Subiecte titularizare matematică 2024: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2024 (concursul național de ocupare a posturilor didactice) s-a dat pe 17 iulie 2024 și a durat 4 ore. Are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectele I și II sunt de specialitate: numere complexe cu modul și conjugat, geometrie sintetică (triunghiul dreptunghic, simetricul unui vârf, patrulatere inscriptibile), o lege de compoziție definită printr-o funcție (asociativitate, structura de grup) și o funcție exponențială (tangentă, monotonie, limita unui șir de integrale). Subiectul al III-lea e de didactică: o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Elemente de organizare a datelor” de la clasa a VII-a, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item. Pe pagină: subiectul transcris exact, baremul oficial publicat de Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) și rezolvarea noastră completă, cu un model de răspuns la didactică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Structura probei · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Didactica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Structura probei din 2024

Baremul din 2024 precizează că nota se obține împărțind la 10 punctajul total al lucrării. Proba s-a dat după metodologia sesiunii 2024; cum se combină notele celor doi evaluatori și cum intră nota la proba scrisă în media de repartizare, după regulile sesiunii 2026, e explicat pe pagina titularizării la matematică. Media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

Documentele oficiale sunt în arhiva sesiunii 2024, pe subiecte2024.edu.ro (legătură http; arhiva ZIP are aproximativ 27 MB și cuprinde toate disciplinele). Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2024_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2024_bar_03_LRO.pdf (baremul). Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial (o poți și tipări), apoi compară, cerință cu cerință, cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 17 iulie 2024. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră expresia $E(z)=z^2+z\cdot |z|\cdot i-4$, unde $z$ este număr complex.

• (5p) a) Arătați că $|E(m)|\ge 2\sqrt{2}$, pentru orice număr real $m$.
• (5p) b) Determinați numărul complex $z$ pentru care $E(z)=z^2$.
• (5p) c) Demonstrați că, dacă $\overline{z}\cdot E(z)=z\cdot E\left(\overline{z}\right)$, unde $\overline{z}$ este conjugatul numărului complex $z$, atunci $z$ este număr real.

2. Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AC<AB$. Punctul $D$ este simetricul punctului $A$ față de dreapta $BC$, punctul $E$ este proiecția punctului $D$ pe dreapta $AB$, iar $M$ este punctul de intersecție a dreptelor $AD$ și $BC$ și $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $BC$ și $DE$.

• (5p) a) Arătați că $EM=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.
• (5p) b) Arătați că segmentele $AN$ și $AC$ au lungimile egale.
• (5p) c) Dreapta $AN$ intersectează dreptele $EM$ și $BD$ în punctele $P$, respectiv $Q$, iar dreapta $QM$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $S$. Demonstrați că punctul $S$ este simetricul punctului $P$ față de dreapta $AD$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Pentru o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, se definește pe mulțimea numerelor reale legea de compoziție $x\circ y=f(xy)-f(x+y)$.

• (5p) a) Pentru $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, determinați numerele reale $x$ pentru care $x\circ x=0$.
• (5p) b) Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax$, unde $a$ este număr real. Determinați numerele reale $a$ pentru care legea de compoziție „$\circ$” este asociativă.
• (5p) c) Demonstrați că $(\mathbb{R},\circ )$ nu este grup, oricare ar fi funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x-\frac{x^2}{2}-x-1$.

• (5p) a) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$, în punctul de abscisă $x=0$, situat pe graficul funcției $f$.
• (5p) b) Demonstrați că funcția $f$ este strict crescătoare.
• (5p) c) Pentru fiecare număr natural nenul $n$ se consideră numărul $I_n={\int }_{\frac{1}{n}}^1\frac{x^2}{f(x)}dx$. Arătați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(I_n+2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)\right)=2\ln \left(1-\frac{5}{2e}\right)$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VII-a

1.3. Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame

• Extragerea unei informații dintr-un tabel, grafic sau diagramă
• Identificarea modului adecvat de reprezentare a unor date
• Identificarea unor exemple de corespondențe matematice în contexte variate

2.3. Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării, reprezentării și prezentării acestora

• Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabel
• Reprezentarea unor date prin diagrame, grafice circulare sau grafice cu bare
• Reprezentarea unor date în tabele cu una sau cu două intrări

3.3. Alegerea metodei adecvate de reprezentare a problemelor în care intervin dependențe funcționale și reprezentări ale acestora

• Reprezentarea într-un sistem de axe ortogonale a unor puncte având coordonatele numere reale
• Analizarea unor seturi de date pentru a determina un mod adecvat de reprezentare grafică a acestora
• Interpretarea unei informații extrase dintr-un tabel sau listă

4.3. Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor

• Reprezentarea produsului cartezian a două mulțimi numerice finite
• Evidențierea egalității între cardinalul produsului cartezian a două mulțimi finite și produsul cardinalelor celor două mulțimi
• Exprimarea distanței dintre două puncte în plan ca lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic într-un sistem de axe ortogonale

5.3. Analizarea unor situații practice prin elemente de organizare a datelor

• Interpretarea unor informații extrase dintr-un tabel/listă/grafic
• Verificarea unor afirmații pe cazuri particulare prin construirea unor exemple și/sau contraexemple
• Interpretarea reprezentării a două sau mai multor puncte într-un sistem de axe ortogonale, din punct de vedere geometric sau din punct de vedere al fenomenului asociat

