Subiecte definitivat matematică 2026: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: la examenul național pentru definitivare în învățământ, candidații la matematică au scris pe 14 iulie 2026, timp de 4 ore. Subiectul I (60 de puncte) e de specialitate: patru probleme, fiecare cu cerințe de 7 și de 8 puncte (un șir care se dovedește progresie aritmetică, o bisectoare cu teorema lui Menelaus, un sistem liniar cu parametri, o funcție cu logaritmi și o arie). Subiectul al II-lea (30 de puncte) e de metodică: trei itemi pentru o evaluare la finalul unității „Mulțimea numerelor întregi” de la clasa a VI-a. Se adaugă 10 puncte din oficiu. Aici ai subiectul transcris exact, baremul oficial pentru definitivat matematică 2026 (îl publică CNCE, Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare) și rezolvarea completă, cu un exemplu de răspuns la metodică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Cum a arătat proba · Subiectul oficial · Baremul · Rezolvarea pas cu pas · Metodica · Întrebări

Cum a arătat proba din 2026

Lucrarea o corectează, separat, doi evaluatori, fiecare cu o notă de la 10 la 1, după barem. Nota probei se obține ca medie aritmetică a celor două, păstrând două zecimale, fără rotunjire; la o diferență mai mare de un punct între ei, intervine un al treilea evaluator, iar nota devine media celor trei (OMEC nr. 5434/2020, art. 35 alin. (2)–(5), regula sesiunii 2026). Nota la proba scrisă intră de 7 ori în nota finală de la definitivat, care trebuie să fie cel puțin 8. Formula, condițiile de intrare și nota de care ai nevoie la scris sunt pe pagina definitivatului la matematică; calculul îl face calculatorul de medie la definitivat.

Subiectul și baremul se descarcă din arhiva ZIP a sesiunii, de pe subiecte2026.edu.ro (merge doar pe http; circa 27 MB, cu toate disciplinele la un loc). Fișierele de matematică sunt Def_109_Matematica_2026_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_2026_bar_02_LRO.pdf (baremul). Am transcris Varianta 2, adică varianta pe care CNCE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: dă-ți 4 ore, rezolvă doar subiectul oficial (îl poți tipări), apoi verifică fiecare cerință pe barem și citește rezolvarea acolo unde ai pierdut puncte.

Subiectul oficial (Varianta 2)

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 14 iulie 2026. Probă scrisă. Matematică. Varianta 2.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (60 de puncte)

1. Se consideră șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$, cu $a_1,a_2\in \mathbb{R}$ și $\frac{a_1+a_2+\dots +a_n}{n}=\frac{(n-1)a_2-(n-3)a_1}{2}$, pentru orice număr natural nenul $n$.

• (7p) a) Arătați că $a_3=\frac{a_2+a_4}{2}$.
• (8p) b) Demonstrați că șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este o progresie aritmetică.

2. Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB<AC$. Bisectoarea unghiului $BAC$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$. Paralela dusă prin punctul $D$ la dreapta $AB$ intersectează latura $AC$ în punctul $E$, iar paralela dusă prin punctul $D$ la dreapta $AC$ intersectează latura $AB$ în punctul $F$.

• (7p) a) Arătați că $\frac{BM}{BF}=\frac{CM}{CE}$, unde $M$ este punctul de intersecție a dreptelor $EF$ și $BC$.
• (8p) b) Știind că $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$, demonstrați că măsura unghiului $BAC$ este egală cu $120^{\circ }$.

3. Se consideră sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}ax+2y+6z=6\\ x+2ay+6z=b\\ x+2y+6az=-3\end{array}$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

• (7p) a) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $a$ pentru care sistemul are soluție unică.
• (8p) b) Știind că $a=-2$ și că sistemul este compatibil, determinați soluția $(x_0,y_0,z_0)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}$ a sistemului, pentru care are loc relația $3z_0^3=2y_0-x_0+b+3$.

4. Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{{\ln }^{2}x}{1+{\ln }^{2}x}$.

