Test inițial tehnologic — clasa a XI-a

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a XI-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a XI-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a XI-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Recapitulare (30 de puncte)

Fiecare exercițiu de aici are 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculează $\frac{1 6 ^{3/4} \cdot 2 ^{- 5}}{8 ^{- 1}}$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculează $(5 + 2)^{2} - 45$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Pentru ce valori ale lui $x$ este adevărată inegalitatea $- x^{2} + 5 x + 36 \geq 0$ ?

Variantele: a) „ $[- 4; 9]$ ”; b) „ $(- \infty; - 4] \cup [9; + \infty)$ ”; c) „ $[- 9; 4]$ ”; d) „ $(- 4; 9)$ ”.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvă în $R$ ecuația $5^{x - 1} = \frac{1}{125}$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Calculează $lo g_{2} 20 + lo g_{2} \frac{4}{5} - l g 1000$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

O dreaptă are panta $- 3$ și trece prin punctul $A (4; 5)$ . Care este ordonata punctului în care dreapta taie axa $O y$ ?

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

În Partea a II-a, fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

O pensiune turistică ridică prețul pe noapte cu 13 lei în fiecare săptămână de sezon: în săptămâna 1 prețul este de 144 de lei, în săptămâna 2 de 157 de lei, în săptămâna 3 de 170 de lei și tot așa.

a) (5 puncte) Cât costă o noapte în săptămâna a 8-a și cât costă, în total, câte o noapte din fiecare dintre primele 8 săptămâni?

b) (5 puncte) Din a câta săptămână prețul unei nopți depășește 300 de lei?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Un service auto are profitul zilnic $P (x) = - 2 x^{2} + 36 x - 144$ sute de lei, unde $x$ este numărul de autoturisme reparate într-o zi, $x \in N$ .

a) (5 puncte) Pentru câte valori întregi ale lui $x$ profitul este pozitiv sau nul?

b) (5 puncte) Calculează profitul maxim și numărul de autoturisme pentru care apare.

Exercițiul 9 (10 puncte)

La stația de epurare a unei fabrici de lactate, apa uzată trece de mai multe ori prin același filtru, iar la fiecare trecere filtrul reține un sfert din particulele aflate atunci în apă. După $n$ treceri, într-un mililitru de apă rămân $C (n) = 25600 \cdot (\frac{3}{4})^{n}$ particule.

a) (5 puncte) Câte particule rămân într-un mililitru după 2 treceri și cu câți la sută a scăzut numărul lor față de apa netratată?

b) (5 puncte) După câte treceri rămân 6 075 de particule într-un mililitru?

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

În Partea a III-a, fiecare subpunct are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Se consideră expresia $E (x) = \frac{x ^{2} - 9}{x ^{2} - 13 x + 30}$ .

a) (5 puncte) Determină mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $E (x)$ are sens.

b) (5 puncte) Descompune numărătorul și numitorul în factori și arată că $E (x) = \frac{x + 3}{x - 10}$ pentru toate valorile din a).

c) (5 puncte) Rezolvă inecuația $E (x) \leq 0$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Rezolvă în $R$ ecuațiile de mai jos.

a) (5 puncte) $x^{2} - 11 = x - 1$ .

b) (5 puncte) $lo g_{2} (x + 13) - lo g_{2} (x - 1) = 3$ .

c) (5 puncte) $2^{x} \cdot 5^{x + 1} = 500$ .

Barem și răspunsuri

Fiecare exercițiu este rezolvat mai jos pe pași, cu punctele între paranteze; un alt drum corect aduce aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar propoziția «Verificare» nu poartă puncte. La sinteză, un rezultat fără calcule și fără explicații nu ia punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

Aduci puterile la baza 2: $1 6^{3/4} = (2^{4})^{3/4} = 2^{3} = 8$ (1 p), iar $8^{- 1} = \frac{1}{8}$ (1 p). Atunci raportul este $\frac{8 \cdot \frac{1}{32}}{\frac{1}{8}} = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2$ (3 p). Verificare: în baza 2, exponenții se adună: $3 - 5 - (- 3) = 1$ , iar $2^{1} = 2$ . Cine uită minusul de la $8^{- 1}$ împarte la 8 în loc să împartă la $\frac{1}{8}$ și obține $\frac{1}{32}$ .

Exercițiul 2.

Pătratul sumei dă $(5 + 2)^{2} = 5 + 45 + 4$ (3 p). Atunci $5 + 45 + 4 - 45 = 9 + 45 - 45 = 9$ (2 p). Verificare: $5 + 2 \approx 4, 24$ , iar pătratul ei este aproape 18, din care se scade $45 \approx 8, 94$ ; rămâne aproape 9. Cine scrie $(5 + 2)^{2} = 5 + 4$ uită termenul de mijloc și obține $9 - 45$ .