6.3. Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (text, formulă, diagramă, grafic)

• Construirea și interpretarea unor diagrame cu date din situații practice
• Determinarea unor mulțimi finite atunci când se cunoaște reprezentarea geometrică a produsului lor cartezian
• Rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, în vederea evaluării formării/dezvoltării competențelor specifice precizate, elaborați o probă de evaluare la finalul unității de învățare „Elemente de organizare a datelor”, care să cuprindă cinci itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Pentru fiecare item propus:

• menționați competența specifică evaluată;
• menționați activitatea de învățare în cadrul căreia ați utiliza acest item;
• precizați un avantaj al utilizării acestui tip de item;
• precizați un dezavantaj al utilizării acestui tip de item;
• respectați formatul tipului de item;
• respectați corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 17 iulie 2024. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $E(m)=m^2+m\cdot |m|\cdot i-4$, de unde obținem $|E(m)|=\sqrt{{\left(m^2-4\right)}^2+m^4}$, pentru orice număr real $m$ — 3p
• $|E(m)|=\sqrt{2{\left(m^2-2\right)}^2+8}\ge 2\sqrt{2}$, pentru orice număr real $m$ — 2p

1. b)

• $z^2+z\cdot |z|\cdot i-4=z^2$, deci $z\cdot |z|\cdot i=4$, de unde obținem $|z|=2$ — 3p
• $z\cdot i=2$, de unde obținem $z=-2i$, care verifică relația — 2p

1. c)

• $\overline{z}\cdot z^2+\overline{z}\cdot z\cdot |z|\cdot i-4\overline{z}=z\cdot {\overline{z}}^2+z\cdot \overline{z}\cdot \left|\overline{z}\right|\cdot i-4z$, de unde obținem $\left(\overline{z}\cdot z+4\right)\left(z-\overline{z}\right)=0$ — 3p
• Cum $z\cdot \overline{z}+4=|z{|}^2+4>0$, obținem $z=\overline{z}$, deci $z$ este număr real — 2p

2. a)

• Triunghiul $AED$ este dreptunghic în $E$ și $EM$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei, de unde obținem $EM=AM$ — 2p
• $AM$ este înălțime în triunghiul dreptunghic $ABC$, deci $AM=\frac{AB\cdot AC}{BC}$, de unde obținem $EM=\frac{AB\cdot AC}{BC}$ — 3p

2. b)

• $AC\parallel DE$, deci $\sphericalangle CAM=\sphericalangle NDM$ și, cum dreapta $MN$ este mediatoarea segmentului $AD$, obținem $\sphericalangle NDM=\sphericalangle NAM$, deci semidreapta $AM$ este bisectoarea unghiului $CAN$ — 3p
• Cum $AM\perp CN$, obținem $AN=AC$ — 2p

2. c)

• $BM$ și $DE$ sunt înălțimi ale triunghiului $ABD$, deci patrulaterul $BDME$ este inscriptibil, de unde obținem $\sphericalangle AME=\sphericalangle ABD$; $AN\perp BD$, de unde obținem că patrulaterul $ABQM$ este inscriptibil, deci $\sphericalangle AMS=\sphericalangle ABD$ — 3p
• Cum $\sphericalangle MAS=\sphericalangle MAP$, obținem $\Delta MAS\equiv \Delta MAP$, de unde rezultă că dreapta $AM$ este mediatoarea segmentului $PS$, deci punctul $S$ este simetricul punctului $P$ față de dreapta $AD$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $x\circ x=f\left(x^2\right)-f(2x)=x^4-4x^2$, pentru orice număr real $x$ — 2p
• $x^4-4x^2=0$, deci $x^2\left(x^2-4\right)=0$, de unde obținem $x=-2$ sau $x=0$ sau $x=2$ — 3p

1. b)

• $x\circ y=axy-ax-ay$, deci $(x\circ y)\circ z=a^{2}xyz-a^{2}xz-a^{2}yz-a^{2}xy+a^{2}x+a^{2}y-az$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$ — 2p
• $x\circ (y\circ z)=a^{2}xyz-a^{2}xz-a^{2}yz-a^{2}xy-ax+a^{2}y+a^{2}z$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$; $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$, pentru orice numere reale $x$, $y$ și $z$, dacă și numai dacă $a^2+a=0$, deci $a=-1$ sau $a=0$ — 3p

1. c)

• Presupunând că există o funcție $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ pentru care $(\mathbb{R},\circ )$ este grup, cum $0\circ 0=0$ și $0$ este simetrizabil în raport cu legea de compoziție „$\circ$”, obținem că $0$ este elementul neutru al grupului $(\mathbb{R},\circ )$ — 2p
• Pentru orice $x\in \mathbb{R}$, $x=x\circ 0=f(0)-f(x)$, deci $f(x)=f(0)-x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$; cum $1\circ a=f(a)-f(a+1)=f(0)-a-f(0)+a+1=1$, pentru orice $a\in \mathbb{R}$, obținem că elementul $1$ nu este simetrizabil – contradicție, deci $(\mathbb{R},\circ )$ nu este grup, oricare ar fi funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ — 3p