• (7p) a) Determinați intervalele de monotonie ale funcției $f$.
• (8p) b) Determinați numărul real $a$ pentru care aria suprafeței plane determinate de graficul funcției $g:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=e$ și $x=e^{\sqrt{3}}$ este egală cu $a-1+\sqrt{3}$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VI-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VI-a

1.3. Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate

• Identificarea unui număr întreg în situații practice sau interdisciplinare (de exemplu: temperaturi, altitudini, golaveraje, debit/credit)
• Reprezentarea pe axa numerelor a opusului unui număr întreg; modulul ca distanță pe axa numerelor de la origine la reprezentarea numărului
• Identificarea unor contexte practic-aplicative sau teoretice care folosesc ecuații sau inecuații în mulțimea numerelor întregi

2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor

• Compararea numerelor întregi, pornind de la reprezentările acestora pe axa numerelor
• Ordonarea elementelor unei mulțimi finite de numere întregi
• Utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operațiilor cu numere întregi: adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la putere cu exponent natural
• Validarea (prin probă) a soluției unei ecuații sau a unei inecuații în mulțimea numerelor întregi

3.3. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi

• Aplicarea unor proprietăți ale operațiilor cu numere întregi pentru optimizarea calculelor numerice
• Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice)
• Utilizarea eficientă a metodelor de determinare a unei necunoscute dintr-o ecuație sau inecuație (metoda mersului invers, metoda balanței, transformări ale relațiilor de egalitate/inegalitate)

4.3. Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și a inecuațiilor studiate în mulțimea numerelor întregi

• Formularea unor răspunsuri logice în raport cu cerințe de calcul numeric (corelații intradisciplinare; de exemplu: apartenența rezultatului unui calcul la o mulțime, estimarea rezultatului, utilizarea lui 0 ca factor în produse de numere)
• Scrierea unei ecuații/inecuații echivalente cu o ecuație/inecuație dată
• Redactarea demersului de rezolvare a unor ecuații sau inecuații în mulțimea numerelor întregi (inclusiv verificarea soluțiilor)
• Transpunerea unei probleme într-o ecuație care se rezolvă în mulțimea numerelor întregi
• Exprimarea unor caracteristici ale modulului, derivate din definiția acestuia ($|x|=a$, $|x|<a$, $|x|\le a$, unde $a$ și $x$ sunt numere întregi)

5.3. Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerele întregi

• Analizarea unor situații practice în care se utilizează numere întregi
• Analizarea unor consecințe posibile ce decurg din modificarea unui set de ipoteze în probleme referitoare la numere întregi
• Încadrarea soluției unei ecuații într-o mulțime de numere întregi, fără a efectua calcule

6.3. Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situații date, rezolvarea ecuației sau inecuației obținute și interpretarea rezultatului

• Transpunerea unei situații date în limbaj matematic, utilizând ecuații sau inecuații
• Formularea de probleme cu numere întregi pe baza unei scheme date sau a unui exercițiu dat
• Formularea unor probleme echivalente cu o problemă dată în contextul numerelor întregi

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Pentru o evaluare la finalul unității de învățare „Mulțimea numerelor întregi”, folosind informațiile din secvența precedentă, elaborați trei itemi: un item de tip completare, un item de tip alegere multiplă și un item de tip rezolvare de probleme.

În elaborarea itemilor veți avea în vedere următoarele aspecte:

• menționarea competenței specifice evaluate;
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat;
• respectarea formatului fiecărui tip de item elaborat;
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare);
• corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 14 iulie 2026. Probă scrisă. Matematică. Barem de evaluare și de notare. Varianta 2.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (60 de puncte)

1. a)

• $\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=a_2$, deci $a_1=2a_2-a_3$ — 3p
• $\frac{(2a_2-a_3)+a_2+a_3+a_4}{4}=\frac{3a_2-(2a_2-a_3)}{2}$, deci $3a_2+a_4=2a_2+2a_3$, de unde obținem $a_3=\frac{a_2+a_4}{2}$ — 4p

1. b)

• $a_1+a_2+\dots +a_n=n\cdot \frac{(n-1)a_2-(n-3)a_1}{2}=n\cdot \frac{(n-1)(a_2-a_1)+2a_1}{2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot r+n{a}_1$, pentru orice $n\ge 1$, unde $r=a_2-a_1$ — 3p
• Pentru $n\ge 2$, avem $a_1+a_2+\dots +a_{n-1}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\cdot r+(n-1)a_1$, de unde obținem $\left(\frac{n(n-1)}{2}\cdot r+n{a}_1\right)-a_n=\frac{(n-1)(n-2)}{2}\cdot r+(n-1)a_1$, deci $a_n=a_1+(n-1)r$, pentru orice $n\ge 2$ — 3p
• Cum $a_1=a_1+(1-1)r$, rezultă că $a_n=a_1+(n-1)r$, pentru orice număr natural nenul $n$, deci șirul $(a_n{)}_{n\ge 1}$ este o progresie aritmetică — 2p

2. a)

• $AFDE$ este paralelogram și, cum $AD$ este bisectoarea unghiului $EAF$, rezultă că $AFDE$ este romb — 3p
• Din teorema lui Menelaus obținem $\frac{MB}{MC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1$ și, cum $FA=EA$, rezultă că $\frac{BM}{BF}=\frac{CM}{CE}$ — 4p

