Subiect Bac matematică tehnologic, august 2019 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2019 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right):\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{13}{5}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$. Determinați numărul real $m$, știind că $f(m+1)=m$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_7(2x+3)={\log }_{7}9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{10,20,30,40,50,60,70,80,90\}$, acesta să fie multiplu de $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(4,1)$, $N(1,5)$ și $P(4,5)$. Calculați aria triunghiului $MNP$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \sin 60^{\circ }+{\sin }^{2}45^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}1+a& -a\\ a& 1-a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $M(a)\cdot M(b)=M(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $M(1)\cdot X\cdot M(2)=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=2X^3-4X^2+4X-3$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=-3$.

b) (5 puncte) Demonstrați că numărul $a=\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}+\frac{3}{x_3}$ este natural, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile lui $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că polinomul $f$ nu are toate rădăcinile reale.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{x^6+5}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{5\left(1-x^3\right)\left(1+x^3\right)}{{\left(x^6+5\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=0$ situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați mulțimea valorilor funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(x-1)e^x$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx=-\frac{1}{2}$.

b) (5 puncte) Demonstrați că $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=(x-2)e^x+2019$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{f}^2(x)f^{\prime }(x)dx$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). Itemii 1–3 și 5–6 au câte două rânduri punctate (3 + 2 sau 2 + 3); itemul 4 are trei (2 + 2 + 1); la itemii 7–10, subpunctele de câte 5 p au două rânduri fiecare. Punctele pe rânduri sunt cele din documentul oficial al sesiunii august 2019 (Varianta 7); soluțiile, probele și explicațiile sunt ale paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — operații cu fracții.

Cele două paranteze se calculează cu numitor comun $6$: $\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{9-4}{6}=\frac{5}{6}$ și $\frac{3}{2}+\frac{2}{3}=\frac{9+4}{6}=\frac{13}{6}$, deci $$\left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right):\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{13}{5}=\frac{5}{6}:\frac{13}{6}\cdot \frac{13}{5}\text{(3 p)}.$$ Operațiile se fac de la stânga la dreapta; împărțirea la $\frac{13}{6}$ este înmulțirea cu $\frac{6}{13}$: $$\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{13}\cdot \frac{13}{5}=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: $\frac{5}{6}:\frac{13}{6}=\frac{5}{13}$, iar $\frac{5}{13}\cdot \frac{13}{5}=1$. Capcană: dacă $\frac{13}{5}$ se înmulțește mai întâi cu $\frac{13}{6}$, apare $\frac{5}{6}:\frac{169}{30}=\frac{25}{169}$, nu $1$; într-un șir de împărțiri și înmulțiri se merge de la stânga la dreapta.)

Exercițiul 2. (5 p) — parametru dintr-o valoare a funcției.

Argumentul $m+1$ se pune în locul lui $x$ în $f(x)=2x-4$: $$f(m+1)=2(m+1)-4=2m-2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $f(m+1)=m$ devine $2m-2=m$, deci $$\mathbf{m}=2\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(2+1)=f(3)=2\cdot 3-4=2=m$. Capcană: dacă $f(m+1)$ se citește ca $f(m)+1=2m-4+1=2m-3$, ecuația $2m-3=m$ dă $m=3$, pentru care $f(4)=4\ne 3$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Doi logaritmi în baza $7$ sunt egali numai când argumentele lor sunt egale: $$2x+3=9⟹2x=6\text{(3 p)}.$$ Se obține $x=3$; argumentul $2\cdot 3+3=9$ este pozitiv, așadar $\mathbf{x}=3$ convine (2 p).

(Probă: pentru $x=3$, cele două părți sunt ${\log }_{7}9$ și ${\log }_{7}9$. Capcană: dacă $3$ se adună în loc să se scadă, $2x=9+3=12$ și $x=6$, pentru care $2\cdot 6+3=15\ne 9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

Lista $10,20,\dots ,90$ are câte un număr pentru fiecare cifră a zecilor, de la $1$ la $9$, deci alegerea se poate face în $9$ feluri (2 p).

Un număr $10k$ este multiplu de $3$ când $k$ este multiplu de $3$, fiindcă $10$ și $3$ sunt prime între ele; $k$ egal cu $3$, $6$ sau $9$ dă numerele $30$, $60$ și $90$, adică $3$ alegeri favorabile (2 p).