2. a)

• $f^{\prime }(x)=e^x-x-1$, $x\in \mathbb{R}$; $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=0$ — 3p
• Ecuația tangentei este $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $y=0$ — 2p

2. b)

• $f^{\prime \prime }(x)=e^x-1$, $x\in \mathbb{R}$; $f^{\prime \prime }(x)=0\iff x=0$; $f^{\prime \prime }(x)<0$, pentru orice $x\in (-\infty ,0)$, deci $f^{\prime }$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$; $f^{\prime \prime }(x)>0$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$, deci $f^{\prime }$ este strict crescătoare pe $[0,+\infty )$ — 3p
• Cum $f^{\prime }(0)=0$ și $f^{\prime }(x)>0$, pentru orice $x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$, obținem că $f$ este strict crescătoare — 2p

2. c)

• $I_n=2{\int }_{\frac{1}{n}}^1\frac{f^{\prime }(x)-f(x)}{f(x)}dx=2\ln f(1)-2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)-2+\frac{2}{n}$, pentru orice număr natural nenul $n$ — 3p
• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(I_n+2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)\right)=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(2\ln f(1)-2+\frac{2}{n}\right)$ și, cum $f(1)=e-\frac{5}{2}$, obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(I_n+2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)\right)=2\ln \left(1-\frac{5}{2e}\right)$ — 2p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul sare o justificare (poziția punctelor în figură, de ce două drepte sunt perpendiculare, de ce un logaritm are sens), o scriem, din rigoare: corectorul notează după barem, dar demonstrația e completă abia cu ea. Fiecare rezultat de mai jos a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1: expresia cu număr complex și modul

a) Pentru $m$ real, $|m|$ e tot real, deci $E(m)=\left(m^2-4\right)+m|m|i$ are partea reală $m^2-4$ și partea imaginară $m|m|$. Atunci $$|E(m){|}^2={\left(m^2-4\right)}^2+m^2|m{|}^2={\left(m^2-4\right)}^2+m^4=2m^4-8m^2+16=2{\left(m^2-2\right)}^2+8\ge 8,$$ deci $|E(m)|\ge \sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Egalitatea are loc pentru $m=\pm \sqrt{2}$, deci $2\sqrt{2}$ este chiar minimul.

b) $E(z)=z^2⟺z\cdot |z|\cdot i=4$. Luând modulul ambilor membri: $|z|\cdot |z|\cdot |i|=4$, adică $|z{|}^2=4$ și $|z|=2$. Relația devine $2zi=4$, deci $z=\frac{2}{i}=-2i$.

Verificare: $|-2i|=2$, iar $(-2i)\cdot 2\cdot i=-4i^2=4$, deci $E(-2i)=(-2i{)}^2$. Soluția e unică: orice soluție are $|z|=2$ și atunci $z=-2i$.

c) Folosim $\left|\overline{z}\right|=|z|$. Înmulțind, $$\overline{z}E(z)=\overline{z}{z}^2+\overline{z}z|z|i-4\overline{z},zE\left(\overline{z}\right)=z{\overline{z}}^2+z\overline{z}|z|i-4z.$$ Termenii cu $|z|$ sunt egali și se reduc la scădere: $$\overline{z}E(z)-zE\left(\overline{z}\right)=z\overline{z}\left(z-\overline{z}\right)+4\left(z-\overline{z}\right)=\left(|z{|}^2+4\right)\left(z-\overline{z}\right).$$ Din ipoteză, produsul e $0$, iar $|z{|}^2+4>0$, deci $z=\overline{z}$, adică $z$ este număr real.

Subiectul I.2: triunghiul dreptunghic și simetricul vârfului

Ce folosim. $D$ este simetricul lui $A$ față de $BC$, deci dreapta $BC$ este mediatoarea segmentului $AD$: $AD\perp BC$, iar $M=AD\cap BC$ este mijlocul lui $AD$. În particular, $AM$ este înălțimea din $A$ a triunghiului dreptunghic $ABC$.

Figura, pe care baremul nu o discută. Din $AC<AB$ rezultă $\sphericalangle ABC<45^{\circ }$. Prin simetria față de $BC$, $\sphericalangle DBC=\sphericalangle ABC$, deci $\sphericalangle ABD=2\sphericalangle ABC<90^{\circ }$; iar $\sphericalangle BAD=\sphericalangle BAM=90^{\circ }-\sphericalangle ABC<90^{\circ }$. Triunghiul $ABD$ are unghiurile din $A$ și din $B$ ascuțite, deci proiecția $E$ a lui $D$ pe $AB$ cade pe segmentul $AB$, între $A$ și $B$. În această figură, $N$ e pe segmentul $BM$, $P$ e pe segmentul $ME$, iar punctele $C$ și $N$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AD$ (verificat pe coordonate, pe triunghiuri oarecare cu $AC<AB$).

a) Triunghiul $AED$ e dreptunghic în $E$, iar $M$ este mijlocul ipotenuzei $AD$, deci mediana $EM=\frac{AD}{2}=AM$. În triunghiul dreptunghic $ABC$, aria se scrie în două feluri: $\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{BC\cdot AM}{2}$, deci $AM=\frac{AB\cdot AC}{BC}$. Rezultă $EM=\frac{AB\cdot AC}{BC}$.