2. b)

• $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$ și, cum $\frac{DB}{DC}=\frac{FB}{FA}$, rezultă că $\frac{AB}{AC}=\frac{FB}{FA}$ — 3p
• Obținem $\frac{AB+AC}{AC}=\frac{FB+FA}{FA}\iff \frac{AB+AC}{AC}=\frac{AB}{FA}\iff \frac{1}{FA}=\frac{AB+AC}{AB\cdot AC}$, deci $\frac{1}{FA}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$ — 3p
• $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}\Rightarrow AD=FA$, deci $\Delta AFD$ este echilateral, de unde obținem $\sphericalangle BAC=120^{\circ }$ — 2p

3. a)

• $\left|\begin{array}{ccc}a& 2& 6\\ 1& 2a& 6\\ 1& 2& 6a\end{array}\right|=12(a-1{)}^2(a+2)$, pentru orice număr real $a$ — 3p
• Sistemul are soluție unică dacă și numai dacă $12(a-1{)}^2(a+2)\ne 0$, de unde obținem $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}$ — 4p

3. b)

• Pentru $a=-2$, sistemul este compatibil dacă și numai dacă $b=-3$ — 3p
• Soluțiile sistemului sunt de forma $(x_0,y_0,z_0)=(6\lambda -3,3\lambda ,\lambda )$, unde $\lambda \in \mathbb{R}$ — 2p
• $3{\lambda }^3=2\cdot 3\lambda -6\lambda +3$ și, cum $\lambda \in \mathbb{R}$, obținem $\lambda =1$, deci $(x_0,y_0,z_0)=(3,3,1)$ — 3p

4. a)

• $f^{\prime }(x)=\frac{2\ln x}{x{\left(1+{\ln }^{2}x\right)}^2}$, $x\in (0,+\infty )$; $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1$ — 3p
• Pentru $x\in (0,1]$, $f^{\prime }(x)\le 0$, deci funcția $f$ este descrescătoare pe $(0,1]$ — 2p
• Pentru $x\in [1,+\infty )$, $f^{\prime }(x)\ge 0$, deci funcția $f$ este crescătoare pe $[1,+\infty )$ — 2p

4. b)

• $\mathcal{A}={\int }_e^{e^{\sqrt{3}}}\left|g(x)\right|dx={\int }_e^{e^{\sqrt{3}}}\frac{{\ln }^{2}x}{x\left(1+{\ln }^{2}x\right)}dx=$ — 2p
• $={\int }_e^{e^{\sqrt{3}}}\frac{{\ln }^{2}x}{1+{\ln }^{2}x}\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx={\int }_e^{e^{\sqrt{3}}}\left(1-\frac{1}{1+{\ln }^{2}x}\right)\cdot (\ln x{)}^{\prime }dx=\left(\ln x-\mathrm{arctg}(\ln x)\right){|}_e^{e^{\sqrt{3}}}=$ — 3p
• $=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}-1+\frac{\pi }{4}=\sqrt{3}-1-\frac{\pi }{12}\Rightarrow a-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\frac{\pi }{12}$, de unde obținem $a=-\frac{\pi }{12}$ — 3p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Itemul de tip completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• respectarea formatului itemului — 2p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 3p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 3p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Urmăm ordinea baremului și scriem, în plus, pașii pe care baremul îi presupune fără să-i spună: de ce există punctul $M$, de ce $FD=FA$, de ce funcția de sub integrală e pozitivă. Îi scriem din rigoare; corectorul notează după barem. Am recalculat fiecare rezultat cu un program de calcul simbolic.

Subiectul I.1: șirul definit prin medii

Notăm $S_n=a_1+a_2+\dots +a_n$. Relația din enunț spune că $S_n=\frac{n\left[(n-1)a_2-(n-3)a_1\right]}{2}$, pentru orice $n\ge 1$. Pentru $n=1$ ea dă $S_1=a_1$, iar pentru $n=2$ dă $S_2=a_1+a_2$: amândouă sunt identități, de aceea $a_1$ și $a_2$ pot fi oarecare. Informația începe de la $n=3$.

a) Pentru $n=3$: $\frac{S_3}{3}=\frac{2a_2-0\cdot a_1}{2}=a_2$, deci $a_1+a_2+a_3=3a_2$, adică $a_1=2a_2-a_3$. Pentru $n=4$: $\frac{S_4}{4}=\frac{3a_2-a_1}{2}$. Înlocuim $a_1$: $$\frac{(2a_2-a_3)+a_2+a_3+a_4}{4}=\frac{3a_2-(2a_2-a_3)}{2}⟺\frac{3a_2+a_4}{4}=\frac{a_2+a_3}{2}⟺3a_2+a_4=2a_2+2a_3,$$ de unde $a_3=\frac{a_2+a_4}{2}$.