Exercițiul 3.

Pentru trinomul $- x^{2} + 5 x + 36$ , $Δ = 5^{2} + 4 \cdot 36 = 169$ , iar rădăcinile sunt $x = \frac{- 5 \pm 13}{- 2}$ , adică $9$ și $- 4$ (3 p). Coeficientul lui $x^{2}$ este negativ, deci trinomul este pozitiv între rădăcini și nul în ele, adică pe $[- 4; 9]$ , iar răspunsul este $a)$ (2 p). Verificare: pentru $x = 0$ , $36 \geq 0$ (în intervalul $[- 4; 9]$ ), iar pentru $x = 10$ , $- 100 + 50 + 36 = - 14 < 0$ . Varianta b) ar fi corectă pentru $- x^{2} + 5 x + 36 \leq 0$ .

Exercițiul 4.

Scrii $\frac{1}{125} = 5^{- 3}$ (2 p). Din $5^{x - 1} = 5^{- 3}$ rezultă $x - 1 = - 3$ (2 p), adică $x = - 2$ (1 p). Verificare: $5^{- 2 - 1} = 5^{- 3} = \frac{1}{125}$ .

Exercițiul 5.

Suma a doi logaritmi în aceeași bază este logaritmul produsului: $lo g_{2} 20 + lo g_{2} \frac{4}{5} = lo g_{2} (20 \cdot \frac{4}{5}) = lo g_{2} 16 = 4$ (2 p). Logaritmul zecimal al lui $1000 = 1 0^{3}$ este $l g 1000 = 3$ (2 p). Atunci $4 - 3 = 1$ (1 p). Verificare: $20 \cdot \frac{4}{5} = 16 = 2^{4}$ ; cine adună argumentele, $20 + \frac{4}{5}$ , nu obține o putere a lui 2, semn că regula a fost aplicată greșit.

Exercițiul 6.

Ecuația dreptei este $y - 5 = - 3 (x - 4)$ (2 p). Pe axa $O y$ avem $x = 0$ , deci $y = 5 - 3 \cdot (0 - 4) = 5 + 12 = 17$ (3 p). Verificare: dreapta este $y = - 3 x + 17$ , iar pentru $x = 4$ dă $- 12 + 17 = 5$ , ordonata lui $A$ .

Exercițiul 7.

a) (5 p) Prețurile formează o progresie aritmetică cu $a_{1} = 144$ și rația $r = 13$ (1 p). În săptămâna a 8-a prețul este $a_{8} = 144 + 7 \cdot 13 = 235$ lei (2 p). Totalul este $S_{8} = \frac{8 ( 144 + 235 )}{2} = 4 \cdot 379 = 1516$ lei (2 p).

b) (5 p) Condiția este $a_{n} > 300$ , adică $144 + (n - 1) \cdot 13 > 300$ (1 p), de unde $(n - 1) \cdot 13 > 156$ și $n - 1 > 12$ (2 p). Cel mai mic număr natural $n$ care o verifică este $n = 14$ (1 p): în săptămâna a 14-a prețul este $144 + 13 \cdot 13 = 313$ lei (1 p). Verificare: în săptămâna a 13-a prețul este exact $144 + 12 \cdot 13 = 300$ lei, care nu depășește 300; cine rezolvă $n - 1 \geq 12$ ia săptămâna 13.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Coeficientul lui $x^{2}$ este negativ, deci profitul este pozitiv sau nul între rădăcinile trinomului (1 p). Pentru $- 2 x^{2} + 36 x - 144$ , $Δ = 3 6^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot (- 144) = 1296 - 1152 = 144$ , iar rădăcinile sunt $x = \frac{- 36 \pm 12}{- 4}$ , adică $12$ și $6$ (2 p). Deci $x \in [6; 12]$ , adică $12 - 6 + 1 = 7$ valori întregi (2 p).

b) (5 p) Parabola are ramurile în jos, deci maximul este în vârf, la $x = - \frac{36}{2 \cdot ( - 2 )} = 9$ autoturisme (2 p). Profitul maxim este $P (9) = - 162 + 324 - 144 = 18$ sute de lei, adică 1 800 de lei pe zi (2 p), iar vârful se află între rădăcinile 6 și 12 (1 p). Verificare: $P (8) = - 128 + 288 - 144 = 16$ și $P (10) = - 200 + 360 - 144 = 16$ , amândouă sub 18.