b) $AC\perp AB$ și $DE\perp AB$, deci $AC\parallel DE$. Dreapta $AD$ le taie, iar $C$ și $N$ sunt de o parte și de alta a ei, deci $\sphericalangle CAM=\sphericalangle NDM$ (alterne interne). Punctul $N$ este pe mediatoarea $BC$ a lui $AD$, deci $NA=ND$, iar triunghiul isoscel $NAD$ are $\sphericalangle NDM=\sphericalangle NAM$. Rezultă $\sphericalangle CAM=\sphericalangle NAM$: semidreapta $AM$ este bisectoarea unghiului $CAN$.

În triunghiul $ACN$, $AM$ este și bisectoare, și înălțime ($AM\perp CN$), deci triunghiul e isoscel: $AN=AC$. Mai mult, $M$ este mijlocul lui $CN$: $N$ este simetricul lui $C$ față de dreapta $AD$.

c) De ce $AN\perp BD$ (baremul o afirmă fără justificare). În triunghiul $ABD$, $BM\perp AD$ și $DE\perp AB$ sunt două înălțimi, iar $N$ este intersecția lor: $N$ este ortocentrul triunghiului $ABD$. A treia înălțime trece prin $N$, deci $AN\perp BD$, adică $AQ\perp BD$.

• $\sphericalangle BMD=\sphericalangle BED=90^{\circ }$, deci $M$ și $E$ sunt pe cercul de diametru $BD$: patrulaterul $BDME$ este inscriptibil. Cum $A$, $M$, $D$ sunt coliniare, cu $M$ între $A$ și $D$, unghiul $AME$ este unghiul exterior din $M$ și e egal cu unghiul interior opus: $\sphericalangle AME=\sphericalangle EBD=\sphericalangle ABD$.
• $\sphericalangle AMB=\sphericalangle AQB=90^{\circ }$, deci $M$ și $Q$ sunt pe cercul de diametru $AB$: patrulaterul $ABQM$ este inscriptibil. Punctul $S$ este pe prelungirea lui $QM$ dincolo de $M$, deci $\sphericalangle AMS$ este unghiul exterior din $M$: $\sphericalangle AMS=\sphericalangle ABQ=\sphericalangle ABD$.

Din cele două, $\sphericalangle AMS=\sphericalangle AME=\sphericalangle AMP$, pentru că $P$ este pe segmentul $ME$. Din b), $\sphericalangle MAS=\sphericalangle MAP$ ($S$ e pe semidreapta $AC$, $P$ pe semidreapta $AN$). Triunghiurile $MAS$ și $MAP$ au latura comună $AM$ și unghiurile alăturate ei congruente, deci sunt congruente (cazul unghi–latură–unghi): $AS=AP$ și $MS=MP$. Punctele $A$ și $M$ sunt egal depărtate de $P$ și de $S$, deci dreapta $AM$, adică $AD$, este mediatoarea segmentului $PS$, iar $S$ este simetricul lui $P$ față de $AD$.

**Ce rol are ipoteza $AC<AB$.** Concluziile de la a)–c) rămân adevărate și pentru $AC>AB$ (verificat pe coordonate, pe sute de triunghiuri). Ipoteza fixează figura folosită în argumentele cu unghiuri: $E$ între $A$ și $B$, $N$ între $B$ și $M$, $P$ între $M$ și $E$. Pentru $AC=AB$, figura degenerează: $E=B=N$.

Subiectul al II-lea.1: legea de compoziție definită printr-o funcție

a) $x\circ x=f\left(x^2\right)-f(2x)=x^4-4x^2=x^2(x-2)(x+2)$, care se anulează pentru $x\in \{-2,0,2\}$.

b) Cu $f(t)=at$: $x\circ y=axy-ax-ay$. Calculăm $$(x\circ y)\circ z=a(x\circ y)z-a(x\circ y)-az=a^{2}xyz-a^{2}xz-a^{2}yz-a^{2}xy+a^{2}x+a^{2}y-az,$$ $$x\circ (y\circ z)=ax(y\circ z)-ax-a(y\circ z)=a^{2}xyz-a^{2}xy-a^{2}xz-ax-a^{2}yz+a^{2}y+a^{2}z.$$ Diferența este $(x\circ y)\circ z-x\circ (y\circ z)=\left(a^2+a\right)(x-z)$. Ea e nulă pentru orice $x$, $z$ exact când $a^2+a=0$, adică $a=-1$ sau $a=0$. Pentru $a=0$ legea e constantă ($x\circ y=0$), iar pentru $a=-1$ ea se scrie $x\circ y=1-(1-x)(1-y)$; în ambele cazuri asociativitatea se vede direct.

c) Presupunem că, pentru o anumită funcție $f$, $(\mathbb{R},\circ )$ este grup, cu elementul neutru $e$.