b) Cu $r=a_2-a_1$, numărătorul se rescrie: $(n-1)a_2-(n-3)a_1=(n-1)(a_2-a_1)+2a_1$. Deci $$S_n=\frac{n(n-1)}{2}r+n{a}_1,n\ge 1.$$ Pentru $n\ge 2$, $a_n=S_n-S_{n-1}$, iar $$a_n=\frac{n(n-1)-(n-1)(n-2)}{2}r+n{a}_1-(n-1)a_1=(n-1)r+a_1.$$ Formula $a_n=a_1+(n-1)r$ e adevărată și pentru $n=1$, unde nu mai putem scădea $S_0$; de aceea baremul tratează separat acest caz. Atunci $a_{n+1}-a_n=r$, pentru orice $n\ge 1$, deci șirul este progresie aritmetică, cu rația $a_2-a_1$.

Observație. Și reciproca e adevărată: pentru orice progresie aritmetică, media primilor $n$ termeni este $a_1+\frac{(n-1)r}{2}=\frac{(n-1)a_2-(n-3)a_1}{2}$. Relația din enunț caracterizează deci progresiile aritmetice: „media primilor $n$ termeni este media dintre primul și al $n$-lea termen”.

Subiectul I.2: bisectoarea și rombul AFDE

Figura. $D$ e pe latura $BC$, iar $E\in (AC)$ și $F\in (AB)$, cum spune enunțul. Patrulaterul $AFDE$ are $DE\parallel AF$ (pentru că $DE\parallel AB$) și $DF\parallel AE$ (pentru că $DF\parallel AC$), deci e paralelogram. Diagonala $AD$ e bisectoarea unghiului $FAE$, deci $\sphericalangle FAD\equiv \sphericalangle DAE$. Din $DF\parallel AC$, unghiurile alterne interne dau $\sphericalangle FDA\equiv \sphericalangle DAE$. Atunci $\sphericalangle FAD\equiv \sphericalangle FDA$, triunghiul $AFD$ e isoscel, $AF=FD$, iar paralelogramul cu două laturi alăturate egale e romb. Reținem: $AF=FD=DE=EA$.

a) Întâi, punctul $M$ există. Dreptele $EF$ și $BC$ ar fi paralele exact când $\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}$ (teorema lui Thales și reciproca ei). Cum $AF=AE$, asta înseamnă $AB=AC$. Ipoteza $AB<AC$ exclude cazul, deci dreptele se intersectează.

Aplicăm teorema lui Menelaus în triunghiul $ABC$, cu transversala $F$–$E$–$M$: $$\frac{MB}{MC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1.$$ Cum $FA=EA$, rămâne $\frac{MB}{MC}=\frac{FB}{EC}$, adică $\frac{BM}{BF}=\frac{CM}{CE}$. Fiindcă $E$ și $F$ sunt pe laturi, $M$ e pe dreapta $BC$, în afara segmentului $BC$.

**Ce rol are ipoteza $AB<AC$.** Ea garantează doar existența lui $M$: pentru $AB=AC$, dreapta $EF$ e paralelă cu $BC$ și cerința nu mai are sens. Pentru $AB>AC$, punctul $M$ există și egalitatea rămâne adevărată (am verificat pe coordonate); se schimbă doar partea în care cade $M$, de partea lui $C$ în loc de partea lui $B$.

b) Din teorema bisectoarei, $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$. Din teorema lui Thales în triunghiul $ABC$, cu $DF\parallel AC$, $\frac{FB}{FA}=\frac{DB}{DC}$. Așadar $\frac{FB}{FA}=\frac{AB}{AC}$. Adunăm $1$ în ambii membri: $$\frac{FB+FA}{FA}=\frac{AB+AC}{AC}⟺\frac{AB}{FA}=\frac{AB+AC}{AC}⟺\frac{1}{FA}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}.$$ Relația aceasta e adevărată în orice triunghi. Cu ipoteza, $\frac{1}{AD}=\frac{1}{FA}$, deci $AD=FA$. Din romb, $FD=FA$. Triunghiul $AFD$ are toate laturile egale, deci e echilateral și $m(\sphericalangle FAD)=60^{\circ }$. Cum $AD$ e bisectoare, $m(\sphericalangle BAC)=2\cdot 60^{\circ }=120^{\circ }$. Baremul trece direct de la triunghiul echilateral la $120^{\circ }$; pașii $FD=FA$ și dublarea unghiului sunt cei de mai sus.