Exercițiul 9.

a) (5 p) $C (2) = 25600 \cdot (\frac{3}{4})^{2} = 25600 \cdot \frac{9}{16} = 1600 \cdot 9 = 14400$ particule (2 p). Scăderea este $25600 - 14400 = 11200$ particule (1 p), adică $\frac{11 200}{25 600} = \frac{7}{16} = 43, 75 %$ din numărul inițial (2 p). Verificare: cine crede că filtrul reține la fiecare trecere un sfert din numărul inițial, adică 6 400 de particule, ar spune că după 2 treceri rămân 12 800, în loc de 14 400; a doua trecere reține un sfert din 19 200, adică 4 800.

b) (5 p) Din $25600 \cdot (\frac{3}{4})^{n} = 6075$ rezultă $(\frac{3}{4})^{n} = \frac{6075}{25 600} = \frac{243}{1024}$ (2 p). Cum $243 = 3^{5}$ și $1024 = 4^{5}$ , avem $\frac{243}{1024} = (\frac{3}{4})^{5}$ (1 p), deci $n = 5$ treceri (2 p). Verificare: $C (5) = 25600 \cdot \frac{243}{1024} = 25 \cdot 243 = 6075$ de particule.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Expresia are sens când numitorul este nenul (2 p). Pentru trinomul din numitor, $Δ = 169 - 120 = 49$ și $x = \frac{13 \pm 7}{2}$ , adică numitorul se anulează în $3$ și în $10$ (1 p); mulțimea cerută este $R ∖ {3; 10}$ (2 p).

b) (5 p) Numărătorul este o diferență de pătrate, $(x - 3) (x + 3)$ (1 p). Numitorul are rădăcinile 3 și 10, deci se descompune în factorii $x - 3$ și $x - 10$ , fiindcă $3 + 10 = 13$ și $3 \cdot 10 = 30$ (2 p). Pentru $x \neq = 3$ factorul comun se simplifică: $E (x) = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{( x - 3 ) ( x - 10 )} = \frac{x + 3}{x - 10}$ (2 p).

c) (5 p) Din b), inecuația este $\frac{x + 3}{x - 10} \leq 0$ , cu $x \neq = 3$ și $x \neq = 10$ (1 p). Numărătorul se anulează în $- 3$ , iar numitorul în 10; pe $(- \infty; - 3)$ fracția este pozitivă, pe $[- 3; 10)$ este negativă sau nulă, iar pe $(10; + \infty)$ este pozitivă (2 p). Din $[- 3; 10)$ se scoate $x = 3$ , care nu este în domeniu: soluția este $[- 3; 3) \cup (3; 10)$ (2 p). Verificare: pentru $x = 0$ , $E (0) = \frac{- 9}{30} = - \frac{3}{10} \leq 0$ , iar $E (3)$ nu există.

Exercițiul 11.

a) (5 p) Membrul drept trebuie să fie nenegativ, $x - 1 \geq 0$ , iar expresia de sub radical, $x^{2} - 11 \geq 0$ (1 p). Ridicând la pătrat, membrul stâng devine $x^{2} - 11$ , iar cel drept $x^{2} - 2 x + 1$ ; termenii $x^{2}$ se reduc și rămâne $2 x = 12$ (2 p), deci $x = 6$ , care verifică $x \geq 1$ , iar $6^{2} - 11 = 25 \geq 0$ : soluția este $x = 6$ (2 p). Verificare: $36 - 11 = 25 = 5$ și $6 - 1 = 5$ .

b) (5 p) Argumentele trebuie să fie pozitive: $x + 13 > 0$ și $x - 1 > 0$ , deci $x > 1$ (1 p). Diferența logaritmilor este logaritmul câtului, iar $3 = lo g_{2} 8$ : $lo g_{2} \frac{x + 13}{x - 1} = lo g_{2} 8$ , deci $\frac{x + 13}{x - 1} = 8$ (2 p). Rezultă $x + 13 = 8 x - 8$ , adică $7 x = 21$ (1 p), deci $x = 3$ , care verifică $x > 1$ (1 p). Verificare: $lo g_{2} 16 - lo g_{2} 2 = 4 - 1 = 3$ .

c) (5 p) Puterea lui 5 cu exponentul $x + 1$ este de 5 ori puterea lui 5 cu exponentul $x$ , iar puterile lui 2 și 5 cu același exponent $x$ se înmulțesc înmulțind bazele, deci dau $1 0^{x}$ (2 p). Ecuația devine $5 \cdot 1 0^{x} = 500$ , deci $1 0^{x} = 100$ (1 p). Cum $100 = 1 0^{2}$ , rezultă $x = 2$ (2 p). Verificare: $2^{2} \cdot 5^{3} = 4 \cdot 125 = 500$ .