• $0\circ 0=f(0)-f(0)=0$, pentru orice $f$. De ce rezultă că $0$ e elementul neutru (baremul o spune într-un cuvânt): fie $0^{\prime }$ simetricul lui $0$. Compunem la stânga cu $0^{\prime }$ și folosim asociativitatea: $0^{\prime }\circ (0\circ 0)=(0^{\prime }\circ 0)\circ 0=e\circ 0=0$, iar membrul stâng este $0^{\prime }\circ 0=e$. Deci $e=0$.
• Atunci $x\circ 0=x$, adică $f(0)-f(x)=x$, deci $f(x)=f(0)-x$ pentru orice $x$.
• Cu această funcție, $1\circ a=f(a)-f(a+1)=(f(0)-a)-(f(0)-a-1)=1$, pentru orice $a$. Rezultatul nu e niciodată $0=e$, deci $1$ nu are simetric. Contradicție.

Deci $(\mathbb{R},\circ )$ nu este grup, oricare ar fi $f$.

Subiectul al II-lea.2: funcția exponențială

a) $f(0)=1-0-0-1=0$, $f^{\prime }(x)=e^x-x-1$, $f^{\prime }(0)=0$. Tangenta în punctul $(0,0)$: $y-0=0\cdot (x-0)$, adică $y=0$ (axa $Ox$).

b) $f^{\prime \prime }(x)=e^x-1$ e negativă pe $(-\infty ,0)$ și pozitivă pe $(0,+\infty )$, deci $f^{\prime }$ e strict descrescătoare pe $(-\infty ,0]$ și strict crescătoare pe $[0,+\infty )$: $f^{\prime }$ are minimul $f^{\prime }(0)=0$. Așadar $f^{\prime }(x)>0$ pentru orice $x\ne 0$. Pe fiecare dintre intervalele $(-\infty ,0]$ și $[0,+\infty )$, derivata e pozitivă cu excepția unui capăt, deci $f$ e strict crescătoare pe fiecare; cele două intervale au punctul $0$ comun, deci $f$ e strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

c) Integrala are sens: $f$ e strict crescătoare și $f(0)=0$, deci $f(x)>0$ pentru $x>0$; pe $\left[\frac{1}{n},1\right]$ numitorul e pozitiv, iar $\ln f$ e definit (baremul folosește asta fără să o spună).

Ideea baremului: $f^{\prime }(x)-f(x)=\frac{x^2}{2}$, deci $\frac{x^2}{f(x)}=\frac{2(f^{\prime }(x)-f(x))}{f(x)}=2\cdot \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-2$. Atunci $$I_n=[2\ln f(x)-2x{]}_{\frac{1}{n}}^1=2\ln f(1)-2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)-2+\frac{2}{n}.$$ Termenul $2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)$ se reduce: $$I_n+2\ln f\left(\frac{1}{n}\right)=2\ln f(1)-2+\frac{2}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }2\ln \left(e-\frac{5}{2}\right)-2.$$ Cu $2=2\ln e$: $2\ln \left(e-\frac{5}{2}\right)-2\ln e=2\ln \frac{e-\frac{5}{2}}{e}=2\ln \left(1-\frac{5}{2e}\right)$. Argumentul logaritmului e pozitiv, pentru că $e>\frac{5}{2}$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.a: rândul de 3 puncte cere modulul lui $E(m)$ pentru orice $m$ real: partea reală $m^2-4$, partea imaginară $m|m|$, cu ${\left(m|m|\right)}^2=m^4$. Rândul de 2 puncte cere scrierea $2{\left(m^2-2\right)}^2+8$, din care se citește minorarea.
• I.1.b: rândul de 3 puncte cere luarea modulului în $z\cdot |z|\cdot i=4$, de unde $|z|=2$. La rândul de 2 puncte, o greșeală de calcul frecventă e semnul: din $z\cdot i=2$ rezultă $z=-2i$, nu $2i$.
• I.1.c: rândul de 3 puncte cere factorizarea $\left(\overline{z}z+4\right)\left(z-\overline{z}\right)=0$, iar cel de 2 puncte, motivul pentru care primul factor nu se anulează: $|z{|}^2+4>0$.
• II.1.c: rândul de 2 puncte cere concluzia că $0$ e elementul neutru, din $0\circ 0=0$ și din faptul că $0$ e simetrizabil.

Din rigoare (baremul nu le cere): poziția punctelor la I.2 ($C$ și $N$ de o parte și de alta a lui $AD$, $P$ pe segmentul $ME$, $S$ pe prelungirea lui $QM$); motivul pentru $AN\perp BD$ la I.2.c ($N$ e ortocentrul triunghiului $ABD$); asociativitatea, în trecerea de la „$0$ simetrizabil” la „$0$ neutru”, la II.1.c; $f>0$ pe $\left[\frac{1}{n},1\right]$, înainte de $\ln f$, la II.2.c. Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: modelul nostru de răspuns la didactică

Baremul oficial nu dă itemi-model: punctează orice probă corectă, după cele șase criterii de mai sus, câte 1 punct fiecare. Mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. Cerința e o probă de evaluare la finalul unității „Elemente de organizare a datelor”, așa că am construit-o ca pe un test real: 90 de puncte plus 10 din oficiu (nota = punctajul / 10), pe care îl poți da la clasă.

