Exerciții rezolvate — Asemănarea triunghiurilor (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Asemănarea triunghiurilor", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un băț de $1\text{m}$ aruncă o umbră de $0,8\text{m}$. În același moment, un stâlp aruncă o umbră de $4\text{m}$. Ce înălțime are stâlpul?

   • a) $4,2\text{m}$
   • b) $5\text{m}$
   • c) $3,2\text{m}$
   • d) $4,8\text{m}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $5\text{m}$

   $\frac{\hat{I}}{1}=\frac{4}{0,8}=5\Rightarrow \hat{I}=5\text{m}$. Umbra stâlpului e de $5$ ori mai lungă decât a bățului, deci stâlpul e de $5$ ori mai înalt.

   Lecția: Aplicații practice: aproximarea distanțelor folosind asemănarea →

2. În $△ABC$: $\hat{A}=55°$, $\hat{B}=70°$. În $△MNP$: $\hat{M}=55°$, $\hat{N}=70°$. Ce criteriu arată că $△ABC\sim △MNP$?

   • a) UU (unghi–unghi)
   • b) LUL (latură–unghi–latură)
   • c) LLL (latură–latură–latură)
   • d) Nu se poate stabili asemănarea
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) UU (unghi–unghi)

   Avem două perechi de unghiuri respectiv congruente ($55°$ și $70°$), fără nicio informație despre laturi. Acesta este exact criteriul UU: al treilea unghi ($55°$, respectiv $55°$) rezultă automat din suma $180°$.

   Lecția: Criterii de asemănare a triunghiurilor →

3. Ce înseamnă să împarți segmentul $AB$ în părți proporționale cu numerele $3$ și $5$?

   • a) Că $AP=3$ cm și $PB=5$ cm, indiferent de lungimea lui $AB$
   • b) Că $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}$, adică cele două părți sunt în acest raport
   • c) Că segmentul $AB$ are neapărat $8$ cm lungime
   • d) Că $AP+PB=3+5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Că $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}$, adică cele două părți sunt în acest raport

   Numerele $3$ și $5$ nu sunt lungimi, ci rețeta raportului dintre cele două bucăți: $\frac{AP}{PB}=\frac{3}{5}$. Lungimile reale se află abia după ce calculezi valoarea unei porții.

   Lecția: Împărțirea unui segment în părți proporționale →

4. Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k=5$. De câte ori este mai mare aria triunghiului mare față de cea a triunghiului mic?

   • a) De 5 ori
   • b) De 10 ori
   • c) De 25 de ori
   • d) De 15 ori
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) De 25 de ori

   Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $k^2=5^2=25$. Aria triunghiului mare este de 25 de ori mai mare.

   Lecția: Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea →

5. În triunghiul $ABC$, $M\in AB$ și $N\in AC$ cu $AM=6$ cm, $MB=9$ cm, $AN=8$ cm și $NC=12$ cm. Ce poți spune despre dreptele $MN$ și $BC$?

   • a) Sunt paralele, pentru că $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$
   • b) Nu sunt paralele, pentru că rapoartele diferă
   • c) Nu se poate stabili fără a măsura unghiurile
   • d) Sunt paralele doar dacă triunghiul este isoscel
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Sunt paralele, pentru că $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}=\frac{2}{3}$

   Calculăm $\frac{AM}{MB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$ și $\frac{AN}{NC}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$. Rapoartele sunt egale, deci, conform reciprocei teoremei lui Thales, $MN\parallel BC$.

   Lecția: Reciproca teoremei lui Thales →

6. Se dau segmentele $[AB]$ cu $AB=18$ cm și $[CD]$ cu $CD=12$ cm. Cât este raportul $\frac{AB}{CD}$, scris ca fracție ireductibilă?

   • a) $\frac{3}{2}$
   • b) $\frac{2}{3}$
   • c) $\frac{4}{3}$
   • d) $\frac{6}{5}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{3}{2}$

   $\frac{AB}{CD}=\frac{18}{12}$. Simplificăm cu $6$: $\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$.

   Lecția: Segmente proporționale →

7. În triunghiul $ABC$, $MN\parallel BC$, cu $M\in AB$ și $N\in AC$. Care dintre următoarele egalități este corectă conform teoremei fundamentale a asemănării?

