Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2013 (varianta 6) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2013 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\left(5-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}=10$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Calculați $f(-3)+f(3)$ pentru funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-9$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{2x}=25$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $100$ de lei. Determinați prețul obiectului după o scumpire cu $20\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$ și $B(3,1)$. Calculați distanța de la punctul $A$ la punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\cos 30^{\circ }+\cos 150^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}x& -1\\ 0& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Calculați $\det A$.

b) (5 puncte) Pentru $x=0$ arătați că $A-B=I_2$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det (A+B)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\circ y=x+y+3$.

a) (5 puncte) Calculați $2\circ (-2)$.

b) (5 puncte) Arătați că $e=-3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $2013\circ (-2013)=x\circ x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+1}{x}$.

a) (5 puncte) Calculați $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $f$ este descrescătoare pe intervalul $(0,+\infty )$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+1$.

a) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx$.

b) (5 puncte) Arătați că funcția $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $F(x)=x^3+x+1$ este o primitivă a funcției $f$.

c) (5 puncte) Calculați aria suprafeței delimitate de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuație $x=0$ și $x=1$.

Barem și răspunsuri

Totalul cerințelor este 90 p; cu cele 10 p din oficiu se ajunge la 100 p. Cerințele 1–6 alcătuiesc primul subiect (30 p), cerințele 7 și 8 pe al doilea (30 p), iar cerințele 9 și 10 pe al treilea (30 p). Cifra din fiecare marcaj „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)” este cea de pe rândul corespunzător din documentul de evaluare al variantei 6 (iunie 2013): trei rânduri la cerințele 2 și 6, două la celelalte. Din rest, adică formularea calculelor, probele și capcanele, ne aparține.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali într-o sumă.

Se înmulțește fiecare termen din paranteză cu $2$: $2\cdot 5=10$ și $2\cdot \left(-\sqrt{2}\right)=-2\sqrt{2}$, deci $2\left(5-\sqrt{2}\right)=10-2\sqrt{2}$ (2 p). Se adaugă $2\sqrt{2}$, iar termenii cu radical se anulează reciproc: $$10-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=10\text{(3 p)}.$$

(Probă: $2\left(5-\sqrt{2}\right)+2\sqrt{2}=2\left(5-\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)=2\cdot 5$. Capcană: $2$ înmulțește doar pe $5$, $10-\sqrt{2}+2\sqrt{2}=10+\sqrt{2}$, număr care nu este $10$.)

Exercițiul 2. (5 p) — funcție pătratică evaluată în numere opuse.

Valoarea în $-3$: $f(-3)=(-3{)}^2-9=9-9=0$ (2 p). Valoarea în $3$: $f(3)=3^2-9=9-9=0$ (2 p). Suma celor două valori este $$f(-3)+f(3)=0+0=0\text{(1 p)}.$$

(Probă: $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$, fiindcă $(-x{)}^2=x^2$, iar $-3$ și $3$ sunt cele două rădăcini ale ecuației $x^2-9=0$. Capcană: $(-3{)}^2$ se scrie $-9$; expresia ar deveni $-9-9=-18$, dar pătratul unui număr negativ este pozitiv.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $25=5^2$, iar ecuația devine $5^{2x}=5^2$ (2 p). Bazele sunt egale, deci și exponenții: $2x=2$, de unde $\mathbf{x}=1$ (3 p).

(Probă: $5^{2\cdot 1}=5^2=25$. Capcană: $2x$ se egalează cu $25$, adică $x=\frac{25}{2}$; atunci $5^{2x}=5^{25}$, număr diferit de $25$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente.

Scumpirea este o cincime din preț: $\frac{20}{100}\cdot 100=20$ de lei (2 p). Prețul nou: $100+20=120$ de lei (3 p).

(Probă: raportul dintre prețul nou și cel vechi este $\frac{120}{100}=\frac{6}{5}=1+\frac{20}{100}$. Capcană: procentul $20\%$ se confundă cu $2$ și se obține $100+2=102$ lei.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Punctele $A(1,1)$ și $B(3,1)$ au aceeași ordonată. Formula distanței dă $$AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-1{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Rămâne $AB=\sqrt{4+0}=2$ (2 p).

