Subiect Bac matematică tehnologic, august 2024 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2024 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(0,3+0,4\right)\cdot 10+2\cdot 0,5=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$. Arătați că $f(1)+f(2)=4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_5(2x+1)={\log }_{5}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{11,21,31,41,51,61,71,81,91\}$, acesta să fie divizibil cu $3$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,1)$, $B(m,2)$ și $C(5,3)$, unde $m$ este număr real. Determinați numărul real $m$, știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=20$ și $AC=16$. Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $48$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}2x+1& 1\\ 1& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=2$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(5)=2A(3)$.

c) (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X\cdot A(1)=A(3)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+m{X}^2+2X-5$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=-5$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $1$ este rădăcină a polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=5$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x^2}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x(x+1)$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx=e-1$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^{1}f(x)dx=e$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>1$, pentru care ${\int }_1^a\frac{2xf\left(x^2\right)}{x^2+1}dx=e\left(e^3-1\right)$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total pe lucrare: 100 p, adică 90 p din cerințe și 10 p din oficiu. Subiectele I, al II-lea și al III-lea au câte 30 p; la cerințele 1–6 fiecare cerință are 5 p, iar la problemele 7–10 fiecare subpunct are 5 p, repartizate pe două rânduri de rezolvare. Cifrele de după fiecare rând de mai jos corespund baremului oficial din august 2024 (Varianta 3). Ce urmează în afară de ele — calea de rezolvare, probele, capcanele — este scris de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu zecimale.

Se adună zecimalele din paranteză, apoi se înmulțește cu $10$; înmulțirea cu $10$ mută virgula o poziție spre dreapta: $$\left(0,3+0,4\right)\cdot 10=0,7\cdot 10=7\text{(3 p)}.$$ Mai rămâne $2\cdot 0,5=1$, deci suma este $$7+1=8\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: se distribuie înmulțirea cu $10$, $0,3\cdot 10+0,4\cdot 10=3+4=7$. Capcană: se aliniază greșit zecimalele și suma iese $0,07$; atunci $0,07\cdot 10=0,7$, iar totalul este $0,7+1=1,7$. Altă greșeală: se ignoră paranteza și se calculează $0,3+0,4\cdot 10+2\cdot 0,5=0,3+4+1=5,3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții afine.

Se înlocuiește $x=1$ în $f(x)=2x-1$: $$f(1)=2\cdot 1-1=1\text{(2 p)}.$$ Pentru $x=2$, $f(2)=2\cdot 2-1=3$, deci $$f(1)+f(2)=1+3=4\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: $f(1)+f(2)=2(1+2)-2=4$, fiindcă „$-1$" apare de două ori. Capcană: diferența se face în ordine inversă, $f(1)=1-2\cdot 1=-1$; sau semnul se schimbă, $f(1)=2+1=3$ și $f(2)=5$, caz în care suma ar fi $8$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Funcția ${\log }_5$ ia fiecare valoare o singură dată, deci doi logaritmi în baza $5$ sunt egali numai când argumentele sunt egale; aici argumentele sunt $2x+1$ și $5$: $$2x+1=5\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=4$ și $\mathbf{x}=2$. Argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv, iar pentru $x=2$ el este $2\cdot 2+1=5>0$, deci valoarea convine (2 p).

(Probă: ${\log }_5(2\cdot 2+1)={\log }_{5}5$. Capcană: se confundă ${\log }_{5}5$ cu argumentul și se scrie $2x+1=1$, de unde $x=0$; dar ${\log }_{5}1=0\ne 1={\log }_{5}5$. Altă greșeală: logaritmul unei sume se desface, ${\log }_5(2x+1)={\log }_{5}2x+{\log }_{5}1$; pentru $x=2$, ${\log }_{5}4<1$, deci egalitatea ar fi falsă.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu divizibilitate.

Mulțimea $A$ are elementele $11,21,\dots ,91$, din $10$ în $10$: sunt $9$ numere, deci $9$ cazuri posibile (2 p).

