Derivata formală și rădăcinile multiple

Formulă din tema Inele, corpuri și polinoame, clasa a XII-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

Derivata polinoamelor se definește algebric, termen cu termen, fără limite — de aceea are sens și peste ${\mathbb{Z}}_p$, unde noțiunea de limită nu există. Regulile $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$ și $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ se păstrează. Criteriul rădăcinilor multiple este echivalență peste $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și $\mathbb{C}$; peste ${\mathbb{Z}}_p$ implicația inversă poate să cadă, fiindcă $n{X}^{n-1}$ se poate anula identic (de pildă ${\left(X^p\right)}^{\prime }=\hat{0}$).

Exemplu: $f=\hat{2}{X}^3+\hat{4}{X}^2+\hat{1}\in {\mathbb{Z}}_5[X]$ are $f^{\prime }=\hat{6}{X}^2+\hat{8}X=X^2+\hat{3}X$, fiindcă $\hat{6}=\hat{1}$ și $\hat{8}=\hat{3}$.