Probabilitatea este raportul dintre numărul alegerilor favorabile și al celor posibile: $$p=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\text{(1 p)}.$$

(Probă: $30=3\cdot 10$, $60=3\cdot 20$, $90=3\cdot 30$, iar celelalte șase numere au sumele cifrelor $1$, $2$, $4$, $5$, $7$ și $8$, nedivizibile cu $3$. Capcană: dacă se numără $10$ alegeri posibile, ca și cum lista ar începe de la $0$, apare $\frac{3}{10}\ne \frac{1}{3}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Punctele $M(4,1)$ și $P(4,5)$ au aceeași abscisă, iar $N(1,5)$ și $P(4,5)$ au aceeași ordonată: $$MP=5-1=4,NP=4-1=3\text{(2 p)}.$$ Segmentul $MP$ este vertical, iar $NP$ este orizontal, deci unghiul din $P$ este drept, iar catetele sunt $MP$ și $NP$: $${\mathcal{A}}_{MNP}=\frac{MP\cdot NP}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6\text{(3 p)}.$$

(Probă cu determinantul: vectorii $\overrightarrow{MN}=(-3,4)$ și $\overrightarrow{MP}=(0,4)$ dau $\frac{1}{2}\left|(-3)\cdot 4-4\cdot 0\right|=6$. Capcană: ipotenuza $MN=\sqrt{9+16}=5$ nu poate fi bază împreună cu o catetă drept înălțime; $\frac{5\cdot 4}{2}=10\ne 6$.)

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie trigonometrică.

Se scriu valorile sinusurilor: $$\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(2 p)}.$$ Se înlocuiește: $\sqrt{3}$ se reduce, iar pătratul fracției se calculează la numărător și la numitor: $$\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: ${\sin }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}$, iar ${\sin }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Capcană: dacă pătratul se uită, suma devine $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}>1$, fiindcă $\sqrt{2}>1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$ și $M(a)$.

a) (5 p) Se formează diferența dintre produsul diagonalei principale și produsul celeilalte: $$\det A=1\cdot 4-2\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$\det A=4-6=-2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: dacă produsele se adună, $4+6=10$, iar determinantul nu este $-2$.)

b) (5 p) Se înmulțește linie cu coloană și se adună termenii fiecărui element: $$M(a)\cdot M(b)=\left(\begin{array}{cc}(1+a)(1+b)-ab& -(1+a)b-a(1-b)\\ a(1+b)+(1-a)b& -ab+(1-a)(1-b)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+a+b& -a-b\\ a+b& 1-a-b\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ În fiecare element suma $a+b$ ține locul lui $a$ din $M(a)$, deci matricea obținută este $M(a+b)$: $$M(a)\cdot M(b)=\left(\begin{array}{cc}1+(a+b)& -(a+b)\\ a+b& 1-(a+b)\end{array}\right)=\mathbf{M}(\mathbf{a}+\mathbf{b})\text{(2 p)}.$$

(Probă: $M(1)\cdot M(2)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -3\\ 3& -2\end{array}\right)=M(3)$. Capcană: produsul indicilor nu intră în regulă; $M(1\cdot 2)=M(2)=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)$ este altă matrice decât $M(1)\cdot M(2)$.)

c) (5 p) Din b), $M(a)\cdot M(-a)=M(0)=I_2$, deci $M(a)$ este inversabilă și ${\left(M(a)\right)}^{-1}=M(-a)$ (2 p).

Se înmulțește egalitatea $M(1)\cdot X\cdot M(2)=A$ la stânga cu $M(-1)$ și la dreapta cu $M(-2)$, respectând ordinea: $$X=M(-1)\cdot A\cdot M(-2)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-11& 18\\ -17& 28\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $M(1)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-11& 18\\ -17& 28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& 8\\ -11& 18\end{array}\right)$, iar $\left(\begin{array}{cc}-5& 8\\ -11& 18\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=A$. Capcană: dacă ambele inverse se pun în stânga, $M(-1)\cdot M(-2)\cdot A=M(-3)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}7& 8\\ 9& 10\end{array}\right)\ne X$, fiindcă matricea $A$ stă între cele două înmulțiri.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinomul $f=2X^3-4X^2+4X-3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $0$: $$f(0)=2\cdot 0^3-4\cdot 0^2+4\cdot 0-3\text{(3 p)}.$$ $$f(0)=0-0+0-3=-3\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f(0)$ este termenul liber al polinomului. Capcană: dacă $4\cdot 0$ se socotește $4$, rezultatul ar fi $4-3=1$.)