Un număr este divizibil cu $3$ când suma cifrelor lui se împarte la $3$. Sumele cifrelor numerelor din $A$ sunt, în ordine, $2,3,4,5,6,7,8,9,10$; se împart la $3$ cele egale cu $3$, $6$ și $9$, adică numerele $21$, $51$ și $81$. Sunt $3$ cazuri favorabile, deci $$\mathbf{p}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: elementele sunt $10k+1$ cu $k=1,\dots ,9$, iar $10k+1$ are același rest la împărțirea cu $3$ ca $k+1$; el se împarte la $3$ pentru $k=2,5,8$. Capcană: numărul de elemente se calculează $\frac{91-11}{10}=8$, fără primul, și iese $\frac{3}{8}$. Altă greșeală: criteriul ultimei cifre, valabil pentru $2$, $5$ și $10$, se aplică la $3$; niciun număr nu se termină în $3$ și s-ar obține $p=0$.)

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Punctul $B(m,2)$ este mijlocul lui $AC$, deci abscisa lui este semisuma absciselor lui $A$ și $C$: $$m=\frac{3+5}{2}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\mathbf{m}=4$ (2 p). Ordonata verifică: $\frac{1+3}{2}=2$, adică ordonata lui $B$.

(Probă: mijlocul segmentului cu capetele $(3,1)$ și $(5,3)$ este $(4,2)$. Capcană: se ia $C$ drept mijloc, $5=\frac{3+m}{2}$, de unde $m=7$; dar atunci ordonata mijlocului ar fi $\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$, nu $3$. Altă greșeală: $m$ se scrie ca diferența absciselor, $5-3=2$.)

Exercițiul 6. (5 p) — perimetrul unui triunghi dreptunghic.

Cum unghiul din $A$ măsoară $90^{\circ }$, latura opusă lui, $BC$, este ipotenuza, iar $AB$ și $AC$ sunt catete. Teorema lui Pitagora dă: $$A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=20^2-16^2=400-256=144,\text{deci}AB=12\text{(3 p)}.$$ Perimetrul este suma laturilor: $$AB+AC+BC=12+16+20=48\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $(12,16,20)=4\cdot (3,4,5)$ este un triplet pitagoric. Capcană: se adună pătratele catetelor cu cel al ipotenuzei, $A{B}^2=20^2+16^2=656$, ceea ce ar da o catetă mai mare decât ipotenuza; sau se scade direct, $AB=20-16=4$, și perimetrul iese $40$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $x=1$ se obține $2x+1=3$: $$A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right),\det (A(1))=3\cdot 1-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(1))=3-1=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se înlocuiește $x$ și în colțul din dreapta jos cu $2x+1$, deși acolo stă doar $x$; atunci $A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ și determinantul ar fi $8$.)

b) (5 p) Se scriu $A(5)=\left(\begin{array}{cc}11& 1\\ 1& 5\end{array}\right)$ și se adună cu $A(1)$ element cu element: $$A(1)+A(5)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}11& 1\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}14& 2\\ 2& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $A(3)=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$, dublul ei este $$2A(3)=\left(\begin{array}{cc}14& 2\\ 2& 6\end{array}\right)=A(1)+A(5)\text{(2 p)}.$$

(Explicație: fiecare element care depinde de $x$ este o funcție afină, iar media argumentelor $1$ și $5$ este $3$. Se poate greși astfel: $A(1)+A(5)$ ar fi $A(6)$; însă $A(6)=\left(\begin{array}{cc}13& 1\\ 1& 6\end{array}\right)$, iar suma are $2$ pe diagonala secundară, unde $A(6)$ are $1$.)

c) (5 p) Se caută $X=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu $p,q,r,s$ numere reale. Produsul, rând cu coloană, este $$X\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}3p+q& p+q\\ 3r+s& r+s\end{array}\right),$$ iar egalitatea cu $A(3)=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$ cere $3p+q=7$, $p+q=1$, $3r+s=1$, $r+s=3$ (3 p).