(Probă: segmentul $[AB]$ este orizontal, deci lungimea este diferența absciselor, $3-1=2$. Capcană: la ordonate se pune plus în loc de minus, $\sqrt{(3-1{)}^2+(1+1{)}^2}=\sqrt{8}$, iar $\sqrt{8}\ne 2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — trigonometrie.

Valoarea cunoscută este $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 p). Unghiul de $150^{\circ }$ este $180^{\circ }-30^{\circ }$, iar cosinusul se schimbă în opusul lui: $\cos 150^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (2 p). Rămâne $$\cos 30^{\circ }+\cos 150^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0\text{(1 p)}.$$

(Probă: $30^{\circ }+150^{\circ }=180^{\circ }$, iar unghiurile care se completează la $180^{\circ }$ au cosinusuri opuse. Capcană: $\cos 150^{\circ }$ se ia cu semnul plus; suma ar fi $\sqrt{3}$, deși $150^{\circ }$ este un unghi obtuz.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice triunghiulare cu un parametru.

a) (5 p) Determinantul este produsul elementelor diagonalei principale minus produsul elementelor diagonalei secundare: $$\det A=1\cdot 1-(-1)\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Al doilea produs este $0$, deci $\det A=1-0=1$ (2 p).

(Probă: matricea $A$ are zero sub diagonală, deci determinantul este produsul elementelor diagonale, $1\cdot 1$. Capcană: se ia $1$ în loc de $0$ pe poziția $(2,1)$; atunci $1-(-1)\cdot 1=2$.)

b) (5 p) Pentru $x=0$ matricea $B$ are zero pe diagonală: $B=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right)$ (2 p). Se scade element cu element: $$A-B=\left(\begin{array}{cc}1-0& -1-(-1)\\ 0-0& 1-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(3 p)}.$$

(Probă: $A$ și $B$ au același element $-1$ în colțul din dreapta sus, deci diferența lor are $0$ acolo. Capcană: $-1-(-1)$ se calculează $-2$; atunci apare matricea $\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& 1\end{array}\right)$, care este de fapt $A+B$ pentru $x=0$.)

c) (5 p) Elementele se adună pe poziții, iar $-1+(-1)=-2$: $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1+x& -2\\ 0& 1+x\end{array}\right),\det (A+B)=(1+x)(1+x)-(-2)\cdot 0=(1+x{)}^2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $(1+x{)}^2=0$ se reduce la $1+x=0$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Probă: pentru $x=-1$ suma are $0$ pe diagonală, $A+B=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 0& 0\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $0\cdot 0-(-2)\cdot 0=0$. Capcană: produsul secundar se calculează cu $-2\cdot (1+x)$, adică $(1+x{)}^2+2(1+x)=(1+x)(3+x)$; apare soluția $x=-3$, dar atunci $A+B=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 0& -2\end{array}\right)$ are determinantul $4\ne 0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție asociativă.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=2$ și $y=-2$ în formula legii: $$2\circ (-2)=2+(-2)+3\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni se anulează, rămâne $3$ (2 p).

(Probă: formula $x+y+3$ crește cu $3$ suma $x+y$, iar $2+(-2)=0$. Capcană: legea se confundă cu produsul, $2\cdot (-2)+3=-1$.)

b) (5 p) Se calculează cu $-3$ pe locul al doilea: $x\circ (-3)=x+(-3)+3=x$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$ (2 p). Apoi cu $-3$ pe primul loc: $(-3)\circ x=-3+x+3=x$. Prin urmare $x\circ (-3)=(-3)\circ x=x$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $e=-3$ este elementul neutru (3 p).

(Altă cale: suma $x+y+3$ nu depinde de ordinea lui $x$ și $y$, deci legea este comutativă și a doua egalitate rezultă din prima. Capcană: egalitatea se verifică pe un singur număr, $0\circ (-3)=0$; asta nu arată că ea ține pentru orice $x$.)

c) (5 p) Partea stângă: $2013\circ (-2013)=2013+(-2013)+3=3$ (2 p). Partea dreaptă: $x\circ x=x+x+3=2x+3$. Din $3=2x+3$ rezultă $2x=0$, deci $\mathbf{x}=0$ (3 p).

