cu regula lui Sarrus, $\det C(x)=2\cdot 3\cdot 2+1\cdot x\cdot 1+0\cdot 0\cdot 0-0\cdot 3\cdot 1-2\cdot x\cdot 0-1\cdot 0\cdot 2=12+x$ (3 p). Matricea $C(x)$ nu este inversabilă când $\det C(x)=0$, adică $x+12=0$, deci $x=-12$ (2 p).

Verificare: a) $A\cdot A^{-1}$ are pe prima linie $3\cdot \frac{3}{2}+2\cdot \left(-\frac{7}{4}\right)=1$ și $3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+2\cdot \frac{3}{4}=0$. b) $A\cdot X-2A=\left(\begin{array}{cc}12-6& 1-4\\ 32-14& 1-12\end{array}\right)=B$. c) Pentru $x=0$, dintre cele șase produse ale regulii lui Sarrus rămâne nenul doar $2\cdot 3\cdot 2=12$, ca în $x+12$. Cine rezolvă $X=A^{-1}\cdot B$ pierde termenul $2A$ și obține $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 3& -3\end{array}\right)$.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Derivata $f^{\prime }$ este o funcție de gradul al doilea, cu coeficientul dominant $-3$, coeficientul lui $x$ egal cu $2a$ și termenul liber $b$ (1 p). Punctele critice 1 și 5 sunt rădăcinile lui $f^{\prime }$, deci $f^{\prime }(x)=-3(x-1)(x-5)=-3x^2+18x-15$ (2 p). Din coeficientul lui $x$ rezultă $2a=18$, deci $a=9$ (1 p), iar din termenul liber, $b=-15$ (1 p).

b) (5 p) Cu $a$ și $b$ găsite, $f^{\prime }(x)=-3(x-1)(x-5)$ (1 p). Pe $(-\infty ;1)$, $f^{\prime }<0$: $f$ scade; pe $(1;5)$, $f^{\prime }>0$: $f$ crește; pe $(5;+\infty )$, $f^{\prime }<0$: $f$ scade (2 p). Minimul local este în $x=1$, cu $f(1)=-1+9-15-10=-17$, iar maximul local în $x=5$, cu $f(5)=-125+225-75-10=15$ (2 p).

c) (5 p) Pe $[0;8]$, valorile extreme se caută în capete și în punctele critice: $f(0)=-10$, $f(1)=-17$, $f(5)=15$ și $f(8)=-512+576-120-10=-66$ (2 p). Cea mai mică valoare este $-66$, iar cea mai mare este 15 (1 p); fiind continuă, $f$ ia toate valorile dintre ele, deci mulțimea valorilor este $[-66;15]$ (2 p).

Verificare: a) $f^{\prime }(1)=-3+18-15=0$ și $f^{\prime }(5)=-75+90-15=0$. b) $f^{\prime }(0)=-15<0$, $f^{\prime }(3)=-27+54-15=12>0$ și $f^{\prime }(6)=-108+108-15=-15<0$. c) $f(3)=-27+81-45-10=-1$, în $[-66;15]$. Cine folosește numai $f^{\prime }(1)=0$ are o ecuație cu două necunoscute și o infinitate de perechi $(a,b)$.

Pentru părinți și profesori

Testul măsoară ce a rămas din clasa a XI-a și îți trebuie în a XII-a: matrice, determinanți, inversă și ecuații matriceale, sisteme liniare, limite și asimptote, continuitate, derivate, monotonie și mulțimea valorilor. Pe ele se sprijină polinoamele, primitivele și integralele. Nota nu intră în catalog. Tabelul următor leagă fiecare exercițiu de lecția clasei a XI-a care îl explică, deci vezi imediat ce reiei înainte de lecțiile noi; testele de unitate ale clasei a XI-a au alte exerciții, iar cele de aici sunt obiecte noi.

• Punctaj: exercițiile aduc cel mult 90 de puncte; cele 10 puncte din oficiu completează la 100.
• Timp de lucru: 50 de minute.
• Cum se lucrează: pe foaie, fără calculator, cu unitățile de măsură scrise în răspuns; la sinteză se scriu și calculele intermediare. Ghidajul oferă la fiecare exercițiu o grilă cu patru răspunsuri și apoi numere de calculat, cu explicație la fiecare răspuns greșit. Îl pornești numai unde exercițiul nu iese.
• 90–100 de puncte: poți începe lecțiile clasei a XII-a.
• 75–89 de puncte: exersezi cu ghidajul exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția clasei a XII-a care se bazează pe ele.
• 60–74 de puncte: reciți lecțiile din tabel pentru exercițiile încheiate sub jumătate dintre puncte și le reiei peste o săptămână.
• Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel în ordinea exercițiilor, cu ghidajul pornit chiar de la exercițiul 1, și abia apoi treci la clasa a XII-a.
• Formule de reținut: produsul $A\cdot B$ există când $A$ are tot atâtea coloane câte linii are $B$, iar $(AB{)}_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}$; $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$, iar regula lui Sarrus dă determinantul de ordin 3 prin trei produse cu plus și trei cu minus; o matrice este inversabilă exact când $\det A\ne 0$, iar $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$ pentru ordinul 2; din $AX=B$ rezultă $X=A^{-1}B$, cu $A^{-1}$ la stânga; la un sistem cu $\Delta \ne 0$, metoda lui Cramer dă $x=\frac{{\Delta }_x}{\Delta }$ și $y=\frac{{\Delta }_y}{\Delta }$; la $\frac{0}{0}$ se descompun numărătorul și numitorul și se simplifică factorul comun, iar limita este un număr real numai dacă numărătorul se anulează în același punct ca numitorul; la $\frac{\infty }{\infty }$ cu grade egale, limita este raportul coeficienților dominanți; ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$ dă asimptota orizontală $y=L$, iar ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$ dă asimptota verticală $x=a$; $f$ este continuă în $x_0$ când limita la stânga, limita la dreapta și $f(x_0)$ coincid; $(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ și ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; punctele critice sunt soluțiile ecuației $f^{\prime }(x)=0$; $f^{\prime }<0$ dă $f$ descrescătoare, iar $f^{\prime }>0$ dă $f$ crescătoare; pe un interval închis, valorile extreme ale unei funcții continue sunt în capete sau în punctele critice.

Programa și examenul. Testul urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii, și programa școlară a clasei a XII-a (PROGRAMA 2: OMEC 5959/2006), dar verifică clasa a XI-a, pe care se sprijină. Matricele, determinanții, inversa și ecuațiile matriceale apar în Subiectul al II-lea, problema 1, iar limitele, derivatele și monotonia apar în Subiectul al III-lea, problema 1; în probele oficiale 2013–2026, produsul de matrice a apărut în 67 de probe, determinantul de ordin 2 în 79 de probe, regulile de derivare în 80 de probe, iar monotonia și extremele în 60 de probe. Testul este o evaluare de început de an, nu un subiect de examen. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.