Observație. Implicația merge și invers. Cu formula bisectoarei, $AD=\frac{2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \frac{A}{2}}{AB+AC}$, iar relația din enunț revine la $\cos \frac{A}{2}=\frac{1}{2}$. Deci $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}$ are loc exact pentru $m(\sphericalangle BAC)=120^{\circ }$.

Subiectul I.3: sistemul cu parametri

a) Sistemul are trei ecuații și trei necunoscute, deci are soluție unică exact când determinantul matricei lui e nenul (regula lui Cramer). Scoatem factorul $2$ de pe coloana a doua și factorul $6$ de pe coloana a treia: $$\left|\begin{array}{ccc}a& 2& 6\\ 1& 2a& 6\\ 1& 2& 6a\end{array}\right|=12\left|\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right|=12(a+2)(a-1{)}^2.$$ Ultimul determinant se calculează adunând toate coloanele la prima: apare factorul $a+2$, iar ce rămâne este $(a-1{)}^2$. Sistemul are soluție unică pentru $a\in \mathbb{R}\setminus \{-2,1\}$.

b) Pentru $a=-2$, sistemul devine $$\{\begin{array}{l}-2x+2y+6z=6\\ x-4y+6z=b\\ x+2y-12z=-3.\end{array}$$

• Compatibilitatea. Adunând cele trei ecuații, membrul stâng se anulează, iar cel drept devine $b+3$. Deci sistemul poate fi compatibil doar pentru $b=-3$. Reciproc, pentru $b=-3$ a treia ecuație e opusa sumei primelor două, iar primele două au minorul $\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 1& -4\end{array}\right|=6\ne 0$. Rangul matricei sistemului este $2$, la fel cu al matricei extinse, deci sistemul e compatibil nedeterminat (teorema Kronecker–Capelli).
• Soluțiile. Luăm $z=\lambda$. Din prima ecuație, $y=x+3-3\lambda$. Înlocuind în a doua, $-3x-12+12\lambda =-3-6\lambda$, deci $x=6\lambda -3$ și $y=3\lambda$. Soluțiile sunt $(6\lambda -3,3\lambda ,\lambda )$, $\lambda \in \mathbb{R}$.
• Relația. $2y_0-x_0+b+3=6\lambda -(6\lambda -3)-3+3=3$, deci $3{\lambda }^3=3$, adică ${\lambda }^3=1$. Cum ${\lambda }^3-1=(\lambda -1)\left({\lambda }^2+\lambda +1\right)$, iar ${\lambda }^2+\lambda +1>0$ pentru orice $\lambda$ real, singura soluție reală este $\lambda =1$.

Soluția cerută este $(x_0,y_0,z_0)=(3,3,1)$. Verificare: $-6+6+6=6$, $3-12+6=-3=b$, $3+6-12=-3$.

Subiectul I.4: funcția cu logaritmi și aria

a) Scriem $f=\frac{u}{1+u}$, cu $u={\ln }^{2}x$, $u^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}$. Atunci $f^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{(1+u{)}^2}$, adică $$f^{\prime }(x)=\frac{2\ln x}{x{\left(1+{\ln }^{2}x\right)}^2},x>0.$$ Numitorul e pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ e semnul lui $\ln x$: negativ pe $(0,1)$, zero în $x=1$, pozitiv pe $(1,+\infty )$. Funcția e descrescătoare pe $(0,1]$ și crescătoare pe $[1,+\infty )$; $f(1)=0$ e minimul ei.

b) Pe intervalul $\left[e,e^{\sqrt{3}}\right]$ avem $\ln x\ge 1$, deci $g(x)=\frac{{\ln }^{2}x}{x\left(1+{\ln }^{2}x\right)}>0$ și modulul din barem dispare. Cu schimbarea de variabilă $t=\ln x$, $dt=\frac{dx}{x}$, capetele devin $1$ și $\sqrt{3}$: $$\mathcal{A}={\int }_1^{\sqrt{3}}\frac{t^2}{1+t^2}dt={\int }_1^{\sqrt{3}}\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt=\left(t-\mathrm{arctg}t\right){|}_1^{\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}-1+\frac{\pi }{4}=\sqrt{3}-1-\frac{\pi }{12}.$$ Din $a-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1-\frac{\pi }{12}$ rezultă $a=-\frac{\pi }{12}$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.a: rândul de 3 puncte scrie relația pentru $n=3$ ($a_1=2a_2-a_3$), iar cel de 4 puncte pentru $n=4$; pentru $n=1$ și $n=2$ relația nu spune nimic nou.
• I.1.b: formula $a_n=S_n-S_{n-1}$ merge doar pentru $n\ge 2$; cazul $n=1$ e un rând separat al baremului, de 2 puncte.
• I.2.a: rândul de 3 puncte cere rombul din două lucruri, paralelogramul și bisectoarea; rândul de 4 puncte e teorema lui Menelaus, cu $FA=EA$.
• I.3.b: rândul de 3 puncte cere condiția de compatibilitate $b=-3$, iar ultimul rând, alegerea lui $\lambda =1$ „cum $\lambda \in \mathbb{R}$”.
• I.4.a: semnul lui $f^{\prime }$ pe $(0,1)$ și pe $(1,+\infty )$ e semnul lui $\ln x$; câte 2 puncte pentru fiecare interval de monotonie.