Scăzând a doua ecuație din prima, $2p=6$, deci $p=3$ și $q=-2$; scăzând a patra din a treia, $2r=-2$, deci $r=-1$ și $s=4$: $$X=\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 4\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

(Altă cale, cea a baremului: $\det A(1)=2\ne 0$, deci $A(1)$ are inversă, $A(1{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 3\end{array}\right)$, iar $X=A(3)\cdot A(1{)}^{-1}$ dă aceeași matrice. Probă: $\left(\begin{array}{cc}3& -2\\ -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$. Capcană: înmulțirea se face în ordinea $A(1)\cdot X$, care duce la alt sistem și la altă matrice; produsul nu comută.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $0$ în $f=X^3+m{X}^2+2X-5$: $$f(0)=0^3+m\cdot 0^2+2\cdot 0-5\text{(3 p)}.$$ Primii trei termeni sunt $0$, deci $f(0)=-5$ pentru orice $m$ (2 p).

(Valoarea în $0$ este termenul liber. Capcană: se scrie $m\cdot 0^2=m$ și iese $f(0)=m-5$, care depinde de $m$.)

b) (5 p) Dacă $1$ este rădăcină, atunci $f(1)=0$. Se calculează $$f(1)=1^3+m\cdot 1^2+2\cdot 1-5=m-2\text{(3 p)}.$$ Din $m-2=0$ rezultă $\mathbf{m}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $m=2$, $f(1)=1+2+2-5=0$. Capcană: se uită termenul $2X$ și iese $f(1)=m-4$, deci $m=4$; dar pentru $m=4$, $f(1)=2\ne 0$.)

c) (5 p) Pentru un polinom cu coeficientul dominant $1$, suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui $X^2$, iar suma produselor lor luate câte două este coeficientul lui $X$. Aici $$x_1+x_2+x_3=-m,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=2\text{(2 p)}.$$ Suma pătratelor rădăcinilor este pătratul sumei lor minus dublul sumei produselor câte două: $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-m{)}^2-2\cdot 2=m^2-4.$$ Condiția $m^2-4=5$ dă $m^2=9$, deci $m=-3$ sau $m=3$. Fiind cerut un număr natural, $\mathbf{m}=3$ (3 p).

(Probă: pentru $m=3$, $f=X^3+3X^2+2X-5$, iar $m^2-4=5$. Capcană: se uită ridicarea la pătrat a sumei și iese $-m-4=5$, deci $m=-9$; sau se rețin ambele valori, $m\in \{-3,3\}$, deși cerința este despre un număr natural.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, monotonie.

a) (5 p) Se aduce funcția la o formă mai simplă: $x^2=\left(x^2+1\right)-1$, deci $$f(x)=\frac{\left(x^2+1\right)-1}{x^2+1}=1-\frac{1}{x^2+1}\text{(2 p)}.$$ Derivata constantei $1$ este $0$, iar fracția $\frac{1}{u}$, cu $u=x^2+1$ și $u^{\prime }=2x$, are derivata $-\frac{u^{\prime }}{u^2}$: $$f^{\prime }(x)=\frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, iar regula câtului dă $\frac{2x\left(x^2+1\right)-x^2\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}=\frac{2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}$. Capcană: se uită minusul din fața fracției din forma de mai sus; atunci derivata iese de semn opus, iar în $x=1$ ar fi $-\frac{1}{2}$ în loc de $\frac{1}{2}$.)

b) (5 p) Din forma de la a), când $x\to +\infty$ fracția $\frac{1}{x^2+1}$ tinde la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1-0=1\text{(3 p)}.$$ Pentru $x$ din ce în ce mai mare, valorile lui $f$ se apropie de $1$, deci asimptota orizontală spre $+\infty$ a graficului are ecuația $$\mathbf{y}=1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se confundă asimptota orizontală cu una verticală, $x=1$; sau se crede că $f(x)\to 0$, fiindcă fracția $\frac{1}{x^2+1}$ tinde la $0$, deși $f$ este diferența $1-\frac{1}{x^2+1}$.)

c) (5 p) Fiindcă $x^2+1\ge 1$, numitorul derivatei, pătratul lui $x^2+1$, este pozitiv; semnul lui $f^{\prime }$ coincide deci cu semnul lui $x$, care se anulează în $0$:

• pentru $x\in (-\infty ,0]$: $x\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ descrește pe $(-\infty ,0]$ (3 p);
• pentru $x\in [0,+\infty )$: $x\ge 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește pe $[0,+\infty )$ (2 p).