b) (5 p) Pentru $f=2X^3-4X^2+4X-3$, relațiile lui Viète dau suma produselor luate câte două și produsul rădăcinilor: $$x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=\frac{4}{2}=2,x_1{x}_2{x}_3=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Fracțiile se aduc la numitorul $x_1{x}_2{x}_3$: $$a=\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}+\frac{3}{x_3}=\frac{3\left(x_2{x}_3+x_1{x}_3+x_1{x}_2\right)}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{3\cdot 2}{\frac{3}{2}}=4,\text{ numa˘r natural}\text{(3 p)}.$$

(Probă: cu rădăcinile calculate numeric, suma $\frac{3}{x_1}+\frac{3}{x_2}+\frac{3}{x_3}$ este $4$. Capcană: dacă produsul rădăcinilor se ia cu semnul termenului liber, $-\frac{3}{2}$, se obține $\frac{3\cdot 2}{-3/2}=-4$, un număr care nu este natural.)

c) (5 p) Suma pătratelor rădăcinilor se scrie cu relațiile lui Viète, folosind și $x_1+x_2+x_3=-\frac{-4}{2}=2$: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2={\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)=2^2-2\cdot 2=0\text{(2 p)}.$$ Să presupunem că toate cele trei rădăcini sunt numere reale. O sumă de pătrate de numere reale este $0$ numai când fiecare număr este $0$, deci rădăcinile ar fi toate nule și $0$ ar fi rădăcină a lui $f$; dar $f(0)=-3\ne 0$. Rezultă că polinomul nu are toate rădăcinile reale (3 p).

(Probă: derivata $f^{\prime }=6X^2-8X+4$ are discriminantul $64-96<0$, deci $f$ este strict crescătoare și are o singură rădăcină reală; celelalte două sunt complexe. Capcană: concluzia „suma pătratelor $0$ înseamnă rădăcini nule” este valabilă doar pentru numere reale; pentru numere complexe, pătratele pot avea suma $0$ fără ca numerele să fie $0$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata, tangenta, mulțimea valorilor.

a) (5 p) Se derivează câtul, cu $(x{)}^{\prime }=1$ și ${\left(x^6+5\right)}^{\prime }=6x^5$: $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot \left(x^6+5\right)-x\cdot 6x^5}{{\left(x^6+5\right)}^2}=\frac{5-5x^6}{{\left(x^6+5\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Se scoate $5$ factor comun, iar $1-x^6$ este diferență de pătrate, $1-{\left(x^3\right)}^2$: $$f^{\prime }(x)=\frac{5\left(1-{\mathbf{x}}^3\right)\left(1+{\mathbf{x}}^3\right)}{{\left({\mathbf{x}}^6+5\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}$, iar forma factorizată dă $\frac{5\cdot 1\cdot 1}{25}=\frac{1}{5}$. Capcană: dacă ${\left(x^6\right)}^{\prime }$ se scrie $6x^6$, numărătorul devine $x^6+5-6x^7$, care la $x=2$ este $-699$, pe când $5-5\cdot 2^6=-315$.)

b) (5 p) Punctul de pe grafic are abscisa $0$; se află ordonata și panta: $$f(0)=\frac{0}{0+5}=0,f^{\prime }(0)=\frac{5}{25}=\frac{1}{5}\text{(2 p)}.$$ Tangenta trece prin punctul $(0,f(0))$ și are panta $f^{\prime }(0)$, deci $y-f(0)=f^{\prime }(0)(x-0)$, adică $$\mathbf{y}=\frac{1}{5}\mathbf{x}\text{(3 p)}.$$

(Tangenta trece prin origine, ca graficul. Capcană: dacă numitorul ${\left(0^6+5\right)}^2=25$ se uită, panta ar fi $5$ în loc de $\frac{1}{5}$, iar tangenta ar fi $y=5x$.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este cel al factorului $1-x^6$: pozitiv când $x^6<1$, adică pe $(-1,1)$, nul în $\pm 1$ și negativ în rest. Deci $f$ descrește pe $(-\infty ,-1]$, crește pe $[-1,1]$ și descrește pe $[1,+\infty )$ (2 p).

