Exerciții rezolvate — Rapoarte, proporții și procente (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Rapoarte, proporții și procente", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Un rucsac a fost redus cu 30%, iar reducerea a însemnat 84 de lei. Care era prețul inițial al rucsacului?

   • a) 280 lei
   • b) 25,2 lei
   • c) 364 lei
   • d) 252 lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) 280 lei

   Reducerea în lei (84 lei) este chiar $30\%$ din prețul inițial, deci $N=\frac{84\cdot 100}{30}=\frac{8400}{30}=280$ lei. Verificare: $30\%$ din $280=\frac{30}{100}\cdot 280=84$ lei. ✓ Prețul redus ar fi $280-84=196$ lei.

   Lecția: Aflarea unui număr când se cunoaște un procent din el →

2. Cât este 35% din 140?

   • a) 49
   • b) 35
   • c) 45
   • d) 56
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) 49

   Aplicăm regula de aur: $35\%\text{ din }140=\frac{35}{100}\cdot 140=\frac{4900}{100}=49$. Verificare rapidă: 10% din 140 este 14, deci 30% este $3\cdot 14=42$, iar 5% este jumătate din 14, adică 7; $42+7=49$.

   Lecția: Aflarea unui procent dintr-un număr →

3. În proporția $\frac{5}{x}=\frac{15}{9}$, ce fel de termen este necunoscuta $x$?

   • a) $x$ este un extrem
   • b) $x$ este un mez
   • c) $x$ nu se poate încadra nici ca extrem, nici ca mez
   • d) $x$ este simultan extrem și mez
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x$ este un mez

   Scriem proporția pe un rând: $5:x=15:9$. Primul și ultimul număr ($5$ și $9$) sunt extremii, iar cele două numere din mijloc ($x$ și $15$) sunt mezii. Deci $x$ este un mez.

   Lecția: Aflarea unui termen necunoscut dintr-o proporție →

4. Într-un tabel, valorile lui $a$ sunt $6,9,15$, iar valorile corespunzătoare ale lui $b$ sunt $18,27,45$. Ce poți spune despre mărimile $a$ și $b$?

   • a) Sunt direct proporționale, cu $k=2$
   • b) Sunt direct proporționale, cu $k=3$
   • c) Nu sunt direct proporționale
   • d) Sunt direct proporționale, dar coeficientul nu poate fi determinat
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Sunt direct proporționale, cu $k=3$

   Calculăm rapoartele $\frac{b}{a}$: $\frac{18}{6}=3$, $\frac{27}{9}=3$, $\frac{45}{15}=3$. Toate rapoartele sunt egale cu 3, deci mărimile sunt direct proporționale, cu coeficientul $k=3$.

   Lecția: Mărimi direct proporționale →

5. Care dintre tabelele de mai jos reprezintă mărimi invers proporționale?

   • a) $x$: 1, 2, 4 și $y$: 20, 10, 5
   • b) $x$: 1, 2, 4 și $y$: 5, 10, 20
   • c) $x$: 2, 4, 8 și $y$: 10, 6, 3
   • d) $x$: 3, 6, 9 și $y$: 12, 9, 6
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x$: 1, 2, 4 și $y$: 20, 10, 5

   Verificăm produsele. a) $1\cdot 20=20$, $2\cdot 10=20$, $4\cdot 5=20$ — toate egale, deci invers proporționale, $k=20$. b) raportul $y:x=5$ e constant, deci e proporționalitate directă, nu inversă. c) $2\cdot 10=20$ dar $4\cdot 6=24$ — produsele diferă. d) $3\cdot 12=36$ dar $6\cdot 9=54$ — produsele diferă. Corect: a.

   Lecția: Mărimi invers proporționale →

6. Un obiect costă $300$ lei. Se scumpește cu $10\%$, apoi se reduce cu $10\%$ din noul preț. Care este prețul final?

   • a) $300$ lei
   • b) $297$ lei
   • c) $303$ lei
   • d) $270$ lei
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $297$ lei

   După scumpire: $110\%$ din $300=\frac{110\cdot 300}{100}=330$ lei. Reducerea de $10\%$ se aplică la $330$ lei, nu la $300$: $90\%$ din $330=\frac{90\cdot 330}{100}=297$ lei. Nu revenim la prețul inițial, pentru că al doilea procent pleacă de la valoarea deja modificată.