(Probă: $f(-1)=\frac{1}{2}$, $f(0)=0$, $f(1)=\frac{1}{2}$; valoarea minimă este $0$, atinsă în $x=0$. Capcană: se scrie că $f$ crește pe tot $\mathbb{R}$, pentru că $f(x)\to 1$ la $+\infty$; dar $f(-1)=\frac{1}{2}>0=f(0)$, deci $f$ scade între $-1$ și $0$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu exponențială.

a) (5 p) Factorul $x+1$ se simplifică și rămâne $e^x$, care este primitivă a ei înseși, fiindcă ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$: $${\int }_0^1\frac{f(x)}{x+1}dx={\int }_0^1{e}^{x}dx=e^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=e^1-e^0=\mathbf{e}-1\text{(2 p)}.$$

(Capcană: primitiva lui $e^x$ se alege prin analogie cu regula puterii, ridicând exponentul cu $1$ și împărțind la noul exponent; derivata expresiei obținute nu mai este $e^x$, iar integrala ar ieși $\frac{e^2}{2}-e$, în loc de $e-1$.)

b) (5 p) Se observă că ${\left(x{e}^x\right)}^{\prime }=e^x+x{e}^x=e^x(x+1)=f(x)$, deci $F(x)=x{e}^x$ este o primitivă a lui $f$: $${\int }_0^{1}f(x)dx=x{e}^x{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=1\cdot e-0=\mathbf{e}\text{(2 p)}.$$

(Baremul ajunge la același rezultat prin integrare prin părți. Capcană: primitiva produsului se confundă cu produsul primitivelor celor doi factori; între $0$ și $1$ s-ar obține $\frac{3}{2}e$, nu $e$.)

c) (5 p) Înlocuind $x$ cu $x^2$ în $f$ se obține $f\left(x^2\right)=e^{x^2}\left(x^2+1\right)$, iar factorul $x^2+1$ simplifică numitorul. Integrandul se simplifică și devine $2x{e}^{x^2}$, adică tocmai derivata funcției $e^{x^2}$. Integrala este deci $${\int }_1^{a}2x{e}^{x^2}dx=e^{x^2}{|}_1^a=e^{a^2}-e\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $e^{a^2}-e=e\left(e^3-1\right)=e^4-e$ dă $e^{a^2}=e^4$, deci $a^2=4$. Cum $a>1$, rămâne $\mathbf{a}=2$ (2 p).

(Probă: pentru $a=2$, $e^4-e=e\left(e^3-1\right)$. Capcană: se uită că $a$ trebuie să fie mai mare decât $1$ și se rețin ambele rădăcini ale ecuației $a^2=4$; sau se confundă $e^{a^2}$ cu $e^a$ și iese $e^a=e^4$, adică $a=4$.)

Pentru părinți și profesori

Despre ce e vorba. Varianta 3 a probei de matematică M_tehnologic a fost dată în sesiunea din august 2024 a Bacalaureatului candidaților din filiera tehnologică (profilul servicii, profilul resurse și profilul tehnic, cu toate calificările lor profesionale). Documentele au fost publicate de Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, din cadrul Ministerului Educației. Pagina reproduce enunțurile fără modificări și le oferă rezolvate, cu probe și observații scrise de noi. Din documentul oficial am păstrat numai numărul de puncte al fiecărui rând de rezolvare.

Lucrarea în cifre.

• 10 cerințe: șase la Subiectul I și patru probleme cu câte trei subpuncte la Subiectele al II-lea și al III-lea;
• 90 de puncte pentru cerințe și 10 din oficiu;
• cerințele de la Subiectul I valorează câte 5 puncte, iar fiecare subpunct al problemelor tot 5, împărțite pe două rânduri;
• 3 ore de lucru, fără calculator.