Cum se construiește un răspuns de 6 puncte pe item în formatul din 2024:

• competența specifică și activitatea de învățare se aleg din secvența dată și se copiază cuvânt cu cuvânt; activitatea e din blocul aceleiași competențe. Toată secvența e din unitatea „Elemente de organizare a datelor”, deci orice activitate din ea se desfășoară în unitatea cerută;
• avantajul și dezavantajul sunt ale tipului de item, nu ale itemului concret, și se scriu la fiecare item. Fiecare valorează 1 punct;
• răspunsul așteptat intră la criteriul „corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat” (1 punct), așa că itemul are nevoie de un răspuns unic, verificat;
• itemul rămâne în conținuturile secvenței: produsul cartezian, sistemul de axe ortogonale, reprezentarea punctelor, distanța dintre două puncte, dependențe funcționale în tabele, diagrame și grafice, poligonul frecvențelor. Frecvența și procentele sunt deja cunoscute din clasa a V-a.

O precizare despre distanța dintre două puncte. Conținutul e în această unitate, iar activitatea de la 4.3 o numește chiar „ca lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic”. Calculul ei folosește însă teorema lui Pitagora, care în programă e în unitatea a 7-a („Relații metrice în triunghiul dreptunghic”). Dacă la clasa ta unitatea 3 se predă înainte de teorema lui Pitagora, păstrează itemul 4 b) pentru recapitularea de după unitatea a 7-a sau alege punctele pe aceeași orizontală ori verticală.

Tipurile de itemi. Programa de concurs numește doar tema („Tipologia itemilor”). În clasificarea obișnuită din docimologie, alegerea multiplă e un item obiectiv, completarea, răspunsul scurt și întrebarea structurată sunt semiobiective, iar rezolvarea de probleme e subiectivă. Tabelul general, cu formatul fiecărui tip și formulări de avantaje și dezavantaje, e pe pagina subiectului din 2025; mai jos le-am adaptat la datele și la reperul cartezian.

Itemul 1, de completare (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 4.3. Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor.
• Activitatea de învățare: „Evidențierea egalității între cardinalul produsului cartezian a două mulțimi finite și produsul cardinalelor celor două mulțimi”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Se consideră mulțimile $A=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x\le 5\}$ și $B=\{0,1,2\}$. Mulțimea $A\times B$ are $\dots \dots$ elemente.
• Răspunsul așteptat (barem): $12$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: se corectează repede și obiectiv, pentru că răspunsul e unic.
• Dezavantajul tipului de item: verifică doar rezultatul; nu arată dacă elevul a scris perechile sau a aplicat direct regula.
• De ce e corect: $A=\{2,3,4,5\}$ are 4 elemente, $B$ are 3, iar $\mathrm{card}(A\times B)=\mathrm{card}A\cdot \mathrm{card}B=4\cdot 3=12$. Capcana itemului e numărarea elementelor lui $A$: cine scrie $A=\{3,4\}$ (inegalități stricte) obține 6.

Itemul 2, cu răspuns scurt (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 1.3. Identificarea unor informații din tabele, grafice și diagrame.

• Activitatea de învățare: „Extragerea unei informații dintr-un tabel, grafic sau diagramă”.

• Itemul: Tabelul arată notele obținute de elevii unei clase la un test.

  Nota	5	6	7	8	9	10
  Numărul de elevi	2	3	5	6	4	5

  Scrieți câți elevi au obținut cel puțin nota 8.

• Răspunsul așteptat (barem): $15$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Avantajul tipului de item: elevul produce singur răspunsul, nu îl recunoaște dintr-o listă.

• Dezavantajul tipului de item: acoperă o singură cerință mică și nu arată raționamentul; aici, o singură informație din tabel, fără să se vadă cum a citit elevul datele.

• De ce e corect: „cel puțin nota 8” înseamnă notele 8, 9 și 10: $6+4+5=15$ elevi. Răspunsurile greșite tipice sunt 6 (doar nota 8) și 9 (fără nota 8, citind „peste 8”).

Itemul 3, de tip alegere multiplă (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 3.3. Alegerea metodei adecvate de reprezentare a problemelor în care intervin dependențe funcționale și reprezentări ale acestora.

• Activitatea de învățare: „Reprezentarea într-un sistem de axe ortogonale a unor puncte având coordonatele numere reale”.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. În sistemul de axe ortogonale $xOy$, punctul $A\left(-\sqrt{2},3\right)$ se află în cadranul:

  A. I B. al II-lea C. al III-lea D. al IV-lea

• Răspunsul așteptat (barem): B — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• Avantajul tipului de item: diagnostichează greșeala: fiecare distractor arată o confuzie anume.

• Dezavantajul tipului de item: răspunsul se poate ghici (25 %), iar distractorii plauzibili se construiesc greu.

• De ce e corect: abscisa $-\sqrt{2}$ e negativă, ordonata $3$ e pozitivă, deci punctul e în cadranul al II-lea. Distractorii: A ignoră semnul minus din fața radicalului, C atribuie semnul abscisei și ordonatei, D inversează coordonatele (punctul $\left(3,-\sqrt{2}\right)$ e în cadranul al IV-lea).