   • a) $\frac{AM}{MB}=\frac{MN}{BC}$
   • b) $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$
   • c) $\frac{AM}{AB}=\frac{NC}{AC}$
   • d) $\frac{AB}{AM}=\frac{BC}{AN}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$

   Rapoartele din teorema fundamentală sunt "vârf–latură întreagă": $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$. Varianta (a) amestecă raportul lui Thales ($AM/MB$) cu $MN/BC$, ceea ce este greșit în general.

   Lecția: Teorema fundamentală a asemănării →

8. În $△ABC$, $M\in AB$, $N\in AC$, $MN\parallel BC$. Care dintre proporțiile de mai jos este scrisă corect?

   • a) $\frac{AM}{MB}=\frac{NC}{AN}$
   • b) $\frac{AM}{AN}=\frac{NC}{MB}$
   • c) $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$
   • d) $\frac{MB}{AM}=\frac{AN}{NC}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

   Regula de aur: fiecare raport trebuie construit la fel pe ambele laturi (sus/jos = sus/jos). Segmentele dinspre vârf ($AM$, $AN$) merg împreună, iar cele dinspre bază ($MB$, $NC$) merg împreună, deci corect este $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$.

   Lecția: Teorema lui Thales →

9. Patru drepte paralele echidistante taie o secantă în punctele $A,B,C,D$ (în ordine). Dacă $AB=3$ cm, cât măsoară $AD$?

   • a) $6$ cm
   • b) $9$ cm
   • c) $12$ cm
   • d) $3$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $9$ cm

   $AD$ conține $3$ segmente congruente ($AB$, $BC$, $CD$), fiecare de $3$ cm, deci $AD=3\cdot 3=9$ cm.

   Lecția: Teorema paralelelor echidistante →

10. Se dă $△PQR\sim △XYZ$. Ce latură corespunde laturii $QR$?

    • a) $XY$
    • b) $YZ$
    • c) $XZ$
    • d) Nu se poate stabili fără lungimile laturilor
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $YZ$

    Literele stau pe poziții: $P\leftrightarrow X$ (poziția 1), $Q\leftrightarrow Y$ (poziția 2), $R\leftrightarrow Z$ (poziția 3). Latura $QR$ (pozițiile 2-3) corespunde laturii $YZ$ (pozițiile 2-3).

    Lecția: Triunghiuri asemenea. Raportul de asemănare →

11. Pentru a măsura lățimea unui lac, construiești pe malul tău un triunghi mic $△EDC$ asemenea cu triunghiul mare $△BAC$ (ca în lecție, cu $\angle A=\angle D=90°$ și $B,C,E$ coliniare). De ce sunt cele două triunghiuri asemenea?

    • a) Pentru că au toate laturile egale
    • b) Pentru că au un unghi drept fiecare și unghiurile din $C$ sunt opuse la vârf (criteriul U.U.)
    • c) Pentru că sunt amândouă triunghiuri isoscele
    • d) Pentru că au același perimetru
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Pentru că au un unghi drept fiecare și unghiurile din $C$ sunt opuse la vârf (criteriul U.U.)

    Ambele triunghiuri au câte un unghi de $90°$ (construite perpendicular pe mal) și unghiurile din $C$ sunt opuse la vârf, deci egale. Cu două unghiuri respectiv egale, triunghiurile sunt asemenea prin criteriul U.U.

    Lecția: Aplicații practice: aproximarea distanțelor folosind asemănarea →

12. Un triunghi are laturile $6$, $8$, $10$. Alt triunghi are laturile $9$, $12$, $15$. Ce criteriu confirmă că sunt asemenea?

    • a) UU, pentru că unghiurile sunt evident egale
    • b) LUL, folosind cel mai mare unghi
    • c) LLL, pentru că toate cele trei rapoarte ale laturilor omoloage sunt egale
    • d) Niciunul, informațiile sunt insuficiente
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) LLL, pentru că toate cele trei rapoarte ale laturilor omoloage sunt egale

    Ordonăm laturile crescător și comparăm: $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$, $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$, $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$. Toate cele trei rapoarte sunt egale, deci se aplică criteriul LLL (nu avem nicio informație despre unghiuri, doar laturi).

    Lecția: Criterii de asemănare a triunghiurilor →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.