(Probă: $0\circ 0=3$. Capcană: $-2013$ se înlocuiește cu $2013$; atunci partea stângă ar fi $2013+2013+3=4029$ și ecuația $4029=2x+3$ ar da $x=2013$, dar pentru $x=2013$ egalitatea din enunț nu ține, fiindcă $2013\circ (-2013)=3$.)

Exercițiul 9. (15 p) — funcție rațională simplă.

a) (5 p) Numărătorul se împarte termen cu termen la $x$: $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}$ (3 p). Când $x\to +\infty$, fracția $\frac{1}{x}$ tinde la $0$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1+0=1\text{(2 p)}.$$

(Probă: numărătorul și numitorul au același grad, iar raportul coeficienților dominanți este $\frac{1}{1}=1$. Capcană: $x$ se simplifică și în fracția $\frac{1}{x}$, adică $\frac{x+1}{x}=1+1=2$; dar $\frac{1}{x}$ nu este egal cu $1$ decât pentru $x=1$.)

b) (5 p) Din forma $f(x)=1+\frac{1}{x}$ derivata este $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, pentru orice $x\in (0,+\infty )$ (2 p). Fiindcă $x^2>0$, rezultă $f^{\prime }(x)<0$ pe tot intervalul, deci $f$ este descrescătoare pe $(0,+\infty )$ (3 p).

(Probă: $f(1)=2$ și $f(2)=\frac{3}{2}$, iar $2>\frac{3}{2}$. Capcană: se pierde minusul și se scrie $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x^2}>0$, ceea ce ar da o funcție crescătoare; dar $f(1)>f(2)$.)

c) (5 p) Tangenta în punctul de abscisă $x_0=1$ are ecuația $$y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)\text{(2 p)}.$$ Se calculează $f(1)=\frac{1+1}{1}=2$ și $f^{\prime }(1)=-\frac{1}{1^2}=-1$. Atunci $y-2=-(x-1)=-x+1$, deci $\mathbf{y}=-\mathbf{x}+3$ (3 p).

(Probă: punctul $(1,2)$ verifică $y=-x+3$, fiindcă $-1+3=2$. Capcană: $-(x-1)$ se desface $-x$, fără $+1$; atunci $y=-x+2$, iar pentru $x=1$ ar rezulta $y=1\ne 2$, adică dreapta nu trece prin punctul graficului.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrală, primitivă, arie.

a) (5 p) Funcția $f$ este o primitivă a lui $f^{\prime }$, deci formula Leibniz–Newton dă $${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(x){|}_0^1\text{(3 p)}.$$ Valorile sunt $f(1)=3\cdot 1^2+1=4$ și $f(0)=1$, deci integrala este $4-1=3$ (2 p).

(Probă: $f^{\prime }(x)=6x$, iar ${\int }_0^{1}6xdx=3x^2{|}_0^1=3$. Capcană: capetele se iau în ordine inversă, $f(0)-f(1)=-3$, rezultat negativ pentru o funcție $f^{\prime }$ care este pozitivă pe $(0,1]$.)

b) (5 p) Se derivează termen cu termen: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$, $(x{)}^{\prime }=1$ și $(1{)}^{\prime }=0$, deci $$F^{\prime }(x)=3x^2+1\text{(3 p)}.$$ Aceasta este $f(x)$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$, deci $F$ este o primitivă a lui $f$ pe $\mathbb{R}$ (2 p).

(Probă: $F(1)-F(0)=3-1=2$ este chiar integrala lui $f$ pe $[0,1]$, calculată la c). Capcană: derivata constantei $1$ se ia $1$, nu $0$; atunci $F^{\prime }(x)=3x^2+2$, care nu este $f$.)

c) (5 p) Pe $\mathbb{R}$ avem $f(x)=3x^2+1\ge 1>0$, deci graficul stă deasupra axei, iar aria este integrala funcției: $$\mathcal{A}={\int }_0^1\left(3x^2+1\right)dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă este $x^3+x$, deci $\mathcal{A}=\left(x^3+x\right){|}_0^1=(1+1)-0=2$ (3 p).