Pentru părinți și profesori

Testul de față este o evaluare de început de an: arată ce a rămas din clasele a IX-a și a X-a de care are nevoie clasa a XI-a, adică puterile și radicalii, logaritmii, ecuațiile cu radicali, exponențiale și logaritmice, funcția de gradul al II-lea și semnul unui trinom, funcția exponențială, ecuația dreptei și progresiile. Pe ele se sprijină derivatele, tangenta, tabelul de semn și limitele din clasa a XI-a. Rezultatul nu intră în catalog. Tabelul de mai jos leagă fiecare exercițiu de lecția care îl explică, deci vezi imediat ce merită reluat înainte de lecțiile noi. Testele de unitate ale claselor a IX-a și a X-a au alte exerciții; cele de aici sunt obiecte noi.

Punctaj: din exerciții se obțin cel mult 90 de puncte, iar la ele se adaugă 10 puncte din oficiu: maximul este 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se lucrează: singur, pe foaie, calculatorul rămâne închis; unitățile din enunț se scriu și în răspuns. La sinteză se cer și calculele intermediare. Ghidajul are, la fiecare exercițiu, o grilă cu patru răspunsuri și numere de calculat, iar un răspuns greșit la grilă primește explicația lui. Îl folosești doar la exercițiile care nu ies.
90–100 de puncte: poți începe lecțiile clasei a XI-a.
75–89 de puncte: refaci cu ghidajul exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția clasei a XI-a care le folosește.
60–74 de puncte: citești lecțiile din tabel pentru exercițiile sub jumătate din puncte și le refaci după o săptămână.
Sub 60 de puncte: lucrezi lecțiile din tabel în ordinea exercițiilor, cu ghidajul pornit de la primul; apoi treci la clasa a XI-a.
Formule de reținut: $a^{m / n} = n a^{m}$ și $a^{- k} = \frac{1}{a ^{k}}$ ; $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ ; soluțiile ecuației $a x^{2} + b x + c = 0$ sunt $\frac{- b \pm Δ}{2 a}$ , cu $Δ = b^{2} - 4 a c$ , iar un trinom are semnul lui $a$ în afara rădăcinilor și semnul contrar între ele; pentru $a > 0$ , $a \neq = 1$ și numere pozitive $b$ , $c$ : $lo g_{a} b + lo g_{a} c = lo g_{a} (b c)$ , $lo g_{a} b - lo g_{a} c = lo g_{a} \frac{b}{c}$ și $lo g_{a} b^{k} = k lo g_{a} b$ ; ecuațiile cu radical se verifică la sfârșit, iar în $lo g_{a} (\dots)$ argumentul trebuie să fie pozitiv; dreapta de pantă $m$ prin $(x_{0}; y_{0})$ este $y - y_{0} = m (x - x_{0})$ ; într-o progresie aritmetică $a_{n} = a_{1} + (n - 1) r$ , iar suma primilor $n$ termeni este $\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ; o funcție exponențială $V (n) = V_{0} \cdot q^{n}$ cu $0 < q < 1$ descrește.

Din test	Noțiunea verificată (din clasa a IX-a sau a X-a)	Lecția care o explică
exercițiul 1	puteri cu exponent rațional și negativ	Bac tehnologic: reguli pentru puteri reale
exercițiul 2	radicali și formula pătratului unei sume	Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic
exercițiile 3, 10	semnul unui trinom, inecuație cu fracție	Când trinomul e pozitiv: liceu tehnologic
exercițiile 4, 9 b), 11 c)	ecuații exponențiale	Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice
exercițiile 5, 11 b)	logaritmul produsului și al câtului, logaritmul zecimal, ecuația logaritmică	Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic
exercițiul 6	ecuația dreptei de pantă dată	Ecuația dreptei pentru tehnologic: tarife
exercițiul 7	progresia aritmetică: termen, sumă, prag	Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii
exercițiul 8	funcția de gradul al II-lea: semn, maxim	Profit maxim: funcția de gradul II la tehnologic
exercițiul 9 a)	scădere cu același procent la fiecare pas: funcția exponențială	Funcția exponențială și deprecierea, tehnologic
exercițiile 10 a), b)	descompunerea în factori și domeniul unei fracții	Ecuația de gradul II pentru tehnologic: Delta
exercițiul 11 a)	ecuații cu radicali	Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic

Programa și examenul. Acest test nu intră în programa de examen; el arată cât a rămas din clasele a IX-a și a X-a, pe care se așază clasa a XI-a. Clasa a XI-a urmează programa școlară PROGRAMA 2 (OMEC 3252/2006), iar elevii din promoțiile care dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 sunt pe programa de examen OMEN 4430/2014, Anexa 2, aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; testul de față nu este scris pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.