Valorile extreme sunt $f(-1)=-\frac{1}{6}$ și $f(1)=\frac{1}{6}$, iar limita lui $f$ este $0$ spre $-\infty$ și spre $+\infty$. Funcția este continuă și monotonă pe fiecare dintre cele trei intervale, deci imaginea fiecăruia este un interval cu capetele date de aceste valori și limite: $\left[-\frac{1}{6},0\right)$, $\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]$ și $\left(0,\frac{1}{6}\right]$. Reuniunea lor este $$\left[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}\right]\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: pentru $x\ge 0$, $x^6+5-6x=(x-1{)}^2\left(x^4+2x^3+3x^2+4x+5\right)\ge 0$, deci $f(x)\le \frac{1}{6}$, cu egalitate în $x=1$; imparitatea lui $f$ dă marginea $-\frac{1}{6}$, atinsă în $x=-1$, iar funcția, continuă, ia toate valorile dintre cele două margini. Capcană: $\frac{1}{5}$ este panta tangentei din $0$, nu maximul funcției; maximul este $f(1)=\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu funcția $(x-1)e^x$.

a) (5 p) Factorul $e^x$ se simplifică, iar o primitivă a lui $x-1$ este $\frac{x^2}{2}-x$: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{e^x}dx={\int }_0^1(x-1)dx=\left(\frac{x^2}{2}-x\right){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{1}{2}-1-0=-\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

(Probă: integrala lui $x-1$ pe $[0,1]$ este minus aria triunghiului cu catetele $1$ și $1$, adică $-\frac{1\cdot 1}{2}$. Capcană: dacă $e^x$ se uită, ${\int }_0^1(x-1)e^{x}dx=(x-2)e^x{|}_0^1=-e+2\ne -\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Se derivează $F(x)=(x-2)e^x+2019$; produsul se derivează cu $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$, iar constanta are derivata $0$: $$F^{\prime }(x)=1\cdot e^x+(x-2)e^x+0\text{(3 p)}.$$ Se scoate $e^x$ factor comun: $$F^{\prime }(x)=(1+x-2)e^x=(x-1)e^x=\mathbf{f}(\mathbf{x}),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $F(1)-F(0)=(-e+2019)-(-2+2019)=2-e$, valoarea lui ${\int }_0^1(x-1)e^{x}dx$ din observația de la a). Capcană: derivata produsului nu este produsul derivatelor; $1\cdot e^x=e^x$ nu este $f(x)$.)

c) (5 p) Produsul $f^2(x)f^{\prime }(x)$ este derivata funcției $\frac{f^3(x)}{3}$, fiindcă ${\left(\frac{f^3}{3}\right)}^{\prime }=f^2{f}^{\prime }$: $${\int }_0^1{f}^2(x)f^{\prime }(x)dx=\frac{f^3(x)}{3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $f(1)=(1-1)e=0$ și $f(0)=(0-1)e^0=-1$: $$\frac{f^3(1)-f^3(0)}{3}=\frac{0-(-1)}{3}=\frac{1}{3}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^3(0)=(-1{)}^3=-1$, iar $f^3(1)=0$. Capcană: dacă $1$ se ia drept valoare a lui $f(0)$, rezultatul ar fi $\frac{0-1}{3}=-\frac{1}{3}$; dar $f(0)=(0-1)\cdot 1=-1$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde lucrarea de matematică M_tehnologic (proba E.c) din sesiunea august 2019, Varianta 7, dată elevilor filierei tehnologice: profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, la toate calificările profesionale. Foaia oficială îi menționează în antet pe Ministerul Educației Naționale și pe Centrul Național de Evaluare și Examinare. Cerințele sunt reproduse întocmai, iar soluțiile, probele, observațiile și ghidajul aparțin paginii. Din documentul oficial de notare rămân numai rândurile punctate, fiecare cu punctele și conținutul lui.

Pe scurt:

• fiecare dintre cele trei subiecte valorează 30 de puncte, iar din oficiu se adaugă 10 puncte; durata este de trei ore;
• Subiectul I are șase cerințe de câte 5 puncte, fără legătură între ele;
• Subiectele II și III au fiecare două probleme cu trei subpuncte de câte 5 puncte;
• Subiectele II și III iau câte o temă din clasa a XI-a și câte una din clasa a XII-a: matrice și polinom, respectiv derivată și integrală.

O abatere de format. La cerința 4, documentul oficial are trei rânduri punctate, de 2, 2 și 1 punct; la toate celelalte cerințe și la toate subpunctele sunt câte două. Lucrarea are deci 37 de rânduri punctate, nu 36, iar suma rămâne 90. Rezolvarea cerinței 4 de mai jos și ghidajul ei au tot trei bucăți.

Harta cerințelor, cu clasa din programa de examen

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. În programa de examen, operațiile cu numere reale stau în blocul „Mulțimi și elemente de logică matematică” de la clasa a IX-a. Programa nouă pentru clasele a IX-a și a X-a, aplicată din 2026–2027, are nouă unități (logică, progresii, geometrie analitică, funcții, trigonometrie, aplicații ale trigonometriei, numărare, statistică, probabilități) și niciuna despre numere reale.
• Nota 2. Programa de examen așază probabilitatea evenimentelor egal probabile în blocul „Matematici financiare” al clasei a X-a; programa nouă are probabilitățile ca unitate separată în clasa a X-a.
• Nota 3. La limitele de funcții, programa de examen de la clasa a XI-a numește rapoartele de funcții de grad cel mult $2$. La 9.c) raportul $\frac{x}{x^6+5}$ are gradele $1$ și $6$, deci iese din ce enumeră programa.