Itemul 4, de tip întrebare structurată (30 de puncte)

• Competențele specifice evaluate: 5.3. Analizarea unor situații practice prin elemente de organizare a datelor (a); 4.3. Descrierea în limbajul specific matematicii a unor elemente de organizare a datelor (b); 6.3. Transpunerea unei situații date într-o reprezentare adecvată (text, formulă, diagramă, grafic) (c).
• Activitățile de învățare, câte una pentru fiecare competență:
  • a), 5.3: „Interpretarea reprezentării a două sau mai multor puncte într-un sistem de axe ortogonale, din punct de vedere geometric sau din punct de vedere al fenomenului asociat”;
  • b), 4.3: „Exprimarea distanței dintre două puncte în plan ca lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic într-un sistem de axe ortogonale”;
  • c), 6.3: „Rezolvarea unor probleme simple de geometrie pornind de la reprezentarea punctelor într-un sistem de axe ortogonale”.
• Itemul: În sistemul de axe ortogonale $xOy$, cu unitatea de măsură de $1$ cm, se consideră punctele $A(1,1)$, $B(4,1)$ și $C(4,5)$.
  • a) Reprezentați punctele $A$, $B$, $C$ și arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.
  • b) Calculați lungimile segmentelor $AB$, $BC$ și $AC$.
  • c) Determinați coordonatele punctului $D$ pentru care $ABCD$ este dreptunghi și calculați aria acestui dreptunghi.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) reprezentarea corectă a celor trei puncte — 4 puncte; $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci $AB\parallel Ox$, iar $B$ și $C$ au aceeași abscisă, deci $BC\parallel Oy$; cum $Ox\perp Oy$, $AB\perp BC$ și triunghiul $ABC$ e dreptunghic în $B$ — 6 puncte.
  • b) $AB=4-1=3$ cm și $BC=5-1=4$ cm — 4 puncte; $AC$ este ipotenuza triunghiului dreptunghic $ABC$: $AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm — 6 puncte.
  • c) $D(1,5)$ — 5 puncte; aria $=AB\cdot BC=3\cdot 4=12{\mathrm{cm}}^2$ — 5 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează gradat trei competențe pe aceeași configurație: reprezentarea, calculul distanței și o problemă de geometrie.
• Dezavantajul tipului de item: subîntrebările folosesc aceeași figură, iar o greșeală de reprezentare se poate transmite. De aceea, la b) și la c) se acordă punctajul de calcul dacă rezultatul e corect pentru punctele reprezentate de elev.
• De ce respectă formatul: materialul comun (trei puncte date prin coordonate) e urmat de trei subîntrebări de dificultate crescătoare. La c), $D$ e unic: într-un dreptunghi $ABCD$, $D$ e opus lui $B$, iar diagonalele $AC$ și $BD$ au același mijloc, $\left(\frac{5}{2},3\right)$, de unde $D(1,5)$.

Itemul 5, de tip rezolvare de probleme (30 de puncte)

• Competența specifică evaluată: 2.3. Prelucrarea unor date sub formă de tabele, grafice sau diagrame în vederea înregistrării, reprezentării și prezentării acestora.

• Activitatea de învățare: „Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabel”.

• Itemul: Tabelul arată câte cărți a citit, într-o lună, fiecare elev al unei clase.

  Numărul de cărți citite	0	1	2	3	4
  Numărul de elevi	3	5	8	6	3

  Biblioteca școlii premiază clasa dacă cel puțin 60 % dintre elevii ei au citit cel puțin două cărți în luna respectivă. Stabiliți dacă această clasă primește premiul și reprezentați datele prin poligonul frecvențelor, pentru a le prezenta la bibliotecă.

• Răspunsul așteptat (barem):

  • numărul elevilor clasei: $3+5+8+6+3=25$ — 4 puncte;
  • elevii care au citit cel puțin două cărți: $8+6+3=17$ — 6 puncte;
  • procentul: $\frac{17}{25}=\frac{68}{100}=68\%$ — 6 puncte;
  • comparația: $68\%\ge 60\%$ (sau: $60\%$ din $25$ înseamnă $15$ elevi, iar $17>15$) — 4 puncte;
  • poligonul frecvențelor: punctele $(0,3)$, $(1,5)$, $(2,8)$, $(3,6)$, $(4,3)$, unite în ordine, cu axele denumite — 6 puncte;
  • răspunsul final: clasa primește premiul — 4 puncte.

• Avantajul tipului de item: evaluează prelucrarea datelor și interpretarea rezultatului în contextul dat (decizia bibliotecii), nu doar un calcul.

• Dezavantajul tipului de item: corectarea cere un barem pe etape și e mai subiectivă la reprezentarea grafică; rezolvarea durează mai mult.

• De ce e corect: decizia se ia pe o comparație exactă, fără rotunjiri: $17$ elevi față de pragul de $15$. Numărul total de elevi nu e dat în enunț, tocmai ca elevul să-l obțină din tabel. Poligonul frecvențelor e ultimul conținut din listă, iar procentele sunt din clasa a V-a.