Din rigoare (baremul nu le cere): existența punctului $M$ la I.2.a; egalitatea $FD=FA$ și dublarea unghiului $FAD$ la I.2.b; suficiența condiției $b=-3$ (rangul 2) la I.3.b; semnul lui $g$ înainte de a scoate modulul la I.4.b. Sunt în rezolvarea de mai sus, ca demonstrația să fie întreagă; notarea se face însă numai după barem.

Subiectul al II-lea: modelul nostru de răspuns la metodică

Baremul oficial nu dă itemi-model; punctează orice item care îndeplinește cele cinci criterii. Mai jos e un răspuns posibil, construit pe fiecare criteriu din barem. Cei trei itemi formează o probă scurtă de evaluare la finalul unității, notată cu 20 + 20 + 50 = 90 de puncte, la care se adaugă 10 din oficiu. O poți folosi la clasă.

Aceeași secvență, altă cerință decât la titularizare. Secvența din programa clasei a VI-a e identică cu cea de la titularizarea din 2026. Cerința diferă în trei privințe:

Ce urmează de aici:

• Itemii acoperă conținuturi diferite ale unității. O evaluare sumativă pe tot capitolul nu se face cu trei ecuații: am luat câte un item pe calcul (puteri și ordinea operațiilor), pe comparare (opus și modul) și pe probleme.
• Formatul și baremul cântăresc mai mult: 2 + 3 puncte din 10. Fiecare item are baremul lui, cu punctaj, iar problema are barem pe etape.
• Competența și activitatea se copiază cuvânt cu cuvânt din secvență, din același bloc. Activitatea se alege dintre cele care se potrivesc chiar cu ce face itemul.
• Calculele respectă programa clasei a VI-a: împărțirea numai „când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului”, iar puterile numai cu bază întreagă nenulă și exponent natural.

Matricea probei. Programa de definitivat cuprinde, la capitolul despre evaluare, și „matricea de specificații” (subiectul din 2026 nu o cere). Pentru proba noastră, ea arată așa:

Itemul 1, de tip completare (20 de puncte)

• Competența specifică: 3.3. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi.
• Activitatea din programă: „Utilizarea regulilor de calcul cu puteri (calcule numerice)”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Rezultatul calculului $(-2{)}^3+(-3{)}^2\cdot (-1{)}^{2026}-(-14):(-7)$ este egal cu $\dots \dots$
• Răspunsul așteptat (barem): $-1$ — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Formatul: un enunț incomplet, cu un singur spațiu de completat, la final; răspunsul e un singur număr.
• De ce e corect: întâi puterile: $(-2{)}^3=-8$ (exponent impar), $(-3{)}^2=9$ și $(-1{)}^{2026}=1$ (exponenți pari). Apoi înmulțirea și împărțirea: $9\cdot 1=9$ și $(-14):(-7)=2$, o împărțire exactă. La final, $-8+9-2=-1$. Toate bazele puterilor sunt nenule, cum cere programa. Răspunsurile greșite tipice arată unde s-a greșit: $-19$ vine din $(-3{)}^2=-9$, iar $3$ vine din semnul pierdut la împărțire ($-8+9+2$).

Itemul 2, de tip alegere multiplă (20 de puncte)

• Competența specifică: 2.3. Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor.

• Activitatea din programă: „Compararea numerelor întregi, pornind de la reprezentările acestora pe axa numerelor”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. Se consideră numerele $a=-(-8)$, $b=-|-3|$, $c=|-5|$ și $d=-2$. Cel mai mic dintre ele este:

  A. $a$ B. $b$ C. $c$ D. $d$

• Răspunsul așteptat (barem): B — 20 de puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Formatul: o premisă și patru variante, dintre care una singură e corectă; fiecare variantă greșită provine dintr-o confuzie anume.