Ce are special varianta 7. Lista de la cerința 4 e alcătuită din multipli de $10$, iar $10$ și $3$ sunt prime între ele; de aceea un număr $10k$ din listă este multiplu de $3$ exact când cifra zecilor, $k$, este multiplu de $3$. La Subiectul al II-lea, proprietatea $M(a)\cdot M(b)=M(a+b)$ de la subpunctul b) este cheia subpunctului c): arată că $M(a)\cdot M(-a)$ este matricea unitate și dă inversa lui $M(a)$. La polinomul $f=2X^3-4X^2+4X-3$, suma pătratelor rădăcinilor ($2^2-2\cdot 2$) este $0$, ceea ce, pentru numere reale, ar cere ca toate să fie nule. La Subiectul al III-lea, $f(x)=\frac{x}{x^6+5}$ este impară, așa că valorile ei se așază simetric în jurul lui $0$, iar la a doua problemă $\frac{f(x)}{e^x}=x-1$ și constanta $2019$ din $F$ dispare la derivare.

Cum împarți timpul. Cele 180 de minute pot fi împărțite astfel: 45 pentru Subiectul I, câte 55 pentru fiecare dintre Subiectele II și III și 25 pentru recitire. Cele 45 de minute pentru 30 de puncte înseamnă un minut și jumătate pe punct, iar celelalte 110 minute acoperă 60 de puncte.

Nota finală. Nota este totalul punctelor împărțit la $10$. Cu cele $10$ puncte din oficiu, nota $9$ cere $90$ de puncte în total, adică $80$ din cele $90$ ale cerințelor.

Greșeli de redactare de evitat: la cerința 1, înmulțirea cu $\frac{13}{5}$ făcută înaintea împărțirii; la 2, termenul $f(m+1)$ citit ca $f(m)+1$; la 5, ipotenuza luată drept catetă; la 7.c), ordinea factorilor inverși schimbată, deși înmulțirea matricelor nu este comutativă; la 8.c), concluzia „suma pătratelor este $0$” trasă fără ipoteza că rădăcinile sunt reale; la 9.c), mulțimea valorilor dată cu capetele $-\frac{1}{5}$ și $\frac{1}{5}$, în loc de $-\frac{1}{6}$ și $\frac{1}{6}$.

Cum alegi ce rezolvi. Dacă ai o oră, lucrează Subiectul I și subpunctele a) din II și III: împreună dau 50 de puncte din 90. Cu două ore, adaugă subpunctele b), încă 20 de puncte. Ghidajul fiecărei cerințe te conduce rând cu rând, cu câte o întrebare la fiecare rând punctat.

Formule folosite în varianta 7

• Subiectul I. $\frac{u}{v}:\frac{w}{v}=\frac{u}{w}$; ${\log }_{a}p={\log }_{a}q$ cere $p=q$ cu $p,q>0$; probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și al celor posibile; aria triunghiului dreptunghic este $\frac{c_1{c}_2}{2}$; $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; dacă $P\cdot Q=I_2$, atunci $Q=P^{-1}$; pentru un polinom de gradul $3$ cu coeficienții $a_3$, $a_2$, $a_1$, $a_0$ (în ordinea descrescătoare a puterilor), relațiile lui Viète dau $x_1+x_2+x_3=-\frac{a_2}{a_3}$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=\frac{a_1}{a_3}$, $x_1{x}_2{x}_3=-\frac{a_0}{a_3}$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; tangenta în $x_0$: $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$; o primitivă a lui $u^2{u}^{\prime }$ este $\frac{u^3}{3}$.

Despre litere. Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția afină de la cerința 2, polinomul de la 8, funcția $\frac{x}{x^6+5}$ de la 9 și funcția $(x-1)e^x$ de la 10. $A$ este mulțimea de la 4 și matricea de la 7; $M$ este un punct la 5 și matricea cu parametru $M(a)$ la 7. Litera $a$ este parametrul matricei $M(a)$ la 7 și numărul definit prin sumă la 8.b); $m$ este numărul real de la cerința 2.

Titlurile „Itemul n” păstrează denumirea documentului oficial pentru fiecare cerință.