Ce se cere în varianta 3, în ordine.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Operațiile cu numere reale, de pildă adunarea și înmulțirea zecimalelor din prima cerință, se cer la examen în clasa a IX-a. Programa școlară nouă pentru acea clasă nu are o unitate despre numere reale, așa că tehnica stă la noi în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Funcția logaritmică apare în programa nouă încă din clasa a IX-a, dar intuitiv, fără proprietățile algebrice ale logaritmilor, iar ecuațiile se rezolvă acolo doar pe grafic. Ecuațiile logaritmice se cer la examen în clasa a X-a; tehnica se găsește în unitatea „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Coordonatele punctelor sunt, la examen, materie a clasei a X-a, iar programa nouă le mută în clasa a IX-a, odată cu formula coordonatelor mijlocului. Programa de examen nu numește mijlocul segmentului, deși cerința 5 îl folosește.
• Nota 4. Triunghiul dreptunghic ține la examen de clasa a IX-a, dar în programa școlară nouă el figurează în clasa a X-a. Cele două programe nu se suprapun aici, fără ca vreuna să greșească.

Ce a avut special varianta 3. Subiectul I începe cu zecimale; la cerința 4, numerele din mulțime au aceeași ultimă cifră, deci nu pot fi triate după ea. La Subiectul al II-lea, ultima cerință despre matrice caută o matrice necunoscută $X$ aflată în stânga lui $A(1)$ în produs, iar la polinom suma pătratelor rădăcinilor se află fără a le calcula. La Subiectul al III-lea, funcția din prima problemă se poate scrie $1-\frac{1}{x^2+1}$, ceea ce ușurează și derivata, și limita; în a doua problemă, subpunctul c) cere o necunoscută la limita integralei.

Timp și notare. Fără calculator, 180 de minute. Dacă rezervi o jumătate de oră pentru recitire, rămân 150 de minute pentru 90 de puncte, adică 100 de secunde pe punct. Pe barem se admite orice soluție corectă, nu doar cea tipărită; punctele nu se fracționează; nota este totalul împărțit la zece. Oficiul de 10 puncte face ca nota 5 să înceapă de la un total de 50 de puncte.

Redactări de evitat. La 3, scrierea soluției fără verificarea condiției $2x+1>0$; la 6, folosirea ipotenuzei drept catetă; la 7.c), înmulțirea matricelor în ordinea inversă; la 8.c), reținerea valorii negative a lui $m$ deși se cere un număr natural; la 10.c), reținerea ambelor soluții ale ecuației $a^2=4$, fără a folosi condiția $a>1$.

Folosirea paginii. Încearcă fiecare problemă singur, apoi verifică rândul oficial corespunzător. Pe lângă rezolvări, fiecare cerință are un ghidaj cu întrebări scurte, la care primești explicație imediată dacă răspunsul nu e bun. Un scor sub 40 de puncte arată nevoia de a relua Subiectul I; între 40 și 65, merită insistat pe ultimele subpuncte; peste 65, ținta e viteza.

Formule folosite în varianta 3

• Subiectul I. logaritmii în baza $5$ ai două numere pozitive sunt egali exact când numerele sunt egale; un număr este divizibil cu $3$ când suma cifrelor lui este multiplu de $3$; într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor; coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor.
• Subiectul al II-lea. Produsul a două matrice $2\times 2$ se face rând cu coloană; dacă polinomul are gradul $3$ și coeficientul lui $X^3$ egal cu $1$, atunci suma celor trei rădăcini este opusul coeficientului lui $X^2$, iar suma produselor lor luate câte două este coeficientul lui $X$; suma pătratelor rădăcinilor este pătratul sumei lor minus dublul sumei produselor câte două.
• Subiectul al III-lea. Dreapta $y=c$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă limita funcției în $+\infty$ este $c$; $F^{\prime }=f$ spune că $F$ este primitivă a lui $f$; ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$.

Cuvântul „itemul" din titlurile de mai jos este cel din barem; la clasă îi spunem „cerința". Litera $f$ denumește patru obiecte diferite (cerințele 2, 8, 9 și 10). Litera $A$ numește o mulțime la 4, un punct la 5, un vârf de triunghi la 6 și o matrice la 7. La 8, $m$ este parametru, iar la 10.c) litera $a$ este necunoscută.