• De ce e corect: $a=8$, $b=-3$, $c=5$, $d=-2$. Pe axă, $-3$ e la stânga lui $-2$, iar numerele pozitive sunt la dreapta lui $0$, deci cel mai mic este $b$. Distractorii: A îl atrage pe elevul care scrie $-(-8)=-8$; C, pe cel care ia $|-5|=-5$; D, pe cel care compară numerele negative ca pe cele naturale („$2<3$, deci $-2<-3$”). Cu o singură greșeală de felul acesta, varianta greșită devine „cea mai mică”, deci distractorii sunt plauzibili.

Itemul 3, de tip rezolvare de probleme (50 de puncte)

• Competența specifică: 6.3. Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situații date, rezolvarea ecuației sau inecuației obținute și interpretarea rezultatului.
• Activitatea din programă: „Transpunerea unei situații date în limbaj matematic, utilizând ecuații sau inecuații”.
• Itemul: Golaverajul unei echipe de fotbal este diferența dintre numărul golurilor marcate și numărul golurilor primite. Înaintea ultimelor trei etape ale campionatului, golaverajul echipei Arcașii era $-2$. În antepenultima etapă, Arcașii au pierdut cu scorul $1-3$, iar în penultima au câștigat cu $3-0$. În ultima etapă au primit un gol. Aflați golaverajul echipei înaintea ultimei etape și numărul minim de goluri pe care trebuie să le fi marcat Arcașii în ultima etapă, pentru ca golaverajul lor final să fie pozitiv.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • după antepenultima etapă: $-2+(1-3)=-4$ — 5 puncte;
  • după penultima etapă: $-4+(3-0)=-1$, deci înaintea ultimei etape golaverajul era $-1$ — 5 puncte;
  • notația: $x$ = numărul de goluri marcate în ultima etapă, $x$ număr natural — 5 puncte;
  • golaverajul final: $-1+(x-1)=x-2$ — 10 puncte;
  • condiția „pozitiv”: $x-2>0$ — 10 puncte;
  • $x>2$ și, cum $x$ e număr natural, $x\ge 3$ — 5 puncte;
  • interpretarea: Arcașii trebuie să fi marcat cel puțin $3$ goluri — 5 puncte;
  • verificarea: cu $3$ goluri golaverajul final e $+1>0$, iar cu $2$ goluri e $0$, care nu e pozitiv — 5 puncte.
• Formatul: o situație nouă, în care elevul calculează cu numere întregi, alege necunoscuta, scrie o inecuație, o rezolvă și traduce rezultatul înapoi în context. Baremul e pe etape, ca un răspuns parțial să primească puncte parțiale.
• De ce e corect: fiecare meci schimbă golaverajul cu diferența scorului, luată cu semn: $1-3=-2$, $3-0=3$, $x-1$. Cerința „pozitiv” e strictă: golaverajul $0$ nu e pozitiv, de aceea $x=2$ nu convine, iar trecerea de la $x>2$ la $x\ge 3$ cere ca elevul să țină seama că numărul de goluri e natural. Programa dă golaverajele ca exemplu de context chiar la competența 1.3.

Proba la clasă și standardele din 2026

Proba de definitivat din 14 iulie 2026 a fost înaintea standardelor naționale de evaluare: acestea au apărut în Monitorul Oficial nr. 674 bis din 14.08.2026 (OMEC nr. 4615/04.08.2026), așa că baremul nu le folosește. Ele contează însă la clasă, din 2026–2027. Am pus fiecare item lângă standardul cel mai apropiat, citind descriptorii de la paginile 893–897 ale Monitorului:

La itemul 2, competența declarată (2.3) și standardele se potrivesc doar în parte: itemul cere întâi calculul opusului și al modulului, care în standarde ține de VI.CS.1.3. Descriptorii tuturor claselor: standardele de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al II-lea

• Trei itemi pe același conținut, de exemplu trei ecuații: cerința e o evaluare la finalul întregii unități „Mulțimea numerelor întregi”, deci itemii se aleg din conținuturi diferite.
• Competența dintr-un bloc, activitatea din altul: rândul de barem cere doar menționarea unei activități, însă un item cu activitatea luată din altă competență nu mai e coerent; alege activitatea din același bloc.
• Completare cu mai multe răspunsuri bune („un număr întreg negativ mai mare decât $-4$ este …” are trei răspunsuri): rândul „respectarea formatului” cere un răspuns unic.
• Două variante corecte la alegerea multiplă: tot rândul de format. Distractorii se construiesc din greșeli reale ale elevilor, ca să spună ceva despre cine îi alege.
• Calcule pe care programa clasei a VI-a nu le folosește: o împărțire cu rest în $\mathbb{Z}$, o putere cu exponent negativ; un rezultat care nu e întreg, dat ca rezultat al unui calcul în $\mathbb{Z}$, e și o greșeală de corectitudine științifică.
• Baremul doar cu rezultatul final la problemă: răspunsul așteptat valorează 3 puncte din 10, iar o problemă se punctează mai ușor și mai corect cu un barem pe etape.