   Lecția: Probleme cu procente: reduceri, scumpiri, TVA și dobândă →

7. 8 tractoare ară un teren în 15 zile. Vrem să aflăm în câte zile ară același teren 12 tractoare, lucrând în același ritm. Ce tip de problemă este aceasta?

   • a) Procent dintr-un număr
   • b) Mărimi direct proporționale
   • c) Mărimi invers proporționale
   • d) Proporție cu procente combinate
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Mărimi invers proporționale

   Testul extremelor: dacă am avea mult mai multe tractoare, terenul s-ar ara în mult mai puține zile. Când o mărime crește, cealaltă scade, deci mărimile sunt invers proporționale (produsul rămâne constant: $8\cdot 15=12\cdot x\Rightarrow x=10$ zile).

   Lecția: Probleme recapitulative cu rapoarte, proporții și procente →

8. Scrie procentul $28\%$ ca fracție ireductibilă.

   • a) $\frac{28}{100}$
   • b) $\frac{7}{25}$
   • c) $\frac{14}{50}$
   • d) $\frac{2}{7}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\frac{7}{25}$

   $28\%=\frac{28}{100}$. Simplificăm prin c.m.m.d.c.$(28,100)=4$: $\frac{28:4}{100:4}=\frac{7}{25}$. Fracțiile de la a) și c) sunt egale cu ea dar nu ireductibile, iar d) e greșită.

   Lecția: Procentul ca raport. Raportul procentual →

9. În proporția $\frac{6}{11}=\frac{18}{33}$, care sunt extremii?

   • a) 6 și 33
   • b) 11 și 18
   • c) 6 și 18
   • d) 11 și 33
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) 6 și 33

   Scriem termenii în ordine: 6, 11, 18, 33. Extremii sunt primul și ultimul termen, adică 6 și 33. Mezii (11 și 18) sunt cei din mijloc. Numele vine din poziție, nu din mărime.

   Lecția: Proporția și proprietatea fundamentală →

10. Pornind de la proporția $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$, care dintre variante este obținută prin schimbarea extremilor?

    • a) $\frac{18}{6}=\frac{15}{5}$
    • b) $\frac{5}{15}=\frac{6}{18}$
    • c) $\frac{6}{5}=\frac{18}{15}$
    • d) $\frac{5}{18}=\frac{15}{6}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{18}{6}=\frac{15}{5}$

    Extremii proporției $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$ sunt $5$ și $18$ (la margini). Schimbându-i între ei obținem $\frac{18}{6}=\frac{15}{5}$. Verificare: produsul extremilor noii proporții este $18\cdot 5=90$, produsul mezilor este $6\cdot 15=90$. Egale, deci varianta a este corectă. Varianta b este obținută prin schimbarea mezilor ($6$ și $15$), iar c prin răsturnare; d amestecă termenii fără regulă și nu respectă egalitatea produselor.

    Lecția: Proporții derivate →

11. Care dintre rapoartele de mai jos este forma ireductibilă a raportului $\frac{9}{15}$?

    • a) $\frac{3}{5}$
    • b) $\frac{3}{4}$
    • c) $\frac{5}{3}$
    • d) $\frac{9}{5}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $\frac{3}{5}$

    cMMDC$(9,15)=3$. Împărțim ambii termeni la 3: $\frac{9}{15}=\frac{9:3}{15:3}=\frac{3}{5}$. Termenii 3 și 5 nu mai au divizori comuni în afară de 1, deci $\frac{3}{5}$ este forma ireductibilă. Varianta c) inversează ordinea termenilor (raport diferit), iar b) și d) nu au aceeași valoare ca raportul dat.

    Lecția: Raportul a două numere →

12. Un atelier are câțiva croitori identici care cos împreună la aceeași comandă de uniforme. Dacă numărul de croitori crește, timpul necesar pentru a termina comanda...

    • a) crește, pentru că sunt mai mulți oameni implicați
    • b) scade, deoarece mărimile sunt invers proporționale
    • c) rămâne același, indiferent de numărul de croitori
    • d) nu se poate stabili fără date suplimentare
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) scade, deoarece mărimile sunt invers proporționale

    Numărul de croitori și timpul de lucru sunt invers proporționale: dacă mai mulți croitori lucrează în același ritm, comanda se termină mai repede. Trucul săgeților: $\uparrow \downarrow$ (numărul crește, timpul scade).

    Lecția: Regula de trei simplă →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.