Dacă dai testul la clasă: legătura cu standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, deci la peste doi ani după proba din 17 iulie 2024. Baremul din 2024 nu le cere. Se aplică însă la clasă din anul școlar 2026–2027. Încadrarea de mai jos e a noastră, după descriptorii clasei a VII-a din Monitorul Oficial (paginile 916–917):

Încadrarea pe standarde nu coincide peste tot cu competența declarată, pentru că standardele grupează altfel decât activitățile din programă. La itemul 3, programa leagă reprezentarea punctelor de competența 3.3, iar standardele o pun la VII.CS.4.3. La itemul 1, cardinalul produsului cartezian e o activitate de la 4.3, fără descriptor în standarde. Standardele tuturor claselor sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al III-lea, la această unitate

• Avantajul sau dezavantajul scris doar o dată, pentru toată proba: baremul le punctează la fiecare item.
• Avantaj al itemului concret, nu al tipului („e ușor pentru elevi”): criteriul cere avantajul utilizării acestui tip de item.
• Competența și activitatea din blocuri diferite: de exemplu, competența 1.3 cu activitatea „Prelucrarea statistică a unor date reprezentate în tabel”, care e în blocul 2.3.
• Item în afara unității: media aritmetică sau probabilitatea, fără legătură cu produsul cartezian, reperul cartezian sau poligonul frecvențelor.
• Răspuns neunic la completare: „Un element al lui $A\times B$ este …” are mai multe răspunsuri corecte.
• Alegere multiplă cu două variante corecte, de exemplu un punct pe o axă, care nu e în niciun cadran.
• Rezolvare de probleme fără decizie, care se reduce la o listă de calcule: atunci e de fapt o întrebare structurată.

Materiale pentru unitate

• Programa clasei a VII-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a VII-a.
• Lecțiile unității: Produsul cartezian a două mulțimi, Sistemul de axe ortogonale și coordonatele unui punct, Reprezentarea punctelor în plan, cadrane și simetrii, Distanța dintre două puncte din plan, Dependențe funcționale: tabele și diagrame, Poligonul frecvențelor, Recapitulare: organizarea datelor și reperul cartezian.
• Teste pentru elevi: produsul cartezian și reperul cartezian și organizarea datelor și poligonul frecvențelor.

Întrebări frecvente

Unde se pierd cele mai multe puncte la titularizarea la matematică din 2024?

Pe pașii pe care baremul îi punctează explicit. La I.1.a, pe modulul lui E(m) calculat pentru orice m real. La I.1.b, pe luarea modulului în relația z·|z|·i = 4, care dă modulul lui z egal cu 2, apoi pe semn: z = −2i. La I.1.c, pe factorizarea care scoate în evidență diferența dintre z și conjugatul lui. La II.1.c, pe concluzia că 0 e elementul neutru, pentru că 0∘0 = 0 și 0 e simetrizabil. La didactică, când avantajul și dezavantajul lipsesc la unii itemi sau nu sunt ale tipului de item: baremul le punctează cu câte 1 punct la fiecare item.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la titularizare matematică 2024?

În arhiva oficială a sesiunii 2024, pe subiecte2024.edu.ro (Titularizare_2024.zip, aproximativ 27 MB, cu toate disciplinele), în fișierele Tit_109_Matematica_P_2024_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2024_bar_03_LRO.pdf (baremul). Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost Subiectul al III-lea la titularizare matematică 2024?

Din clasa a VII-a. Subiectul dă o secvență din programa școlară de matematică (OMEN nr. 3393/28.02.2017), competențele specifice 1.3–6.3 și conținuturile unității „Elemente de organizare a datelor”: produsul cartezian, sistemul de axe ortogonale, distanța dintre două puncte, dependențe funcționale și poligonul frecvențelor. Cere o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item.

Ce itemi se potrivesc la unitatea „Elemente de organizare a datelor”?

Câteva idei care rămân în conținuturile unității. La completare, cardinalul unui produs cartezian. La răspuns scurt, o informație extrasă dintr-un tabel de frecvențe. La alegere multiplă, cadranul în care se află un punct cu coordonate reale, cu distractori din confuziile de semn. La întrebarea structurată, puncte date într-un reper, cu reprezentarea, distanța dintre ele și o figură geometrică. La rezolvarea de probleme, o situație practică în care datele dintr-un tabel duc la o decizie și se reprezintă prin poligonul frecvențelor.

Mai departe

• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Titularizare matematică 2025 și 2023: probele vecine, rezolvate la fel.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.
• Programa școlară de matematică: programele în vigoare la toate clasele.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 17 iulie 2024, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva Titularizare_2024.zip de pe subiecte2024.edu.ro.
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.
• Programa de concurs în vigoare la 17.10.2026: Programa pentru disciplina Matematică, Concursul național de ocupare a posturilor didactice (București, 2020), aprobată prin OMEC nr. 5975/09.11.2020.
• Standardele: OMEC nr. 4615/04.08.2026, anexa nr. 29, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis/14.08.2026, paginile 916–917.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea subiectului și a baremului e comparată cu imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor oficiale, inclusiv formulele: modulul din expresia de la I.1, conjugatele de la I.1.c și simbolul legii de compoziție apar corect doar în imagine. Simbolul de triunghi de la I.2.c lipsește din imaginea baremului și a fost confirmat din stratul de text. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic (scriptul de control, inclusiv geometria pe coordonate generale și pe triunghiuri aleatoare, răspunsurile itemilor de didactică și suma punctajelor lor).