(Probă: valoarea coincide cu $F(1)-F(0)$ de la b), fiindcă $F$ diferă de $x^3+x$ doar printr-o constantă. Capcană: se integrează $f^{\prime }$ în loc de $f$, ceea ce dă aria sub $6x$, adică $3$ și nu $2$.)

Pentru părinți și profesori

Despre foaie. Mai jos stă Varianta 6 din proba „E. c)” la matematică M_tehnologic (site-ul o numește și M3), sesiunea iunie 2013. Arhiva noastră o păstrează ca subiect de rezervă al acelei sesiuni, așa cum arată numele fișierului-sursă; foaia însăși spune doar „Varianta 6”. Sus, documentul oficial înfățișează Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare, iar titlul este „Examenul de bacalaureat național 2013”. Subiectul se adresa elevilor din filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse, profilul tehnic. Cerințele din „Itemi” sunt cele din PDF. Rezolvările, probele și ghidajul sunt scrise de noi; din documentul oficial de evaluare am luat doar cifra de puncte de pe rânduri.

Structura. Lucrarea are trei subiecte de câte 30 de puncte: șase cerințe de câte 5 puncte la primul, apoi două probleme cu câte trei subpuncte de 5 puncte la fiecare dintre următoarele două. Se adună $18$ cerințe de câte $5$ puncte, deci $90$ de puncte, iar oficiul adaugă $10$ puncte. Cele 3 ore înseamnă $180$ de minute, adică $10$ minute pentru fiecare cerință.

Rândurile punctate. Documentul oficial are $38$ de rânduri. Cerințele 2 și 6 se încheie cu un rând de $1$ punct după două rânduri de câte $2$ puncte; fiecare dintre celelalte cerințe și subpuncte are două rânduri, de $2$ și $3$ puncte sau de $3$ și $2$ puncte. Pe pagina de față, fiecare rând al documentului se încheie cu marcajul „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”.

Harta foii

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

În această programă, operațiile algebrice cu numere reale și trigonometria apar la clasa a IX-a; ecuația exponențială, procentul și distanța în plan, la a X-a; matricele, limita și derivata, la a XI-a; legea de compoziție și integrala, la a XII-a. Ordinul din 29.08.2014 e posterior lucrării, așa că tabelul arată în ce capitol stă tema în acea programă, nu ce programă urmau elevii din 2013.

Ce are foaia. La 3, exponentul este $2x$, nu $x$, deci după egalarea bazelor se rezolvă o ecuație de gradul întâi. La 4, procentul se aplică la prețul inițial. La 7, ambele matrice au zero sub diagonală, iar la 7.c) determinantul sumei este produsul elementelor de pe diagonală. La 8, enunțul spune că legea este asociativă, iar la b) se verifică un număr dat ca element neutru, fără a-l căuta. La 9, funcția $\frac{x+1}{x}$ se rescrie ca $1+\frac{1}{x}$, forma în care se calculează atât limita, cât și derivata. La 10, funcția $f$ este mereu pozitivă, deci aria este integrala ei, iar la a) integrala derivatei se reduce la o diferență de valori ale lui $f$.

Formulele foii

• Subiectul I. Dacă $a^m=a^n$ și $a>0$, $a\ne 1$, atunci $m=n$; distanța dintre punctele $A(x_A,y_A)$ și $B(x_B,y_B)$ este $\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$; $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar cosinusurile a două unghiuri care se completează la $180^{\circ }$ sunt opuse.
• Subiectul al II-lea. Determinantul $\left|\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right|$ este $ps-qr$; matricele se adună și se scad element cu element; un element neutru $e$ verifică $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$; dacă $f^{\prime }<0$ pe un interval, $f$ este descrescătoare pe el; tangenta în $x_0$ este $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; ${\int }_a^b{g}^{\prime }(x)dx=g(b)-g(a)$.

Despre litere. În cerințele 2, 9 și 10, litera $f$ stă pentru trei funcții diferite, fiecare definită în enunțul ei. Pe $A$ și $B$ le întâlnim ca puncte la 5 și ca matrice la 7; $e$ de la 8.b) este elementul neutru, nu numărul lui Euler. $F$ de la 10 este o primitivă dată, iar $x$ de la 7.c) și 8.c) este numărul căutat.