Materiale pentru unitate

• Competențele și conținuturile clasei a VI-a: programa clasei a VI-a.
• Lecțiile capitolului: mulțimea numerelor întregi și axa, modulul unui număr întreg, compararea și ordonarea, puteri cu exponent natural, ordinea operațiilor, ecuații în ℤ, inecuații și probleme în ℤ.
• Un test pe capitol pentru elevi: numere întregi, operații.
• Modelul cu cinci itemi, pe aceeași secvență: titularizarea la matematică din 2026.

Întrebări frecvente

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la definitivat matematică 2026?

Pe subiecte2026.edu.ro, în arhiva Definitivat_2026.zip, ca fișierele Def_109_Matematica_2026_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Def_109_Matematica_2026_bar_02_LRO.pdf (baremul). Pe pagina aceasta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost metodica la definitivat matematică 2026?

Din clasa a VI-a. Secvența din subiect vine din programa școlară a clasei a VI-a (OMEN nr. 3393/28.02.2017): competențele 1.3–6.3 și capitolul „Mulțimea numerelor întregi”. Cere trei itemi, de completare, de alegere multiplă și de rezolvare de probleme, pentru o evaluare la finalul acestei unități.

Prin ce diferă metodica de la definitivat de cea de la titularizare, în 2026?

Secvența din programă a fost aceeași. La titularizare s-au cerut cinci itemi, doar pentru ecuațiile, inecuațiile și problemele cu numere întregi, câte 6 puncte pe item. La definitivat s-au cerut trei itemi pentru toată unitatea, câte 10 puncte pe item, din care 2 pentru format și 3 pentru răspunsul așteptat.

Unde se pierd cele mai multe puncte la definitivatul la matematică din 2026?

Pe rândurile pe care baremul le punctează explicit. La progresia aritmetică, relația scrisă pentru n = 3 și n = 4 și cazul n = 1, tratat separat. La geometrie, rombul AFDE din paralelogram și bisectoare, apoi teorema lui Menelaus. La sistem, condiția de compatibilitate b = −3 și alegerea soluției reale λ = 1. La metodică, un răspuns neunic la completare sau două variante corecte la alegerea multiplă pierd din punctele de format.

Mai departe

• Definitivat matematică: subiecte, programă și nota finală: etapele examenului, nota finală și toți anii.
• Calculatorul de medie la definitivat: nota finală și nota de care ai nevoie la proba scrisă.
• Definitivat matematică 2025 și 2024: probele precedente, rezolvate la fel.
• Titularizare matematică 2026: aceeași secvență de la clasa a VI-a, cu cinci itemi.

Sursele

• Subiectul și baremul (CNCE, Ministerul Educației și Cercetării): „Examenul național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, 14 iulie 2026, Probă scrisă, Matematică, Varianta 2”, subiect și barem, arhiva Definitivat_2026.zip de pe subiecte2026.edu.ro.
• Metodologia: OMEC nr. 5434/2020 privind aprobarea Metodologiei-cadru de organizare și desfășurare a examenului național pentru definitivare în învățământul preuniversitar, cu modificările aduse prin OME nr. 5722/2022 (forma publicată pe definitivat.edu.ro pentru sesiunea 2026): art. 35 alin. (2)–(5), art. 36.
• Programa școlară de matematică pentru gimnaziu: anexa 2 la OMEN nr. 3393/28.02.2017.
• Standardele de evaluare: anexa 29 la OMEC nr. 4615/04.08.2026, publicată în Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis din 14.08.2026, p. 893–897.

Verificat de noi pe 17.10.2026: am citit subiectul și baremul pe imaginile paginilor oficiale, nu doar pe textul extras din PDF: radicalul din exponent, determinantul și acolada sistemului apar corect numai în imagine, iar simbolul de triunghi din baremul de la I.2.b, invers, numai în text. Calculele rezolvării sunt refăcute simbolic, inclusiv geometria de la I.2 (pe coordonate generale și pe triunghiuri aleatoare), răspunsurile itemilor de metodică și suma punctajelor lor. Afirmațiile despre metodologie sunt citite din textul ei.